终究是数学放弃了我～

引用 @取个拉风的名称把 发表的:
多大啊还没学数分高数之类的吧 无穷小数相减能直接减没来？

我寻思不是10A-A=9这步错了吗

引用 @艾弗森勒布朗 发表的:
哈哈哈哈不懂装懂的太多了 然后啥都不懂的觉得他说的很有道理就点亮他 实际上证明的没有任何问题

我也忘了好多了，就是感觉楼上的不靠谱我就去百度了一下

你最多是个高中生吧…

引用 @用户0805048036 发表的:
作为一个数学专业的看到楼主这个还很惊喜，因为这是教科书上的标准证法，看到最高亮的回复，果然虎扑还是那个虎扑

你所谓的教科书是初中教科书还是高中教科书呀

引用 @石根硕 发表的:
等于 58/99

哟西多谢多谢，58这个数果然如此纯粹，变成了分数也还是能够一眼识别。

lzsb点这里

引用 @石根硕 发表的:
你该论证的是这个方法对不对，而不是 0.999... 是否等于 1。因为这个方法是对的，所以结果一定是对的，理解了吗？就跟你怎么不需要证明一下 1+2=3 对不对是一样的道理。

题目说的是证明0.99..=1，我只用相对初等方法证明这个，你要证明高级方法再反过来证明这个初等的结论是你的事。

引用 @唐纳德特朗暜 发表的:
他的意思可能是要证明0.9循环等于1 那么这么用应该就是用结论证明结论了

证明肯定是不严格的，得学了实分析实数构造才能证吧，我只是说这个等式没问题，就像很多人用0.333...*3=1证明一样啊，上来就说10a-a=1不对的看题了吗？

引用 @90斤的贾玲 发表的:
结果没问题，过程错的一塌糊涂

理论上并没有错啊，哪错了？

引用 @Anitalin 发表的:
大哥，你理解能力就这么差吗？？？

条件： 1.无限循环小数一定可以化为分数 2.无限循环小数化分数需要用到加减乘除 推出：如果无限循环小数不能进行加减乘除，则无限循环小数不能化为分数，与条件1矛盾。

引用 @杜杜杜杜兰特kd 发表的:
那9A为什么等于9?

你这水平就别聊数学了

引用 @取个拉风的名称把 发表的:
多大啊还没学数分高数之类的吧 无穷小数相减能直接减没来？

假设N是无穷大，A就是1-N分之一，10A就是10-N分之10，10A-A=9A，9A是9-N分之9，A还是1-N分之1，没毛病，不用高数，高中数学就够了

引用 @Anitalin 发表的:
我说的是两个无限循环的不能直接加减，因为根本就没有这种运算，得先分别转为分数再进行加减

无限循环小数化分数就需要用到两个无限循环小数相加减。

10a小数点后不是该比a少一位吗，🐶🐶10a-a是不是＝9.999∞-0.999∞9 ＝8.999∞1？

引用 @西班牙臭馅饼 发表的:
=9A=0.99999*9≠9

9.999…—0.999…=9

第三步有问题，无穷小量不等于0，而是趋近于0，乘法运算也适用于无穷小量，如果把A写作A=1-a，a=0.0000……1，那么10A-A并不等于9，二等于9-9a，这个代换真的毫无意义。你还不如直接点，在有限的视角上认为无穷小就是0，a是等于0的，那么A=1，简单粗暴。

引用 @取个拉风的名称把 发表的:
多大啊还没学数分高数之类的吧 无穷小数相减能直接减没来？

借楼，用这么麻烦吗？1/3=0.3333...，3×1/3=0.9999...=1

引用 @RNG_T4rzan 发表的:
你好好的问， 我就好好的回答；这里的问题就出在这个n上面 n=∞ 无穷就是减不完 ∞-1=∞ 这它的定义

这个我知道，我是想表达无限小数的四则计算没有理论支撑，不严谨

引用 @虎扑JR0667465674 发表的:
关键你这前提搞错了吧，0.9999...严格等于1，根本不存在趋近的概念

那忽略我这条吧

引用 @自由行星同盟杨威利元帅 发表的:
就知道会有真的不懂出来瞎说的，我就不灭你了。给你个面子，虽然同为无限循环，但理论上这里10A永远比A小数点后少一位。

理论上永远少一位…看看您这满满民科风狗屁不通的表述

引用 @取个拉风的名称把 发表的:
多大啊还没学数分高数之类的吧 无穷小数相减能直接减没来？

真的太蠢，为啥不能？

这个问题本来就是个值得思考的问题，以下附上一张和楼主发的图一样的证明，这张图出自Luke Heaton的《A Brief History of Mathematical Thought: Key concepts and where they come from》，这本书介绍了很多著名的数学理论。关于这个问题最早的类似的证明出自大名鼎鼎的人欧拉，他用自己的方式证明了10=9.999…。 https://m.guokr.com/article/19218这篇文章详细的讲了关于这个问题现存的证明 我不是个数学专业的人，之前也只是在课件上看过这个证明没有具体的了解，刚刚那些内容都是我花两分钟时间搜索到的，我们现在离知识的距离已经被缩小至了一个键盘，可是还是有这么多人在面对一些超出自己认知的观点时上来就是人身攻击，从来就没有思考过这个问题。老是说知乎知乎怎么怎么样，人家知乎好歹有理有据地发表意见而不是上来就lzsb…希望这个社区可以越来越好

引用 @战斗暴龙兽龙卷风 发表的:
题目说的是证明0.99..=1，我只用相对初等方法证明这个，你要证明高级方法再反过来证明这个初等的结论是你的事。

你不知道这种无限循环小数化分数方法很正常，但是竟然啥都不懂的情况下就想证明这种经典方法是错的，这不是体现你的无知是什么。

引用 @好人黑糊糊 发表的:
你所谓的教科书是初中教科书还是高中教科书呀

人家中科大的

引用 @取个拉风的名称把 发表的:
多大啊还没学数分高数之类的吧 无穷小数相减能直接减没来？

是的 就是这么减的🙂

引用 @虎扑JR0667465674 发表的:
证明肯定是不严格的，得学了实分析实数构造才能证吧，我只是说这个等式没问题，就像很多人用0.333...*3=1证明一样啊，上来就说10a-a=1不对的看题了吗？

a是无线循环0.9这个等式成立，但是要证明等于一能这么直接证吗，我总感觉有点逻辑漏洞所以不敢随便评论

引用 @虎扑JR0667465674 发表的:
你也就学过小学数学吧？

我感觉你这种智商适合直接上工地

引用 @唐纳德特朗暜 发表的:
a是无线循环0.9这个等式成立，但是要证明等于一能这么直接证吗，我总感觉有点逻辑漏洞所以不敢随便评论

肯定是不严格的

引用 @遂宁库兹马 发表的:
我感觉你这种智商适合直接上工地

你这种直接抬到屠宰场吧

引用 @龙小柒 发表的:
你给我讲一下为什么0.9循环乘以10等于9.9循环，为什么9.9循环减掉0.9循环等于9

…这就是他不严谨的地方啊0.9循环=9/10+9/100+9/1000+...=1-1/10^n(n→∞); 10×(1-1/10^n(n→∞))-(1-1/10^n(n→∞))=9×(1-1/10^n(n→∞))≠9; 所以左边和右边有一个微小的差别 过程是挺不严谨的，但也不是循环论证啊哥哥

引用 @这老弟挺跳 发表的:
0.9999无限循环确实等于1，没问题吧

过程就是错的，你10a-a应该=9.99999-a，不能直接=9啊，后面的a要化成小数你前面的也要化成小数啊

引用 @青山咯 发表的:
没事哈，你学微积分是商院的好兄弟吧

嗯，不是数院的，现在转ee了

引用 @樱岛臭鼬 发表的:
没问题，但是原理是0.999999九的循环和1是挨着的，中间没有其他实数，所以0.999999九的循环等于1

明白人 极限 上过高数的都知道吧？

引用 @无情马刺 发表的:
那3分之一和0.333无限循环有什么区别吗

我知道你想说什么，如果三分之一等于0.333，那么0.999确实等于1，但是用1除以3其实应该等于0.3333还余下来0.000....01，如果认为1/3=0.3333的话，也就是默认了这个无限接近于0的0.00..01等于0，用这个去证明无限接近就是等于是没有意义的

引用 @尼斯湖基地 发表的:
我明确的告诉你，无论是小学初中高中还是大学的教材，都没有明确的说过无限小数是不能进行四则运算的，这题论证过程只在涉及实数和虚数的概念时是不成立的，否则即使是高等数学依然是正确的

明确告诉我？

引用 @哥杠过空姐 发表的:
初一的时候学过呀。 3X-2X=1 X消掉了

你老实交代初一上了几年

引用 @取个拉风的名称把 发表的:
多大啊还没学数分高数之类的吧 无穷小数相减能直接减没来？

真相了，用有限的思维去证明无限的数，不可能对的吧

引用 @大蒋 发表的:
可以啊，我数分书还在旁边呢，9.99循环就记为10，你说能不能？

这个问题去年年底其实讨论过 当时那贴里都是大神 关点也基本统一 那帖真是学术氛围浓厚 这个帖子 哎 睁不开眼了都

经典0.9循环，我怀疑随便发个初中数学题帖子在虎扑都能成热帖

引用 @虎扑JR0667465674 发表的:
肯定是不严格的

所以我感觉上面说的多多少少有点问题，用结论证明结论了，主楼那个证明以前都是说错，今天我真蒙了

引用 @本人徐凤年 发表的:
就这？985一条街？

话筒塞你嘴里 你说说有什么问题？

引用 @躺在大波上睡觉 发表的:
谁告诉你10A- A等于9？

...要看上面的过程兄弟...

引用 @尼斯湖基地 发表的:
…这就是他不严谨的地方啊0.9循环=9/10+9/100+9/1000+...=1-1/10^n(n→∞); 10×(1-1/10^n(n→∞))-(1-1/10^n(n→∞))=9×(1-1/10^n(n→∞))≠9; 所以左边和右边有一个微小的差别 过程是挺不严谨的，但也不是循环论证啊哥哥

认为微小差别相等就是认为1=0.9循环相等了，这么理解一下，如果等式成立可以转化为1-0.9循环=0，这个又回到了起点，也就是结论证结论

引用 @迈克尔乔治and科怀恩皮蓬 发表的:
10A-A不是还剩个10嘛🐶

厉害厉害

引用 @Anitalin 发表的:
我说的是两个无限循环的不能直接加减，因为根本就没有这种运算，得先分别转为分数再进行加减

是可以相加减的

引用 @躺在大波上睡觉 发表的:
谁告诉你10A- A等于9？

特么明显去掉A，等于10好吧！

引用 @唐纳德特朗暜 发表的:
所以我感觉上面说的多多少少有点问题，用结论证明结论了，主楼那个证明以前都是说错，今天我真蒙了

不是数学专业，如果跟第一次思考这个问题的人讲，这个没什么不对吧，9.999...-0.999...=9也是跟直观的关系啊

引用 @斤半鲥鱼 发表的:
哪一步错了？

第二个等号就错了，第二个等号后是无穷级数前n项和，你可以查一下无穷级数和无穷级数前n项和的概念

引用 @哥杠过空姐 发表的:
初一的时候学过呀。 3X-2X=1 X消掉了

不是剩个X吗？

引用 @光明派教主大人 发表的:
憨憨，1和0.999999...就是完全等价的，证明爷摆这了，谁不服？

戴德金连续分割，我还记得🐶

引用 @Joey0415 发表的:
脑瓜子疼，三分之一减去四分之一是多少？

所以0.99无限循环对应的分数是啥

引用 @虎扑JR0667465674 发表的:
不是数学专业，如果跟第一次思考这个问题的人讲，这个没什么不对吧，9.999...-0.999...=9也是跟直观的关系啊

就是感觉这太直接了导致不敢相信正确率，我想起来以前那个是0.3循环乘3，那个是错的

引用 @用户0805048036 发表的:
看来人家是真的651，唉

建议你去把百度的员工打一顿

引用 @杜杜杜杜兰特kd 发表的:
那9A为什么等于9?

A=0.99999... 10A=9.99999.. 10A-A=9.99999...-0.999999...=9 我是学渣仅个人这么认为的，别喷我啊🐶

引用 @躺在大波上睡觉 发表的:
谁告诉你10A- A等于9？

A=0.99999...10A=9.99999..10A-A=9.99999...-0.999999...=9我是学渣仅个人这么认为的，别喷我啊🐶

引用 @一雷高C俩 发表的:
结论没问题，但证明过程完全错误！无理数不可以进行简单的乘除运算…

这是无理数？

引用 @智商加加 发表的:
你老实交代初一上了几年

不是4年吗

哈哈哈

引用 @香城小王子 发表的:
(1/3)×3=0.333333...×3=0.999999.....=1

请证明无限小数这样乘的正确性

引用 @人生如戏1全靠演技 发表的:
emmm 9a=9不是推导出来的结果吗，不就是为了证明0.99999=1

把要证明的东西列入证明给证明了🐶

引用 @用户0805048036 发表的:
作为一个数学专业的看到楼主这个还很惊喜，因为这是教科书上的标准证法，看到最高亮的回复，果然虎扑还是那个虎扑

层主 我在你主贴里面心平气和地回复了 欢迎讨论

引用 @叶晓婷 发表的:
是可以相加减的

我知道啊，我说的是得化成分数啊

引用 @哈登罚球绝杀 发表的:
所以0.99无限循环对应的分数是啥

9/9

引用 @叶晓婷 发表的:
是可以相加减的

可不可以加减不是重点，重点是为什么9.9循环减掉0.9循环等于9

引用 @尼斯湖基地 发表的:
循环论证个锤子，论证过程不严谨和循环论证压根就不是一个概念

那请你先证明0.999…×10=9.999…

引用 @小刷生 发表的:
借楼，这才是正解，说极限夹逼的，或者实数完备性的，都不能算是正经的证明，而是以结论推结论。准确来说，0.999...不能算是实数，数学家为了防止这种矛盾会使得实数完备性出现问题，规定的这样，实数系不存在9循环，9循环：=1,0循环

以前的证明，可以瞅瞅

引用 @虎扑JR0851791292 发表的:
10a-a=9.9999-0.9999=9这对着吧

无穷位数不能相加减吧？

10A-A＝8.999999999999...

引用 @Anitalin 发表的:
我知道啊，我说的是得化成分数啊

化成分数就是要相加减嘛 其实是这样的 这个图其实是让0.9循环化成分数 但它的分数是1这样是不是好理解了 所以这个没错

引用 @尼斯湖基地 发表的:
没问题啊

有问题

引用 @石根硕 发表的:
你不知道这种无限循环小数化分数方法很正常，但是竟然啥都不懂的情况下就想证明这种经典方法是错的，这不是体现你的无知是什么。

那你说的都对，欧拉直呼内行

引用 @龙小柒 发表的:
可不可以加减不是重点，重点是为什么9.9循环减掉0.9循环等于9

你看这个书上 那个等式不就相当于3那一串减去个一堆循环等于3吗

引用 @遂宁库兹马 发表的:
明确告诉我？

来了来了百度百科怪它来了

引用 @儿子很喜欢 发表的:
这个问题去年年底其实讨论过 当时那贴里都是大神 关点也基本统一 那帖真是学术氛围浓厚 这个帖子 哎 睁不开眼了都

虎扑嘛。。前几楼基本就奠定了风向，大佬来的早，那自然统一了

引用 @尼斯湖基地 发表的:
来了来了百度百科怪它来了

笑死我了这个百度百科里面都有两种不同回答

引用 @AiBeTTy 发表的:
，，，，那你真的丢数学专业的脸

新出的帖子去对个线不

引用 @这老弟挺跳 发表的:
0.9999无限循环确实等于1，没问题吧

没问题

引用 @遂宁库兹马 发表的:
明确告诉我？

看不懂我的话请别杠 在你理解实数的完备性这个概念前请不要用你三脚猫的知识来反驳别人行吗

引用 @Anitalin 发表的:
我说的是两个无限循环的不能直接加减，因为根本就没有这种运算，得先分别转为分数再进行加减

π+π=2π π-π=0 这个例子能看懂了吗

引用 @90斤的贾玲 发表的:
结果没问题，过程错的一塌糊涂

高数课是不是没听过？这个问题刚学完极限自己就应该能证明出来，你说有错？

引用 @叶晓婷 发表的:
你看这个书上 那个等式不就相当于3那一串减去个一堆循环等于3吗

你要去证明，不是计算大哥……下面是一个老哥的回复：这就是他不严谨的地方啊0.9循环=9/10+9/100+9/1000+...=1-1/10^n(n→∞);10×(1-1/10^n(n→∞))-(1-1/10^n(n→∞))=9×(1-1/10^n(n→∞))≠9;这个是没有问题的，但是你要认为它等于9就意味着认为1-0.9循环等于0，这不就是又回到了证明的结论吗

引用 @ShakingCHLOE 发表的:
无穷位与无穷位咋减？无穷难道还可以相互比大小？

我也想说，结果看他们说的头头是道，还以为我错了😂

引用 @尼斯湖基地 发表的:
看不懂我的话请别杠 在你理解实数的完备性这个概念前请不要用你三脚猫的知识来反驳别人行吗

证明两个三角形全等，因为他们全等所以全等

这个10A永远比A多一位9，所以10A-A=8.9999999...1, 故A=0.99999...

引用 @Logiii 发表的:
他这是一式二式做差，没问题啊

等式右边明显错误啊。。。

引用 @战斗暴龙兽龙卷风 发表的:
那你说的都对，欧拉直呼内行

你水平太低。先不说这种方法完全正确，我再给你说种方法，无穷级数学了吗。 0.999...=0.9+0.09+0.009+.... 等比数列求和求极限。

引用 @亚澳非欧 发表的:
你真的牛逼，先解释一下10a-a为什么不等于9a吧？

？等于9a啊，但是右边不等于9吧？

引用 @取个拉风的名称把 发表的:
多大啊还没学数分高数之类的吧 无穷小数相减能直接减没来？

你比没学过大学数学的人强一点。但是不会就不要出来装逼了。这题直接把9.9循环设成一个数列的极限，0. 9循环设成另一个数列的极限，10a-a这一步直接用极限运算法则，假如两个数列都有极限，那么liman-limbn=lim(an-bn)。这样得出来就是9a=9，那些小数部分直接抵消了。这种东西我高中时候也觉得很奇怪，但是只要你学过极限，也就是说你大一前面两个月认真听课，这题自己就能验证全部过程，结果在这里误人子弟。

引用 @remarkableman 发表的:
那无限循环小数怎么化分数？你初中怎么学的？真是笑了

啊这。。。。。。。。。。。不会真有人没上小学8⃣️

引用 @萨比blue人 发表的:
10a-a=9？

这一层的，无限循环小数你来做加减乘除？

引用 @自由行星同盟杨威利元帅 发表的:
就知道会有真的不懂出来瞎说的，我就不灭你了。给你个面子，虽然同为无限循环，但理论上这里10A永远比A小数点后少一位。

少个几把，你家无限小数有位数？

引用 @龙小柒 发表的:
认为微小差别相等就是认为1=0.9循环相等了，这么理解一下，如果等式成立可以转化为1-0.9循环=0，这个又回到了起点，也就是结论证结论

你和我说的不是一个东西，照你这么说，所有推导都是结论的推论了…这个问题的关键就是你承不承认无穷小是不是等于0，在涉及虚数的概念下，这个的确是不成立的，但是在高等数学概念里面不涉及虚数情况下，其实也是可以等于0的，这个问题就很复杂了，不是三言两语就能讲的清的，这也是我说他不严谨的地方

引用 @杜杜杜杜兰特kd 发表的:
那9A为什么等于9?

a=0.999.... 10a=9.999.... 9+a=9+0.999....＝9.999... 10a-a=9+a-a 9a=9 a=1

引用 @AiBeTTy 发表的:
，，，，那你真的丢数学专业的脸

a=0.999.... 10a=9.999.... 9+a=9+0.999....＝9.999... 10a-a=9+a-a 9a=9 a=1

引用 @龙小柒 发表的:
你要去证明，不是计算大哥……下面是一个老哥的回复：这就是他不严谨的地方啊0.9循环=9/10+9/100+9/1000+...=1-1/10^n(n→∞);10×(1-1/10^n(n→∞))-(1-1/10^n(n→∞))=9×(1-1/10^n(n→∞))≠9;这个是没有问题的，但是你要认为它等于9就意味着认为1-0.9循环等于0，这不就是又回到了证明的结论吗

老哥其实这么说 无穷这个就无法直接证明 就你发的这个里面最后一步9减去一个分数分母无穷大那它就趋近与0 那么结果就可以等于9 但其中是有误差的 和1等于0.9循环一样是无法直接很明白说清楚的

引用 @时间管理学创始人 发表的:
10A－A=9A

a=0.999.... 10a=9.999.... 9+a=9+0.999....＝9.999... 10a-a=9+a-a 9a=9 a=1

引用 @尼斯湖基地 发表的:
你和我说的不是一个东西，照你这么说，所有推导都是结论的推论了…这个问题的关键就是你承不承认无穷小是不是等于0，在涉及虚数的概念下，这个的确是不成立的，但是在高等数学概念里面不涉及虚数情况下，其实也是可以等于0的，这个问题就很复杂了，不是三言两语就能讲的清的，这也是我说他不严谨的地方

这是一个问题，所以这种方法压根就不叫证明，0.9循环等于1的证明逻辑是0.9循环和1之间不存在一个数，所以二者相等

引用 @帅哥之帅 发表的:
无穷级数减一不能忽略，10a—a等于8.99999的循环。

0.999...=0.9+0.09+0.009+.... 这是不是无穷级数，结果是不是等于一。