一道数学题。孩子和我争起来。网上的高手们帮我看看（ 谢谢大家。 更新在96 楼）

这个问题确实是ill defined。我是这么看的：首先要是谈论概率，那首先要定义概率空间，其中包括：样本空间O，样本空间上子集的集合(也就是sigma代数，称为事件集合)，最后是概率测度。在这个问题中根本无法确切定义符合该问题的概率空间，自然也就不存在什么什么问题。
比如，如果你假设样本空间为抽中一块钱（A）和抽中两块钱(B)，那所有子集为：空{}，{A}，{B}，{A，B}，那么从两个信封里“先选了一个”还不打开看，这是啥事件？对应那个子集？
再比如：假设你样本空间为 {AA, AB, BA, BB}，你会发现一样无法定义“先选一个信封”是啥事件。
所以如果不能有意义的定义概率空间，这个问题就是没意义的。

你错了。不是换了概率上升了，是所有的选项概率都上升了。不管这个选项是已经选了还是没有被选的，只要没有打开，概率会自动上升。最直接的现象就是，如果有三个球，两个白一个红，你选了一个没有打开。这个时候你手里白球概率是2/3，但是另外一个人开了个红球，你手里那个球是白球的概率上升到100%。 同样你的门的问题。只要你选的门还没打开，那么打开一个没有🐏的门以后，你手里那个门概率从10%上升到11.25%。并不是换了才上升。一个同样的选择因为时间的流逝，条件的增加影响其概率才是conditional probability。
steve888 发表于 2021-05-17 20:36

手里的门概率仍然是10%，剩下的八扇门，每扇是11.25%，加起来才正好是100%。 再进一步，如果开了八扇门都没有羊，那么换门后中选的概率是90%，而不是50%。
三个球的问题，如果选一个球，是红球的概率是1/3，开出一个白球后，换球后中红球的概率是2/3，而不是1/2。
不信的话，你可以自己实验一下。

回复 98楼松山夜弦的帖子
我的經驗是
在 知道的條件沒有增加的狀況下 光靠操作 沒法提高期待值
跟炒股票一樣道理

回复 98楼松山夜弦的帖子
太谢谢你了。

回复 99楼nj_guy的帖子
谢谢。我当年的概率都还给老师了。让他爸看看能不能比我强点。😄

回复 102楼JBJ17的帖子
这道题其实还有个寓意：不要以为 The grass is always greener on the other side of the fence。It doesn't make sense!

https://en.wikipedia.org/wiki/Two_envelopes_problem
rabbitfl 发表于 2021-05-17 20:50

这个讲的很清楚 学习了

哈，这个问题我很久之前在志强的博客里讨论过。 https://zhiqiang.org/math/change-or-not-change.html 原来已经快10年了。 可惜的是我当年的留言都删除了。不过幸好我自己复制了一份，还包括链接，找了一下发现IA竟然有存档！ https://web.archive.org/web/20160820191306/http://zhiqiang.org/blog/science/change-or-not-change.html 另外除了前面的两信封悖论，我后来发现第二部分提到的就是 圣彼得堡悖论 的一个体现，https://en.wikipedia.org/wiki/St._Petersburg_paradox 才知道它还有个名字。往事如烟啊…… 那些一上来就说什么三门问题的，大概只听说过这一个“悖论”所以什么都往上边靠吧…… 另外还有一些概率论悖论，比如“另一个孩子也是男孩的概率”问题，还有红球蓝球问题等等，也很有意思。我还写了个红球蓝球问题的物理特别版，不过暂时还没有地方讨论。