回复 196楼echodrawing的帖子 楼主，我就是之前你那个帖子给你贴我家娃8年纪题目的，说实话对数学教育这个事我和你的观点完全相反。 数学这个东西又不看童子功，完全没有必要提前推。对于任何学科，掌握程度基本可以分三类： 1开创型（bring new things to the subject） 2熟练使用型 3学了和没学差不多型 1是完全不需要任何推的，家长推来推去，其实是怕娃是3。但是从3到2，如果家长自己是1/2之间，完全不用从什么4岁就开始，投入产出严重失调。如果到了初中发现娃有3的苗子，再推也完全来得及。我自己本科期间一直给高三做理科家教，基本一年时间内以2h/week的强度，都可以从3推到2. 所以如果娃听话，到高中再推也来得及，考虑现在的娃高中不太听父母的了，所以初中加个check point就可以了。 至于你说的自由，任何一种知识或能力都是达到一定的高度才有自由。 这个世界上除了数学自由，还有画画自由，演讲自由，写作自由，足球自由，。。。无穷无尽。没有人可以达到所有的领域都自由，养孩子最重要的是不要让孩子本来可以自由的领域由于父母的局限而不自由了，而不是过于担心娃在某个方面不自由。
唉，说到痛处了。本来都讲好了怎么移项解方程，然后突然有一天发现又只会两边同加减同乘除，一问才知是老师要求的。
楼主，我就是之前你那个帖子给你贴我家娃8年纪题目的，说实话对数学教育这个事我和你的观点完全相反。 数学这个东西又不看童子功，完全没有必要提前推。对于任何学科，掌握程度基本可以分三类： 1开创型（bring new things to the subject） 2熟练使用型 3学了和没学差不多型 1是完全不需要任何推的，家长推来推去，其实是怕娃是3。但是从3到2，如果家长自己是1/2之间，完全不用从什么4岁就开始，投入产出严重失调。如果到了初中发现娃有3的苗子，再推也完全来得及。我自己本科期间一直给高三做理科家教，基本一年时间内以2h/week的强度，都可以从3推到2. 所以如果娃听话，到高中再推也来得及，考虑现在的娃高中不太听父母的了，所以初中加个check point就可以了。
至于你说的自由，任何一种知识或能力都是达到一定的高度才有自由。 这个世界上除了数学自由，还有画画自由，演讲自由，写作自由，足球自由，。。。无穷无尽。没有人可以达到所有的领域都自由，养孩子最重要的是不要让孩子本来可以自由的领域由于父母的局限而不自由了，而不是过于担心娃在某个方面不自由。
你这邻居的孩子多大？根据你的描述，貌似这孩子上数学课就没有认真听讲过啊。
美国中校学数学教育是差，但是你邻居孩子的表现绝对不能完全怪罪于教育体系。毕竟，教育体系再完美，学生不学的话自然也是啥都不会啊。
至于你说的建模，我觉得其实解应用题就算是建模。
另外，你说的“虾米”是啥意思？我年纪大了，不知道这类网络词汇。
谢谢MM贴的图 你娃跟着学校上没有问题。
我隔壁的娃跟着学校上一堆问题 这个与城市的大小， 学区的大小有很大关系
我不认为对一个Grade8的小孩 要求计算分数不出错是童子功 我觉得这是基本要求 学校如果把小学高年级分在多位数加减乘除时间分给分数 要好很多
不需要怎加任何练习的时间 去除重复的部分 两位数的加减乘除，与3，4，5，6。。。12位的加减 从数学上来说没有区别
高中老师的进度自己掌握 我自己做大学老师，完全知道根据学生水平manipulate试卷如何尝试 要让学生考过SAT容易 但要学生真正懂得modeling其实更难
在大学里面，看到有学生学利息 m（1+r%） 有人写写就成了m+r% 特别是看到一些用功的小孩 那么工整的的写作业， 觉得有些小孩真的是背教育系统耽误了
连一个common sense都不能有 公式不能成为自己的 也就是前面说的，那个modeling的本事。
当GRE的数学都成为一个challenge的时候 你认为他们会有选择理工科进一步学习的能力吗？ 当然他们可以选择放弃，就是我不喜欢，我不擅长。
这个世界确实有很多自由 每个小孩都有选择通向自由的路径和走向
这个帖子在说数学自由，并没有否定其它自由。
可能你娃还小，你还没有接触到初中、高中的数学课程。客观地说，美国的初中高中数学课也可以蛮难的。 我觉得美国现在的教育体系是两极分化得厉害，无论什么学科，相同年龄的学生都可以有相差很大的认知水平。比如同样是10岁，有的娃上五年级的标准数学课还费劲，有的娃已经开始学七年级的课本了。10年级的娃有的SAT数学可以满分，有的连通分都不会。
另外一个问题就是从小学到初中，越迁很大，初中到高中的越迁就更大。普通核心的设计理念就是啥都蜻蜓点水地涉及一下，导致的结果就是小学阶段貌似学了很多，但是因为没有深入学习，练习量也不够，到了初中很可能就啥都忘记了，还得重新学一遍，但是学校不等了啊，所以不少学生到了初中就开始掉队，到了高中就更完蛋了。
你那个8年级的邻居孩子做分数计算错误率很高，真不能怪教育体系。至于写写就把利息公式写错更是何教育体系关系不大了。讲真，工整写作业的话，大概率不会把公式从上一行抄到下一行就抄错了。
不是因为语言， 而是因为他们没有学好分数 。。。。。。。 （这是我从邻居家小孩的分析，不知道是不是推广 而分数没不好，是因为他们就对公约数，公倍数就只知道个定义 。。。。。。 编题目的能力拿来理解公约数多好啊 老爸有12个糖果，老妈有18个巧克力， 他们给家中小孩们（数目大于1）平分糖果和巧克力， 每个人得到数目一样，没有剩下的， 问每个人最多得到多少个， 最少得到多少个 等等）
当分数不熟练的时候，百分数来说就是个公式， 当公约数没有感觉的时候，分数就是个形式。
要不我怎么当时让 隔壁小孩从分解因子开始 。。。。。。。
我对common core没有那么大的怨念 因为从common core逻辑线上看有它的主张 但是 似乎老师没有看出来， 到了小学高年级 分数的理解要远远高于整整数里面的加减乘除。。。。。。
common core的想法是多方位多角度 理解加减乘除 然后小孩学会了多方位多角度思考表达数学 用这种多方位，多角度 来表达数学的各种理解。。。。
理想很美好 PPT的想法很高大上
但是 这对于两分数相乘都计算不清 的小孩有可能吗？
要怪可能怪他父母放羊 问题是这娃在班上居然算数学好的。。。。。 。。。。。 当然这是个小的教会学校 我不禁怀疑，他同班同学都什么水平？
利息那个问题根子 出在学生根本就没有理解为什么要加括号 1/(2ln5)写成中间横线，上下表达的形式 输入刀Excel中，让Excel算 很多人都不知道 2*ln(5)外面要套个括号，因为它们都是分母
确实是。另外我是觉得他们练习少的结果是小孩的数感很差。我觉得除非是数学天才，大部分小孩的数感是可以靠多练习来培养和提高的。基本计算特别是分数这块其实我是觉得做做kumon 还不错。虽然大家都说kumon是题海战术。
你家邻居的小孩好福气。但愿他和他父母真正appreciate。我小学遇到一位好老师，真的是受益终身。
对基本题目没有区别， 也就是多写一些过程 举个例子，
我遇到大学本科生有做 12=3y 要写12/3=3/3y ==> y =4 不能直接看出y=4
如果是涉及参数，更看不出之间的关系 产生推导的感觉了。
对理科有些知识的get的快慢， 取决于你理科的理解力 大脑如同CPU，处理的步数越多，越慢 越慢就会发热，然后会死机， 很快get到能够理解力好， 所以如何多块好省的理解，很重要
如果按照common core的方式走套路 到了大学如果涉及要自己推导复杂公式 基本上就缺乏能力——要多走无数布
如果连推导最简单的都要这么麻烦的化 那么基本学学就放弃了。 ——当然可以说不喜欢。。。。
与数学结合深的一些理工科读博士要comprehensive考试 可能会遇到一门 就是给几个题目，然后自己演算，推导半天
所以 美国数学物理系现在很少有美国本土博士 这让物理系和数学系的美国老教授痛惜 有时候说起来真的是无比叹息。
common core 会导致学得慢的学生越学越慢 连最低标准都跟不上 加州曾有人呼吁取消高中数学考试以达到每个人都能毕业 就是因为他们把简单的东西搞得太复杂 导致一些差区的学生的大脑已经不能进一步学习复杂一些的代数了
=========== 问题不是一定要移项， 而是不能一定要两边同时加减每次看一个的思考模式 应该先观察方程 然后考虑怎么简单怎么来 并且如何有办法能够让自己快起来 就要学着节约自己大脑的CPU 节约出来处理新的知识 才能学得快。。。。
如果基本的学了一个学期都不熟练，别的更不可能记住说了。基本的熟练了，其他的都应该是推倒的。天天用这些的人说，这些真不是靠记忆的。
非常感谢你详细的解释。结合你举的例子，我想我有些明白了。现在common core这种教学方式，实际上是假设学生的领悟力永远只能停留在初等数学的程度上。实际效果是剥夺了学生在思维上产生飞跃的机会。
从代数到后面的高等数学和基础物理学科学习，需要的是建立起抽象化，分析问题模块化的思维方式。只有在抽象思维上有质的飞跃，学习的内容和范畴才能级数般的增长。而common core那种方式，思维和所涵盖的知识只能是线性增长，到了高中和以后的课程，显然速度和接受能力就跟不上了。
评判一个推导是否恰当 1，下一步是否可以从上一步看出怎么来的 （移向满足这个条件，否则一开始练习什么加减family就不用了） 2，是否更加简便得出答案——代数本身就是为了求解 （移向也满足这个条件，不顾这个不是必须条件，各有有各个偏好）
老师只教两边同时加减乘除没有问题 但是他不能说移向就是跳步，就不对 （从下一步可以看出上一步怎么来的判断，没有跳步） 就非得两边同时加减乘除
那样对小孩子理解其实没好处 方程的目的就是为了求解 应该鼓励各种不同方法去求解 而且怎样有利于自己更快更不易出错的得出答案 就应该鼓励怎样。
老师坚持procedure 其实是没有抓代数本意是为了求解的这个目的 小孩子的点也应该引导在 观察方程 有哪些特质 然后求解上， 而不是follow the procedure
如果看代数史 看到一代又一代人为了求解付出努力 老师的坚持真的是偏离得太远太远了。
========== common core的设定是螺旋式上升的学习 但是老师的教学是 计算机程序式的教学 是一条平行线，并不是线性上升 就是一个知识点 设置一个procedure去follow 这样从思维来说， 没有办法构成后面的 简单说就是把人都当蠢人 如果真的只跟着它走 就真的成了蠢人了
思维才是最重要 procedure是不重要得
我对那些大学里面遇到用功学习 的有些学生真的很叹息 有人为了学懂概率 修了三次 他们真的努力了。
看你对数学的看法，醍醐灌顶的感觉。 从自由的角度看数学的演变和数学的精神，受教！
怎么说，比如音乐家父母，看到别人教琴教音乐， 一眼就知道老师的水平在哪里， 那个分水岭在于是培养匠人还是培养艺术家。 大多数的父母对这个区别，第一不敏感，第二没有需求。 数学教育恐怕也是如此，good enough。
enough （not enough） for what？ 这个是家长的需求，每个家庭都不一样。 common core恐怕就是社会需求settle到的那个good enough。 我猜这个差距，不止在数学教育上。
我最钦佩是楼主既懂，又不吝啬分享自己的见识，这么耐心的跟帖， 我这一路跟过来，像是井底之蛙看见了蓝天的感觉。
开始读polya的书，真是经典！ 让我想起mortimer的how to read a book。 都是超级会学习的人，抱着极大的热诚，把学习的方法揉碎了，碎碎念，不厌其烦地手把手教你。
所以教育到最后还是要学怎么学习，怎么思考，怎么发问。 当然，如果还能欣赏，做个数学的票友，那真是件乐事。
===== 我买的Euler也送到了，居然是亚麻自己做的书，连个出版商和正经编辑都没有，简直把我气坏了！ 请问mm哪一版的Euler好(Elements of Algebra)？能否给个链接。 我买的是下面这本，不推荐 https://www.amazon.com/gp/product/150890118X/ref=ppx_yo_dt_b_asin_title_o09_s00?ie=UTF8&psc=1#customerReviews
这在以前属于少数人的“特异功能”， 比如有人出车祸以后，脑子发生变化，一听见音乐，眼前马上就能看见一排排数字，秒变建模天才。 今天，计算机音乐家把巴赫的赋格用视像呈现，任何人都可能看见，音乐和数学的关系不言自明。 又比如，刘慈欣曾经讲过他小时候对天文的热爱，他对非常大的数字又一种非常具体的感官的体会， 成年后才知道原来普通人对宇宙距离的认知停留在抽象的数字。 这种通感，一是丰富我们的语言工具，二是丰富我们的想象力和感受力，三是提供一种感知的多样性。
谢谢你提到kumon，我查了看了看 觉得它分数部分确实做得很好
至于练习够不够，是不是题海战术 只depend on各人的状况 如果做到关于分数的加减乘除就10个错一半 那么就得先把计算弄清楚 如果能够十个只错1，2个，那么就没有必要
每个小孩现状不一， 没必要坚持一个材料， 也没有必要完全否定一个材料 能够减少无效重复劳动， 掌握知识 或者诱发思维就行了。
谢谢你的例子，
实际上我觉得无论什么时候想学数学都可以，但从不熟悉到放手自愿看书之间， 有一个break ice
这个break ice可能是家长的注意——初中真的是最好阶段，或者应该说从知识体系上说，学pre-algebra的时候是最好的阶段。无论是的学习习惯，思维角度和方式等等，都可以简单培养。到了高中，会比初中难。如果过小的化，时间更多，毕竟认识基本上的计算也需要时间。
也可能是大学重修了3次某个数学课
也可能是泛函读了6遍
等等，break ice之后，就好像通了，有了自己生长力量的能力。
美国有个好处，书写得细，如果真的静下来，学习习惯没有不靠谱，其实都可以慢慢入门。的
德国的数学一上来就是各种抽象空间
培养抽象思维