you need to post the whole question in detail. For example, what is the probability in "increased probability"? how to define the probability? if you can upload the detailed question, I might be able to help you. Otherwise, I cannot because you and you child talked actually about two different things.
这个是完全不同的问题，这个问题的关键在于两个信封的假设 每个信封里面的钱是没有先验概率分布的。。。而假定是一个fixed dollar amount 这个假设在这里只不适用的，因为会造成expected value 趋于无穷的问题
Cumberbitch 发表于 2021-05-17 17:26
我认为楼主描述的原题就是这个wiki里的problem: You are given two indistinguishable envelopes, each containing money. One contains twice as much as the other. You may pick one envelope and keep the money it contains. Having chosen an envelope at will, but before inspecting it, you are given the chance to switch envelopes. Should you switch? 不知道不同的点在哪里？
我认为楼主描述的原题就是这个wiki里的problem: You are given two indistinguishable envelopes, each containing money. One contains twice as much as the other. You may pick one envelope and keep the money it contains. Having chosen an envelope at will, but before inspecting it, you are given the chance to switch envelopes. Should you switch? 不知道不同的点在哪里？ ZDI92JJ1 发表于 2021-05-17 18:12
大学教概率论的老师给你们个答案吧。 首先，孩子是错的，逻辑上错了，数学上也错了。但是这个错误不完全怪孩子，因为这个问题是 ill-defined. 在看这个问题之前，首先要明确“随机取个正数“在数学上是什么意思。我们都知道随机在1到100 之内取个整数的通常理解是每个1 到100 的整数以1/100 的概率被取到，即 follow 均匀分布；这个无质疑。但是”随机取个正数“在数学上是什么意思？学过概率论的都应该知道，在正整数或正实数的区间内，并不存在均匀分布。如果X 可以取到正数（或正整数）中的每个值，它的分布一定是个非均匀分布。所以这个问题的看似悖论其实就出在 X 的概率分布没有被给定。要想这道题有解，我们必须首先指定X 的概率分布函数。 假设 X follows a given known distribution P. 那么，我们也可以知道 2X 的分布。剩下的便是使用 Bayes Rule 来推算拿到的信封的后验概率分布，然后得出另一个信封的后验概率分布。然后在后验概率下求另一个信封里钱数的数学期望。具体如下： ***** Let X be a real number drawn from a distribution P on the positive reals. Let the two envelopes be indexed by 1 and 2, where $X is put into envelope 1, $2X is put into envelop 2. Let Z be a random variable denoting the index of the envelope picked initially, and Z takes values 1 and 2 both with 0.5 probability. Let U denote the index of the other envelope. Let Y be the amount of money observed in the initial envelope. Suppose that we observe Y=y. Let us infer which envelop we have picked initially. Note: P[Y=y|Z=1] = P(y) P[Y=y|Z=2]=0.5 * P(0.5*y) P[Z=1|Y=y] = P(y) / (P(y) + 0.5 * p(0.5 * y)) -- Bayes rule; call this number A, for simplicity. P[Z=2|Y=y] = 1- A This also means P[U=2|Y=y]= A, and P[U=1|Y=y] = 1- A. Then the expected value of money in the other envelop is A*(2y) + (1-A) * (0.5y). We will call this number B. Thus we will choose to switch to the other envelope if B > y. With a quickly simplification, we see that this condition reduces to P(y) > 0.25 * P(0.5 y). Obviously, this decision depends on both the observed value y in the initial envelop as well as the underlying distribution P for X. 不拆开信封看到 y 的value就换当然不make sense. 同时，换还是不换的决定也取决于 P。所以当 P 给定之后，这里并没有任何悖论。 好事做到底，手画个示意图，给孩子讲清楚 （假设前面的公式推导没有出错哈） ******* 五年级的孩子能感兴趣这样的问题难能可贵。我给理工科的大学生上概率论的时候给他们出过这道题，他们也大多被绕进去。（这道题的历史至少有20 年了，我第一次看到是2000 年左右在一期 IEEE Information Theory Society News Letter 里）。大学生也常犯这里孩子犯了的一个的错误：当随机变量只能有两个取值的时候（对应于这里的两个信封），这两个取值的概率未必均等。事实上，在给定 P 的前提下，一般来说算出来的后验分布不是（0.5, 0.5) 的分布，此分布取决于题目中未说明的分布 P 和观测到的信封里的钱数。 另：此题跟 monty hall 并没有太深刻的联系。至少，monty hall problem 是 well defined.
🔥 最新回帖
这个讲的很清楚 学习了
这道题其实还有个寓意：不要以为 The grass is always greener on the other side of the fence。It doesn't make sense!
谢谢。我当年的概率都还给老师了。让他爸看看能不能比我强点。😄
太谢谢你了。
🛋️ 沙发板凳
我觉得这个老师在玩文字游戏
这是几年级的题
我也认为孩子对，但也说不清楚。我学统计学概率的时候经常会有楼主一样的疑问，觉得不合常识，是玩数字游戏。
这个1/2和2的相对参考物不一样啊。
即使按他老师的方法算下来，折腾一圈，还是一样的答案。
if you can upload the detailed question, I might be able to help you. Otherwise, I cannot because you and you child talked actually about two different things.
这个就像“我选A，然后后悔了选B”的case一样，其实啥都没变，两个都还是50%。
里面有多少钱没有任何关系，概率不变，平均打开信封的价值也不会变。
五年级。 是他在网上看到的。 我明天和他一起看一下。 是不是转述又误差。
这两个概念搞懂了，就不会懵了。
是啊， 但为什么？ 你只有两个信封。 怎么会有三个options。
五年级就做这题了，厉害。
你几十年前，初中就学这个了？我十几年前上初中，也没有这个。
那个应该是3道门，你选了一个以后，主持人打开一个你没选的门，里面是空的，问你要不要换你选的门。
这个答案是要换，因为你原来选的是1/3，另一个剩下没选的是2/3。
这个是个悖论：https://en.m.wikipedia.org/wiki/Two_envelopes_problem
是的，不过题目应该是三道门，叫作Monty Hall problem
经你提醒 想起来确实是三道门
自己没文化 不要在这瞎杠
我还没看原题。 孩子去洗漱了。 蛋你一开始只有两个信封。 那你其实只有一个可能性了不是吗。
概率至少在05年以前都是高中的课，初中奥赛都没有涉及。你几十年前初中学概率，你丫才没文化
三个门那个是完全不同的题啊
第一次选的三种可能依次为空空有。 不换 1/3 x 0 + 1/3 x 0 + 1/3 x 1 = 1/3 换 （选了空的 给你看了另一个空的，换了肯定有） 1/3 x 1 + 1/3 x 1 + 1/3 x 0 = 2/3
假设选择的第一个信封里是X，那么另一个信封里有一半可能性是1/2 X，一半可能性是2*X，数学期望是1.25X，这个算法看似没错。
但是注意了，这里的X可不是题目一开始说的"一倍的钱“。因为只有当第一个信封里是”一倍的钱“的时候，第二个信封才有可能是2 * 第一个信封的钱; 第一个信封里是"两倍的钱"的时候，第二个信封才有可能是第一个信封的1/2。也就是说，以上算法计算第二个信封的数学期望的时候用到的X，在两种可能性下是不一样的。
第二个信封里的钱的数学期望到底是多少呢？很简单。如果说题目里的”一倍的钱“是Y
1) 第一个信封里是Y的时候第二个信封里一定是2*Y （第一个信封是Y的概率) * 100% * 2Y = 0.5 * 2Y = Y 2) 第一个信封里的钱是2*Y的时候第二个信封里一定是Y (第一个信封是2*Y的概率）* 100% * Y = 0.5Y
两者相加 = 1.5Y
概率变化的前提是有了新的Information。两个信封在作出选择后根本没有新的information，所以不会改变概率。这跟三门问题有本质的不同。
是的，3道门的case如果选了以后不打开门，问你换不换，换的话机率还是和不换的一样。
感觉把老师换掉以后小孩数学做对的机率会高了，哈哈哈。
你对了，娃被绕了。另一个信封里是1/2或者2倍是取决于你拿的多的少的，如果你拿的是多的另一个只能是1/2。你让娃写一下，拿多拿少概率分别0.5，换和不换期望是多少。 比较担心的是你娃老师咋讲的。。。
换过来之后，又同样产生1.25的可能性，所以变成paradox。问题在于不应该把手里的设为x，因为这个x在一个公式里会呈现两种可能；而应把总数设为3x，是吗？
money hall那个相当于三个门和两个门的概率问题 当然是两个门可能性更大 因为1/2大于1/3
信息增加了，主持人不是随机打开一扇门发现没羊， 他是事先知道羊在哪儿，能确保打开没羊的门。
把原題帖上來吧
嫡長子在抱怨 數學都在考國文閱讀測驗
这个解释很好很清楚。已经选定了一个信封的情况下，X的意义已经不再是随机的了，而是成为下面的Y，而另一个信封里的钱也是固定的，不是随机的。从数学和逻辑上都很清楚。
这个换门的关键是主持人不能随机地打开门，被打开的门一定是没有羊的那个或是其中的一个。假设最先选择的是没有羊的门，那主持人只有一个选择，于是剩下的那个保证是有羊的。
假設有一千萬個信封
每個信封的錢可能是另一個信封的一半或兩倍 機率各一半 最少的錢是一塊錢
那麼 我先拿一個信封 放回去 再拿 放回去 再拿 每次是 1.25倍 一百次 (1.25)^100=4,909,093,465.2977.. 就有四十億元...
这个是正解
小孩子才換
我全都要....
对的，本质上就是有无增加额外信息的问题 真是一道题看出智商差
你是对的。数学上来说，也是你对。因为如果已经选了一个信封，那么另一个信封是2x 还是1/2x的概率会变成100%了，不再是随机的50%
是网上看到的还是老师说的？感觉5年级网上自学概率是不是有点太早？
这个是最基础的概率题了，本来是没有争议的。也就是说，这是一道语文题，不是数学题，题目意思搞明白以后就trivial了。所有的争议都是题目意思没读懂。
唯一的争议，就是到底为什么换，谁来决定，就是类似于主持人打开哪扇门的问题，已经有过无数讨论了。 你的表述非常模糊混乱，什么先选一个，又换，说明你和你也还是没看懂题目。
题目的关键就是，这个主持人他自己到底是不是知道答案。 如果这个人知道，那一定要换，如果这个主持人自己也不知道，那就是换不换都一样。
问题就是主持人知道不知道
主持人知道，显然无脑换，因为主持人会给你更多的信息
对，这个应该是原题的意思。
你不懂。。。
数学上严格定义的概率论的基石就是概率空间，概率空间定义不好就没有概率论了。
三个信封的题我也看到过，估计孩子记错题了
这个题目即使是高中生也可能被绕进去，没在大学里学过正经概率论的人基本是讲不清楚问题在哪的。
这是个文字上的诡辩题，或者说佯谬。就是说听起来是个悖论，但是如果能严格定义和描述的话是没有悖论的。
应该没有记错题，这个就是24楼提到的two envelopes problem。
原题应该就是24楼提到的，https://en.m.wikipedia.org/wiki/Two_envelopes_problem
靠谱
明明不是一个题目，你直接把整个题目换成另外一道题？哪来的自信天下所有换不换的题目都是你见过的这一道题？
排正解
假设一个信封里钱是$1，另外一个是$2，第一个信封没打开前里面钱的期望值是$1.5，另外一个信封里的钱的期望值也是$1.5，所以换之后期望值不变。 老师的计算方法的问题在于不能把倍数相加，因为倍数的基数是不一样的，两倍的基数是$1，二分之一倍的基数是$2，所以不能 “2倍 * 0.5 + 1/2 倍 * 0.5 = 1.25倍”。而是应该 “$1 * 2倍 * 0.5 + $2 * 1/2倍 * 0.5 = $1.5” 。
编辑补充一下，所以这个题，从数学上看是不会，从逻辑上看。。。但是这里哪有逻辑的影子，那个所谓的逻辑叫直觉。所以这个题无论从直觉上还是数学上都是同一个答案，不会。
我认为哪怕主持人不知道，只要后来打开的门没有羊，就该换。因为打开门以后的分析，都是建立在这个条件概率已经发生的基础上了。
是，但是，主持人不知道，就有可能主持人恰好打开有羊的门，这个时候你换不换？ 这个情况是最显而易见的。 但是这个节目上，从来没有主持人打开有羊的门，这个事件发生，所以这个主要是解释给不明白的人，告诉他们为什么之前的计算空间和后面的不一样了。
这个是完全不同的问题，这个问题的关键在于两个信封的假设
每个信封里面的钱是没有先验概率分布的。。。而假定是一个fixed dollar amount 这个假设在这里只不适用的，因为会造成expected value 趋于无穷的问题
正解，有两种理解取决于开那个空门是否是随机的还是知道答案开的，可以假设这个也是随机的，那么只要有一点可能是后者，结论就是应该换门提高一点概率
嗯，同意你的说法。原先的分析是假设主持人知道。 如果不知道，主持人也是随机开的门，那换不换的概率就没差了。
回复完发现你早就提到了，正解，现在的小朋友们啊，功底需要好好打打
同意这个 美国这边上大学前不会有很复杂的问题吧
这就是这个问题的悖论点啊，你要无穷的换下去，expectation会到正无穷，是不收敛的
但是数学上你总要有个解释的嘛。。。其实就是假设(没有先验分布)是否成立的问题。
条件概率只有两个事情有关联才成立，没有额外信息来建立关联，只能假设两个信封相互独立，这个假设符合MLE 和 Entropy
我认为楼主描述的原题就是这个wiki里的problem: You are given two indistinguishable envelopes, each containing money. One contains twice as much as the other. You may pick one envelope and keep the money it contains. Having chosen an envelope at will, but before inspecting it, you are given the chance to switch envelopes. Should you switch? 不知道不同的点在哪里？
sorry，没说清楚，上下文 我的意思是这个问题（“跟前面人说monty hall问题”）是完全不同的问题
两个信封问题不是单纯的概率题 montyhall 是单纯的语文题和概率题
你是对的。孩子的解法完全是另一道题：你打开信封之后，对面才放钱进另一个信封，50%放两倍，50%放一半。
如果算一下，也很简单：因为信封已经封上，一个信封有X，另一个有2X，不管怎么换，概率都是拿到1.5X。不会因为你先拿了2X的信封，另一个信封就变成4X。
嗯，同意，两个信封和三个门是两个完全不同的问题。
只要主持人开出来的门没有羊，不管是随机的还是有意的，都应该换。
假设有十扇门，选了一扇门，后面有羊的概率是10%。那么剩下九扇门后面有羊的概率就是90%。然后主持人开了这九扇门中的一扇，没有羊。那么余下的八扇门后面有羊的概率仍然是90%。这时候换门的话，门后有羊的概率就是90%除以8，即11.25%。所以结论是，只要开出来的门没有羊，换门后都可以提高中选的概率。
孩子是对的
你错了。不是换了概率上升了，是所有的选项概率都上升了。不管这个选项是已经选了还是没有被选的，只要没有打开，概率会自动上升。最直接的现象就是，如果有三个球，两个白一个红，你选了一个没有打开。这个时候你手里白球概率是2/3，但是另外一个人开了个红球，你手里那个球是白球的概率上升到100%。 同样你的门的问题。只要你选的门还没打开，那么打开一个没有🐏的门以后，你手里那个门概率从10%上升到11.25%。并不是换了才上升。一个同样的选择因为时间的流逝，条件的增加影响其概率才是conditional probability。
首先，孩子是错的，逻辑上错了，数学上也错了。但是这个错误不完全怪孩子，因为这个问题是 ill-defined. 在看这个问题之前，首先要明确“随机取个正数“在数学上是什么意思。我们都知道随机在1到100 之内取个整数的通常理解是每个1 到100 的整数以1/100 的概率被取到，即 follow 均匀分布；这个无质疑。但是”随机取个正数“在数学上是什么意思？学过概率论的都应该知道，在正整数或正实数的区间内，并不存在均匀分布。如果X 可以取到正数（或正整数）中的每个值，它的分布一定是个非均匀分布。所以这个问题的看似悖论其实就出在 X 的概率分布没有被给定。要想这道题有解，我们必须首先指定X 的概率分布函数。
假设 X follows a given known distribution P. 那么，我们也可以知道 2X 的分布。剩下的便是使用 Bayes Rule 来推算拿到的信封的后验概率分布，然后得出另一个信封的后验概率分布。然后在后验概率下求另一个信封里钱数的数学期望。具体如下：
*****
Let X be a real number drawn from a distribution P on the positive reals. Let the two envelopes be indexed by 1 and 2, where $X is put into envelope 1, $2X is put into envelop 2. Let Z be a random variable denoting the index of the envelope picked initially, and Z takes values 1 and 2 both with 0.5 probability. Let U denote the index of the other envelope.
Let Y be the amount of money observed in the initial envelope. Suppose that we observe Y=y. Let us infer which envelop we have picked initially. Note: P[Y=y|Z=1] = P(y) P[Y=y|Z=2]=0.5 * P(0.5*y) P[Z=1|Y=y] = P(y) / (P(y) + 0.5 * p(0.5 * y)) -- Bayes rule; call this number A, for simplicity. P[Z=2|Y=y] = 1- A This also means P[U=2|Y=y]= A, and P[U=1|Y=y] = 1- A. Then the expected value of money in the other envelop is A*(2y) + (1-A) * (0.5y). We will call this number B.
Thus we will choose to switch to the other envelope if B > y. With a quickly simplification, we see that this condition reduces to
P(y) > 0.25 * P(0.5 y).
Obviously, this decision depends on both the observed value y in the initial envelop as well as the underlying distribution P for X. 不拆开信封看到 y 的value就换当然不make sense. 同时，换还是不换的决定也取决于 P。所以当 P 给定之后，这里并没有任何悖论。
好事做到底，手画个示意图，给孩子讲清楚 （假设前面的公式推导没有出错哈）
*******
五年级的孩子能感兴趣这样的问题难能可贵。我给理工科的大学生上概率论的时候给他们出过这道题，他们也大多被绕进去。（这道题的历史至少有20 年了，我第一次看到是2000 年左右在一期 IEEE Information Theory Society News Letter 里）。大学生也常犯这里孩子犯了的一个的错误：当随机变量只能有两个取值的时候（对应于这里的两个信封），这两个取值的概率未必均等。事实上，在给定 P 的前提下，一般来说算出来的后验分布不是（0.5, 0.5) 的分布，此分布取决于题目中未说明的分布 P 和观测到的信封里的钱数。
另：此题跟 monty hall 并没有太深刻的联系。至少，monty hall problem 是 well defined.