黑色数学第10关我都过不了。。

把大圆拆成一条绳子，小圆从头滚到尾是转了2圈，然后捏着绳子尾巴带着小圆再转回大圆的头，小圆又转了一圈，所以一共3圈

引用 @MakeMeMove 发表的:

我觉得大部分人第一想法就是去比较长度，把大圆的周长或小圆的轨迹周长去和小圆周长比。但其实深入一想，这是没有意义的，正如楼上的朋友说的那样，圆上某一点的运动是一条摆线，况且实际情况与在平坦地面上转还不一样。为什么轨迹周长是小圆周长的三倍答案就是三呢，他们的轨迹并不重合.

引用 @可可水晶xkh 发表的:
借楼。这么多人选会是真的吗。。
个人理解。很多人以为小圆自转一圈，圆上一点走过的距离就是圆的周长。实际上并不是。看第二张摆线的图。摆线就是圆上一点在圆自转一圈的轨迹图，也就是我图上标注的那一条。可以看到，当x＝2πa，也就是圆自转一周时，圆上一点走过的距离明显更大。因此，圆上一点走过的距离并不是圆的周长，而是摆线的弧长。这个弧长可以用弧长公式算出来。

你想复杂了。。。这不是计算圆上一点走过的长度

引用 @可可水晶xkh 发表的:
借楼。这么多人选会是真的吗。。
个人理解。很多人以为小圆自转一圈，圆上一点走过的距离就是圆的周长。实际上并不是。看第二张摆线的图。摆线就是圆上一点在圆自转一圈的轨迹图，也就是我图上标注的那一条。可以看到，当x＝2πa，也就是圆自转一周时，圆上一点走过的距离明显更大。因此，圆上一点走过的距离并不是圆的周长，而是摆线的弧长。这个弧长可以用弧长公式算出来。

圆滚动的长度为圆心移动的长度，因为圆心与接触面的连线每一点都相切。而圆上一点的移动距离并不是圆滚过的距离，所以并不是摆线。

题目是小圆贴大圆滚动，问的是小圆自转圈数，小圆“滚”过的距离是两个圆的切点的连线。。。不就是大圆周长嘛？半径是一半关系，那应该“自转”两圈啊。。。

楼主，你换成正方形就容易理解了

引用 @A1ue 发表的:
圆滚动的长度为圆心移动的长度，因为圆心与接触面的连线每一点都相切。而圆上一点的移动距离并不是圆滚过的距离，所以并不是摆线。

他说的是圆上任一点走过的距离是弧长也没毛病，不过从圆上任意一点转动一周移动距离这个方面去做有点复杂了

引用 @宇宙第一pg圣保罗1 发表的:
题里问的不就是自转多少圈吗？为什么还是3

我也觉得。。。

引用 @帽有一嗲整 发表的:
就是三圈，我记得我初中做过，大圆大圆周长是小圆的2倍，那么小圆绕了两圈。同时小圆还绕着大员的圆心绕了一圈，因此是三圈，

小圆绕大圆绕一圈叫自转？原谅我不懂

引用 @yelunightroad 发表的:
你想着小圆不动绕一圈是转了几圈，那么动呢

小圆不动的话不就成公转了吗？题目不是问的自转么？

引用 @不可言飞流 发表的:
这么说吧，我是市高考数学第一，我也想了好一会才明白是三，这样会不会好一些

不会，因为你第一是假的，但楼主是真的985

纯滚动问题啊，圆心运动距离除以周长就完事了
话说这题我小学六年级的时候做过，因为那张奥数卷子就这个题错了，老师给我讲了我还是迷糊的

凉了。。。

我本来以为自己的几何直觉挺好的，但是这个问题给我上了一课。我总是以为是两周，但正确的答案的确是三周。为了验证我的“猜想”是否正确，我写了个程序来模拟滑动的情况，得到了以下的动画：



可以看出来，小圆自转的圈数的确是三周。这个模拟的原理是用多边形来近似圆，大圆被切分成300份，小圆被切分成150份，这样的话相切的线段就可以完全重合。这个动画使用matplotlib做的，对源代码有兴趣的朋友可以看这里。

所以说，实践出真知，在不确定的时候想办法去验证自己的想法，这要胜过毫无意义的辩论。

引用 @虎扑年轻的司机 发表的:
我也是985。认真的。但我真的不懂。答案三圈

虽然不知道如何数学计算求解，但这题3圈这答案还是很容易理解和推理吧：小图周长是大圆一半，这样小圆在顶部时与大圆的接触点，同样是小圆到大圆底部时的接触点～～大圆半周长=小圆周长。而这个接触点相对小圆圆心是转了一圈半，那转整个大圆就是三圈

引用 @MakeMeMove 发表的:

理论力学运动学部分可以求解~今年考研考😂😂

引用 @虎扑年轻的司机 发表的:
大兄弟。你这个图画的我更懵了。

小圆都转了一半大圆了。a点才动了180°。。

是540度，你看小圆转大圆四分之一的时候，小圆转了270

引用 @J了个R 发表的:
凉了。。。

37

引用 @kissinger0424 发表的:
应该还有绕大圈本身的一圈

哈哈哈，你好理智，但不审题，自转啊哥，你地球自转的时候和绕太阳公转是有区别的

引用 @zhouuuuuu游 发表的:
哈哈哈，你好理智，但不审题，自转啊哥，你地球自转的时候和绕太阳公转是有区别的

月亮正面永远朝向地球，说明公转的同时它也自转，自转和公转时间恰好重合而已。
我三十年前玩星球自转公转模型时你还不知道在哪里，少在我面前卖弄无知。

引用 @阳阳在珞珈山看勒布朗 发表的:
我说你球屁不懂！
小圆自身转了两圈，但这个过程中还绕大圆转了一圈，所以是三圈！分段看吧，在最初把小圆圆心与切点画一条直线，当小圆走一半，也就是到达大圆正下方的时候，切点到小圆的正上方了，这时候就相当于转了一圈半了！所以整个下来就是三圈！
更简单的方法，绕大圆一圈从始至终，小圆的圆心位置也饶了大圆一圈，而小圆圆心绕中心旋转的半径是两圆半径之和，因此绕一圈就转了三圈！

提问的是自转了几周，你把绕大圈转的加上去干什么？

引用 @邓呆欠我五毛钱 发表的:
想错了，是3圈，还得加上小圆的半径，给985一条街丢人了

完了，985的也错了，我是不是该被劝退了

引用 @Mathisxy 发表的:
小圆不动的话不就成公转了吗？题目不是问的自转么？

你再读一遍我的全部回答

引用 @可可水晶xkh 发表的:
借楼。这么多人选会是真的吗。。
个人理解。很多人以为小圆自转一圈，圆上一点走过的距离就是圆的周长。实际上并不是。看第二张摆线的图。摆线就是圆上一点在圆自转一圈的轨迹图，也就是我图上标注的那一条。可以看到，当x＝2πa，也就是圆自转一周时，圆上一点走过的距离明显更大。因此，圆上一点走过的距离并不是圆的周长，而是摆线的弧长。这个弧长可以用弧长公式算出来。

好像想错了。。😅

引用 @机制神1 发表的:
明白了，应该是这样，当第一个点重新和大圆接触的时候，原来朝上的方向已经变成朝下，所以是1.5圈，两倍就是3圈。所以比直接在直线上滚会多一圈

还是不懂。。。

引用 @Leoiv 发表的:
两圈，谢谢。

一圈吧

引用 @可可水晶xkh 发表的:
好像想错了。。😅

摆线？！

引用 @邓呆欠我五毛钱 发表的:
想错了，是3圈，还得加上小圆的半径，给985一条街丢人了

我懂了，我刚开始把这个圆拉直来算路径，其实把大圆摊直后小圆不应该是直立的而是有角度的，终点同理，所以不光要考虑路径长度还有考虑小圆的起始和终点角度

引用 @肆伍陆柒捌玖 发表的:
一圈吧

好吧想通了确实是两圈

学历低只能画个图了，为什么我自转了两圈转完了？

请问这是什么软件

引用 @热心网友张xx 发表的:
学历低只能画个图了，为什么我自转了两圈转完了？

三圈，真顶，学到了

3圈。。非985，我画图画出来的

刚好在复习😂

引用 @PP_拍蚊 发表的:
周长还有平方？

你看题了吗，半径是1和4，转三圈，周长是4倍，你再平方成16倍了

引用 @别吻我丶说话 发表的:
你看题了吗，半径是1和4，转三圈，周长是4倍，你再平方成16倍了

？？？我审错题了？

引用 @MakeMeMove 发表的:

根本不用这么费劲

引用 @虎扑年轻的司机 发表的:
我也是985。认真的。但我真的不懂。答案三圈

你可能没反应过来，但知道答案了还不懂，只能说明你这985也够水的了

引用 @邓呆欠我五毛钱 发表的:
想错了，是3圈，还得加上小圆的半径，给985一条街丢人了

我想着，把这个模拟为齿轮不就完了！

我很诚实的选了不会，这里必须说句玛德，上学其他课都精神抖擞，一到数学课就瞌睡。

引用 @kissinger0424 发表的:
周长绕两圈，本身绕一圈，所以是三圈。
你保持大圆小圆位置不变，小圆绕大圆一圈时，自身也是自转一圈。
再想不明白就想想地球和月亮吧

第二句话啥意思？没太看明白。。。，虽然我算出来的3圈

引用 @Swag灬 发表的:
理论力学运动学部分可以求解~今年考研考😂😂

用不着理论力学，普通物理就能做了😂选个圆心做参考系，加上牵连速度

引用 @黑白的彩虹 发表的:
第二句话啥意思？没太看明白。。。，虽然我算出来的3圈

就是第三句的意思，即使小圆本身相对大圆不动，只要绕一圈就会增加一次自转。

引用 @kissinger0424 发表的:
就是第三句的意思，即使小圆本身相对大圆不动，只要绕一圈就会增加一次自转。

确实是这样，但是我的意思怎么用数学方法证明?

引用 @kissinger0424 发表的:
就是第三句的意思，即使小圆本身相对大圆不动，只要绕一圈就会增加一次自转。

对，你之前只有一个句号，我问的就是你重复的这句话的意思😂😂😂

引用 @黑白的彩虹 发表的:
对，你之前只有一个句号，我问的就是你重复的这句话的意思😂😂😂

小圆是月亮 大圆是地球
月亮永远只有一面朝向地球，但是月亮有自转，公转一周就是自转一周。
我说的就是这个意思。

引用 @kissinger0424 发表的:
小圆是月亮 大圆是地球
月亮永远只有一面朝向地球，但是月亮有自转，公转一周就是自转一周。
我说的就是这个意思。

这个只是凑巧了吧。。。你比方说大圆和小圆最开始相切的点是A,随着小圆转动，A点并不是一直在大圆和小圆圆心的连线上。。。

引用 @黑白的彩虹 发表的:
这个只是凑巧了吧。。。你比方说大圆和小圆最开始相切的点是A,随着小圆转动，A点并不是一直在大圆和小圆圆心的连线上。。。

你说的这个根本不可能，你自己画画图就知道了

为什么是三圈？题目说的是滚动啊，周长的话小圆是大圆的二分之一，那我小圆滚一圈在大圆周长上行进了半圈啊。滚大圆一圈小圆滚了两个来回啊。我还是没想通为什么是三圈？

我觉得这题目就是看周长啊，一个轮子周长一米，那它的贴地点前进一米就是滚动一圈啊。题目里面大圆是不动的，那就相当于平地上走嘛。小圆圆心的话离大圆圆心确实是三，但这只是算小圆移动的距离啊。小圆圆心确实比小圆贴地点半径大啊。小圆圆心离大圆圆心的距离和接触点离大圆圆心的距离比值确实是3:2。但这只是算小圆圆心移动的距离，但题目问的是小圆滚动了几周啊。

引用 @我是你学长大人 发表的:
外圆的运动轨迹看圆心的轨迹，相当于一个半径为3的大圆，看图

为什么小圆圆心的运动轨迹长度就是小圆滚动的长度啊？不解

引用 @机制神1 发表的:
明白了，应该是这样，当第一个点重新和大圆接触的时候，原来朝上的方向已经变成朝下，所以是1.5圈，两倍就是3圈。所以比直接在直线上滚会多一圈

怎么知道刚好是1.5倍呢？

引用 @MakeMeMove 发表的:

下次步行街回答问题统一按这个标准来，有理有据

引用 @Mathisxy 发表的:
怎么知道刚好是1.5倍呢？

在上面的时候刚接触的点绕大圆转半圈后会重新接触，一开始方向在点的对面，朝上，半圈后接触的点在上面，方向在接触点对面，朝下

引用 @Mathisxy 发表的:
怎么知道刚好是1.5倍呢？

朝下就是刚好多了半圈

引用 @我是你学长大人 发表的:
外圆的运动轨迹看圆心的轨迹，相当于一个半径为3的大圆，看图

你这图一画，我瞬间就懂了。。。

难道不是像齿轮那样算周长么？不是那样咬合着走的么？

引用 @AlanShawn 发表的:
我本来以为自己的几何直觉挺好的，但是这个问题给我上了一课。我总是以为是两周，但正确的答案的确是三周。为了验证我的“猜想”是否正确，我写了个程序来模拟滑动的情况，得到了以下的动画：



可以看出来，小圆自转的圈数的确是三周。这个模拟的原理是用多边形来近似圆，大圆被切分成300份，小圆被切分成150份，这样的话相切的线段就可以完全重合。这个动画使用matplotlib做的，对源代码有兴趣的朋友可以看这里。

所以说，实践出真知，在不确定的时候想办法去验证自己的想法，这要胜过毫无意义的辩论。

老哥，厉害了👍。你这个解释方法更加通俗易懂

引用 @Spurs2Roll 发表的:
3圈，又不是原地转的

我想了好久终于明白这句话了，哥们正解

引用 @名字太帅不好 发表的:
为啥呢，自转不应该是以小圆上的一点仅相对于小圆为参照，围绕大圆转一圈后，再看那一点相对于相对于小圆的位置变化了多少吗？

问题就是它是一个圆，你要看圆上哪一点相对位置变化呢，每个点变化都不一样🐶

引用 @MakeMeMove 发表的:

老哥有一点没看懂，为啥Vc＝ωr1

这是啥app

引用 @机制神1 发表的:
朝下就是刚好多了半圈

我的意思是 为什么绕着转到大圆一半位置的时候 小圆那条线刚好就是朝上的？

引用 @Mathisxy 发表的:
我的意思是 为什么绕着转到大圆一半位置的时候 小圆那条线刚好就是朝上的？

朝下，大圆半圈周长刚好等于小圆周长啊

引用 @EBreeze 发表的:
因为走的距离是圆心轨迹，转了几圈当然是再除以小圆周长咯。

问的是绕大圆一圈小圆自传几圈，为什么要以小圆圆心，小圆自传的话，肯定是以小圆的周长算自传吧，以小圆的圆心怎么算自传？如果不是绕大圆转怎么以小圆圆心算自传圈数？

这不是自行车变速器原型？

我怀疑你孩子在上海学而思上课

引用 @机制神1 发表的:
不是很明白请教一下，大圆的周长为4pi，一半是2pi，小圆周长是2pi，如果小圆一开始方向朝上，绕大圆半圈小圆应该是刚好转了一圈，方向还是朝上才是呀，哪里出了问题呢，谢谢

转到下面的时候是相对于大圆转了一圈，实际自转了一圈半

引用 @超级匿名 发表的:
不知道晚了没。。。。。
借楼回复吧~~

想了一下有个很通用的思路~~

首先~~
大小圆都想象成齿轮~~然后圆心是齿轮轴~~
大圆逆时针转一圈~~这个过程算小圆转了几圈很简单~~大小圆半径比就是结果~~

然后~~
把两个齿轮焊接起来~~小齿轮的轴不再固定~~
然后大圆顺时针转一圈转回去~~~这个过程小圆转了且只转了一圈~~

综上可知~~
小圆在大圆外的话~~那就是半径比+1（楼主原题就是2+1=3）~~
小圆在大圆内的话~~那就是半径比-1（大圆顺时针和逆时针时小圆转的方向相反）~~

老哥这个解释很好，感谢！

我看了我所有的答案，可惜我还是不知道为什么是三圈，没救了

引用 @extra演员 发表的:
小圆走的距离是小圆圆心走的距离，是半径为3的圆的周长，所以是3圈

这种情况下怎么理解小圆走的距离是小圆圆心走的距离

引用 @AlanShawn 发表的:
我本来以为自己的几何直觉挺好的，但是这个问题给我上了一课。我总是以为是两周，但正确的答案的确是三周。为了验证我的“猜想”是否正确，我写了个程序来模拟滑动的情况，得到了以下的动画：



可以看出来，小圆自转的圈数的确是三周。这个模拟的原理是用多边形来近似圆，大圆被切分成300份，小圆被切分成150份，这样的话相切的线段就可以完全重合。这个动画使用matplotlib做的，对源代码有兴趣的朋友可以看这里。

所以说，实践出真知，在不确定的时候想办法去验证自己的想法，这要胜过毫无意义的辩论。

厉害👍

不懂的看这个，我这个应该很明白了吧

引用 @卡林猫 发表的:
不懂的看这个，我这个应该很明白了吧

小圆在里面1:4的也可以用这个方法来看出答案就是3，可以自己画一下，简洁明了

这啥app啊

引用 @MakeMeMove 发表的:

初中题，要这么复杂？

这是啥app

引用 @一鲦小咸鱼 发表的:
用不着理论力学，普通物理就能做了😂选个圆心做参考系，加上牵连速度

嗯呐，因为我最近一直都在写点的运动合成😂😂这题目太熟悉了

引用 @我是你学长大人 发表的:
外圆的运动轨迹看圆心的轨迹，相当于一个半径为3的大圆，看图

这才叫专业，浅显易懂，一目了然，没给985一条街丢人。

引用 @kissinger0424 发表的:
周长绕两圈，本身绕一圈，所以是三圈。
你保持大圆小圆位置不变，小圆绕大圆一圈时，自身也是自转一圈。
再想不明白就想想地球和月亮吧

小圆绕大圆一圈，不是公转么？

这软件哪里下啊 苹果怎么没找到

这题你不会，也太菜了。算大圆的周长是小圆的周长的几倍。就是答案

有一个疑问，为什么俩个圆环互相转的话，他们俩之间也会转动啊，考虑这个问题的话，怎么做呢

引用 @阿芒德森 发表的:
小圆绕大圆一圈，不是公转么？

公转同时也有自转，你再想想。

彻底解决这个办法还是需要测度论的知识，圆上一点在圆转一圈的时候走的路程是不是圆周长？

引用 @老子叫牛逼 发表的:
老哥有一点没看懂，为啥Vc＝ωr1

线速度啊这个V

引用 @我是你学长大人 发表的:
外圆的运动轨迹看圆心的轨迹，相当于一个半径为3的大圆，看图

为啥你画的这个大圆这么圆，小圆这么不圆

引用 @likeop 发表的:
提问的是自转了几周，你把绕大圈转的加上去干什么？

那你解释一下在平面上滚一圈切点朝下和在圆上滚一圈切点朝上的区别？

引用 @阿芒德森 发表的:
小圆绕大圆一圈，不是公转么？

月球总是同一面朝着地球，公转一圈的同时也自转了一圈

引用 @休赛季MVP 发表的:
为啥你画的这个大圆这么圆，小圆这么不圆

关注点清奇哈哈哈，因为大圆是图形选中直接拉的，小圆是画的

引用 @再也不想这样了 发表的:
有一个疑问，为什么俩个圆环互相转的话，他们俩之间也会转动啊，考虑这个问题的话，怎么做呢

应该是考虑纯滚动 大圆是固定的

假设小圆外侧有一层薄的可以忽略不计的胶带，绕大圆转一圈，胶带被大圆外周沾上的长度是小圆周长的3倍吗？

引用 @肆伍陆柒捌玖 发表的:
好吧想通了确实是两圈

怎么算的是两圈

这啥app？苹果搜不到

引用 @licong0326 发表的:
借楼问过问题：如果这是两个齿轮，大齿轮转一圈，小的转几圈？这俩题原理一样吗

不一样，大小齿轮都是自转，单纯算周长就行了

引用 @虎扑JR2071255776 发表的:
假设小圆外侧有一层薄的可以忽略不计的胶带，绕大圆转一圈，胶带被大圆外周沾上的长度是小圆周长的3倍吗？

我和你的想法一下。所以我还是想不通。

这是app？

你把大圆换成方形就明白了，在四个角小圆万各转90度