不是每一个人都需要成为数学家。工程，技术，社会科学等各个行业，都需要不同程度的数学能力，这些数学以偏应用为主。说难听点，大多数行业中的人，只要知道套公式，就可以了，而不需要去推导公式。推导公式这些事情，行业里几个大牛做一次，就够人消费了。 我想，家长们对于行业挣钱的能力的兴趣，是远远超过这个行业本身的技术难度的。如果玩泥巴能让人成为亿万富翁，美女环绕，子孙成群，人人羡慕，那么大家都会去选择玩泥巴的。这个无可厚非，因为玩泥巴如果能让我们的种族发扬光大，走向星辰大海，那就应该玩泥巴。至于玩泥巴是不是能够最终让我们星际旅行，那不是我们家长们需要操心的事情，那是天道，是黄帝孔子老子操心的事情。我们只要随大流就可以了。 陈省身说，对于专业数学家来说，有一个每个人都会觉得困难的一个领域，就是平面几何。这句话也可以反过来理解，之所以对于专业数学教来说也困难，是因为平面几何缺乏系统性的处理方法。缺乏系统性的处理的方法，也就意味着这样的工具，有很大的局限性。所以，真正的数学理论和应用，是建立在解析几何上（而不是初中高中以欧式几何学为核心的平面几何）的。也就是说，那些加辅助线的技巧和求阴影面积的问题，真的比玩泥巴（好吧，玩乐高）高尚不了多少。可是，却有很多人觉得，平面几何做的好的人，就是聪明。遵循同样的逻辑，下棋好的，玩魔方玩的好的，也是聪明。大道，反而没有人关注了，比如怎么好好做人，好好生活。这就是现在我为什么对于贩卖焦虑，压迫孩子的种种行为及其反感。毁人。 如果对于数学不是那么感兴趣，但是又必须学习数学的，在学完代数之后，就可以开始学微积分，线性代数和统计（注意，不是概率论）。至于微分方程，除了特定专业之外，我真的不知道是不是需要学的太深，因为就算是微分方程的计算纯熟，依旧是知其然不知其所以然。想要知其所以然，这条路上是没有答案的，必须去学习分析和抽象代数，尤其是分析。好在，大多数人是不求甚解的。那么从一开始就不需要为孩子的数学太焦虑，只要能够扎扎实实的学好就好。 如果内心里有向往星辰大海，征服未知，和古今往来的贤者神交的渴望，那么数学是人类智慧的最高峰之一。站在这山顶上，你可以高兴的宣布，我征服了人类的最高峰，对某些人，这个很重要，一如对另外一些人，鲜衣怒马很重要。如果属于前一类，在学习完了微积分，线性代数之后，就应该去认真的学习实分析了，尤其是点集拓扑论，以及建立在其基础之上的积分理论（黎曼，拉贝格）。这些是微积分，微分方程，概率论，泛函分析的基础。如果能够深入理解这个领域，微积分，微分方程，概率论都只是简单推论。另外，就是抽象代数。这是中国（包括苏俄）相对薄弱的领域，但是却是现代数学最重要的方向，线性代数是它的一个很小的分支。如果真的想要进入神的领域，就去搞代数几何。因为到了最后，大道无形，几何（形）已经不存在了，代数包含了万物，就是代数几何。 至于有志于当马公的，马公是不需要数学的，需要的是逻辑。具体来说，顶级的马公，一定是计算理论很好的，这个领域，实际上是数理逻辑的一个分支。 可惜，不论是分析，还是数理逻辑，还是抽象代数，都和算数没啥关系。甚至，对于深受算数影响的一般人，需要先打破固有的算数对于思维的束缚，才能前进。这些领域，需要的是抽象思维能力。但是，所谓的抽象思维，也是一个玄学。我自己的个人感受，如果不能够视觉化的话（我说的不是分析这种还能画出来的东西，而是抽象代数这种已经不能够画出来的东西），是不能够根本理解并应用这些领域的数学的。这就是所谓数学家的直觉。所以，我总是在跟孩子们讲，好好画画，或许将来你们能成为一个好的数学家。也许，多读点小说，多看点艺术作品，多读点哲学论著，也都有裨益。数学奥林匹克，和这个是不沾边的。 掰叨叨 发表于 2022-01-31 17:34
奥数和数学专业的内容是没什么关系的，但是两者都是和智商correlated。没有搞过竞赛没关系，搞了又拿不到奖就要好好考虑一下了。当然读个本科也没啥。 MountainDu 发表于 2022-01-31 23:11
内卷前奥数奥物的初衷，是兴趣班。也就是说，根本不是用来打啥子扎实数学基础的，而是让有些娃凌波微步好玩开心的。 高中的奥数奥物种子，其实不一定那么基础扎实，当然也不会太差，也就是高中普数普物考试班级第五名左右。 我们当时大学里的同系的校奥物种子选手（非物理系，不过种子选手很多不在物理系），普物只拿了 B。当然物理老师后来不好意思，大家都没面子，人也去竞赛了，后来给改成的 A-。LOL。 tidewater 发表于 2022-01-31 21:43
那样的初衷，那样的美，我也想往，可是早就都回不去了。 掰叨叨 发表于 2022-01-31 22:06
这个我同意，非常同意，我小时候也喜欢小打小闹的那种奥数。但是版上所谓推奥数，有几个是真的满足于“兴趣班”？ 当时中国引进奥数是为了数学启蒙，让更多人感兴趣，发现数学的美，走上高等数学的路。但后来被国人刷题的习惯玩坏了，还没等开始学习高数就已经严重burnout，升完学就把数学抛在脑后，引进奥赛的前辈后悔不迭。 badgerbadger 发表于 2022-01-31 23:46
只要竞赛拿奖报送取消，当然能回去。 周瑜 发表于 2022-01-31 23:56
智商也是绕不过去的。以前玩魔方也被认为是一项高智商活动，现在有个教程，学学口诀，都可以看起来很聪明。同理。 掰叨叨 发表于 2022-01-31 23:41
你说的好像竞赛的题有万能公式似的 MountainDu 发表于 2022-02-01 00:04
我记得楼主是不主张推娃进藤校的， 原来也在推数学 lol beth 发表于 2022-02-01 00:08
相对而言的。历史真题越多，做题家越刷的过凌波微步。 tidewater 发表于 2022-02-01 00:06
lol，我们竞赛班题也没少刷，也没见刷出个imo金牌来 MountainDu 发表于 2022-02-01 00:11
魔方可能不是个好的例子，其实还是应该用更复杂一点的围棋来打个比方。原本以为深奥的，千变万化的围棋，结果最后发现也不过是给各种pattern加输赢的权重（AlphaGo 本质上就是这么回事）。最后也是靠肌肉记忆的，其实本质上和奥数类似。 掰叨叨 发表于 2022-02-01 00:15
你是做数学研究的吗？ 楼主说得非常清楚了，做数学研究和解奥赛题根本就是两码事。 zhegufei 发表于 2022-02-01 00:25
我本科学的数学，phd学了别的。 我也说的很清楚了，搞竞赛拿不了奖说明智商不够（比如我），不适合做数学研究 MountainDu 发表于 2022-02-01 00:33
数学研究智商重要，但也没那么重要，above average就行。长期来看最重要的是毅力、热忱和心态，如果有个好导师更是如虎添翼。如果走学界，这是个很可能冷板凳坐几十年的工作，也要做好一辈子默默奉献的准备，比如张益唐。 数学研究走不下去的，除非是外界条件不允许，基本都是心态上出了问题。不是所有人都能在高薪诱惑之下继续坐冷板凳的。 badgerbadger 发表于 2022-02-01 00:39
回复 112楼掰叨叨的帖子 人身攻击了呦， 新年祝你妈妈身体健康呦， 我上次的祝福还记得吗 哈哈哈 beth 发表于 2022-02-01 00:28
另外我一直在找，关于数学的有趣的书，可能会涉及到数学史吧，就是介绍，我们为什么要发明这些数学工具的书，适合给小学生看的。大家要是有推荐的，这里先谢谢了！ xiaoping_tao 发表于 2022-01-31 18:03
数学研究智商重要，但也没那么重要，above average就行。长期来看最重要的是毅力、热忱和心态，如果有个好导师更是如虎添翼。如果走学界，这是个很可能冷板凳坐几十年的工作，也要做好一辈子默默奉献的准备，比如张益唐。 数学研究走不下去的，除非是外界条件不允许，基本都是心态上出了问题。不是所有人都能在高薪诱惑之下继续坐冷板凳的。 我们也是越往后面走越发现心态的重要性，学习工作对于品性也是种修行，怎么去接纳自己，怎么安于平静。数学界能做到大佬的人，人格上都是非常mature的，跟这种导师最重要的不只是学知识，而是他能在你心态迷失的时候给你指明方向。 badgerbadger 发表于 2022-02-01 00:39
数学研究智力仅仅above average肯定是不行的。Above average做工程可以，但是纯数学要求太高了。 dazhutou1 发表于 2022-02-01 01:33
数学是人一辈子都有用的一种逻辑语言，我深深希望自己把刷奥数的时间都拿来学数学。现在对学CS很多分支的瓶颈，也是卡在数学上面。 太实用了，眼界又不高，总是觉得码农用不到很多高数，但有高数加持的码农跟我们看东西确实不是一个水平。 badgerbadger 发表于 2022-02-01 00:12
yun zhiwei, yuan xinyi都是imo金牌，其他做的好的起码原来也进了冬令营 MountainDu 发表于 2022-01-31 22:57
回复 97楼掰叨叨的帖子 我很怀疑在美国按照一般课程设计的学生能够深入了解概率论 大学设计考卷让用功的学生过，这个容易 但是学生的深入了解明白，在于他们自己思维的发展 美国正常小中高的数学教材中是不包含组合的，并且对只能就事论事函数 以至于美国本科大学生接受古典概率，测度论的知识非常有障碍 话说美很多大学数学系已经国内数学系本科的课程搬到研究生课程 因为实在讲不下去了。。。。 echodrawing 发表于 2022-02-01 02:53
但是无论是那种数学竞赛，都不可能定义一个人的数学天赋。拿我娃当例子，他各项竞赛能取得一定成绩，但是绝不是顶级的。他是分析型的，一道题可以持续钻研很长时间，但是在需要速度的竞赛中非常吃亏。在速度型竞赛的成绩不理想的时候，家长就要理性的帮娃分析，告诉他们成绩不代表一切，在将来的学习和研究中，速度的重要性很低。 mystmist 发表于 2022-01-31 23:30
到底是什么原因，让华人如此痴迷于、纠结于数学？ m口罩sk 发表于 2022-01-31 18:10
我个人理解， 一是因为作为家长容易，家长数学基础都不错。自己就可以启蒙辅导，就是送出去学也可以做基本的把关。你要从来没打过棒球的家长推棒球，完全不知道从哪里开始。 二是便宜！新加坡数学一本十几块。扔给孩子做就可以了。你出去推个别的。一节课一百块都是常见的。 三是孩子适合有点天赋。靠读书出国的家长，大部分都是理工科背景，孩子理工科有天赋的比例，应该高于普通的population. 所以孩子走这条路，也不算勉强。 mylittle9 发表于 2022-02-01 04:13
回复 101楼badgerbadger的帖子 其实会被burnout的估计大概率也不适合以后以学术界为职业。少年时期培养一定的抗压能力也是很重要的。 singapura 发表于 2022-02-01 04:16
回复 148楼badgerbadger的帖子 你看到的大佬们成名已久，tenure可能都是30年前拿的，性格随着年龄增加和功成名就也会逐渐softened。去找个对研究要求还比较高的学校的小ap聊聊可能有不同的感受。 singapura 发表于 2022-02-01 04:29
“家长数学基础都不错”是国内能做题的那种。你看版上，都自我感觉数学不错，一有人上来问小学奥数题，概率、几何、代数，就发现大多数人说起来一套一套的，其实根本没搞懂原理，教孩子也是生搬硬套。 badgerbadger 发表于 2022-02-01 04:18
中国家长的数学基础，再差也高于population的平均值。不管是不是能走到最后，带小孩子入个门，都没问题。 再差，也比推娃打棒球强啊。 我看过我们小区那种娃刚走路，爸就带着娃挥棒子。爸也不是啥职业选手，就是自己玩过而已。 mylittle9 发表于 2022-02-01 04:39
回复 150楼badgerbadger的帖子 学术界要成功都要看命。有没有大佬罩着，和大佬（们）合不合得来，有没有在正确的时间点得到正反馈，上市场的时候经济如何，network/social的能力，吹水/present的能力，紧随热点/骗钱的能力，对成为huaren人上人的渴望，对生活稳定性/风险的需求/容忍度等等，每个有一点点小扰动，结果都可能截然不同。当然某一或几方面特别厉害的，还是可以逆天改命的，比如tom zhang singapura 发表于 2022-02-01 04:44
入门可以，但是别入歪了。 版上大多数人连移项变号是为什么都不理解，还不如找个系统性教科书小孩自己读了。有些家长推娃之前应该自己先把基础知识搞懂了，不然娃好像学过，知道怎么做题，但到了高年级就是衔接不上，很多就是这个原因。 badgerbadger 发表于 2022-02-01 04:42
这么说吧，你得看和谁比，华人大部分理工科出身的家长的数学素质，是远高于这边大部分中小学老师的数学素质的。 如果家长带着入门能入歪了，那更大的概率，家长不管，靠老师，就更不行了。 我不是说家长一定要如何如何，只是想说，华人家长帮着孩子学学数学，只要不走极端，真的很正常，大部分情况对孩子也是益处大于害处。没有必要judge或者否认。 老美自己带孩子打棒球的多了去了。也不都是职业素质，入门歪了的也有吧。但是入门能被家长带歪的，大概率就没有什么这方面的天赋，家长带的这点歪，对孩子的人生不会有决定性的影响。 想推就推，只要别走极端。一开始别猛推，别竖立远大目标，启个蒙，然后看看孩子素质再说。 mylittle9 发表于 2022-02-01 05:36
求生欲disclaimer，没有否定奥数和家长推数学的意思，只是分享一下我自己的观点。欢迎大牛指正。 先说说数学和奥数。数学奥林匹克，本质上是运用初等数学方法，解决比较复杂的问题。这和数学发展的趋势，并不一致。确切的说，数学的发展发向，始终是在方法上有突破，从而能够用更高等的方法，更快更直观的解决问题，而不是局限于初等方法，通过增加其应用的复杂度，来解决问题。 数学奥林匹克，当然有它的意义。高等数学方法的学习和理解，是建立在对初等数学方法的熟悉和掌握之上的。自然，初等数学方法理解掌握越充分，对于高等数学的学习就越有好处。但是，从教育角度来说，必须考虑性价比的问题。孩子的时间是有限的，在某个领域的投入，就要挤占其他领域的投入。而回报曲线，往往是随着投入的增加，逐渐降低的。也就是说，随之在奥数的时间的投入增多，对未来高等数学学习的促进，就会减少。每个人可能需要根据自己孩子的规划，兴趣，特长来决定投入的多少。平心而论，中国家长对于奥数的热情，起源于升学带来的优势，而不一定是对数学教育的热诚以及对数学的热爱。对于很多家长来说，奥数就是敲门砖，是进入好大学的敲门砖，是未来黄金屋，颜如玉的敲门砖。这种想法，无可厚非，只不过就不如大大方方承认，没有必要把奥数神圣化，要是哪一天玩魔方也称为考大学的加分条件，那么大家就去玩魔方了。这个没什么丢人的，但是不要把奥数神圣化（再强调一次），搞鄙视链，忽悠家长，压迫孩子。 就我个人的经历来说。我曾经被认为是有潜力的苗子，参加过种种培训，但是因为贪玩，所以最后也就没有走上那条路。初中的好朋友，有一个高中去了中科大的少年班，后来保送去了Top2数学系，令人羡慕。另外一个，没有能够被保送少年班，发奋图强，高中三年关小黑屋专门练习奥数，最终拿到国际奥数银奖，保送Top2。这位原本活泼可爱的少年，在三年的小黑屋生涯之后，变得木讷了很多。高三我俩保送以后，有一次在一起聊天。我祝贺他拿了银奖，他叹了一口气，说就是为了保送而已，其实奥林匹克都是些奇技淫巧，没什么用处, 这是他的原话。以我们两个人的关系和他的神态，应该不是客套。进了大学之后，他越发的木讷了。后来在美国见面说话已经很少看人了。回头再看，我倒是真的很怀念以前那位活泼可爱的少年 ，不知道消失到哪里去了。至于那位保送中科大少年班的朋友，倒是一直活泼可爱，可能是因为上了少年班就不用再搞奥数那些东西吧。Top2毕业来到美国读书学习，最后也是和我们一起搬砖。还有另外一位关小黑屋的师兄，拿了国际奥数金奖，保送Top2，却在一年之后因为个人原因退学回家，再也没有联系。 最后感慨人生，成功是门玄学，数学教育和奥数不是一回事。 掰叨叨 发表于 2022-01-31 17:33
太赞同了，其实我原文里有一句，数学家是一个清贫又寂寞的职业。后来觉得这话太残忍，就删掉了。 掰叨叨 发表于 2022-02-01 00:43
学校数学教的非常不扎实，特别是到高中。 从小学开始，数学很少有数学专业的老师教，大概率碰到文科老师教。他们自己能照本宣科的教，就很不容易了。一个新概念和之前学过的内容之间的各种引申，变化，联系，老师们往往自己也不知或不懂。这边推崇的螺旋式教育，实施起来就是万事不求甚解，浮于表面。 在这种大前提下，初中开始有专科老师。但同时也开始了老师上面讲，同学听懂了多少靠自己的篇章。除了有天赋的，和家里抓得紧的，娃们学到多少真的会惊掉你的下巴。但是这并不会影响孩子们得A得B。 高中要超前学，好的高中可以开课，微积分，微分方程，线性代数，名字叫的高大上，能把我们这些曾经饱受折磨的家长唬得一愣一愣的。其实呢？看一下娃的作业，课本，依然浮于表面。更有甚者，为了简化一些理论，没有证明，没有引论，直接给个结论，有时甚至严格来讲是错的。知其然，不知其所以然，我认为危害更大。不如到大学里面去全面系统的学。 但是为了好大学，必须在高中选高难度数学。我给我娃说的是，如果将来学文就算了，如果学理或工，这些数学课一定要到大学里重学一遍，不然那些错误的概念留在脑子里太可怕了。 mystmist 发表于 2022-01-31 20:45
其实现在美国参加竞赛也是对数学的一种巩固，真正大量刷题去考试求成绩的还是少数，大部分都是让孩子去试试或者能多学点东西，因为学校本身提供的数学教程其实很浅。godisagirl01 发表于 2022-02-01 08:04
其实任何ec推到了金字塔的顶端，楼主说的都适用。 那就躺平闲着么。。。。 anthropolian 发表于 2022-02-01 09:24
我就是这么用的，但是还要补充一些教材，弥补一下美国这边课程的不足。看你的目标是什么。我的目标是给孩子打好基础，将来孩子自己决定自己的路。 掰叨叨 发表于 2022-01-31 18:04
回复 141楼tasu的帖子 我不能确定楼主提供是不是最不浪费时间的高等数学入门顺序。 不知道楼主有没有在美国大学里面教线代的经历。 美国大学生对线性代数的理解力，要比中国大学生低一个数量级 （同时美国的线代课本也比中文的线代课本写得好一个数量级） 无它， 中国学生在学线代之前，已经学过三个数学系统 （一）平面几何（只画图证明，不引入坐标） （二）解析（就是笛卡尔的那套） （三）立体几何 顺便说一下，中国20年代教改把代数几何混起来，破坏了系统性 不知道是哪个脑残搞出来。 无论俄罗斯，还是法国，他们初等数学里面 平几，解析，立几 都是各自完整一本书 有了三个模糊的关于一个体系怎么建立在高中的学习 在看到大学中线代的课本很多国内大学生是可以自己阅读的 很多人玩了一学期，最后一周翻翻书就去考试了。 正是因为他们前面的准备他们具有了自我阅读大学数学教材，学习的能力 （不过现在很多国内高校的教数学的也反映， 因为在信息时代过分保姆式的教学——就是高中老师把知识点，考点都咀嚼出来，讲烂了， 导致国内小孩的数学自身理解力也严重后退， 国内教高数的同僚也是头疼。。。。） 我对小孩数学学习的期望 并不是竞赛——他并没有这样的天赋 去竞赛，去做分母，是为了基础知识的构建， 当然或者对于生活来说，像楼主说的 学过微积分，线代，统计就足够入世和一般的生活需求了 而我希望自己的小孩 在自己需要或者觉得好玩的时候， 可以自己阅读数学应用相关的书，不会怎么都读不下去。 很多人一生并不需要去学实分析，泛函（数学专业最基础的课） 学些简单的跟其他科目交叉的， 博弈论，图论，概率论都挺好玩 也都与很多专业相联系 前面有人提到的what is mathematic 是本好书。 顺便说一下，你提到初等数学与高等数学不相同，花了很久才明白 其实本质上是由由师范出来的老师讲授知识 和从数学架构上接受知识， 两者之间的区别造成造成的。 这个方面，哥廷根数学学派，有非常详尽的解释。 echodrawing 发表于 2022-02-01 08:55
mark一下，我娃在数学上天赋有限，但是一直说自己以后要当数学家。有时候我挺怀疑他能不能念下去，如果他真的可以坚持读下去，发现并且享受数学的美，那所有的努力都是值得的。
智商也是绕不过去的。以前玩魔方也被认为是一项高智商活动，现在有个教程，学学口诀，都可以看起来很聪明。同理。
这个我同意，非常同意，我小时候也喜欢小打小闹的那种奥数。但是版上所谓推奥数，有几个是真的满足于“兴趣班”？
当时中国引进奥数是为了数学启蒙，让更多人感兴趣，发现数学的美，走上高等数学的路。但后来被国人刷题的习惯玩坏了，还没等开始学习高数就已经严重burnout，升完学就把数学抛在脑后，引进奥赛的前辈后悔不迭。
只要竞赛拿奖报送取消，当然能回去。
我觉得小孩还是有可能基于兴趣，到此一游的。特别是天性不那么拼的小孩。
推爸推妈基本很难的。所以我觉得平常心的唯一途径就是算了别设期望值。报上班后别去管，除了娃问问题答疑。
也不一定，毕竟比蛋是父母常情。
我儿子智商肯定没问题，这点我有信心，他只是不愿意花很多时间刷题。现在是如何让他发现自己的passion，从而为之努力。现在对数学感兴趣了，我就想能不能引导一下。
国内取消奥数保送加分，这不又来美国卷了
你说的好像竞赛的题有万能公式似的
相对而言的。历史真题越多，做题家越刷的过凌波微步。
谁还没当过做题家，懂得自懂
有些人要点脸，这个帖子不是写给你这种人看的。怕是看不懂
lol，我们竞赛班题也没少刷，也没见刷出个imo金牌来
数学是人一辈子都有用的一种逻辑语言，我深深希望自己把刷奥数的时间都拿来学数学。现在对学CS很多分支的瓶颈，也是卡在数学上面。
太实用了，眼界又不高，总是觉得码农用不到很多高数，但有高数加持的码农跟我们看东西确实不是一个水平。
魔方可能不是个好的例子，其实还是应该用更复杂一点的围棋来打个比方。原本以为深奥的，千变万化的围棋，结果最后发现也不过是给各种pattern加输赢的权重（AlphaGo 本质上就是这么回事）。最后也是靠肌肉记忆的，其实本质上和奥数类似。
还是相对而言的。另外很多娃大脑有自我保护机制，除非 toxic 环境，不刷太狠。因为大脑不愿意 disk full。
对，最后输给了 CS
你是做数学研究的吗？
楼主说得非常清楚了，做数学研究和解奥赛题根本就是两码事。
人身攻击了呦， 新年祝你妈妈身体健康呦， 我上次的祝福还记得吗 哈哈哈
我本科学的数学，phd学了别的。 我也说的很清楚了，搞竞赛拿不了奖说明智商不够（比如我），不适合做数学研究
数学研究智商重要，但也没那么重要，above average就行。长期来看最重要的是毅力、热忱和心态，如果有个好导师更是如虎添翼。如果走学界，这是个很可能冷板凳坐几十年的工作，也要做好一辈子默默奉献的准备，比如张益唐。
数学研究走不下去的，除非是外界条件不允许，基本都是心态上出了问题。不是所有人都能在高薪诱惑之下继续坐冷板凳的。
我们也是越往后面走越发现心态的重要性，学习工作对于品性也是种修行，怎么去接纳自己，怎么安于平静。数学界能做到大佬的人，人格上都是非常mature的，跟这种导师最重要的不只是学知识，而是他能在你心态迷失的时候给你指明方向。
太赞同了，其实我原文里有一句，数学家是一个清贫又寂寞的职业。后来觉得这话太残忍，就删掉了。
这俩例子基本能算是一回事，一个背公式一个背棋谱，都得记各种图形pattern, speed cube还要手指头灵活。记忆力特别是图形记忆力本来也可以算是智商的一部分吧，这方面厉害确实也是聪明，也不是就只看抽象思维历不厉害。
我也祝你儿子身体健康，学业顺利。我的祝福相信他一定可以感受到。儿子智商随母，真是幸运的孩子呢。
我来推荐几本： What Is Mathematics? An Elementary Approach to Ideas and Methods The Joy of x: A Guided Tour of Math, from One to Infinity · [强烈推荐] The Princeton Companion to Mathematics [这个不适合孩子。要受过大学数学教育]
数学研究智力仅仅above average肯定是不行的。 Above average做工程可以，但是纯数学要求太高了。 高斯，欧拉，伽罗华，柯西，阿贝尔，华罗庚，等等都是二三十岁就突出的成就了。 而且数学需要高师指点。
这里的 above average 指 national percentiles top 2% 我想。
码农需要抽象代数加持，微积分帮助不大。
朋友闲聊时统计过冬令营奥数，奥物的现在做什么工作 好像奥数冬令营中还在学术界的比例大于奥物的 这两专业其实都坑
奥数其实有些类似于戴维跟法拉第的对话 戴维说，搞化学收入付出比成比例，你为什么要入坑 法拉第说，从事这个本身获得的愉悦，就是最好的报酬
就像前面说的跳出奥数看奥数 它本身所希望找寻的是思维的闪烁（就是看似不相关的知识点们链接在一起，连成一个通路，脑子灵感一闪的愉悦） 也就是培养趣味，找寻思维的闪烁点
但是凡事规格化的考试，就有套路， 千前些日子在这个网上看到一个娃妈问一道新加坡数学 有人觉得做多了，习惯了，遇到这种题就用什么方法做，习惯了，形成讨论就好 有人觉得，这种题不要套路，看一遍，觉得好玩多琢磨琢磨，下次自然就会了
奥数本意是2，不小心弄成了1 无他，家长参加奥数,并曾经思维如此觉得妙趣横生的也不多， 所以他们也只能跟着1
奥数走到最后一步，确实需要专门的training，因为它确实有一些根本平时接触不到的思维模式 但是说奥数制约人数学思维发展 那个不能怪奥数吧，每人思维的长处不一样 要怪也只能怪没有在那里，硬逼着往那里走吧
奥数说穿了是个替死鬼 一个家长认为自己可以推，却忽略小孩个体性和自身局限性的替死鬼 其实爱运动的带娃运动 爱艺术的带娃艺术运动 承认家庭环境的差异性和娃的个体性 寻找最适合娃的pace就可以了
小孩的发展，最大的障碍就是 没有穿越后对自己了解的最优解， 认识自己最擅长的方向在哪里，本是长大过程最难的一点。
话又说回来 如果在美国，还是让娃数学竞赛吧 哪怕做分母，不用过度准备，重在参与 因为美国整个小中高的数学知识没有让学生学得融会贯通 参加竞赛可以让小孩脑中将这些破碎的点自我链接起来
打个比方，美国很多大学生，即使理工科，让他们自己解二元一次方程（就是两直线的交点）,很多学生一开始不能，大学老师还得提供资料给他们复习这些 中国大学生只要不是艺术生，解二元一次方程没有问题
不是套路的问题 而是连二元一次方程蕴含的消元思路都不能领会，大学的线代，还学个毛啊？！
参加amc不是为了去竞赛 而是说，化化之后，成了二元一次方程，心里一乐，这个我会啊，心中一喜，写出来了 自让自然而然的就对基本知识纯熟了
说中国套路， 有没有想过，美国学生同样的数学学习课堂时间，都花在破碎的一个个知识点上 从来没有串起来，其实美国中小学对数学的学习才是真正的一个个套路， 从分数计算就开始了，分数除法，有个叫做keep change flip的口诀 一元一次方程用两步法，一次大家考虑给进来本科生进行测试的内容，以便进来的大学生分不同选课，一个数学系的老教授问我什么是两步法，我写给他，他瞠目结舌 美国中小学的数学教育才叫告诉你怎么套 而且他们是一个个套路套最基本的初等数学知识 （主要是老师本身就没有数学知识体系，其实教材写的很不错）
让孩在美国参加数学竞赛 可以作为帮助小孩把基本知识串联起来 当基础知识只是思维的一个步骤是，大脑会自动跳过步骤，寻求最方便得出答案，进入下一步思维的路径 做分母没有关系
我对自己娃的想法
我很怀疑在美国按照一般课程设计的学生能够深入了解概率论 大学设计考卷让用功的学生过，这个容易 但是学生的深入了解明白，在于他们自己思维的发展
美国正常小中高的数学教材中是不包含组合的，并且对只能就事论事函数 以至于美国本科大学生接受古典概率，测度论的知识非常有障碍
话说美很多大学数学系已经国内数学系本科的课程搬到研究生课程 因为实在讲不下去了。。。。
学数学学得特好这些要么是自己特有兴趣要么是家传，在国内也一样，会做题但不理解原理的人是绝大多数。
按一般课程，普通人就是普通人，美国学界的强大也不靠普通人。
竞赛分数不能定义一个小孩的天份， 但是竞赛过程可以看出一个娃的天份
一道题钻研很久绝对是有天份 因为一道题弄透了，才避免了套路啊
竞赛不是为了分数 就是为了他在专研过程中思维的构建 也就是说各种基础知识的融会贯通---这正是美国小中高数学教育缺乏的
看一个小孩的对事物的思维模式 可以看出一些 我娃就缺乏数学的天份---他思维最初出发点更趋于文科 我鼓励他做分母
关于你说的视觉化
这让我想到高斯的一个名言：足够聪明就不需要画图
但也恰恰是他在思维的视觉化中找到了 等差数列公式 正十七边形的做法 二项式定理 柯西积分定理
什么东西套路化其实就是就失去了本意 类似于新加坡数学的画图解题， 那个跟真正逻辑思维的视觉化有很大差异 逻辑的闪光，很大是联想力，构建力，创造力的对基础知识的融合 （我不是说新加坡数学不好，我只是用它举例说明，它的那个看到这种题就按例题画图 跟思维视觉化之间隔着很多很多）
或许 那些终究会有益于我们的， 不是功利心的去做过什么 而是没有任何功利的 愿意投注自己的时间找寻和思考什么
类似于高斯小王子从躺床上想到方程解法到决定选择数学专业一瞬间
我个人理解， 一是因为作为家长容易，家长数学基础都不错。自己就可以启蒙辅导，就是送出去学也可以做基本的把关。你要从来没打过棒球的家长推棒球，完全不知道从哪里开始。
二是便宜！新加坡数学一本十几块。扔给孩子做就可以了。你出去推个别的。一节课一百块都是常见的。
三是孩子适合有点天赋。靠读书出国的家长，大部分都是理工科背景，孩子理工科有天赋的比例，应该高于普通的population. 所以孩子走这条路，也不算勉强。
其实会被burnout的估计大概率也不适合以后以学术界为职业。少年时期培养一定的抗压能力也是很重要的。
“家长数学基础都不错”是国内能做题的那种。你看版上，都自我感觉数学不错，一有人上来问小学奥数题，概率、几何、代数，就发现大多数人说起来一套一套的，其实根本没搞懂原理，教孩子也是生搬硬套。
说实话，要有alphago的本事，基本可以outsmart 90%以上的职业数学家了
学术那种抗压不是机械刷题的抗压，而正是要抵抗对名利的焦虑。
而且即使是学术路线，要想走长走远，也是需要关注自己身心健康的。我说了，数学大牛，大多数做人也很mature，会balance自己的心态和状态，甚至关注学生的状态，急功近利心态不好是做不成事的。
你看到的大佬们成名已久，tenure可能都是30年前拿的，性格随着年龄增加和功成名就也会逐渐softened。去找个对研究要求还比较高的学校的小ap聊聊可能有不同的感受。
这就是师从大佬的好处了，大佬知道心态的重要性，也不愁钱。事实上，跟什么样的导师/父母，能很大程度地决定你的学术前途。
这东西吧，我发现也是家传。大佬的孩子很可能也是大佬，即使不在一个field。不只是经济基因network，还有对学习对人生的观念。别人一辈子走不到的路，父母都已经体验过了，这套三观本身就是无价的财富。
很多人心态不好折在半路，也很可惜。
中国家长的数学基础，再差也高于population的平均值。不管是不是能走到最后，带小孩子入个门，都没问题。
再差，也比推娃打棒球强啊。
我看过我们小区那种娃刚走路，爸就带着娃挥棒子。爸也不是啥职业选手，就是自己玩过而已。
入门可以，但是别入歪了。 版上大多数人连移项变号是为什么都不理解，还不如找个系统性教科书小孩自己读了。有些家长推娃之前应该自己先把基础知识搞懂了，不然娃好像学过，知道怎么做题，但到了高年级就是衔接不上，很多就是这个原因。
学术界要成功都要看命。有没有大佬罩着，和大佬（们）合不合得来，有没有在正确的时间点得到正反馈，上市场的时候经济如何，network/social的能力，吹水/present的能力，紧随热点/骗钱的能力，对成为huaren人上人的渴望，对生活稳定性/风险的需求/容忍度等等，每个有一点点小扰动，结果都可能截然不同。当然某一或几方面特别厉害的，还是可以逆天改命的，比如tom zhang
层主加油吧。投胎也是个技术活，但自己能控制的，还是要继续努力。
有娃吗？上学了吗？关心过娃在学校学的是什么样的“数学”吗？ 不是华人痴迷，纠结数学，是美国公校真的不行啊：（（ 数学是一切理工的基础，基本数学概念的缺失，对物化生也是致命打击。 看着学生对化学反应方程式应用无误，但是就是卡在不知该用乘法还是除法解题的时候，是真的想撞墙的。。。。 不用怀疑，这是我的真实经历，高中生，在乘除法上卡壳
这么说吧，你得看和谁比，华人大部分理工科出身的家长的数学素质，是远高于这边大部分中小学老师的数学素质的。
如果家长带着入门能入歪了，那更大的概率，家长不管，靠老师，就更不行了。
我不是说家长一定要如何如何，只是想说，华人家长帮着孩子学学数学，只要不走极端，真的很正常，大部分情况对孩子也是益处大于害处。没有必要judge或者否认。
老美自己带孩子打棒球的多了去了。也不都是职业素质，入门歪了的也有吧。但是入门能被家长带歪的，大概率就没有什么这方面的天赋，家长带的这点歪，对孩子的人生不会有决定性的影响。
想推就推，只要别走极端。一开始别猛推，别竖立远大目标，启个蒙，然后看看孩子素质再说。
我非常支持家长教数学，前提是教对了教明白了，不要追求跳级那些虚的。我相信数理出身的肯定足够教自己孩子，但版上很多说教娃吼到吐血，但一看家长自己逻辑都不清楚的，我很反对。我只是建议家长自己不懂的，先补补课，再去系统性地教别人，亲子一起学习，不丢人。
大佬的数学很多也是自己父辈启蒙的。
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就是这样。
包括本帖里的提到的几个奥数和后来的数学大牛，也过的非常清贫辛苦，甚至断子绝孙或者接近断子绝孙。或者看看前人，牛顿爱因斯坦。或者那个佩雷尔曼。我一点都不worry这些卷奥数的，遇到他们我都是夸+鼓励他们继续使劲卷，反正过一两代这批人就灰飞烟灭了。
像陶哲轩本尊或者CMU那个下海经商搞奥赛培训一年几米那样还有个正常生活的是非常极少数。这一点大家没什么不同意见吧。
家长得多无知或者对自己孩子恨，才会让小孩挤奥数金银牌/数学的路。很多很多还是家长大把时间砸进去去教。牺牲一代让下一代断子绝孙？我是看不到point何在。
好贴 谢谢
讲的真好 顶一个
写的真好。问一下这边几何是一年就学完了。平面加立体几何。 几何在数学中不重要是吗。是不是几何的应用非常少也不影响以后学更难更深的数学？
MARK
我不能确定楼主提供是不是最不浪费时间的高等数学入门顺序。
不知道楼主有没有在美国大学里面教线代的经历。 美国大学生对线性代数的理解力，要比中国大学生低一个数量级 （同时美国的线代课本也比中文的线代课本写得好一个数量级） 无它， 中国学生在学线代之前，已经学过三个数学系统 （一）平面几何（只画图证明，不引入坐标） （二）解析（就是笛卡尔的那套） （三）立体几何 顺便说一下，中国20年代教改把代数几何混起来，破坏了系统性 不知道是哪个脑残搞出来。
无论俄罗斯，还是法国，他们初等数学里面 平几，解析，立几 都是各自完整一本书
有了三个模糊的关于一个体系怎么建立在高中的学习 在看到大学中线代的课本很多国内大学生是可以自己阅读的 很多人玩了一学期，最后一周翻翻书就去考试了。 正是因为他们前面的准备他们具有了自我阅读大学数学教材，学习的能力 （不过现在很多国内高校的教数学的也反映， 因为在信息时代过分保姆式的教学——就是高中老师把知识点，考点都咀嚼出来，讲烂了， 导致国内小孩的数学自身理解力也严重后退， 国内教高数的同僚也是头疼。。。。）
我对小孩数学学习的期望 并不是竞赛——他并没有这样的天赋 去竞赛，去做分母，是为了基础知识的构建，
当然或者对于生活来说，像楼主说的 学过微积分，线代，统计就足够入世和一般的生活需求了 而我希望自己的小孩 在自己需要或者觉得好玩的时候， 可以自己阅读数学应用相关的书，不会怎么都读不下去。
很多人一生并不需要去学实分析，泛函（数学专业最基础的课） 学些简单的跟其他科目交叉的， 博弈论，图论，概率论都挺好玩 也都与很多专业相联系
前面有人提到的what is mathematic 是本好书。
顺便说一下，你提到初等数学与高等数学不相同，花了很久才明白 其实本质上是由由师范出来的老师讲授知识 和从数学架构上接受知识， 两者之间的区别造成造成的。 这个方面，哥廷根数学学派，有非常详尽的解释。
同意，真的是这样
是。 我家的，我就是要求她一个星期上一个2个小时的数学课，作业做不做不要求。我自己以前就是这样，上学校提供的奥数和奥物课里混着，拿些省内的奖。比课堂上学得深，基础打得好。我对孩子的要求也是这样。 她有几个亚裔朋友是每个星期上6，8个小时的数学课，再加上做作业，花很多时间，是走竞赛路线的。我觉得除非是孩子特别喜欢，也特别有天赋，要不然不值得在数学一门课上花这么多时间。跟学乐器也是一样，如果不走专业，只为了得奖，真没有必要天天几个小时的练。
在躺平和内卷之间，其实还有好好生活（努力并快乐）这个状态
你去找找70后和80后在美国tier 1学校数学系拿到tenure的中国人，当年没进过冬令营的几乎就没有
请问有哪些补充教材可以推荐呢？谢谢。
非常感谢分享了这么多，受益匪浅，这也是我发这个帖子的初衷。其实2021受教最深的一句话，也是听别人说的，那就是孩子即使有天赋，也不一定要去推。每个父母包括我在内，看待孩子都有滤镜，觉得孩子普通的少，觉得孩子有天份的多。岂不知，推的过程中经常把这点小小的兴趣和爱好都推没了。真正有天赋的孩子，其实也不用推，他们会推着大人走。怎么样对自己的孩子有个正确的认识，提供好的资源和环境，但是不拔苗助长扼杀孩子的兴趣，是家长的修行。
还是应该着眼于当今数学发展的前沿，或者是应用方面的前沿。孩子们有一定的数学技巧就可以了，然后在更近代的数学领域往前学一点。
现在回想起来，除了微积分和线性代数这种小儿课，基本上所有的数学基础课我都学了两边：代数拓扑，近世代数（特别是Galois部分），微分几何。只有在第二遍学的时候，我的笨脑瓜才反应过来。当然分析类的课花的时间更多了。所以小孩子真的对数学有兴趣，应该尽早往前学，要学的东西实在太多，不应该浪费在奥数上。
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