终究是数学放弃了我～

0.999999……=0.33333……*3=1/3 *3=1

引用 @龙小柒 发表的:
首先这个是循环论证，其次无限循环小数没有四则运算的定义，只能使用分数表示进行运算，这种表达甚至不能叫做证明

啥啊…循环小数理解为级数/数列就好了，没有循环论证这一说

引用 @库里你复活辣 发表的:
那请你先证明0.999…×10=9.999…

2×π 等于多少

引用 @叶晓婷 发表的:
老哥其实这么说 无穷这个就无法直接证明 就你发的这个里面最后一步9减去一个分数分母无穷大那它就趋近与0 那么结果就可以等于9 但其中是有误差的 和1等于0.9循环一样是无法直接很明白说清楚的

所以啊，问题的根源不是能不能加减，是因为没有特别的定义所以导致了那结论去证明结论这一种结果

引用 @AiBeTTy 发表的:
，，，，那你真的丢数学专业的脸

我也985数学系的，虽然肯定比不上中科院大佬。这个证明绝对谈不上错的，因为每一步都是对的，就是有的地方理由完全没说明。所以你是数学系的吗？

结论是约等号被废除？

引用 @大威少丶丶 发表的:
A=0.99999... 10A=9.99999.. 10A-A=9.99999...-0.999999...=9 我是学渣仅个人这么认为的，别喷我啊🐶

我记得无限小数是不能这样直接加减的

引用 @石根硕 发表的:
2×π 等于多少

拿pi来举例首先就是一种无知，无限循环小数和无限不循环小数都不懂吗，你来告诉我2pi是什么？

引用 @AiBeTTy 发表的:
，，，，那你真的丢数学专业的脸

a=0.999.... 10a=9.999.... 9+a=9+0.999....＝9.999... 10a-a=9+a-a 9a=9 a=1 这样会不会直观些🐶

引用 @龙小柒 发表的:
这是一个问题，所以这种方法压根就不叫证明，0.9循环等于1的证明逻辑是0.9循环和1之间不存在一个数，所以二者相等

夹逼当然也可以做 但这么做只是不严谨 不能说完全就没有意义

引用 @龙小柒 发表的:
所以啊，问题的根源不是能不能加减，是因为没有特别的定义所以导致了那结论去证明结论这一种结果

不能加减是这贴里面的亮评说的不能加减 就很离谱 其实想象成把0.9循环变成分数 它的分数就是1 其中的就应该没问题了

引用 @龙小柒 发表的:
可不可以加减不是重点，重点是为什么9.9循环减掉0.9循环等于9

这里用到的是一一对应的思想，跟奇数与自然数的数量是一样的是一个道理。 用无穷级数也能证明 0.999...=0.9+0.09+0.009+... 等比数列求和求极限等于1

引用 @龙小柒 发表的:
这是一个问题，所以这种方法压根就不叫证明，0.9循环等于1的证明逻辑是0.9循环和1之间不存在一个数，所以二者相等

其实如果对实数的定义足够严格的话也是可以做的，但是严格定义实数就蛮复杂了…

引用 @战斗暴龙兽龙卷风 发表的:
麻雀以为叽叽喳喳卖弄一下树梢的景色就见识广了，殊不知🦅翱翔过整片天也不屑向麻雀炫耀什么是飞翔。

你这比喻太土了🐶

引用 @石根硕 发表的:
这里用到的是一一对应的思想，跟奇数与自然数的数量是一样的是一个道理。 用无穷级数也能证明 0.999...=0.9+0.09+0.009+... 等比数列求和求极限等于1

有一个无穷小量被你吃了？

引用 @躺在大波上睡觉 发表的:
谁告诉你10A- A等于9？

A比10A小数点后面还多一位，10A-A不等于9，应该等于8.99999…1

引用 @90斤的贾玲 发表的:
结果没问题，过程错的一塌糊涂

a=0.999.... 10a=9.999.... 9+a=9+0.999....＝9.999... 10a-a=9+a-a 9a=9 a=1

A＝0.9999... 为什么能得出10A＝9.9999...???

引用 @尼斯湖基地 发表的:
其实如果对实数的定义足够严格的话也是可以做的，但是严格定义实数就蛮复杂了…

是啊，这个不严谨其实是体现在结论证结论上，因为你无论怎么用计算证明都会回到默认0.9循环=1这个事上

引用 @取个拉风的名称把 发表的:
多大啊还没学数分高数之类的吧 无穷小数相减能直接减没来？

为啥这么多赞

引用 @光明派教主大人 发表的:
爷来了，就这破题有什么好装的。

还是看εσ语言来的顺眼

引用 @杜杜杜杜兰特kd 发表的:
那9A为什么等于9?

应该等于9.0000...0001，多一位数

引用 @丶NG 发表的:
不知道为啥你被灭 真的惨。要证明0.9...=1 就是a=b 特么用(10-1）a=9b来证明 a=b也是天才 凭什么前面相等

a=0.999.... 10a=9.999.... 9+a=9+0.999....＝9.999... 10a-a=9+a-a 9a=9 a=1

引用 @躺在大波上睡觉 发表的:
谁告诉你10A- A等于9？

10A-A=9+9的高阶无穷小，而9的高阶无穷小近似为0，这里省略了。如果不省略的话到最后一步也要约等于0省略一下，一个意思，这个过程问题不大，只不过不严谨，整体是对的。 如果你没好好学过高数，当我没说

引用 @杜杜杜杜兰特kd 发表的:
那9A为什么等于9?

借楼，10A-A=9+9的高阶无穷小，而9的高阶无穷小近似为0，这里省略了。如果不省略的话到最后一步也要约等于0省略一下，一个意思，这个过程问题不大，只不过不严谨，整体是对的。 如果你没好好学过高数，当我没说

引用 @龙小柒 发表的:
拿pi来举例首先就是一种无知，无限循环小数和无限不循环小数都不懂吗，你来告诉我2pi是什么？

无限不循环小数都可以相加减，无限循环小数就不行了，都是有理数你行我不行？你的水平真的太低了。那我举的无穷级数的证法估计你也是看不懂的了。

引用 @梁耶耶 发表的:
这两个集合相等么？x小于1的集合不是就包括0.9999…么？你是不是符号记错了

他的意思是只要证明x＜1的集合差x＜0.9，9的循环的集合适空集就得证了吧

引用 @詹姆斯边撸边说 发表的:
这一层的，无限循环小数你来做加减乘除？

老哥 为什么不能呢

引用 @躺在大波上睡觉 发表的:
谁告诉你10A- A等于9？

10a-a=9.9999...-0.9999...=9 没问题啊

引用 @WashMachine 发表的:
你这比喻太土了🐶

毕竟他是数学系的，文笔不好很正常🐶

引用 @叶晓婷 发表的:
老哥 为什么不能呢

只能先化成分数再做运算，类似0.3333乘以3

引用 @石根硕 发表的:
人家中科大的

中科大的就不能有初高中教材了么

引用 @遂宁库兹马 发表的:
建议你去把百度的员工打一顿

老哥有一说一 百度这个自己回答都分不清 下面还有很多回答是可以

引用 @杜杜杜杜兰特kd 发表的:
那9A为什么等于9?

在他这图里，9A=9*0.99999.......≠9 没毛病

引用 @叶晓婷 发表的:
不能加减是这贴里面的亮评说的不能加减 就很离谱 其实想象成把0.9循环变成分数 它的分数就是1 其中的就应该没问题了

是的啊但是不能用它去证明，我个人理解呢是两个无限循环小数相加的时候直接表示成一个无限循环小数是没有意义的，你只能用无穷级数求和或者分数的形式去表达，但是只要这样表达了就都是已经默认了1=0.9循环这个结论

引用 @石根硕 发表的:
无限不循环小数都可以相加减，无限循环小数就不行了，都是有理数你行我不行？你的水平真的太低了。那我举的无穷级数的证法估计你也是看不懂的了。

那我说的无穷小量被吃了的问题估计你也看不懂啊

引用 @詹姆斯边撸边说 发表的:
只能先化成分数再做运算，类似0.3333乘以3

可是化成分数的办法就是加减乘除呀

引用 @龙小柒 发表的:
是的啊但是不能用它去证明，我个人理解呢是两个无限循环小数相加的时候直接表示成一个无限循环小数是没有意义的，你只能用无穷级数求和或者分数的形式去表达，但是只要这样表达了就都是已经默认了1=0.9循环这个结论

那应该怎么证明呢

引用 @尼斯湖基地 发表的:
夹逼当然也可以做 但这么做只是不严谨 不能说完全就没有意义

这个东西只能说是便于人们理解这个事，推敲不了

引用 @叶晓婷 发表的:
那应该怎么证明呢

证明在0.9循环和1之间找不到一个数，所以二者就相等了

引用 @遂宁库兹马 发表的:
建议你去把百度的员工打一顿

哥为什么我这都被灭呀

引用 @叶晓婷 发表的:
可是化成分数的办法就是加减乘除呀

不知道怎么答，我觉得百度一下答案来的快点

在这一步就是约等于了，严谨的讲，9A不等于9，而是无限接近9，也是这一步导致后来得出A等于1

引用 @战斗暴龙兽龙卷风 发表的:
麻雀以为叽叽喳喳卖弄一下树梢的景色就见识广了，殊不知🦅翱翔过整片天也不屑向麻雀炫耀什么是飞翔。

别闹了哦，要不咱们也来个谁主张谁举证。你之前说无限循环小数不能四则运算是吧？中科大数学分析第二页，常教授用乘法和减法算出了无限循环小数点分数表示。你来举证下，哪个论文或者课本讲了无线循环小数不能四则运算，另外教你一个定理哦，有理数四则运算是封闭的呢。

引用 @龙小柒 发表的:
有一个无穷小量被你吃了？

回去好好看看怎么用定积分求面积的吧。极限的思想重新学一下。

引用 @石根硕 发表的:
你水平太低。先不说这种方法完全正确，我再给你说种方法，无穷级数学了吗。 0.999...=0.9+0.09+0.009+.... 等比数列求和求极限。

毕达哥拉斯直呼内行，他怎么没想到用余弦定理证明勾股定理呢。

引用 @2050年中国队勇夺世界杯 发表的:
笑死我了

笑死我了

引用 @詹姆斯边撸边说 发表的:
不知道怎么答，我觉得百度一下答案来的快点

这个不也是无限循环小数化成分数嘛 我看这就是这么做的

引用 @石根硕 发表的:
回去好好看看怎么用定积分求面积的吧。极限的思想重新学一下。

明天找个数学系的老师问问再来回帖吧

引用 @战斗暴龙兽龙卷风 发表的:
毕达哥拉斯直呼内行，他怎么没想到用余弦定理证明勾股定理呢。

你水平太低。

引用 @小艾火火火 发表的:
牛批牛批，极限都没学好

极限是可以证啊，我拿等比数列求和就可以证，但极限求和本身就是一种极值情况下，你在极限运算中能画等号，但正常情况下呢？本身就是极限悖论推导得到的东西，你跟我说10a-a等于9？

引用 @华生桂圆 发表的:
笑死我了

笑死我了

引用 @2050年中国队勇夺世界杯 发表的:
笑死我了

这都能套？

引用 @Joey0415 发表的:
别闹了哦，要不咱们也来个谁主张谁举证。你之前说无限循环小数不能四则运算是吧？中科大数学分析第二页，常教授用乘法和减法算出了无限循环小数点分数表示。你来举证下，哪个论文或者课本讲了无线循环小数不能四则运算，另外教你一个定理哦，有理数四则运算是封闭的呢。

这么说看你能不能明白我的意思，两个无限循环小数相加写成一个无限循环小数表达出来没有意义，也没办法表达，只能用分数或者无穷级数求和去表示，利用分数的时候就默认了0.9循环等于1，利用无穷级数求和是就默认了无穷小量等于0，这两个都是1=0.9循环等于0的结论，所以这样证明没有意义

引用 @龙小柒 发表的:
明天找个数学系的老师问问再来回帖吧

用 0.999.... 代替 1 的误差比任意小的误差都要小能理解吗？这就是你说的无穷小量。

引用 @石根硕 发表的:
你水平太低。

确实是我水平低了

引用 @漆越得疯 发表的:
等式右边明显错误啊。。。

等式右边对应的是上面的右边，这是一个类似解方程的过程，这是第三步

引用 @挥泪斩左蛋丶 发表的:
笑死我了

都死了嗷

引用 @自由行星同盟杨威利元帅 发表的:
极限是可以证啊，我拿等比数列求和就可以证，但极限求和本身就是一种极值情况下，你在极限运算中能画等号，但正常情况下呢？本身就是极限悖论推导得到的东西，你跟我说10a-a等于9？

啥叫正常情况下？极限运算就是正常的啊。极限悖论又是什么？哪门数学课讲的这个？

引用 @虎扑JR0667465674 发表的:
无限循环是啥意思呢？

那么这个数学题就不存在 如果你a有♾️个9 那你10a也必须有相同数量的9

引用 @虎扑JR0667465674 发表的:
无限循环是啥意思呢？

然而答案绝对不是9a＝9

引用 @光明派教主大人 发表的:
证明爷给你摆这了，街上憨憨真多

一下笔老ε语言了🐶

引用 @叶晓婷 发表的:
这个不也是无限循环小数化成分数嘛 我看这就是这么做的

那么 后面的等式，都是无限循环你怎么确定两边相等呢，极限的作用一部分就是解决这类问题

引用 @石根硕 发表的:
用 0.999.... 代替 1 的误差比任意小的误差都要小能理解吗？这就是你说的无穷小量。

你能懂什么叫证明么？无穷级数求和出来的无穷小等于0难道不是已经认为了1=0.9循环的产物吗

引用 @小艾火火火 发表的:
啥叫正常情况下？极限运算就是正常的啊。极限悖论又是什么？哪门数学课讲的这个？

难道你们教授没跟你说过数学本身就是存在悖论的么

引用 @战斗暴龙兽龙卷风 发表的:
确实是我水平低了

这个无限循环小数化分数的方法是被数学家证明过的，你却说它是错的。 用 0.999... 代替 1 的误差比任意小的误差都要小，所以 0.999... 可以完全代替 1，所以 0.999...=1。看得懂吗。

引用 @詹姆斯边撸边说 发表的:
那么 后面的等式，都是无限循环你怎么确定两边相等呢，极限的作用一部分就是解决这类问题

那这教材有误吗🙊

引用 @虎扑JR0851791292 发表的:
10a-a=9.9999-0.9999=9这对着吧

10A-A=9A，A=0.999……9A=9×0.999……

引用 @龙小柒 发表的:
这么说看你能不能明白我的意思，两个无限循环小数相加写成一个无限循环小数表达出来没有意义，也没办法表达，只能用分数或者无穷级数求和去表示，利用分数的时候就默认了0.9循环等于1，利用无穷级数求和是就默认了无穷小量等于0，这两个都是1=0.9循环等于0的结论，所以这样证明没有意义

我从没讲过楼主的帖子是证明哦。一堆人不是在讲什么循环小数不能加减乘除么？这个到底是在哪定义的或者规定的？找出来算我几十年白学

引用 @小艾火火火 发表的:
啥叫正常情况下？极限运算就是正常的啊。极限悖论又是什么？哪门数学课讲的这个？

好吧，我刚刚语气有点yygq，不好意思，我换一种说法，因为计算用的数学和实际上的问题确实不能画等号，所以就出现了悖论，数学上类似的悖论问题有很多。但我个人观点，如果按照趋近的方法计算得出的结果，作为答卷答案没有任何问题，但拿来衡量现实不可取。

引用 @35号球员 发表的:
借楼，用这么麻烦吗？1/3=0.3333...，3×1/3=0.9999...=1

讨论的不是你这个方法，而是楼主给出的那个方法正确与否

引用 @龙小柒 发表的:
重点不在这，重点是即使用分数表示难道不是循环论证么？

这只能说这题目就是个悖论吧，其实就没有0.9999循环这个数吧，没有争的意义。

引用 @叶晓婷 发表的:
那这教材有误吗🙊

我没能力质疑教材，这种无限循环小数不能用初等数学解释的，翻翻高数都是这类问题，也可能是我错了，不用太纠结

引用 @龙小柒 发表的:
你能懂什么叫证明么？无穷级数求和出来的无穷小等于0难道不是已经认为了1=0.9循环的产物吗

整个证明过程都没有用到 1 = 0.999...，怎么就默认了。 用 0.999.... 代替 1 的误差比任意小的误差都要小，所以 0.999... 可以完全代替 1，所以 0.999... = 1。建议重修极限。

引用 @石根硕 发表的:
你高等数学白学了

我知道你想说什么，用高数的极限计算方法呗，极限计算本身就是一种极值情况下，你在极限运算中能画等号，但正常情况下呢？本身就是极限悖论推导得到的东西，我个人觉得用于一般情况不妥。这种算法我只会写在答卷上但绝对不会拿它做真理。

引用 @取个拉风的名称把 发表的:
多大啊还没学数分高数之类的吧 无穷小数相减能直接减没来？

可以吧，浙大教授出的竞赛书。

引用 @Joey0415 发表的:
别闹了哦，要不咱们也来个谁主张谁举证。你之前说无限循环小数不能四则运算是吧？中科大数学分析第二页，常教授用乘法和减法算出了无限循环小数点分数表示。你来举证下，哪个论文或者课本讲了无线循环小数不能四则运算，另外教你一个定理哦，有理数四则运算是封闭的呢。

你逻辑在哪里呢？书上定义了这样的四则运算是事实，lz图片里的减法是按照直观又不是按照书上的定义做的，拿直观碰瓷严谨的定义你也好意思？而且书上说的就是为了部分合理化才新定义的东西，本就不是通常大家理解的有理数的四则运算，你小学老师教你减法的时候不是从最后一位开始减？ 还谁主张谁举证，别人都是有才举证，你给我举证你一个你没抢劫过看看？没说成立的东西都是默认未必成立的。你还看数学分析，就你这逻辑也别学数学了吧。

10A—A不得于9，等于9A

引用 @龙小柒 发表的:
这么说看你能不能明白我的意思，两个无限循环小数相加写成一个无限循环小数表达出来没有意义，也没办法表达，只能用分数或者无穷级数求和去表示，利用分数的时候就默认了0.9循环等于1，利用无穷级数求和是就默认了无穷小量等于0，这两个都是1=0.9循环等于0的结论，所以这样证明没有意义

直接用循环小数 小数形式确实是没法写出来啊，但是没法用小数写出来的运算结果就是不存在或者不能计算吗？

引用内容可能违规暂时被隐藏

你用极限计算，是可以忽略掉无穷大中的一位数，就像∞＝∞+1一样。但抛掉极限法，你难道可以忽略掉这0.999……后面的最后一位小数吗？极限的悖论就是由此而来，忽略掉在计算中可以微小不计的得到一个结果。那么既然这个结果是由忽略一部分得来的就难以称得上精确。

引用 @战斗暴龙兽龙卷风 发表的:
你逻辑在哪里呢？书上定义了这样的四则运算是事实，lz图片里的减法是按照直观又不是按照书上的定义做的，拿直观碰瓷严谨的定义你也好意思？而且书上说的就是为了部分合理化才新定义的东西，本就不是通常大家理解的有理数的四则运算，你小学老师教你减法的时候不是从最后一位开始减？ 还谁主张谁举证，别人都是有才举证，你给我举证你一个你没抢劫过看看？没说成立的东西都是默认未必成立的。你还看数学分析，就你这逻辑也别学数学了吧。

你都对哦，我很为华中师范大学和南京大学感到遗憾

引用 @ShakingCHLOE 发表的:
无穷位与无穷位咋减？无穷难道还可以相互比大小？

10A-A＝9这个等式只有A＝1的时候成立

引用 @为啥我名字这么多人用 发表的:
这只能说这题目就是个悖论吧，其实就没有0.9999循环这个数吧，没有争的意义。

数学上定义了实数上0.9循环就是1，就这么定义的，谁说不是也不好使，就是这么不讲理…

引用 @战斗暴龙兽龙卷风 发表的:
你逻辑在哪里呢？书上定义了这样的四则运算是事实，lz图片里的减法是按照直观又不是按照书上的定义做的，拿直观碰瓷严谨的定义你也好意思？而且书上说的就是为了部分合理化才新定义的东西，本就不是通常大家理解的有理数的四则运算，你小学老师教你减法的时候不是从最后一位开始减？ 还谁主张谁举证，别人都是有才举证，你给我举证你一个你没抢劫过看看？没说成立的东西都是默认未必成立的。你还看数学分析，就你这逻辑也别学数学了吧。

有理数四则运算是封闭的哦，那你说循环小数能不能加减乘除呢？

其实呀，严格来说，1=0.999...是现有数学体系，1>0.999...是另一种数学体系（很少用，但我记得有人研究过），简单来讲，就是这两个体系的区别就是公理体系中，无穷小量是常数还是变量

引用 @自由行星同盟杨威利元帅 发表的:
我知道你想说什么，用高数的极限计算方法呗，极限计算本身就是一种极值情况下，你在极限运算中能画等号，但正常情况下呢？本身就是极限悖论推导得到的东西，我个人觉得用于一般情况不妥。这种算法我只会写在答卷上但绝对不会拿它做真理。

这个 0.999... 难道不是本身就是一个极限吗？ 意思就是用 0.999... 代替 1 的误差比任意小的误差都要小，所以可以用 0.999... 完全代替 1 的作用，所以 0.999... = 1。

引用 @Joey0415 发表的:
你都对哦，我很为华中师范大学和南京大学感到遗憾

确实，没招到你这样会找资料的人才。

引用 @坐等红魔崛起 发表的:
这有错吗？9.9999……-0.9999……，这不是挺明显一个1、2式做差吗。没记错中学课本上就有这种算法，为啥这层还这么高亮，然后下面那个说没问题的反而被灭惨了

去看看高数吧，有教你啥叫极限的，别想当然了

引用 @Joey0415 发表的:
直接用循环小数 小数形式确实是没法写出来啊，但是没法用小数写出来的运算结果就是不存在或者不能计算吗？

事实上用来做证明题就是没有意义的啊，这不是计算题啊你怎么计算都会回到默认0.9循环等于1这个事情上来

引用 @自由行星同盟杨威利元帅 发表的:
我知道你想说什么，用高数的极限计算方法呗，极限计算本身就是一种极值情况下，你在极限运算中能画等号，但正常情况下呢？本身就是极限悖论推导得到的东西，我个人觉得用于一般情况不妥。这种算法我只会写在答卷上但绝对不会拿它做真理。

你这是典型的没有理解极限的思想。真理就是 0.333... = 1/3，从而 0.333...×3=1

引用 @Joey0415 发表的:
有理数四则运算是封闭的哦，那你说循环小数能不能加减乘除呢？

怎么说起话来跟yyr一样，能算但只能是形式上的运算懂了吗？pi-1你知道是多少吗，你只知道这是个实数，谁告诉你能运算的就能写出结果了。而且我从头到尾没跟你说有理数算不出来，我说的很清楚是大部分无穷位小数的运算没有定义，算不出结果。不知道你眼睛这么长的。

引用 @库里你复活辣 发表的:
那请你先证明0.999…×10=9.999…

0.999…=1－9∑(0.1)^n

引用 @樱岛臭鼬 发表的:
没问题，但是原理是0.999999九的循环和1是挨着的，中间没有其他实数，所以0.999999九的循环等于1

虎扑华罗庚括号女的

引用 @德鲁是欧文 发表的:
都死了嗷

笑死我了

引用 @金州匪徒30号 发表的:
别想着在虎扑和他们讨论数学问题了，这层楼的回复真实

老哥借个楼，我觉得这是正确解法，楼主发的过程不严谨但问题不大

引用 @战斗暴龙兽龙卷风 发表的:
求求你去补点文化，无限循环小数化成分数的过程能跳过0.99...=1的证明？你在这循环论证还让我去百度

我这正好有教把无限循环小数化为分数方法，而且就是用的无限小数加减，浙大出的竞赛书。

引用 @Joey0415 发表的:
有理数四则运算是封闭的哦，那你说循环小数能不能加减乘除呢？

别回复我咯，常、史二位老师的书写的没问题，但是被你这样的人抱着一个点不放，到处炫耀自己懂得多也真是不幸。好好感谢这本书吧，是你难得的靠山。

这玩意确实等于1，只是证明方式确实不对