我对数学学习的一点看法

求生欲disclaimer，没有否定奥数和家长推数学的意思，只是分享一下我自己的观点。欢迎大牛指正。
先说说数学和奥数。数学奥林匹克，本质上是运用初等数学方法，解决比较复杂的问题。这和数学发展的趋势，并不一致。确切的说，数学的发展发向，始终是在方法上有突破，从而能够用更高等的方法，更快更直观的解决问题，而不是局限于初等方法，通过增加其应用的复杂度，来解决问题。
数学奥林匹克，当然有它的意义。高等数学方法的学习和理解，是建立在对初等数学方法的熟悉和掌握之上的。自然，初等数学方法理解掌握越充分，对于高等数学的学习就越有好处。但是，从教育角度来说，必须考虑性价比的问题。孩子的时间是有限的，在某个领域的投入，就要挤占其他领域的投入。而回报曲线，往往是随着投入的增加，逐渐降低的。也就是说，随之在奥数的时间的投入增多，对未来高等数学学习的促进，就会减少。每个人可能需要根据自己孩子的规划，兴趣，特长来决定投入的多少。平心而论，中国家长对于奥数的热情，起源于升学带来的优势，而不一定是对数学教育的热诚以及对数学的热爱。对于很多家长来说，奥数就是敲门砖，是进入好大学的敲门砖，是未来黄金屋，颜如玉的敲门砖。这种想法，无可厚非，只不过就不如大大方方承认，没有必要把奥数神圣化，要是哪一天玩魔方也称为考大学的加分条件，那么大家就去玩魔方了。这个没什么丢人的，但是不要把奥数神圣化（再强调一次），搞鄙视链，忽悠家长，压迫孩子。
就我个人的经历来说。我曾经被认为是有潜力的苗子，参加过种种培训，但是因为贪玩，所以最后也就没有走上那条路。初中的好朋友，有一个高中去了中科大的少年班，后来保送去了Top2数学系，令人羡慕。另外一个，没有能够被保送少年班，发奋图强，高中三年关小黑屋专门练习奥数，最终拿到国际奥数银奖，保送Top2。这位原本活泼可爱的少年，在三年的小黑屋生涯之后，变得木讷了很多。高三我俩保送以后，有一次在一起聊天。我祝贺他拿了银奖，他叹了一口气，说就是为了保送而已，其实奥林匹克都是些奇技淫巧，没什么用处, 这是他的原话。以我们两个人的关系和他的神态，应该不是客套。进了大学之后，他越发的木讷了。后来在美国见面说话已经很少看人了。回头再看，我倒是真的很怀念以前那位活泼可爱的少年 ，不知道消失到哪里去了。至于那位保送中科大少年班的朋友，倒是一直活泼可爱，可能是因为上了少年班就不用再搞奥数那些东西吧。Top2毕业来到美国读书学习，最后也是和我们一起搬砖。还有另外一位关小黑屋的师兄，拿了国际奥数金奖，保送Top2，却在一年之后因为个人原因退学回家，再也没有联系。
最后感慨人生，成功是门玄学，数学教育和奥数不是一回事。

以下谈我自己对数学教育的理解，一己之见，大牛请多多指教。
代数的基础是算数。小孩从基本的加减法和乘法口诀开始，逐步扩展到小数，分数，负数，等等。这个过程，其实基本上以记忆和练习为主。但是这个基础非常重要，因为很难想象算数基础不好，能够把用符号运算的代数学好。代数学不好，微积分就是无源之水。
美国的数学教育，重视概念的引进，这一点非常好。通过反复介绍同一个概念，由浅入深，孩子们在一个比较小的年龄，就开始逐步建立起对一些概念的理解。但是问题在于算数的基础太差。基础差，和教学法没有直接关系，因为算数教学虽然教学法有效率高低的差别，但是要想真正掌握好算数，必须通过大量和长时间的练习。就像是学习一门手艺，只是知道原理，是没有办法成为一个好的手艺人的，必须经过大量的练习实践才可以。
中国师承苏俄的数学教育体系（不要小看苏俄的数学教育体系，他们的数学教育体系是数学之神欧拉给打下的，绝对是高起点），对于算数练习非常重视。但是中国也只学到了一半，对于数学概念的介绍，太过具体枯燥，以至于学生们早早就失去探索对数学概念的兴趣，把数学和做题直接等同起来，对于概念本身没有兴趣，也没有深入的理解。这一点，欧美俄都比中国好。我想，这可能也是没有办法的事情，因为好的概念介绍，是建立在好的师资，教材和比较小的班的基础之上。这些条件，在过去的中国都没有。我们没有条件去培养大家，就去培养流水线工人了。所以，中国的数学教学方式，更适合工科，而不是理科和数学专业。
数学教育，尤其是小学阶段，是和小孩的头脑发育，直接相关的。比如六七岁的小孩，绝大多数没有形成立体的观念（大脑没发育好），学立体几何不可能掌握细节。同理，小孩抽象思维能力形成之前，逼迫孩子去搞代数，也不会有什么太好的结果。如果你的孩子幸好在某些发育方面早熟，恭喜，但是其实也没什么可太高兴的。孩子们早晚都会长大，发育成熟，一个年龄干一个年龄的事情，搞超纲的东西，我是坚决反对的。教学大纲，原本就是多年摸索出的适用于大多数孩子的进度。最后说一句，数学上早熟，未必是好事情。
小学阶段的数学教育，最好的是能融合美国和中国的教学法，取其精华弃其糟粕。也就是利用美国教学资源丰富的特点，补上美国在基础的数学教育方面联系的欠缺。办法有很多，家长们自己琢磨吧。

不是每一个人都需要成为数学家。工程，技术，社会科学等各个行业，都需要不同程度的数学能力，这些数学以偏应用为主。说难听点，大多数行业中的人，只要知道套公式，就可以了，而不需要去推导公式。推导公式这些事情，行业里几个大牛做一次，就够人消费了。
我想，家长们对于行业挣钱的能力的兴趣，是远远超过这个行业本身的技术难度的。如果玩泥巴能让人成为亿万富翁，美女环绕，子孙成群，人人羡慕，那么大家都会去选择玩泥巴的。这个无可厚非，因为玩泥巴如果能让我们的种族发扬光大，走向星辰大海，那就应该玩泥巴。至于玩泥巴是不是能够最终让我们星际旅行，那不是我们家长们需要操心的事情，那是天道，是黄帝孔子老子操心的事情。我们只要随大流就可以了。
陈省身说，对于专业数学家来说，有一个每个人都会觉得困难的一个领域，就是平面几何。这句话也可以反过来理解，之所以对于专业数学家来说也困难，是因为平面几何缺乏系统性的处理方法。缺乏系统性的处理的方法，也就意味着这样的工具，有很大的局限性。所以，真正的数学理论和应用，是建立在解析几何上（而不是初中高中以欧式几何学为核心的平面几何）的。也就是说，那些加辅助线的技巧和求阴影面积的问题，真的比玩泥巴（好吧，玩乐高）高尚不了多少。可是，却有很多人觉得，平面几何做的好的人，就是聪明。遵循同样的逻辑，下棋好的，玩魔方玩的好的，也是聪明。大道，反而没有人关注了，比如怎么好好做人，好好生活。这就是现在我为什么对于贩卖焦虑，压迫孩子的种种行为极其反感。毁人。
如果对于数学不是那么感兴趣，但是又必须学习数学的，在学完代数之后，就可以开始学微积分，线性代数和统计（注意，不是概率论）。至于微分方程，除了特定专业之外，我真的不知道是不是需要学的太深，因为就算是微分方程的计算纯熟，依旧是知其然不知其所以然。想要知其所以然，这条路上是没有答案的，必须去学习分析和抽象代数，尤其是分析。好在，大多数人是不求甚解的。那么从一开始就不需要为孩子的数学太焦虑，只要能够扎扎实实的学好就好。
如果内心里有向往星辰大海，征服未知，和古今往来的贤者神交的渴望，那么数学是人类智慧的最高峰之一。站在这山顶上，你可以高兴的宣布，我征服了人类的最高峰，对某些人，这个很重要，一如对另外一些人，鲜衣怒马很重要。如果属于前一类，在学习完了微积分，线性代数之后，就应该去认真的学习实分析了，尤其是点集拓扑论，以及建立在其基础之上的积分理论（黎曼，拉贝格）。这些是微积分，微分方程，概率论，泛函分析的基础。如果能够深入理解这个领域，微积分，微分方程，概率论都只是简单推论。另外，就是抽象代数。这是中国（包括苏俄）相对薄弱的领域，但是却是现代数学最重要的方向，线性代数是它的一个很小的分支。如果真的想要进入神的领域，就去搞代数几何。因为到了最后，大道无形，几何（形）已经不存在了，代数包含了万物，就是代数几何。
至于有志于当马公的，马公是不需要数学的，需要的是逻辑。具体来说，顶级的马公，一定是计算理论很好的，这个领域，实际上是数理逻辑的一个分支。
可惜，不论是分析，还是数理逻辑，还是抽象代数，都和算数没啥关系。甚至，对于深受算数影响的一般人，需要先打破固有的算数对于思维的束缚，才能前进。这些领域，需要的是抽象思维能力。但是，所谓的抽象思维，也是一个玄学。我自己的个人感受，如果不能够视觉化的话（我说的不是分析这种还能画出来的东西，而是抽象代数这种已经不能够画出来的东西），是不能够根本理解并应用这些领域的数学的。这就是所谓数学家的直觉。所以，我总是在跟孩子们讲，好好画画，或许将来你们能成为一个好的数学家。也许，多读点小说，多看点艺术作品，多读点哲学论著，也都有裨益。数学奥林匹克，和这个是不沾边的。

谢谢楼主分享，mark 一下！

更新好了。过年认真一次，说点想说的东西。

没学过奥数，听起来挺奇怪的。奥数不允许用高数的方法解题吗？奥数可以带着计算机用编程解题吗？
我参加过高中的化学奥赛，就是相当于上AP课，在大学里学了一个暑假大学的化学课。但是因为没有学过高数和物化这些基础课，直接学大学化学，就是学点皮毛。算是开开眼界吧。我还以为奥数也是学点大学数学呢

高中去了中科大的少年班？ 中科大的少年班不是本科吗？ 保送去Top2数学系是指的保研去北大吗？

mark mark

谢谢楼主分享，正是我关心的。请问楼主对Kumon数学怎么看？ Kumon数学的确就是反复练习，强化计算。我觉得可以补充美国小学练习不足，也有不少反对的声音，认为是无聊刷题。 所以比较纠结要不要让孩子坚持下去。

回复 1楼的帖子
我认识或耳闻的奥赛金牌，30-40 的，去掉最高分大藤faculty，去掉最低分死了，平均混的比平均北青的学生稍差，但大多数可以通过合法方式自立。
前几年不是有个math counts全国冠军二十岁死了。自然原因。任何东西训练到极致都不好。小孩的身体也是很脆弱的

谢谢分享

个人经验，以Kumon和IXL相比，Kumon要好很多。同样是刷题，细节安排的好，效率高。但是和系统的讲解不是一回事，只能作为补充材料用。

多谢楼主分享

数学的美 要很晚才能看到
大多数人在这之前就放弃了

回复 1楼的帖子
我认识或耳闻的奥赛金牌，30-40 的，去掉最高分大藤faculty，去掉最低分死了，平均混的比平均北青的学生稍差，但大多数可以通过合法方式自立。
前几年不是有个math counts全国冠军二十岁死了。自然原因。任何东西训练到极致都不好。
3906 发表于 2022-01-31 17:53

狠还是你狠

delete

个人经验，以Kumon和IXL相比，Kumon要好很多。同样是刷题，细节安排的好，效率高。但是和系统的讲解不是一回事，只能作为补充材料用。
掰叨叨 发表于 2022-01-31 17:56

能推荐一个比kumon更好的吗

多谢分享，火前留名

以下谈我自己对数学教育的理解，一己之见，大牛请多多指教。
代数的基础是算数。小孩从基本的加减法和乘法口诀开始，逐步扩展到小数，分数，负数，等等。这个过程，其实基本上以记忆和练习为主。但是这个基础非常重要，因为很难想象算数基础不好，能够把用符号运算的代数学好。代数学不好，微积分就是无源之水。
美国的数学教育，重视概念的引进，这一点非常好。通过反复介绍同一个概念，由浅入深，孩子们在一个比较小的年龄，就开始逐步建立起对一些概念的理解。但是问题在于算数的基础太差。基础差，和教学法没有直接关系，因为算数教学虽然教学法有效率高低的差别，但是要想真正掌握好算数，必须通过大量和长时间的练习。就像是学习一门手艺，只是知道原理，是没有办法成为一个好的手艺人的，必须经过大量的练习实践才可以。
中国师承苏俄的数学教育体系（不要小看苏俄的数学教育体系，他们的数学教育体系是数学之神欧拉给打下的，绝对是高起点），对于算数练习非常重视。但是中国也只学到了一半，对于数学概念的介绍，太过具体枯燥，以至于学生们早早就失去探索对数学概念的兴趣，把数学和做题直接等同起来，对于概念本身没有兴趣，也没有深入的理解。这一点，欧美俄都比中国好。我想，这可能也是没有办法的事情，因为好的概念介绍，是建立在好的师资，教材和比较小的班的基础之上。这些条件，在过去的中国都没有。我们没有条件去培养大家，就去培养流水线工人了。所以，中国的数学教学方式，更适合工科，而不是理科和数学专业。
数学教育，尤其是小学阶段，是和小孩的头脑发育，直接相关的。比如六七岁的小孩，绝大多数没有形成立体的观念（大脑没发育好），学立体几何不可能掌握细节。同理，小孩抽象思维能力形成之前，逼迫孩子去搞代数，也不会有什么太好的结果。如果你的孩子幸好在某些发育方面早熟，恭喜，但是其实也没什么可太高兴的。孩子们早晚都会长大，发育成熟，一个年龄干一个年龄的事情，搞超纲的东西，我是坚决反对的。教学大纲，原本就是多年摸索出的适用于大多数孩子的进度。最后说一句，数学上早熟，未必是好事情。
小学阶段的数学教育，最好的是能融合美国和中国的教学法，取其精华弃其糟粕。也就是利用美国教学资源丰富的特点，补上美国在基础的数学教育方面联系的欠缺。办法有很多，家长们自己琢磨吧。

掰叨叨 发表于 2022-01-31 17:34

谢谢楼主分享，对于小娃来说，是不是在美国学校里学习数学理念，在Kumon学习刷题打下算数基础，两个结合就可以了呢？
看到了楼主回复以前的层主。写的太棒了！真心感谢。来自一个数学不好的笨妈妈…

楼主原创吗？写的真好👍👍👍

同意，俄式数学非常非常地扎实，为以后做数学研究打下来坚实的基础。和版上理解的“中国人数学好能做题”不是一个概念。
我觉得无尽地研究奥赛，在基础数学里打转，也是误入歧途了。我做数学研究的朋友都是中途放弃了奥赛，小有所成，认识的两个IMO反而去了投行。

同意，俄式数学非常非常地扎实，为以后做数学研究打下来坚实的基础。和版上理解的“中国人数学好”不是一个概念。


badgerbadger 发表于 2022-01-31 18:01

嗯 我见过一罗马尼亚人 叹为观止

另外我一直在找，关于数学的有趣的书，可能会涉及到数学史吧，就是介绍，我们为什么要发明这些数学工具的书，适合给小学生看的。大家要是有推荐的，这里先谢谢了！

我觉得数学是只属于极少数极少数天才的学科。
我刚上大一那阵子，老师给我们解释高斯如何证明了十七边形可以用尺规作图画出来，讲了两节课。我滑跪。然后大二学近世代数，被阿贝尔荼毒了半个学期，被伽罗瓦荼毒了另外半个学期。考虑一下以上三人做出那些成就时的年纪，我果断地选择了CS。我必须自己承认不是学数学的料，还是让天才去玩数学吧。

我就是这么用的，但是还要补充一些教材，弥补一下美国这边课程的不足。看你的目标是什么。我的目标是给孩子打好基础，将来孩子自己决定自己的路。

mark

楼主原创吗？写的真好👍👍👍
xiaoping_tao 发表于 2022-01-31 18:00

谢谢，都是我写的

我觉得数学是只属于极少数极少数天才的学科。
我刚上大一那阵子，老师给我们解释高斯如何证明了十七边形可以用尺规作图画出来，讲了两节课。我滑跪。然后大二学近世代数，被阿贝尔荼毒了半个学期，被伽罗瓦荼毒了另外半个学期。考虑一下以上三人做出那些成就时的年纪，我果断地选择了CS。我必须自己承认不是学数学的料，还是让天才去玩数学吧。
coalpilerd 发表于 2022-01-31 18:04

大二就学近视代数？

和楼主同感。觉得奥数简直毁了孩子的正常数学思维！

谢谢楼主分享，正是我关心的。请问楼主对Kumon数学怎么看？ Kumon数学的确就是反复练习，强化计算。我觉得可以补充美国小学练习不足，也有不少反对的声音，认为是无聊刷题。 所以比较纠结要不要让孩子坚持下去。
Great2020 发表于 2022-01-31 17:52

我就是这么用的，但是还要补充一些教材，弥补一下美国这边课程的不足。看你的目标是什么。我的目标是给孩子打好基础，将来孩子自己决定自己的路。

到底是什么原因，让华人如此痴迷于、纠结于数学？

认识一个保加利亚的IMO gold， 说很轻松，一天也就准备个两小时。现在在花街做trader，收入挺可观，每周工作四十小时。

你都没搞过奥数就不要瞎掰了

大二就学近视代数？
shanggj 发表于 2022-01-31 18:06

国内抽代就是大二学的，美国这边是grad学

回复 1楼掰叨叨的帖子
进来学习！

你都没搞过奥数就不要瞎掰了
MountainDu 发表于 2022-01-31 18:11

我是搞过奥数的中退者，那就请你讲讲奥数之美

完全同意楼主说的。数学基础一定要打好。

楼主威武

美国小初阶段的数学竞赛，并没有传闻中的中国奥数那么奇葩。（说是传闻中，因为我本人没有关于中国奥数的第一手资料，全都是道听途说来的。）在美国，小初阶段，参加一些local和national的比较有声望的数学竞赛，是对课堂数学教学一个强有力的补充。它们涉及的知识点一般不超纲，有的侧重速度，有的侧重灵活应用，（理智范围内，不属于脑筋急转弯的）对加强理解各知识点，以及它们之间的联系颇有好处。 家长要有正确的目的，是为了巩固知识，而不要太强调竞赛成绩。特别对于稍有些能力的孩子来讲，让他们觉得数学原来不那么无趣，是最好了。 小初阶段的数学竞赛，很多以组队形式参赛，也是帮娃social和潜移默化团队合作的契机。 到了初中高年级，娃是不是能stand out，家长心里应该有数了。这个时候的比赛竞争会越来越激烈，需要投入的时间和精力不是以前能比的。不过也是到了这个时候，家长能起的作用也越来越小了，所以听娃的就对了，娃要上，咱就上，娃要下，也没有必要逼。在美国，逼是逼不出来的。

回复 3楼掰叨叨的帖子
同意说数学能力和visual thinking很有关系。
https://eric.ed.gov/?id=EJ992909
Data were collected from 183 Advanced Placement calculus students in five high schools. Students' visual preferences were not influenced by gender. Statistically significant differences in visual preference scores were found among high- and low-performing students. Thus, the results suggest that stronger preference for visual thinking was associated with higher mathematical performances.

回复 3楼掰叨叨的帖子
同意说数学能力和visual thinking很有关系。
https://eric.ed.gov/?id=EJ992909
Data were collected from 183 Advanced Placement calculus students in five high schools. Students' visual preferences were not influenced by gender. Statistically significant differences in visual preference scores were found among high- and low-performing students. Thus, the results suggest that stronger preference for visual thinking was associated with higher mathematical performances.
heyykitty0 发表于 2022-01-31 18:18

以前开会听过， 孩子的visual spatial ability是数学能力比较公认的predictor

我中学时代断断续续搞了几年奥化，现在想起来应该搞数学或者物理，奇巧淫技也比大学AP课强，至少好玩也锻炼脑子，浅尝辄止也有不错的体验

楼主看到我，想问楼主对这边的俄罗斯数学Russian school of mathematics了解吗？怎么看呢？

楼主看到我，想问楼主对这边的俄罗斯数学Russian school of mathematics了解吗？怎么看呢？
artemis 发表于 2022-01-31 18:34

这个帖子的目的是抛砖引玉，我自己对各种数学辅导材料也不是很了解。有懂行的可以来分享一下

我是搞过奥数的中退者，那就请你讲讲奥数之美
掰叨叨 发表于 2022-01-31 18:12

奥数的题，如你前面所说，可以算是一种奇技淫巧。但是其实，如果你能时不常地从中抽离出来，以一个旁观者的角度去重新审视题目的本意，以及里面蕴含的概念和技巧等等，还是一件可以让自己数学思想和思维提高的事情，另外，它甚至可以提升你整个的抽象思维和逻辑思维，如果你真的是那块料的话，那奥数绝对是一个非常好的东西。
之所以奥数为人所诟病，是因为广大群众发现这东西可以让你进入大学录取的快车道，从而一窝蜂地往上扑，结果导致本来的好苗子由于缺少训练而名落孙山，而那些有条件的，却可以借着环境的帮助抢占市场，把真正的好苗子挤掉。而这个过程，其实受害者不只是那些边远山区的好苗子，这些占了别人名额的，并没有得到太多的好处，除了上好大学以外。他们对数学的理解和热爱，基本上就停留在这一刻，但是他们的逻辑抽象思维，数学思维，却被生生搅乱了。
记得我们当时去参加冬令营，某奥赛大省，200分以上的就有11个（满分225），比我高的多得多，但是最后的冬令营考试，还是有将近一半没有边远山区的考得好，这就说明了，光靠刷题，搞肌肉记忆，确实可以提高你的低端技能，甚至把这种技能提高到极致，但是对高端技能，却没有任何好处。
靠家长推着刷题最后出来的，下场都比较一般，真正的牛人，主动学习的，最后的结局一般不会太差

奥数的题，如你前面所说，可以算是一种奇技淫巧。但是其实，如果你能时不常地从中抽离出来，以一个旁观者的角度去重新审视题目的本意，以及里面蕴含的概念和技巧等等，还是一件可以让自己数学思想和思维提高的事情，另外，它甚至可以提升你整个的抽象思维和逻辑思维，如果你真的是那块料的话，那奥数绝对是一个非常好的东西。
之所以奥数为人所诟病，是因为广大群众发现这东西可以让你进入大学录取的快车道，从而一窝蜂地往上扑，结果导致本来的好苗子由于缺少训练而名落孙山，而那些有条件的，却可以借着环境的帮助抢占市场，把真正的好苗子挤掉。而这个过程，其实受害者不只是那些边远山区的好苗子，这些占了别人名额的，并没有得到太多的好处，除了上好大学以外。他们对数学的理解和热爱，基本上就停留在这一刻，但是他们的逻辑抽象思维，数学思维，却被生生搅乱了。
记得我们当时去参加冬令营，某奥赛大省，200分以上的就有11个（满分225），比我高的多得多，但是最后的冬令营考试，还是有将近一半没有边远山区的考得好，这就说明了，光靠刷题，搞肌肉记忆，确实可以提高你的低端技能，甚至把这种技能提高到极致，但是对高端技能，却没有任何好处。
靠家长推着刷题最后出来的，下场都比较一般，真正的牛人，主动学习的，最后的结局一般不会太差
pistonmove 发表于 2022-01-31 18:40

你说说你现在结局怎样

美国小初阶段的数学竞赛，并没有传闻中的中国奥数那么奇葩。（说是传闻中，因为我本人没有关于中国奥数的第一手资料，全都是道听途说来的。）在美国，小初阶段，参加一些local和national的比较有声望的数学竞赛，是对课堂数学教学一个强有力的补充。它们涉及的知识点一般不超纲，有的侧重速度，有的侧重灵活应用，（理智范围内，不属于脑筋急转弯的）对加强理解各知识点，以及它们之间的联系颇有好处。 家长要有正确的目的，是为了巩固知识，而不要太强调竞赛成绩。特别对于稍有些能力的孩子来讲，让他们觉得数学原来不那么无趣，是最好了。 小初阶段的数学竞赛，很多以组队形式参赛，也是帮娃social和潜移默化团队合作的契机。 到了初中高年级，娃是不是能stand out，家长心里应该有数了。这个时候的比赛竞争会越来越激烈，需要投入的时间和精力不是以前能比的。不过也是到了这个时候，家长能起的作用也越来越小了，所以听娃的就对了，娃要上，咱就上，娃要下，也没有必要逼。在美国，逼是逼不出来的。
mystmist 发表于 2022-01-31 18:15

谢谢分享，你的观点我认同。如果时间精力允许，孩子也有兴趣，从巩固知识的角度出发也不错。谁家都推孩子，主要是一个度

奥数的题，如你前面所说，可以算是一种奇技淫巧。但是其实，如果你能时不常地从中抽离出来，以一个旁观者的角度去重新审视题目的本意，以及里面蕴含的概念和技巧等等，还是一件可以让自己数学思想和思维提高的事情，另外，它甚至可以提升你整个的抽象思维和逻辑思维，如果你真的是那块料的话，那奥数绝对是一个非常好的东西。
之所以奥数为人所诟病，是因为广大群众发现这东西可以让你进入大学录取的快车道，从而一窝蜂地往上扑，结果导致本来的好苗子由于缺少训练而名落孙山，而那些有条件的，却可以借着环境的帮助抢占市场，把真正的好苗子挤掉。而这个过程，其实受害者不只是那些边远山区的好苗子，这些占了别人名额的，并没有得到太多的好处，除了上好大学以外。他们对数学的理解和热爱，基本上就停留在这一刻，但是他们的逻辑抽象思维，数学思维，却被生生搅乱了。
记得我们当时去参加冬令营，某奥赛大省，200分以上的就有11个（满分225），比我高的多得多，但是最后的冬令营考试，还是有将近一半没有边远山区的考得好，这就说明了，光靠刷题，搞肌肉记忆，确实可以提高你的低端技能，甚至把这种技能提高到极致，但是对高端技能，却没有任何好处。
靠家长推着刷题最后出来的，下场都比较一般，真正的牛人，主动学习的，最后的结局一般不会太差
pistonmove 发表于 2022-01-31 18:40

是这个意思，搞数竞上大学的，后面没几个继续搞数学研究的，首先是本来就是为了升学，其次burnout太严重了，几乎成为trauma。有些家里条件不错的甚至学文都不想再碰数学了。

奥数的题，如你前面所说，可以算是一种奇技淫巧。但是其实，如果你能时不常地从中抽离出来，以一个旁观者的角度去重新审视题目的本意，以及里面蕴含的概念和技巧等等，还是一件可以让自己数学思想和思维提高的事情，另外，它甚至可以提升你整个的抽象思维和逻辑思维，如果你真的是那块料的话，那奥数绝对是一个非常好的东西。
之所以奥数为人所诟病，是因为广大群众发现这东西可以让你进入大学录取的快车道，从而一窝蜂地往上扑，结果导致本来的好苗子由于缺少训练而名落孙山，而那些有条件的，却可以借着环境的帮助抢占市场，把真正的好苗子挤掉。而这个过程，其实受害者不只是那些边远山区的好苗子，这些占了别人名额的，并没有得到太多的好处，除了上好大学以外。他们对数学的理解和热爱，基本上就停留在这一刻，但是他们的逻辑抽象思维，数学思维，却被生生搅乱了。
记得我们当时去参加冬令营，某奥赛大省，200分以上的就有11个（满分225），比我高的多得多，但是最后的冬令营考试，还是有将近一半没有边远山区的考得好，这就说明了，光靠刷题，搞肌肉记忆，确实可以提高你的低端技能，甚至把这种技能提高到极致，但是对高端技能，却没有任何好处。
靠家长推着刷题最后出来的，下场都比较一般，真正的牛人，主动学习的，最后的结局一般不会太差
pistonmove 发表于 2022-01-31 18:40

谢谢分享。我讨厌的，是贩卖焦虑，通过各种“训练”，看似走捷径，实际扼杀了孩子数学创造力的人。

没学过奥数，听起来挺奇怪的。奥数不允许用高数的方法解题吗？奥数可以带着计算机用编程解题吗？
我参加过高中的化学奥赛，就是相当于上AP课，在大学里学了一个暑假大学的化学课。但是因为没有学过高数和物化这些基础课，直接学大学化学，就是学点皮毛。算是开开眼界吧。我还以为奥数也是学点大学数学呢
lianqiao 发表于 2022-01-31 17:44

高中生物化学奥赛主要靠提前学大学知识 数学几乎不提前学 物理我记得提前学了一些积分

高中生物化学奥赛主要靠提前学大学知识 数学几乎不提前学 物理我记得提前学了一些积分
SheldonCooper 发表于 2022-01-31 18:46

我认为奥数还不如提前学。对天才来说，哪怕高一学线代也比钻营刷题基础数学要productive。提前学说不定18岁就写出惊世论文了呢，学奥数这时间就浪费在内卷上了。
奥赛金牌去了投行在数学上也没什么用，但会让人觉得你很聪明。

我认为奥数还不如提前学。对天才来说，哪怕高一学线代也比钻营刷题基础数学要productive。提前学说不定18岁就写出惊世论文了呢，学奥数这时间就浪费在内卷上了。
奥赛金牌去了投行在数学上也没什么用，但会让人觉得你很聪明。
badgerbadger 发表于 2022-01-31 18:48

投行数学确实和奥数一毛钱关系也没有。当然投行的数学是另一种扯淡。

求生欲disclaimer，没有否定奥数和家长推数学的意思，只是分享一下我自己的观点。欢迎大牛指正。
先说说数学和奥数。数学奥林匹克，本质上是运用初等数学方法，解决比较复杂的问题。这和数学发展的趋势，并不一致。确切的说，数学的发展发向，始终是在方法上有突破，从而能够用更高等的方法，更快更直观的解决问题，而不是局限于初等方法，通过增加其应用的复杂度，来解决问题。
数学奥林匹克，当然有它的意义。高等数学方法的学习和理解，是建立在对初等数学方法的熟悉和掌握之上的。自然，初等数学方法理解掌握越充分，对于高等数学的学习就越有好处。但是，从教育角度来说，必须考虑性价比的问题。孩子的时间是有限的，在某个领域的投入，就要挤占其他领域的投入。而回报曲线，往往是随着投入的增加，逐渐降低的。也就是说，随之在奥数的时间的投入增多，对未来高等数学学习的促进，就会减少。每个人可能需要根据自己孩子的规划，兴趣，特长来决定投入的多少。平心而论，中国家长对于奥数的热情，起源于升学带来的优势，而不一定是对数学教育的热诚以及对数学的热爱。对于很多家长来说，奥数就是敲门砖，是进入好大学的敲门砖，是未来黄金屋，颜如玉的敲门砖。这种想法，无可厚非，只不过就不如大大方方承认，没有必要把奥数神圣化，要是哪一天玩魔方也称为考大学的加分条件，那么大家就去玩魔方了。这个没什么丢人的，但是不要把奥数神圣化（再强调一次），搞鄙视链，忽悠家长，压迫孩子。
就我个人的经历来说。我曾经被认为是有潜力的苗子，参加过种种培训，但是因为贪玩，所以最后也就没有走上那条路。初中的好朋友，有一个高中去了中科大的少年班，后来保送去了Top2数学系，令人羡慕。另外一个，没有能够被保送少年班，发奋图强，高中三年关小黑屋专门练习奥数，最终拿到国际奥数银奖，保送Top2。这位原本活泼可爱的少年，在三年的小黑屋生涯之后，变得木讷了很多。高三我俩保送以后，有一次在一起聊天。我祝贺他拿了银奖，他叹了一口气，说就是为了保送而已，其实奥林匹克都是些奇技淫巧，没什么用处, 这是他的原话。以我们两个人的关系和他的神态，应该不是客套。进了大学之后，他越发的木讷了。后来在美国见面说话已经很少看人了。回头再看，我倒是真的很怀念以前那位活泼可爱的少年 ，不知道消失到哪里去了。至于那位保送中科大少年班的朋友，倒是一直活泼可爱，可能是因为上了少年班就不用再搞奥数那些东西吧。Top2毕业来到美国读书学习，最后也是和我们一起搬砖。还有另外一位关小黑屋的师兄，拿了国际奥数金奖，保送Top2，却在一年之后因为个人原因退学回家，再也没有联系。
最后感慨人生，成功是门玄学，数学教育和奥数不是一回事。
掰叨叨 发表于 2022-01-31 17:33

赞一下。中学竞赛这碗饭吃过，深有同感。

谢谢分享，

数学的美 要很晚才能看到
大多数人在这之前就放弃了
CleverBeaver 发表于 2022-01-31 17:57

数学之美，有天赋的孩子很早就能看到而且会一直热爱。没有天赋但是喜爱的人也很不少。硬推是不香的。奥数没啥不好，硬逼着娃去内卷奥数培训或者其他培训都不是好事。

我是搞过奥数的中退者，那就请你讲讲奥数之美
掰叨叨 发表于 2022-01-31 18:12

奥数就像解谜，只要知道初等数学，每个孩子都能试试，It's fun

楼主写的很好！

我发现刷题刷多了也同样症状 说话不怎么看人

回复 6楼lianqiao的帖子
我在国内学过奥数。那时管奥数叫中等数学，既不是初等也不是高等。这个是竞技数学。

我认为奥数还不如提前学。对天才来说，哪怕高一学线代也比钻营刷题基础数学要productive。提前学说不定18岁就写出惊世论文了呢，学奥数这时间就浪费在内卷上了。
奥赛金牌去了投行在数学上也没什么用，但会让人觉得你很聪明。
badgerbadger 发表于 2022-01-31 18:48

学校数学教的非常不扎实，特别是到高中。 从小学开始，数学很少有数学专业的老师教，大概率碰到文科老师教。他们自己能照本宣科的教，就很不容易了。一个新概念和之前学过的内容之间的各种引申，变化，联系，老师们往往自己也不知或不懂。这边推崇的螺旋式教育，实施起来就是万事不求甚解，浮于表面。 在这种大前提下，初中开始有专科老师。但同时也开始了老师上面讲，同学听懂了多少靠自己的篇章。除了有天赋的，和家里抓得紧的，娃们学到多少真的会惊掉你的下巴。但是这并不会影响孩子们得A得B。 高中要超前学，好的高中可以开课，微积分，微分方程，线性代数，名字叫的高大上，能把我们这些曾经饱受折磨的家长唬得一愣一愣的。其实呢？看一下娃的作业，课本，依然浮于表面。更有甚者，为了简化一些理论，没有证明，没有引论，直接给个结论，有时甚至严格来讲是错的。知其然，不知其所以然，我认为危害更大。不如到大学里面去全面系统的学。 但是为了好大学，必须在高中选高难度数学。我给我娃说的是，如果将来学文就算了，如果学理或工，这些数学课一定要到大学里重学一遍，不然那些错误的概念留在脑子里太可怕了。

我家有个数学真爱的，一直立志当数学家。我也鼓励他参加竞赛，但是完全不刷题，就是去打酱油玩。

回复 1楼的帖子
我认识或耳闻的奥赛金牌，30-40 的，去掉最高分大藤faculty，去掉最低分死了，平均混的比平均北青的学生稍差，但大多数可以通过合法方式自立。
前几年不是有个math counts全国冠军二十岁死了。自然原因。任何东西训练到极致都不好。小孩的身体也是很脆弱的
3906 发表于 2022-01-31 17:53

够狠！

谢谢，都是我写的
掰叨叨 发表于 2022-01-31 18:06

赞真诚和理性！

我认识的几块金牌都做美国教授，而且都挺好的。

谢谢分享！马克

谢谢楼主经验分享！虎🐯年大吉！

竞赛数学硬推肯定没有用。平常心，孩子自己愿意学到那个程度就是那个程度。

一个游戏，被玩坏了。 就像马公刷题一样。

lz说的很好，mark住

我是搞过奥数的中退者，那就请你讲讲奥数之美
掰叨叨 发表于 2022-01-31 18:12

我真心觉得你不理解奥数奥物的初衷。具体而言，是刷题内卷之前的奥数奥物。
刷题内卷之前的奥数奥物的初衷，不是作为工具科学，也就是说重复已知问题求解。
刷题内卷之前的奥数奥物的初衷，是作为探索科学，也就是如何解出未知问题（对于解题者而言，对于出题者当然是已知问题）。
或者说 non-routine problem。
而解出 non-routine problem 的关键（假设没有过于大力刷题），是基于 meta-algorithm (借用一下 CS术语) 和 spatial perception，而乱中取胜。
不过呢，凡事都有破解。刷题内卷之前的奥数奥物，基本假设是有一见钟情、有爱有性、有情有义等等肉体需求的平衡型大脑，因此不可能过于大力刷题，否则大脑 Disk Full 成为 Schizophrenia 或者 Asperger。（开玩笑哈） 。。。 所以选出天才而不是复读机 。。。 只是理想永远是那么丰满，但现实却总是太骨感 。。。
不多说了，现在都是 CS 的天下。数学由于传统的工具科学那一面的思维定势，反而比 CS 更人肉计算器人肉积分器。

和楼主同感。觉得奥数简直毁了孩子的正常数学思维！
TravelSky 发表于 2022-01-31 18:08

内卷前奥数奥物的初衷，是兴趣班。也就是说，根本不是用来打啥子扎实数学基础的，而是让有些娃凌波微步好玩开心的。
高中的奥数奥物种子，其实不一定那么基础扎实，当然也不会太差，也就是高中普数普物考试班级第五名左右。
我们当时大学里的同系的校奥物种子选手（非物理系，不过种子选手很多不在物理系），普物只拿了 B。当然物理老师后来不好意思，大家都没面子，人也去竞赛了，后来给改成的 A-。LOL。

讲得真好，跟我对数学的想法一样，但没lz那么能干表达出来

我真心觉得你不理解奥数奥物的初衷。具体而言，是刷题内卷之前的奥数奥物。
刷题内卷之前的奥数奥物的初衷，不是作为工具科学，也就是说重复已知问题求解。
刷题内卷之前的奥数奥物的初衷，是作为探索科学，也就是如何解出未知问题（对于解题者而言，对于出题者当然是已知问题）。
或者说 non-routine problem。
而解出 non-routine problem 的关键（假设没有过于大力刷题），是基于 meta-algorithm (借用一下 CS术语) 和 spatial perception，而乱中取胜。
不过呢，凡事都有破解。刷题内卷之前的奥数奥物，基本假设是有一见钟情、有爱有性、有情有义等等肉体需求的平衡型大脑，因此不可能过于大力刷题，否则大脑 Disk Full 成为 Schizophrenia 或者 Asperger。（开玩笑哈） 。。。 所以选出天才而不是复读机 。。。 只是理想永远是那么丰满，但现实却总是太骨感 。。。
不多说了，现在都是 CS 的天下。数学由于传统的工具科学那一面的思维定势，反而比 CS 更人肉计算器人肉积分器。

tidewater 发表于 2022-01-31 21:24

那样的初衷，那样的美，我也想往，可是早就都回不去了。

拜读完各牛人发言，有效缓解了学渣娃妈的负罪感，娃数学真是太渣了，同学都在奥数，我们是想推也mission impossible

jjljlllk

那样的初衷，那样的美，我也想往，可是早就都回不去了。
掰叨叨 发表于 2022-01-31 22:06

这些美不美我不知道。我觉得班花系花校花美女们肯定更美。
我只是说，刷题本身比较无趣而已。而在 meta-algorithm 的 space，看 meta-structure，而凌波微步。虽然这解题不能保证靠谱，有时看运气。但至少比较有意思，不那么枯燥。

谢谢楼主分享，正是我关心的。请问楼主对Kumon数学怎么看？ Kumon数学的确就是反复练习，强化计算。我觉得可以补充美国小学练习不足，也有不少反对的声音，认为是无聊刷题。 所以比较纠结要不要让孩子坚持下去。
Great2020 发表于 2022-01-31 17:52

我知道的两个例子就是kumon全学完。应付学校的功课可以，但是文字题有困难。我孩子因为喜欢数学，但不喜欢kumon，所以我没勉强孩子学。感觉如果没什么数学天赋的，kumon能保证数学不拉后腿。如果有，当然好，而且还有更好的program。

那样的初衷，那样的美，我也想往，可是早就都回不去了。
掰叨叨 发表于 2022-01-31 22:06

另外回不去才是正常的吧。
大学毕业前，没有婚前性的日子里，奥数奥物的 meta-structure in meta-algorithm space 里凌波微步，确实挺有趣的。
但你大学毕业结婚后，总不能天天看 P 站虚拟空间的小电影吧。否则会被婚内的 significant other 打死哈哈哈。
当然是开玩笑。不过意思就是，这玩意儿不能当饭吃吧，奥数奥物教练另说。

楼主好厉害。学了那么多年的数学，我对数学的理解还是非常粗浅。

对于竞赛没有必要一棒子打死，小学高年级学校统一组织MOEM很多孩子都会去上课外班跟着试试，然后中学AMC也是一样，学校会鼓励7，8年级的孩子去参加，看看谁有兴趣。都是挺好的体验，也能鼓励孩子增加对数学的热情

楼主非常用心，谢谢分享！

学校数学教的非常不扎实，特别是到高中。 从小学开始，数学很少有数学专业的老师教，大概率碰到文科老师教。他们自己能照本宣科的教，就很不容易了。一个新概念和之前学过的内容之间的各种引申，变化，联系，老师们往往自己也不知或不懂。这边推崇的螺旋式教育，实施起来就是万事不求甚解，浮于表面。 在这种大前提下，初中开始有专科老师。但同时也开始了老师上面讲，同学听懂了多少靠自己的篇章。除了有天赋的，和家里抓得紧的，娃们学到多少真的会惊掉你的下巴。但是这并不会影响孩子们得A得B。 高中要超前学，好的高中可以开课，微积分，微分方程，线性代数，名字叫的高大上，能把我们这些曾经饱受折磨的家长唬得一愣一愣的。其实呢？看一下娃的作业，课本，依然浮于表面。更有甚者，为了简化一些理论，没有证明，没有引论，直接给个结论，有时甚至严格来讲是错的。知其然，不知其所以然，我认为危害更大。不如到大学里面去全面系统的学。 但是为了好大学，必须在高中选高难度数学。我给我娃说的是，如果将来学文就算了，如果学理或工，这些数学课一定要到大学里重学一遍，不然那些错误的概念留在脑子里太可怕了。
mystmist 发表于 2022-01-31 20:45

我第一次听说这边高中生学常微分方程的课，非常诧异。首先，怎么可能在这么短的时间内扎实得学到这么高深的课程，其次，为什么要这么着急的去学，如果不是为了省钱的话，人生的路很长，尽头其实什么也没有，为什么要狂奔呢？后来明白是这万恶的录取制度造成的，也就释然了。

其实这么多年除了陶哲轩以外哪个拿金牌的华裔拿了菲尔兹奖就知道奥数和数学的相关性并不强 何况陶哲轩这种顶级天才即使没有奥数这个比赛也一样会成为top数学家 我觉得对于我的意义就是启蒙+培养兴趣（类似于游戏打怪升级）但是有些人要把这个弄得过于功利还企图用这个来作为大学衡量的指标 我只能说懂的人都不傻

回复 2楼掰叨叨的帖子
苏俄是数学三大强国, 小瞧苏俄数学的都是文盲

听说国内的小娃都开始考amc了，，，，看的好焦虑，不止内卷了， 开始往外卷。 大家上过Russian MS 的说说怎么样，我们这里不少孩子都上，有的印度孩子，1年级就上。我娃那时候回来问我，妈妈，XXX上了数学课，为什么还需要数finger做数学呢。。。。。 aops的教材编写呢，是不是还不错，

回复 39楼mystmist的帖子
赞赞赞赞赞赞

其实这么多年除了陶哲轩以外哪个拿金牌的华裔拿了菲尔兹奖就知道奥数和数学的相关性并不强 何况陶哲轩这种顶级天才即使没有奥数这个比赛也一样会成为top数学家 我觉得对于我的意义就是启蒙+培养兴趣（类似于游戏打怪升级）但是有些人要把这个弄得过于功利还企图用这个来作为大学衡量的指标 我只能说懂的人都不傻
wcy19491983 发表于 2022-01-31 22:34

yun zhiwei, yuan xinyi都是imo金牌，其他做的好的起码原来也进了冬令营

又提到小小娃考amc了，凡是和数学有关的帖子绝对绕不过去的话题。 我非常同意前面有人提到的观点，孩子的大脑发育各有节奏，拔苗助长一直是贬义。孩子小的时候，家长们要盯着的，不是别人家的孩子能做什么，应该是自己娃ready干什么了。家长要做的是激发和保护娃对数学的兴趣。如果发现娃确实不感兴趣，也确实没必要非往这上边凑。各种各样的其它的ec又好玩，又锻炼团队合作和领导才能。比数学好得多。 那些很小就能出成绩的，大概率是娃推着家长的。娃到了那个份上，家长想拖后腿也拖不下来。

楼主讲得很好，我儿子有点以后想搞数学方面的，不知道有没有可能？他初中搞过半年的竞赛，后来高中反叛就不搞竞赛了，但是自己在Youtube上看了很多关于数学难题和介绍数学的美的Video，现在有点想以后大学学数学，我是建议他搞应用数学，但是我也不是数学专业的，是不是应该找专业人士谈一谈？

那如果是，小学娃，自己觉得数学还不错，也愿意上课，看书，比如酷爱杀手数学那套书，天天捧着看，对于里面介绍的各种数学概念很有兴趣。但是做题的时候我也没看出多么超人的天赋来，。。。咋办， 推还是不推，还有怎么算推，比如我让娃课外上课，但是暂时不参加比赛。什么年龄开始参加合适呢，6年级以后？？？

楼主讲得很好，我儿子有点以后想搞数学方面的，不知道有没有可能？他初中搞过半年的竞赛，后来高中反叛就不搞竞赛了，但是自己在Youtube上看了很多关于数学难题和介绍数学的美的Video，现在有点想以后大学学数学，我是建议他搞应用数学，但是我也不是数学专业的，是不是应该找专业人士谈一谈？
QQQ1000 发表于 2022-01-31 23:05

奥数和数学专业的内容是没什么关系的，但是两者都是和智商correlated。没有搞过竞赛没关系，搞了又拿不到奖就要好好考虑一下了。当然读个本科也没啥。

求生欲disclaimer，没有否定奥数和家长推数学的意思，只是分享一下我自己的观点。欢迎大牛指正。
先说说数学和奥数。数学奥林匹克，本质上是运用初等数学方法，解决比较复杂的问题。这和数学发展的趋势，并不一致。确切的说，数学的发展发向，始终是在方法上有突破，从而能够用更高等的方法，更快更直观的解决问题，而不是局限于初等方法，通过增加其应用的复杂度，来解决问题。
数学奥林匹克，当然有它的意义。高等数学方法的学习和理解，是建立在对初等数学方法的熟悉和掌握之上的。自然，初等数学方法理解掌握越充分，对于高等数学的学习就越有好处。但是，从教育角度来说，必须考虑性价比的问题。孩子的时间是有限的，在某个领域的投入，就要挤占其他领域的投入。而回报曲线，往往是随着投入的增加，逐渐降低的。也就是说，随之在奥数的时间的投入增多，对未来高等数学学习的促进，就会减少。每个人可能需要根据自己孩子的规划，兴趣，特长来决定投入的多少。平心而论，中国家长对于奥数的热情，起源于升学带来的优势，而不一定是对数学教育的热诚以及对数学的热爱。对于很多家长来说，奥数就是敲门砖，是进入好大学的敲门砖，是未来黄金屋，颜如玉的敲门砖。这种想法，无可厚非，只不过就不如大大方方承认，没有必要把奥数神圣化，要是哪一天玩魔方也称为考大学的加分条件，那么大家就去玩魔方了。这个没什么丢人的，但是不要把奥数神圣化（再强调一次），搞鄙视链，忽悠家长，压迫孩子。
就我个人的经历来说。我曾经被认为是有潜力的苗子，参加过种种培训，但是因为贪玩，所以最后也就没有走上那条路。初中的好朋友，有一个高中去了中科大的少年班，后来保送去了Top2数学系，令人羡慕。另外一个，没有能够被保送少年班，发奋图强，高中三年关小黑屋专门练习奥数，最终拿到国际奥数银奖，保送Top2。这位原本活泼可爱的少年，在三年的小黑屋生涯之后，变得木讷了很多。高三我俩保送以后，有一次在一起聊天。我祝贺他拿了银奖，他叹了一口气，说就是为了保送而已，其实奥林匹克都是些奇技淫巧，没什么用处, 这是他的原话。以我们两个人的关系和他的神态，应该不是客套。进了大学之后，他越发的木讷了。后来在美国见面说话已经很少看人了。回头再看，我倒是真的很怀念以前那位活泼可爱的少年 ，不知道消失到哪里去了。至于那位保送中科大少年班的朋友，倒是一直活泼可爱，可能是因为上了少年班就不用再搞奥数那些东西吧。Top2毕业来到美国读书学习，最后也是和我们一起搬砖。还有另外一位关小黑屋的师兄，拿了国际奥数金奖，保送Top2，却在一年之后因为个人原因退学回家，再也没有联系。
最后感慨人生，成功是门玄学，数学教育和奥数不是一回事。
掰叨叨 发表于 2022-01-31 17:33

点个赞

不是每一个人都需要成为数学家。工程，技术，社会科学等各个行业，都需要不同程度的数学能力，这些数学以偏应用为主。说难听点，大多数行业中的人，只要知道套公式，就可以了，而不需要去推导公式。推导公式这些事情，行业里几个大牛做一次，就够人消费了。
我想，家长们对于行业挣钱的能力的兴趣，是远远超过这个行业本身的技术难度的。如果玩泥巴能让人成为亿万富翁，美女环绕，子孙成群，人人羡慕，那么大家都会去选择玩泥巴的。这个无可厚非，因为玩泥巴如果能让我们的种族发扬光大，走向星辰大海，那就应该玩泥巴。至于玩泥巴是不是能够最终让我们星际旅行，那不是我们家长们需要操心的事情，那是天道，是黄帝孔子老子操心的事情。我们只要随大流就可以了。
陈省身说，对于专业数学家来说，有一个每个人都会觉得困难的一个领域，就是平面几何。这句话也可以反过来理解，之所以对于专业数学教来说也困难，是因为平面几何缺乏系统性的处理方法。缺乏系统性的处理的方法，也就意味着这样的工具，有很大的局限性。所以，真正的数学理论和应用，是建立在解析几何上（而不是初中高中以欧式几何学为核心的平面几何）的。也就是说，那些加辅助线的技巧和求阴影面积的问题，真的比玩泥巴（好吧，玩乐高）高尚不了多少。可是，却有很多人觉得，平面几何做的好的人，就是聪明。遵循同样的逻辑，下棋好的，玩魔方玩的好的，也是聪明。大道，反而没有人关注了，比如怎么好好做人，好好生活。这就是现在我为什么对于贩卖焦虑，压迫孩子的种种行为及其反感。毁人。
如果对于数学不是那么感兴趣，但是又必须学习数学的，在学完代数之后，就可以开始学微积分，线性代数和统计（注意，不是概率论）。至于微分方程，除了特定专业之外，我真的不知道是不是需要学的太深，因为就算是微分方程的计算纯熟，依旧是知其然不知其所以然。想要知其所以然，这条路上是没有答案的，必须去学习分析和抽象代数，尤其是分析。好在，大多数人是不求甚解的。那么从一开始就不需要为孩子的数学太焦虑，只要能够扎扎实实的学好就好。
如果内心里有向往星辰大海，征服未知，和古今往来的贤者神交的渴望，那么数学是人类智慧的最高峰之一。站在这山顶上，你可以高兴的宣布，我征服了人类的最高峰，对某些人，这个很重要，一如对另外一些人，鲜衣怒马很重要。如果属于前一类，在学习完了微积分，线性代数之后，就应该去认真的学习实分析了，尤其是点集拓扑论，以及建立在其基础之上的积分理论（黎曼，拉贝格）。这些是微积分，微分方程，概率论，泛函分析的基础。如果能够深入理解这个领域，微积分，微分方程，概率论都只是简单推论。另外，就是抽象代数。这是中国（包括苏俄）相对薄弱的领域，但是却是现代数学最重要的方向，线性代数是它的一个很小的分支。如果真的想要进入神的领域，就去搞代数几何。因为到了最后，大道无形，几何（形）已经不存在了，代数包含了万物，就是代数几何。
至于有志于当马公的，马公是不需要数学的，需要的是逻辑。具体来说，顶级的马公，一定是计算理论很好的，这个领域，实际上是数理逻辑的一个分支。
可惜，不论是分析，还是数理逻辑，还是抽象代数，都和算数没啥关系。甚至，对于深受算数影响的一般人，需要先打破固有的算数对于思维的束缚，才能前进。这些领域，需要的是抽象思维能力。但是，所谓的抽象思维，也是一个玄学。我自己的个人感受，如果不能够视觉化的话（我说的不是分析这种还能画出来的东西，而是抽象代数这种已经不能够画出来的东西），是不能够根本理解并应用这些领域的数学的。这就是所谓数学家的直觉。所以，我总是在跟孩子们讲，好好画画，或许将来你们能成为一个好的数学家。也许，多读点小说，多看点艺术作品，多读点哲学论著，也都有裨益。数学奥林匹克，和这个是不沾边的。

掰叨叨 发表于 2022-01-31 17:34

说得好

奥数和数学专业的内容是没什么关系的，但是两者都是和智商correlated。没有搞过竞赛没关系，搞了又拿不到奖就要好好考虑一下了。当然读个本科也没啥。
MountainDu 发表于 2022-01-31 23:11

现在内卷的狠，也不一定那么 correlate。

回复 87楼MountainDu的帖子
做题家和数学家是有本质区别的 你说的也许跟陶哲轩一样没有搞奥数也一样能显现出来 我并不是反对奥数 而是反对一窝蜂搞奥数 还有反对拿奥数作为跳板的功利选手没跳成就开始blame选拔系统有问题的

那如果是，小学娃，自己觉得数学还不错，也愿意上课，看书，比如酷爱杀手数学那套书，天天捧着看，对于里面介绍的各种数学概念很有兴趣。但是做题的时候我也没看出多么超人的天赋来，。。。咋办， 推还是不推，还有怎么算推，比如我让娃课外上课，但是暂时不参加比赛。什么年龄开始参加合适呢，6年级以后？？？
忍者.Q 发表于 2022-01-31 23:09

除了amc，mic从二年级到高中都有。mathcounts是初中三年的竞赛。你所在的州可能还有州级别的组织举办的竞赛。这些都可以参加。成绩就多半能反应孩子的水平了。

又提到小小娃考amc了，凡是和数学有关的帖子绝对绕不过去的话题。 我非常同意前面有人提到的观点，孩子的大脑发育各有节奏，拔苗助长一直是贬义。孩子小的时候，家长们要盯着的，不是别人家的孩子能做什么，应该是自己娃ready干什么了。家长要做的是激发和保护娃对数学的兴趣。如果发现娃确实不感兴趣，也确实没必要非往这上边凑。各种各样的其它的ec又好玩，又锻炼团队合作和领导才能。比数学好得多。 那些很小就能出成绩的，大概率是娃推着家长的。娃到了那个份上，家长想拖后腿也拖不下来。
mystmist 发表于 2022-01-31 23:04

握手。有天赋又有兴趣的孩子，不急在那一两年，以后总是会出成绩的。小时候是性格养成的关键时期，让孩子开心的探索世界，培养兴趣不是更重要吗？

但是无论是那种数学竞赛，都不可能定义一个人的数学天赋。拿我娃当例子，他各项竞赛能取得一定成绩，但是绝不是顶级的。他是分析型的，一道题可以持续钻研很长时间，但是在需要速度的竞赛中非常吃亏。在速度型竞赛的成绩不理想的时候，家长就要理性的帮娃分析，告诉他们成绩不代表一切，在将来的学习和研究中，速度的重要性很低。