我其实美国数学吐槽其实是在小学，初中 并不是在高中 一旦进入成系统的数学学习 美国教育的优点就显示出来 如果有个小孩能够在survive from小学, 初中 没有在荼毒中丧失数学学习的能力 若是 对数学浓厚感兴趣的话 那么完全等于老鼠掉入米缸里 中小学那个真的不是数学系统， 数学系统每个都是类似几何学一样 一个定理一个定理建立起来的 无论代数，几何，解析几何，微分，线代，随机， 等等 任何一个topic，要找经典教程1-5不同难度等级的 都可以拎书出来 整个西方 讲叙知识的方式 都受到2000年前欧几里德的几何 一个板砖加一个板砖的建立 即使是文科讲述的方式 也受到形式逻辑的影响 整个西方关于问题的讨论探索过程 都在受到逻辑的影响 从讨论亚理士多德的马 到罗素的幸福之门 逻辑论述无处不在。 所以，进入各个数学系统之后 就是进入学代数，几何之后 美国真的是 如果想学数学 什么基础，什么起步的书都有。 而且要兴趣的有兴趣 要知识的有知识的 要8g的有8g的 要帮助应付考试的有应付考试 类似 big fat book是很一般 但保证懂个基本知识 应付美国学习没问题 要再同学中突出 可以用AOPS的教材的 也可以关心美国60年代的数学课本 （美国有过曾经非常重视理工的时期，非常好的教材 优秀的人编写的，要不登月就不会发生了） 如果是顶级的小孩 可以去看高斯，欧拉的书 看看穿越历史长河， 这些巨人是怎样把算术与代数建立起来的 看看笛卡尔是怎样建立解析几何的 等等 随便列一些书在后面 我对美国数学教育就是 活过中小学的荼毒 进入到正式数学成体系的讲述 数学就开始赋予真正的生命。 也有着丰富的资源 How to Solve It: A New Aspect of Mathematical Method by G. Polya (Author), John H. Conway Proofs from THE BOOk by Martin Aigner (Author), Günter M. Ziegler Disquisitiones Arithmeticae by Carl Gauss (Author), Arthur A. Clarke (Author) Elements of Algebra by Leonhard Euler (Author), Scott L Hecht (Author) The Language of Mathematics: Making the Invisible Visible by Keith Devlin A Mathematician''''s Apology by G. H. Hardy What Is Mathematics? An Elementary Approach to Ideas and Methods by Richard Courant (Author), Herbert Robbins (Author), Ian Stewart (Editor) Mathematical Bridge, A: An Intuitive Journey in Higher Mathematics by Stephen Fletcher Hewson (Author) Unknown Quantity: A Real and Imaginary History of Algebra by John Derbyshire Is God a Mathematician? by Mario Livio (Author) One Two Three . . . Infinity: Facts and Speculations of Science by George Gamow (Author) Euclid''''s Window : The Story of Geometry from Parallel Lines to Hyperspace by Leonard Mlodinow (Author)
我其实美国数学吐槽其实是在小学，初中 并不是在高中 一旦进入成系统的数学学习 美国教育的优点就显示出来 如果有个小孩能够在survive from小学, 初中 没有在荼毒中丧失数学学习的能力 若是 对数学浓厚感兴趣的话 那么完全等于老鼠掉入米缸里 中小学那个真的不是数学系统， 数学系统每个都是类似几何学一样 一个定理一个定理建立起来的 无论代数，几何，解析几何，微分，线代，随机， 等等 任何一个topic，要找经典教程1-5不同难度等级的 都可以拎书出来 整个西方 讲叙知识的方式 都受到2000年欧几里德的几何 一个板砖加一个板砖的建立 即使是文科讲述的方式 也受到形式逻辑的影响 整个西方关于问题的讨论探索过程 都在受到逻辑的影响 从讨论亚理士多德的马 到罗素的幸福之门 逻辑论述无处不在。 所以，进入各个数学系统之后 美国真的是 如果想学数学 什么基础，什么起步的书都有。 而且要兴趣的有兴趣 要知识的有知识的 要8g的有8g的 要帮助应付考试的有应付考试 类似 big fat book是很一般 但保证懂个基本知识 应付美国学习没问题 要再同学中突出 可以用AOPS的教材的 也可以关心美国60年代的数学课本 （美国有过曾经非常重视理工的时期，非常好的教材 优秀的人编写的，要不登月就不会发生了） 如果是顶级的小孩 可以去看高斯，欧拉的书 看看穿越历史长河， 这些巨人是怎样把算术与代数建立起来的 看看笛卡尔是怎样建立解析几何的 等等 随便列一些书在后面 我对美国数学教育就是 活过中小学的荼毒 进入到正式数学成体系的讲述 数学就开始赋予真正的生命。 也有着丰富的资源 How to Solve It: A New Aspect of Mathematical Method by G. Polya (Author), John H. Conway Proofs from THE BOOk by Martin Aigner (Author), Günter M. Ziegler Disquisitiones Arithmeticae by Carl Gauss (Author), Arthur A. Clarke (Author) Elements of Algebra by Leonhard Euler (Author), Scott L Hecht (Author) The Language of Mathematics: Making the Invisible Visible by Keith Devlin A Mathematician's Apology by G. H. Hardy What Is Mathematics? An Elementary Approach to Ideas and Methods by Richard Courant (Author), Herbert Robbins (Author), Ian Stewart (Editor) Mathematical Bridge, A: An Intuitive Journey in Higher Mathematics by Stephen Fletcher Hewson (Author) Unknown Quantity: A Real and Imaginary History of Algebra by John Derbyshire Is God a Mathematician? by Mario Livio (Author) One Two Three . . . Infinity: Facts and Speculations of Science by George Gamow (Author) Euclid's Window : The Story of Geometry from Parallel Lines to Hyperspace by Leonard Mlodinow (Author)
我其实美国数学吐槽其实是在小学，初中 并不是在高中 一旦进入成系统的数学学习 美国教育的优点就显示出来 如果有个小孩能够在survive from小学, 初中 没有在荼毒中丧失数学学习的能力 若是 对数学浓厚感兴趣的话 那么完全等于老鼠掉入米缸里 中小学那个真的不是数学系统， 数学系统每个都是类似几何学一样 一个定理一个定理建立起来的 无论代数，几何，解析几何，微分，线代，随机， 等等 任何一个topic，要找经典教程1-5不同难度等级的 都可以拎书出来 整个西方 讲叙知识的方式 都受到2000年前欧几里德的几何 一个板砖加一个板砖的建立 即使是文科讲述的方式 也受到形式逻辑的影响 整个西方关于问题的讨论探索过程 都在受到逻辑的影响 从讨论亚理士多德的马 到罗素的幸福之门 逻辑论述无处不在。 所以，进入各个数学系统之后 就是进入学代数，几何之后 美国真的是 如果想学数学 什么基础，什么起步的书都有。 而且要兴趣的有兴趣 要知识的有知识的 要8g的有8g的 要帮助应付考试的有应付考试 类似 big fat book是很一般 但保证懂个基本知识 应付美国学习没问题 要再同学中突出 可以用AOPS的教材的 也可以关心美国60年代的数学课本 （美国有过曾经非常重视理工的时期，非常好的教材 优秀的人编写的，要不登月就不会发生了） 如果是顶级的小孩 可以去看高斯，欧拉的书 看看穿越历史长河， 这些巨人是怎样把算术与代数建立起来的 看看笛卡尔是怎样建立解析几何的 等等 随便列一些书在后面 我对美国数学教育就是 活过中小学的荼毒 进入到正式数学成体系的讲述 数学就开始赋予真正的生命。 也有着丰富的资源 How to Solve It: A New Aspect of Mathematical Method by G. Polya (Author), John H. Conway Proofs from THE BOOk by Martin Aigner (Author), Günter M. Ziegler Disquisitiones Arithmeticae by Carl Gauss (Author), Arthur A. Clarke (Author) Elements of Algebra by Leonhard Euler (Author), Scott L Hecht (Author) The Language of Mathematics: Making the Invisible Visible by Keith Devlin A Mathematician''''s Apology by G. H. Hardy What Is Mathematics? An Elementary Approach to Ideas and Methods by Richard Courant (Author), Herbert Robbins (Author), Ian Stewart (Editor) Mathematical Bridge, A: An Intuitive Journey in Higher Mathematics by Stephen Fletcher Hewson (Author) Unknown Quantity: A Real and Imaginary History of Algebra by John Derbyshire Is God a Mathematician? by Mario Livio (Author) One Two Three . . . Infinity: Facts and Speculations of Science by George Gamow (Author) Euclid''''s Window : The Story of Geometry from Parallel Lines to Hyperspace by Leonard Mlodinow (Author)
echodrawing 发表于 2020-12-10 10:51
我推荐美国60年代的课本 Grade 1-12 都可以从下面 https://raysarithmetic.wordpress.com/rays-free-arithmetic/ 喜欢的也可以去买 Rays Arithmetic Series (8 Volume Set) Reprint Edition by Ray Joseph (Author), Ruth Beechick (Author), Mott Media (Author) by echodrawing ------------------------------------------------------------------------------------------------------ 把楼主两个帖子拼一起存下来。谢谢推荐。 感谢楼主既有专业知识又愿意分享。
Why don't people design an AI Tool for Maths operations/applications that the tool can read and analyse whatever maths composition people write, and then provide feedback in answers or questions or comments. All the existing complicate complex maths (perhaps too many old and new maths theories and books that nearly nobody could read and understand all of them in a life-time) would Not be required to learn in details, other than their logic, reasoning, problem composition, etc. Just like a kind of very high level programming language, as we don't need to know the underlying structure of machine language codes. 人们为什么不设计用于数学运算/应用程序的AI工具，该工具可以读取和分析人们编写的任何数学组成，然后在答案，问题或评论中提供反馈。 现有的所有复杂的复杂数学（也许有太多的新旧数学理论和书籍，几乎没有人可以一生中阅读和理解它们），除了逻辑，推理，问题外，不需要进行详细的学习。 组成等 . 就像一种非常高级的编程语言一样，我们不需要了解机器语言代码的底层结构。
昨天在网上乱搜的时，搜到一篇文章 The Third Mathematics Education Revolution 作者是Richard Askey ，文章写于1999年。里面作者引用一段话，这段话来自1962年由64位数学家签字的一篇关于高中数学教学的文章但作者认为仍旧值得一读：: Elementary algebra, plane and solid geometry, trigonometry, analytic geometry and the calculus are still fundamental, as they were 50 or 100 years ago: future users of mathematics must learn all these subjects whether they are preparing to become mathematicians, physical scientists, social scientists or engineers and all these subjects can offer cultural values to the general students, The traditional high school curriculum comprises all these subjects, except calculus, to some extent; to drop any one of them would be disastrous. 看来教什么怎么教一直有争论。只是轮到自己孩子就这几年。过去也就过去了。
我其实美国数学吐槽其实是在小学，初中 并不是在高中 一旦进入成系统的数学学习 美国教育的优点就显示出来 如果有个小孩能够在survive from小学, 初中 没有在荼毒中丧失数学学习的能力 若是 对数学浓厚感兴趣的话 那么完全等于老鼠掉入米缸里 中小学那个真的不是数学系统， 数学系统每个都是类似几何学一样 一个定理一个定理建立起来的 无论代数，几何，解析几何，微分，线代，随机， 等等 任何一个topic，要找经典教程1-5不同难度等级的 都可以拎书出来 整个西方 讲叙知识的方式 都受到2000年前欧几里德的几何 一个板砖加一个板砖的建立 即使是文科讲述的方式 也受到形式逻辑的影响 整个西方关于问题的讨论探索过程 都在受到逻辑的影响 从讨论亚理士多德的马 到罗素的幸福之门 逻辑论述无处不在。 所以，进入各个数学系统之后 就是进入学代数，几何之后 美国真的是 如果想学数学 什么基础，什么起步的书都有。 而且要兴趣的有兴趣 要知识的有知识的 要8g的有8g的 要帮助应付考试的有应付考试 类似 big fat book是很一般 但保证懂个基本知识 应付美国学习没问题 要再同学中突出 可以用AOPS的教材的 也可以关心美国60年代的数学课本 （美国有过曾经非常重视理工的时期，非常好的教材 优秀的人编写的，要不登月就不会发生了） 如果是顶级的小孩 可以去看高斯，欧拉的书 看看穿越历史长河， 这些巨人是怎样把算术与代数建立起来的 看看笛卡尔是怎样建立解析几何的 等等 随便列一些书在后面 我对美国数学教育就是 活过中小学的荼毒 进入到正式数学成体系的讲述 数学就开始赋予真正的生命。 也有着丰富的资源 How to Solve It: A New Aspect of Mathematical Method by G. Polya (Author), John H. Conway Proofs from THE BOOk by Martin Aigner (Author), Günter M. Ziegler Disquisitiones Arithmeticae by Carl Gauss (Author), Arthur A. Clarke (Author) Elements of Algebra by Leonhard Euler (Author), Scott L Hecht (Author) The Language of Mathematics: Making the Invisible Visible by Keith Devlin A Mathematician''''s Apology by G. H. Hardy What Is Mathematics? An Elementary Approach to Ideas and Methods by Richard Courant (Author), Herbert Robbins (Author), Ian Stewart (Editor) Mathematical Bridge, A: An Intuitive Journey in Higher Mathematics by Stephen Fletcher Hewson (Author) Unknown Quantity: A Real and Imaginary History of Algebra by John Derbyshire Is God a Mathematician? by Mario Livio (Author) One Two Three . . . Infinity: Facts and Speculations of Science by George Gamow (Author) Euclid''''s Window : The Story of Geometry from Parallel Lines to Hyperspace by Leonard Mlodinow (Author)
echodrawing 发表于 2020-12-10 10:51
非常感谢！我买了Polya, Gauss 和 Euler的三本，准备圣诞节和过年翻一翻。 第二本 Proofs from THE BOOK请问你推荐哪一版本？
我推荐美国60年代的课本 Grade 1-12 都可以从下面 https://raysarithmetic.wordpress.com/rays-free-arithmetic/ 喜欢的也可以去买 Rays Arithmetic Series (8 Volume Set) Reprint Edition by Ray Joseph (Author), Ruth Beechick (Author), Mott Media (Author) by echodrawing ------------------------------------------------------------------------------------------------------ 把楼主两个帖子拼一起存下来。谢谢推荐。 感谢楼主既有专业知识又愿意分享。
回复 136楼chengbuyi的帖子 圆周率的求发可以用分圆法，就是圆内接正3角，正4边形，正5，6，7，8，9，。。。。 一步步下去, 圆锥和球都可以通过外接圆柱然后用刀去片片出一个个圆环 两个思想中都有微分的概念 有本专门记录数学圈八卦小段子的书里面有这些，书里记录了360个数学小段子。这书出了之后很有名，导致大家把知道的小段子都寄给作者，于是又出了续集又绕了一圈360个小段子。 Mathematical Circles: Volume 1, Quadrants I, II, III, IV by Howard W. Eves Mathematical Circles: Revisited Mathematical and Circles Squared, Volume II by Howard W. Eves Mathematical Circles: Mathematical Circles Adieu and Return to Mathematical Circles, Volume III by Howard W. Eves 两个超常数，pi 和 e 它们有很多精妙巧合的地方。有数学家写过专门介绍它们的科普书 e: The Story of a Number by Eli Maor (Author) A History of Pi by Petr Beckmann
我其实美国数学吐槽其实是在小学，初中 并不是在高中 一旦进入成系统的数学学习 美国教育的优点就显示出来 如果有个小孩能够在survive from小学, 初中 没有在荼毒中丧失数学学习的能力 若是 对数学浓厚感兴趣的话 那么完全等于老鼠掉入米缸里 中小学那个真的不是数学系统， 数学系统每个都是类似几何学一样 一个定理一个定理建立起来的 无论代数，几何，解析几何，微分，线代，随机， 等等 任何一个topic，要找经典教程1-5不同难度等级的 都可以拎书出来 整个西方 讲叙知识的方式 都受到2000年前欧几里德的几何 一个板砖加一个板砖的建立 即使是文科讲述的方式 也受到形式逻辑的影响 整个西方关于问题的讨论探索过程 都在受到逻辑的影响 从讨论亚理士多德的马 到罗素的幸福之门 逻辑论述无处不在。 所以，进入各个数学系统之后 就是进入学代数，几何之后 美国真的是 如果想学数学 什么基础，什么起步的书都有。 而且要兴趣的有兴趣 要知识的有知识的 要8g的有8g的 要帮助应付考试的有应付考试 类似 big fat book是很一般 但保证懂个基本知识 应付美国学习没问题 要再同学中突出 可以用AOPS的教材的 也可以关心美国60年代的数学课本 （美国有过曾经非常重视理工的时期，非常好的教材 优秀的人编写的，要不登月就不会发生了） 如果是顶级的小孩 可以去看高斯，欧拉的书 看看穿越历史长河， 这些巨人是怎样把算术与代数建立起来的 看看笛卡尔是怎样建立解析几何的 等等 随便列一些书在后面 我对美国数学教育就是 活过中小学的荼毒 进入到正式数学成体系的讲述 数学就开始赋予真正的生命。 也有着丰富的资源 How to Solve It: A New Aspect of Mathematical Method by G. Polya (Author), John H. Conway Proofs from THE BOOk by Martin Aigner (Author), Günter M. Ziegler Disquisitiones Arithmeticae by Carl Gauss (Author), Arthur A. Clarke (Author) Elements of Algebra by Leonhard Euler (Author), Scott L Hecht (Author) The Language of Mathematics: Making the Invisible Visible by Keith Devlin A Mathematician''''s Apology by G. H. Hardy What Is Mathematics? An Elementary Approach to Ideas and Methods by Richard Courant (Author), Herbert Robbins (Author), Ian Stewart (Editor) Mathematical Bridge, A: An Intuitive Journey in Higher Mathematics by Stephen Fletcher Hewson (Author) Unknown Quantity: A Real and Imaginary History of Algebra by John Derbyshire Is God a Mathematician? by Mario Livio (Author) One Two Three . . . Infinity: Facts and Speculations of Science by George Gamow (Author) Euclid''''s Window : The Story of Geometry from Parallel Lines to Hyperspace by Leonard Mlodinow (Author)
马克，数学干货。
这个我主要教的竖式计算。 练的多了，自然就会心算。后来我也提过多位数心算会从高位算起。 我说的主要是竞赛题有时把应用题做mental math或是小朋友做网上作业时把应用题当mental math 做。不写过程，不写单位我觉得是非常不好的习惯。
太好看了。请mm也推荐一些给成人看的数学书吧。
请问GT math全称是什么，怎么能找到呢？我在亚马逊上搜了gifted and talented math没有找到。。。谢谢！
我家小孩小， 当时玩的时候找木头，手指运动大一些的 如果稍微大一些的话， 我推荐下面一个 一样的，可以按键
如果小孩在才4岁的话 可以把一套都买了 加减乘除
还有一张图是分数冰箱贴 儿子自己玩这个冰箱贴 把简单的分数（分母是1-12）弄清楚 这个对简单分数的通分，化简，计算也行 我的策略就是让小孩自己玩 没有任何解释 让他自己发现，谁大谁小， 一些简单的计算
我家开车去lakeshore店大约20分钟 我经常去那里买玩具给娃 https://www.lakeshorelearning.com/
非常同意你的说法 严谨逻辑步骤比什么都重要
实际上这个是微积分学习基础 现在微积分的理论 是建立在柯西用极限，连续，导数的描述
在柯西之前， 没有一个 牛顿和莱布尼姿有了想法 有了从代数的方法求解
恰恰是柯西完美表达数学表达模式 促成了高等数学基础
如果你这样定义或者理解common sense，那就没有啥不是common sense的东西了。
Everything You Need to Ace Math in One Big Fat Notebook 类似于字典吧，字典里能有啥练习呢。
下面是我看法，不一定是对的
可能是我偏见。。。。。
我不能够明白为什么美国小学要在加减乘除上纠结那么长时间——论年的纠结 然后求加减，还要写从什么方法来的。。。。。
这个如果从以后数学的学习来说 没有任何帮助。。。。。。。
哪怕是是如果教学生 99+99这样巧算，这个算观察数字 但是每个都整个用什么方法求出来 我真的不明白为什么学校要这么做。。。。。。
数字的数学的基础是 进制
就是说理解十进制 以及十进制里面数的计算 为什么那么计算 为什么进位 怎样进位
我个人意见就是 用手指帮助计算1-9的加法 然后练习10以内的加法，减法 然后20以内 然后50以内 然后100以内 然后明白进制 明白进位就可以了。。。。。
实在不能明白为什么到了5，6年纪 要学000，000，000，加减法 不就是重复用同样的规则吗？ 从数学上没有任何意义。
所以我个人觉得 放过计算吧 不管用什么方法 只要坚持一段时间 坚持学会了，
没有要再纠结了 而且无论什么方法， 其实没有必要在乎细节 因为细节到了代数学习中完全没有用。 其实很多高中生都忘了那些给加法方法取的名字了。。。。
坚持一种方法，达到 能够熟练做两位数的加法，减法 两位数的乘法 除数和被除数两位的除法 就差不多了
那些所谓的方法， 真的不重要 至少站到以后数学学习中不重要
======================= 像上面说的
我也不明白为什么纠结那样解方程
计算的目的 理解进制 求出结果——这个是数学的目的
方程的纠结 理解方程 求出结果
如果从理解方程的角度讲 想 x的系数是什么，常数项是什么 这个容易然后写成 ax=b标准形 然后求解
（这个思路对于代数也很重要， 人类对代数求解，从一次，二次，三次，四次，五次 直到群论的大门打开， 是人类千年对未知的探索， 所以写成标准式 正是代数的一本发展史）
或者学着写 x=（c-b）/a等类似的 就是用已经直到数表示x 这个也是代数学习的基础 因为最终目标是求出x
所以我不能明白为什么 学校纠结一定按照这个写法 求出x。。。。。
这个步骤还是最蠢得 唯一的的好处 一定可以求出。。。。。。
我明白等号的定义就是， 等式两边同时加减乘除是一样的 问题是 等号有property1， property2，property3..... 类似这边+移到那边- 为啥每次都要回复到最根本的定义模式求解 。。。。。。。。
如果数学证明每次都不从用已经知道的性质 而都一定用最根本的定义 那么数学史完全就不会发展。。。。。
哎， 我是不明白 美国中小学很多强求步骤/方法的教学。。。。 似乎与数学完全没有关系 只是创造了一种可以process的程序 可以跟着
这里仅仅止于小学和初中
一旦进入成系统的数学学习 美国教育的优点就显示出来
如果有个小孩能够在survive from小学, 初中 没有在荼毒中丧失数学学习的能力 若是 对数学浓厚感兴趣的话 那么完全等于老鼠掉入米缸里
中小学那个真的不是数学系统， 数学系统每个都是类似几何学一样 一个定理一个定理建立起来的
无论代数，几何，解析几何，微分，线代，随机， 等等 任何一个topic，要找经典教程1-5不同难度等级的 都可以拎书出来
整个西方 讲叙知识的方式 都受到2000年前欧几里德的几何 一个板砖加一个板砖的建立
即使是文科讲述的方式 也受到形式逻辑的影响
整个西方关于问题的讨论探索过程 都在受到逻辑的影响
从讨论亚理士多德的马 到罗素的幸福之门 逻辑论述无处不在。
所以，进入各个数学系统之后 就是进入学代数，几何之后 美国真的是 如果想学数学 什么基础，什么起步的书都有。 而且要兴趣的有兴趣 要知识的有知识的 要8g的有8g的 要帮助应付考试的有应付考试
类似 big fat book是很一般 但保证懂个基本知识 应付美国学习没问题
要再同学中突出 可以用AOPS的教材的 也可以关心美国60年代的数学课本 （美国有过曾经非常重视理工的时期，非常好的教材 优秀的人编写的，要不登月就不会发生了）
如果是顶级的小孩 可以去看高斯，欧拉的书 看看穿越历史长河， 这些巨人是怎样把算术与代数建立起来的 看看笛卡尔是怎样建立解析几何的 等等
随便列一些书在后面 我对美国数学教育就是 活过中小学的荼毒 进入到正式数学成体系的讲述 数学就开始赋予真正的生命。 也有着丰富的资源
How to Solve It: A New Aspect of Mathematical Method by G. Polya (Author), John H. Conway
Proofs from THE BOOk by Martin Aigner (Author), Günter M. Ziegler
Disquisitiones Arithmeticae by Carl Gauss (Author), Arthur A. Clarke (Author)
Elements of Algebra by Leonhard Euler (Author), Scott L Hecht (Author)
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A Mathematician''''s Apology by G. H. Hardy
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Mathematical Bridge, A: An Intuitive Journey in Higher Mathematics by Stephen Fletcher Hewson (Author)
Unknown Quantity: A Real and Imaginary History of Algebra by John Derbyshire
Is God a Mathematician? by Mario Livio (Author)
One Two Three . . . Infinity: Facts and Speculations of Science by George Gamow (Author)
Euclid''''s Window : The Story of Geometry from Parallel Lines to Hyperspace by Leonard Mlodinow (Author)
国内是不是相反？小学初中打基础还可以，但到了高中，学的东西就偏门内卷得厉害。极坐标，解析几何那些又复杂又没什么用的东西对后来的数学学习基本没什么帮助。
这个倒没有必要
我自己用的是日本70年代的教材 只是个人出自对小平邦彦讲诉方式的偏好
我对数学教育是个老式的人 喜欢用老式的课本
美国其实50-80年代的数学课本还是挺不错 那个时候因为跟苏联冷战 所以推行扎实的理工 要不也登不了月
有过非常经典的教材 其实有很多老式的人 觉得现在中小学教育太不靠谱 用原来的教材
如果你能够适应旧书的风格 没有花里胡哨的东西 就讲知识，讲题目 我推荐美国60年代的课本
Grade 1-12 都可以从下面 https://raysarithmetic.wordpress.com/rays-free-arithmetic/
喜欢的也可以去买 Rays Arithmetic Series (8 Volume Set) Reprint Edition by Ray Joseph (Author), Ruth Beechick (Author), Mott Media (Author)
相对于common core 它被成为hard core 每节后面都有非常多习题 喜欢文字习题，也可以在上面找到
唯一不好就是 可能要习惯一下旧式数存粹从数学讲数学的方式
人家欧拉是算太多，把自己算盲的。然后不得已心算。普通孩子怕是练习不到他那个程度。
我推荐美国60年代的课本
Grade 1-12 都可以从下面 https://raysarithmetic.wordpress.com/rays-free-arithmetic/
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by echodrawing
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把楼主两个帖子拼一起存下来。谢谢推荐。 感谢楼主既有专业知识又愿意分享。
微积分和解析几何还是有很大关系的， 不过很多可能只是当个知识点或公式学的， 而不是当体系学的。
中国如果是90年代前面的老课本的话， 其实大家都是一个体系的演化出来的。
背景 民国的时候，一群人到了加州，把加州的数学课本翻译了回去 包括解析几何，平面几何，立体几何，初等代数，高等代数
然后建国后又去苏联 又整合了苏联的教材 也就是说如果中国还没有教材改革 还是按照代数，平面几何，解析几何，立体几何分类的话
那套数学系统其实世界都差不多 都是美国和英国去法国学习后整出来 法国有过耀眼的数学黄金时代
现在的系统，打混了，我就不知道了 ——所以搬运中国的现在课本也可能有些不太靠谱
不过。。。。。。。 现在主要是考试模式信息互联网化，导致大家不是在学这个知识建构本身， 而在研究怎么套路解题——就是看到这个条件怎样，看到什么就怎样 那个能够帮助提分， 对于数学没有多少价值
其实 无论在中国还是在美国 其实无论在哪个国家， 数学有天分的都不会被磨掉的 因为在中国有天分的不会打理套路式解题 在美国，自我兴趣？
中国很多奥数出来的都在美国 也有很多人在学术界 很多人也圈内很出名 但基础理论能不能发扬光大 要等30--50年， 所以也不能说系统教育有问题。
如果是说大众的教育， 哎， 中美各自教育各自价值体系 培养各自社会体系需要的人才 任何一种教育体制其实都有弊端
中国缺的是大学后的教育与兴趣之间的关系有些牵强 其实不是教育的关系， 中国环境很难留住单纯对理论学科感兴趣的人。 而美国进入大学后的学习， 无论选择什么专业， 如果安平乐道，也能够保证人人有饭吃。
我邻居也是一个教授 他爬上很高的梯子铺墙皮， 然后，我说，做教授不如去盖房子挣得多，你激发第二职业了。 他说，特别是我这社会学的，哈哈哈。
我觉得挺好 锻炼生活技能 顺便锻炼身体 于是隔壁教授 虽然是个文科教授 人家冬天能够买很多树 然后据了之后码成整整齐齐的长方体
保持年少时的兴趣 需要年少时候的兴趣还能够维持成人的生活 而对于成人来说， 什么都不容易
有几个短消息问我要小平邦彦的数学
我放 google drive里了，只能保证12月份有用 https://drive.google.com/drive/folders/1eSIo_im9HqHSb9OMKljSX9kpCrxv_zLP?usp=sharing
这个真的是个人爱好 我个人觉得他的描述数学方式适合亚洲文化
这书应该没有版权了。
All the existing complicate complex maths (perhaps too many old and new maths theories and books that nearly nobody could read and understand all of them in a life-time) would Not be required to learn in details, other than their logic, reasoning, problem composition, etc.
Just like a kind of very high level programming language, as we don't need to know the underlying structure of machine language codes. 人们为什么不设计用于数学运算/应用程序的AI工具，该工具可以读取和分析人们编写的任何数学组成，然后在答案，问题或评论中提供反馈。
现有的所有复杂的复杂数学（也许有太多的新旧数学理论和书籍，几乎没有人可以一生中阅读和理解它们），除了逻辑，推理，问题外，不需要进行详细的学习。 组成等 .
就像一种非常高级的编程语言一样，我们不需要了解机器语言代码的底层结构。
同意，加速度过小初中，后面就是天空任鸟飞，海阔凭鱼跃了，哈哈
请问pdf能放google drive之类分享吗？
要求统一的方法和步骤的老师，在我看来自身对数学可能都理解有限（但很不幸，国内和美国的很多小学老师都执着于此） 不管中国美国，小学教育似乎都局限于固定程式，教师的水平也极其有限 （这有点儿像管理学上的peter principle，每个岗位上的工作都由不能胜任的员工完成，因为优秀员工升职了。小学老师通常在数学上不具备更高的视野，这里十分公校小学老师也都是通科文课出身，自身理解有限） 我不太了解天才学校，好的天才学校很难考（名不副实的天才学校不少）。或许天才学校的师资会强很多？天才学校是否有专门的系统性的教材？ 娃理解一个数学概念，通常需要用多种途径去启发。一方面，数学来自生活，尤其是小学数学，可以解释的方法很多。孩子的思维是发散的，我们并不知道哪种形式和那种思路，会让他们一下子豁然开朗。 各种数学概念中逻辑思维的重要性，比死记公式强的多。数学中证明和求解，无外乎就是建立条件和结果之间的联系。现在各种教材，包括奥数题，很多都在教套路。但是如何让孩子自己总结出套路，比让他们学习现有套路，恐怕更重要。 教科书教给孩子的，只是general的方法。这个对考试很重要，对做题效率很重要，但对孩子未来思维能力的发掘并不重要。在这方面，我虽然一方面希望孩子加快学习进度，但另外一方面，又不愿意她陷入各种套路中，而丧失了自己摸索思考的机会。 数学的核心是逻辑思维。逻辑之美，不仅可用于数学，可以放到各个学科之中。这里所说逻辑，不仅指逻辑数学。 很多人认为数学不用学那么好，理由是以后不当数学家就用不上，我不太赞同这个观点。看看网上许多人争论某个问题争论半天都争论不清楚，往往是数学没学好：） 孩子以后当然不需要以数学为职业，但在学习数学过程中养成严谨的逻辑习惯，可以受益终生。另外前面楼主有谈到那个奥数选手说高中数学是common sense，我的理解，这里的common sense，是指可以将那些看似抽象的概念或规律与现实生活中某些概念或规律联系起来，建立直觉，这样非常容易理解，不需要死记硬背。当然广义来说，这也是一种”聪明“的记忆方法。 其实即使是高等数学里很多概念，都能够建立这样的直觉。但这依靠融会贯通的想象力，就如楼主所讲的从基础代数到高等数学微积分之间的统一。如果回头来看整个数学体系，虽然有很多细枝末节，但其实整个数学大厦内部是有一个统一框架的。越能融会贯通，越能将他们统一起来，让孩子在学初级课程时就能欣赏到整个数学系统之美。 （譬如，我在教娃理解cone & pyramid volume的公式时，推而广之，给她讲arbitrary base的volume计算公式，用分解的方法去理解，cube->pyramid->cone->arbitrary base，突然就感觉，其实这个时候，甚至更早，在讲圆周长、圆面积时，其实就可以培养孩子对微积分的sense了。哪怕孩子不是很懂——圆周率怎么来的，初中有讲吗？似乎只能找课外读物了） 这些有趣的东西，如果能通过图文并茂、生动案例或者多媒体表达出来，将可以更好帮助学生学习数学。（能力强的学生自己就可以建立各种直觉，但可能大多数学生自身缺乏这样的能力）不知道有没有这样的教材，能够深入浅出，前后呼应，启发孩子的思考能力，让孩子探索更深入的东西。其实孩子潜力都是很大的，只是我们成人没给他们创造足够的空间和条件而已。
强re一下“数字的数学的基础是进制”这个观点。mm你娃才四岁，估计不讲这个吧？你觉得多大可以开始讲进制，2进制，16进制？
仔细读帖啊，前面都说过了，提了日本法国的教材
谢谢你无私分享。这两天跟着你的这个帖子和隔壁4岁娃数学启蒙的帖子学了很多。 不知你知道analytic geometry 和 calculus 的经典教材有哪些？ 我更多的是找来自己看看。
昨天在网上乱搜的时，搜到一篇文章 The Third Mathematics Education Revolution 作者是Richard Askey ，文章写于1999年。里面作者引用一段话，这段话来自1962年由64位数学家签字的一篇关于高中数学教学的文章但作者认为仍旧值得一读：: Elementary algebra, plane and solid geometry, trigonometry, analytic geometry and the calculus are still fundamental, as they were 50 or 100 years ago: future users of mathematics must learn all these subjects whether they are preparing to become mathematicians, physical scientists, social scientists or engineers and all these subjects can offer cultural values to the general students, The traditional high school curriculum comprises all these subjects, except calculus, to some extent; to drop any one of them would be disastrous. 看来教什么怎么教一直有争论。只是轮到自己孩子就这几年。过去也就过去了。
我想请mm谈谈 家长怎么给孩子创造有利于数学启蒙的环境？ 我想问的是如何启蒙，勾引好奇心，引导孩子欣赏数学的美感，提升学习的愉悦感。（我觉得做算数题，玩大富翁，等等，很多时候并不是启蒙，而简直是培养孩子对数学的讨厌感和孩子对自己数学无能的自厌。） 成年后如果想梳理数学知识网络，加深对这个学科的理解（不止看见树叶而且能看见树林），请问有什么推荐的入门渠道/方法？不需要全面，能给个引子就好。
哪个帖子是“隔壁4岁娃数学启蒙的帖子”？
https://forums.huaren.us/showtopic.html?topicid=2539753&fid=398 楼主也分享了不少经验。
多谢！
非常感谢！我买了Polya, Gauss 和 Euler的三本，准备圣诞节和过年翻一翻。 第二本 Proofs from THE BOOK请问你推荐哪一版本？
希望在他学完初等数学之后，在需要的时候能够自己把，简单的实变函数，简单的线性代数，简单的概率论，简单的数理统计，和简单的博弈论，当作闲书一样自己看下去。 。。。 对于理科最基本的思辨并不是，知道/学会了一种方法，而是，能够把这个方法为哪里而来，为什么会这样，从一开始的砖头，一步步推演得明明白白，清清楚楚。
记公式的问题，我长期记忆很差，但现在数学还是不错，就是因为真的理解了，很多公式是能推导的。当然，最基本的会记得。
有哪个名人说过，学习就是忘了以后剩下的部分。从这个角度看，我支持不要把数学学成语文，变为记忆的事。应该多给时间去探索、思考，锻炼孩子的逻辑思维，让孩子抓牢一张大网，怎么都不会忘。
但至于谁有这张大网，应该是得靠家长自己吧。我也只能mark了再看楼主更新及其他人分享。
Re 说得真好
我是一路理工科 但是可以说本科毕业来了美国以后 才真的学会了数学 也爱上了数学 最后修了PhD minor in math 把各种topic学了一圈 我感觉美国大学课堂里其实数学教的特别好 书也很多 很有趣 生动
我觉得关键是要make connection 把抽象的东西跟生活中的概念链接起来 有一些例子 真的就觉得特别有意思 比如mod就是抽屉理论之类的
Mark
比如mod就是抽屉理论之类的
学习了 https://cloud.tencent.com/developer/article/1087900
谢谢推荐.这个话题很好👍
这个也很不错.感谢推荐！
我看的是2018年的版本。
圆周率的求发可以用分圆法，就是圆内接正3角，正4边形，正5，6，7，8，9，。。。。 一步步下去, 圆锥和球都可以通过外接圆柱然后用刀去片片出一个个圆环
两个思想中都有微分的概念
有本专门记录数学圈八卦小段子的书里面有这些，书里记录了360个数学小段子。这书出了之后很有名，导致大家把知道的小段子都寄给作者，于是又出了续集又绕了一圈360个小段子。
Mathematical Circles: Volume 1, Quadrants I, II, III, IV by Howard W. Eves
Mathematical Circles: Revisited Mathematical and Circles Squared, Volume II by Howard W. Eves
Mathematical Circles: Mathematical Circles Adieu and Return to Mathematical Circles, Volume III by Howard W. Eves
两个超常数，pi 和 e 它们有很多精妙巧合的地方。有数学家写过专门介绍它们的科普书
e: The Story of a Number by Eli Maor (Author)
A History of Pi by Petr Beckmann
娃会1111以内的2进制转成10进制 15以内10进制反过来转成2进制
为什么会1000以内的2进制转10进制 是玩下面玩具玩出来的
为什么会16以内的10进制转2进制 是因为他玩玩具疑惑了之后，问我怎么反过来转
我拿了四个碟子，分别放8，4，2，1个珠子， 按顺序放好 让他自己去拿碟子表达比15小的任何一个数
最后根据他取得盘子就写成了2进制 取了就写1，没取就是0
然后。。。。 他觉得自己懂2进制 其实不懂 就是让他玩玩有个感觉罢了
我挺喜欢美国这一点， 吸收各国的知识 比如写e故事的是匈牙利数学家 这个玩具是意大利的
我不是教育学。学教育学的数学一般不太好。教育学不用做证明的，他们一般是实验研究，比如找一群小孩，然后用什么方法，提高了积极性，参与性等等之类。
其实改革没有错，主要是一个动态过程 T代表老师 S 代表学生 比例乱写的，大概说明一下
（一） T：懂初等知识框架，按框架教 S：20%懂了框架，60%懂了里面的知识，20%知识跟不上
（二） T：懂初等知识框架，按common core教（不让一个人落下，最低要求教） S：20%懂了一些框架和common core的知识，75%懂了common core里面的知识，5%common core知识跟不上
（三） T:只懂common core的知识，按common core教 S： 20%懂了common core的链接，60%懂了common core的知识，20%common core跟不上
改革当时的假设是2，所以本意是好的。 但是2演变一段时间之后，实际状况就成了3。
类似前面一个MM说的求圆锥
(1)通过画画，讲解详细直观解释锥形公式怎么得出来
（2）跟学生说个大概为什么有个分数
（3）这是个公式，大家记住了，
（4）这个计算的公式，大家会查会用就可以，记住考试的时候抄到cheet sheet上
这4种情况下，面对一样的学生 教出来的不一样。
我其实还是挺诧异论坛很多人觉得数学要记忆的 因为我感觉论坛里面理工科出生挺多的，怎么会觉得要记忆的。 假设这样想
如果老师都觉得左个知识是考记， 右个知识是靠按照一定的顺序， 那么教出来的小孩很难有思维上享受 很难喜欢数学
所以说要活过小学中学。
现在的问题是，大家知道中小学的老师数学水平不行，但是大家political correct不能去戳破这个现实——人家也在很认真的教，用她/他的理解很认证的教。人家关于加减乘除就是这么理解，
曾在youtube上看到某小学老师让学生讨论10-8+53-16等于多少，小孩吵吵闹闹15分钟，谁也不能说明谁。。。。 下面有人说学生最终讨论并没有得出正确答案，老师说加深学生理解，不用着急，我有正确答案，他们可以把讨论结果跟我说。。。。。。人家老师真的尽力了。。。 而且还挺爱好他的教学方式的，似乎还分享过他其它数学教学方式。。。
我当时溜过一眼，心中。。。。具体什么的倒是忘了。。。
连进制都搞不清老师，他们怎么可能对加减乘除的方法有灵活度 他们只知道按照common core的步骤来 他们说不出，这个步骤涉及的原因是什么 类似与等式那个步骤的原因是等号的基本定义(两边同加减乘除，等号依旧成立）， 但是没有说只能用等号的基本定义出发。。。。。
common core或者没有错 旦配合上当年学common core的学生成了的老师， 若只懂common core的老师就完蛋了。 而且只会更朝下。
教得简单 然后学生成老师 老师懂得简单 教得更简单 然后学生成老师 。。。。 10年10年的过去 慢慢的会数学越教越简单 学生懂得理科推演越来越少 比较美国50年来数学教材的演变 就知道了
或者以后高中有一天 数学会跟物理一样成为选修吧。
而现在当下 活过小学初中，到了高中就好了 好在高中老师整个初等数学的框架是有的， 至少现在高中还没有放弃数学
我娃还小 出在买各种玩具的阶段 大家共勉吧。
你问高中的解析几何还是大学水平？
如果是高中生的话 Ray的一系列书里面后面还有两本正好写这个 Grade 12 Ray''''''''s Analytic Geometry Grade 12 Ray''''''''s Differential and Integral Calculus 如果想要通用，包括各种 thomas'''' calculas 这本书足够了，但不适合一般高中生，这个是大学用书
高中生还有一个撩侃微积分书 How to Ace Calculus: The Streetwise Guide by Colin Adams (Author)
这本书属于跟big fat book知识肤浅度差不多， 高中生可以自己看看知道微积分在整啥的。 不喜欢big fat book的估计也不会对这本书感兴趣。 其实数学方面的书，也跟小说一样，有各人taste不同。
如果是大学水平的话，根据你偏好不同，有不同对应的书。 你其实可以查一查MIT和普林斯顿他们两家数学系里面syllabus用书
家有二年级娃，谢谢lz分享，这个玩具叫什么啊？ lz提到做beestar free printable pages，每一份都要做吗？还是每一类里挑几份做就好了？
高中的。谢谢你推荐的，我找来看看。希望像你说的教过小学初中，高中就可以交给学校老师和他们自己学了。
谢谢分享
我现在experience只有Grade1-2
我是延长1倍的时间， 只看准确率 如果3天不错的话， 就move到一下
Grade1部分是按照顺序的。
Grade2部分 它的加法我只保留了20以内的数的百格 如果你觉得完成效果不好 可以重复打印20以内的百格那12张
乘法部分完全放弃掉——因为有了乘法口诀，那个就没啥了
现在进行到两位数的减法的，
其它部分我还没有没弄，不能反馈给你 大意就是完全掌握的，三天就跳了 大概就可以。
我的打算是 在三年之内把这个Grade1-Grade8弄完了 打下所有基本计算/初步理解的基础。
你娃比我大 一定会后来居上的， 你有经验就分享吧。
我个人觉得 整个小学初中都只把数学当计算/步骤学挺可怜 干掉它，就可以move on 整些好玩的的了
这个玩具真不错。好想买，可惜我家大了😄
汗，我家娃虽大，但是跟你娃和楼里别的牛娃比起来就差得太远了，他才刚开始做了一点beestar的math，而且不喜欢做百格，觉得太多太boring了，加上有时间限制，可能觉得有点紧张，下次增加一倍时间试试。Beestar里的free test，做起来还好一点，不那么boring。 娃要是很抵触做百格math怎么办？其实我也觉得是有点枯燥，怎么让练习变得有趣一点?
如果这样的话 就时间加一倍 但是不强求全部做完 做多少算算%就可以了
然后娃慢慢的会自己 有好胜心慢慢多起来的
坚持，坚持，坚持
这真是超有用的数学玩具，如果没有你的指点我可能需要找很久，或着要靠碰运气才知道这 一款游戏，所以真心感谢！
而且看你用盘子教二进制的方法真的太棒了！下回我也要试试。我觉得mm你有很多特别棒的数学教学小实验/设计，而且善于把它们故事话，真的很有价值（对别人我不知道，起码对我特别有启发）！所以还想多听听，请你有时间一定多分享。
另外想问一下，有没有好的适合幼龄的应用数学的好例子？（之所以这样问，是因为我自己水平太有限，无法让她领会数学思想本身的乐趣和美，所以想依靠数学应用。）我女儿喜欢视觉艺术和文字，我曾经尝试给她看fractal的纪录片。还给她看过计算机视觉的一些例子，比如在excel上用0-255的数字代表每一格的灰度，这样可以把一个蒙娜丽莎用excel“画”出来。但我感觉这些，虽然可以给她一些模模糊糊的感受，还不能提升她manipulate数字的兴趣，离她和数学的关系还太远。
mark
mark 学习
这个帖子真好，以后多一些这样的帖子就好了！华人要发挥自己的优势啊
mark 一个先
GT Math 应该是Beestar里面的，它不是免费的，比普通同年级数学要难。
没人讨论是因为CTY必须考进去才能学，能考进去的家长都不需要来这个帖子找材料了，已经自己鸡过孩子了。
不过我没觉得题量很大，也还好。 还要凑上负责任的助教。 我家孩子上代数1时她不问老师也就例行公事每周发个邮件问一下。 上几何时是个韩裔，认真的不得了，强迫她Zoom，把错题全部重做，还告诉她要重新复习哪部分。。。。所以我们上代数2时指定她继续教。
我收回原来concern。通过观察隔壁男孩，觉得1（计算），2（步骤）的如果在Grade7或者Grade8，确切说在正式学代数之前意识到要纠正这些，其实问题不大。
对于一个3/4 x=15解不出正确x，2-（1-3）括号里面负号不会化成正号，分数除以分数出不会化简，直角坐标系上画一个点都找不到位置的Grade8小孩能够通过半年重建，能达到另一个MM曾经贴过的题目，过一个点求已知直线的的平行线/垂直线的解析式。
那么任何一个在学代数之前的意识到这个问题都可以经过半年的左右的练习，去弥补1，2的缺陷。 （他的approach方法，我过会儿开会的时候写。）
这个其实是可以通过习惯训练达到的，
周末看帖，看到一个更悚然的 ---------------- 原帖是讨论那些学校技能，一个MM写了辅导侄女物理过程 大意就是学校教了怎么做实验，怎么approach，没有教怎么做题 然后她怎样教怎么做题的 （求贴出原回答，那个MM写得很详细，我找不到了） --------------------
这个涉及到一个问题就是，就是讲实际问题转化成自己知道理科知识能力。 这个问题比前面讨论的12点要严重多了， 因为前面说的12两年是可以通过training来完成了
而这一点能够通过training来完成，在于个人 如果学校没有这方面的意识， 那么会遇到这个知识我懂， 老师说的按他们方式考的我也会 但是拿到实际问题就虾米。
其实也就是大家说的modeling的能力。 可以通过training有了计算和写步骤的能力 但是modeling的能力确实却没有那么明显看得出来 反而更加重要， 涉及到联想力，构建力，等等 往往决定了一个人在理工科上走的高度
modeling 的能力确实重要，但是这个可以到大学或者高中再建立，都来得及，学习物理确实是建立这种能力的最佳路径，不过高中之前的数学基础非常重要。我高中就去搞物理竞赛了，基本的大学普通物理实验都是那时候做的，除了操控设备动手的乐趣外，最神奇的事情就是测各种常数，拟合各种模型。通过实验-建模，对数学的理解增加许多，看数学问题多了一个角度觉得简单很多。
MM太客气了，其实我也是摸黑。。。。。
你说的这个画图也有玩具的。我因为单身带娃 唯一能够做的就是买很多的书和玩具
我思想守旧，买了很多旧书。
小孩小的时候是看Anno的书，那上面没有啥字，纯粹是数和图形 Anno关于数学的书里面还有一个壶的，娃最喜欢，拍照片的时候找不到。
“I love Math” series 我都买了（拍照时没全翻出来），其实是适合读得懂绘本的小孩看。 我当时买它们做阅读书的。后来就是小孩子自己在家里翻，他感兴趣什么抓着我讲，我就讲讲。 https://www.livingmath.net/i-love-math-young-math
我不确定， 如果基本modeling能力在学了代数之后，并且代数学塌了之后 是不是能够重建
如果是在代数之前，然后跟着学代数去培养一些modeling的能力， 然后进一步深化，是可以的。 中国的初中学得比美国Grade7-8中的代数要深入很多， 他们会学一些解析的能力，一个应用题怎么用二次方程求对大值之类。
你的初中高中解决应用题有了基本的modeling的sense 美国不清楚有没有， 大意就是那个高考物理应用题 不强求会做， 好歹知道大概什么方向， 可能用什么公式之类的
如果没有解决应用题的能力， 高中过分强调做实验， 这种适合天才 自己会基本应用了
美国高中物理，对应用题的要求是什么？ 不知道大学是不是能够学学习能力之后 建立modeling的能力。
我娃小，孩没有经历过 一些大学物理系学生学不下去，转专业还挺多的。
你的假设 ”代数学塌了“这个太强了，那基本理工科都别学了。
代数的学习按皮亚杰的理论要到青春期才开始真正建立，我的实践，4-5年级开始学基本没问题。
我认为代数本身就是学习modeling的过程
学塌了，重建是有可能的，我follow过一段时间这个Early Algebra Project，他们在Boston地区做了好多尝试 他们的教学中，后面就有很多生活中的例子，让学生抽象，modeling 关系
https://as.tufts.edu/education/earlyAlgebra/about.asp
CTY 的数学 SAT550 就可以了。 SAT 名字写对了就有 400 分。 基本上交钱就能进。
不是不重要，是即使没有，也有机会重建。
之所以这样是因为，其实美国Grade1-Grade8数学就基本算术学了。也就是说给两个整数，加减乘除他们是会。 即使算错，如果认真让他们算 他们也是可以的。 整了六年。。。。。。。
我大概一周关心一次隔壁男孩 主要跟他妈妈爸爸沟通 然后让她家去练习啥。
我们本来play date 不知道怎么变成 一周我免费教他娃30分钟数学 然后跟他妈他爸说要怎么怎么样了。。。。。
一开始是发现两个分数相加， 小孩都10道题错9道题——就是beestar的免费printable sheet 我看小孩做了做
然后把beestar里面公约数，公倍数拎出来 跟娃妈说，你跟他一天做一张吧
这样子终于会能够分数计算不会10题9错 大概达到10题2错的方面
然后还有乱七八糟的计算问题 小孩好像很喜欢写假分数。 两个分数想除就不会化简了。。。。。。
我忽然想到一个问题 如果现在从4年纪开始补的画 那么大半年之后就要上高中， 岂不是虾米？ 于是想了一个办法
干脆整一元一次方程 就是从中国下载的各种复杂恶的一元一次方程 带分数的，带分式的，带括号等等 就是长长，复杂的一元一次方程
大概有200多道题 交给他妈 一天20道题 然后看看正确率 一开始10题错7道 他妈拍微信给我看 我就跟他妈说 买格子纸 要好好写步骤，
大概经过了2-3个月 终于计算 后来10题终于只错2-3道
总算 不是一遇到分数就错 一遇到负号就错 一遇到括号就错了
计算总算及格了 能够稍微写一些步骤
也就是说通过借各种花式 一元一次方程 总算欠下来计算关是过了 至于步骤。。。。 反正只要他自己能够写得自己不出错就行了。
真正写逻辑步骤的在后面
=======================
某天我忽然意识到 这娃连坐标系里面画（2，1）这个点都不知道怎么画的时候
我建议他妈来了big fat book 然后就依赖着big fat book和beestar的打印纸
开始学会写步骤。 首先big fat book 只是个基础大纲 我大概每周给他娃讲一节 然后改后面的题目 所有的题目都变成解析性
类似与书上让你画一条直线 那么就反过来出写 给定两点，求这条直线、
对于beestar上的相关题目 也做修改 比如坐标系里面给个图形， 让向上，向下平移之类 就变成写出图形中每个点的坐标 然后写出平移后每个点的坐标 然后再画图形
因为解析几何其实也是一个完整的系统 从点， 然后线 然后两点的具体 然后线与线的夹角 然后根据点与线的关系，线与线的关系，如何确定一条直线等等
我非常感谢曾经再某个帖子里面 为我贴出她家小孩Grade8解析几何题目的MM 正是因为看到她的两个题目 我意识到了 一个Grade8应该有理解力和慢慢解析能力应该怎么样 然后一步步的像这个去靠拢
我其实只是给 小孩子家长提供了一个纲领 就是每周你们去整啥 就去弄这个 要注意什么
至于怎么与小孩去每天磨 怎么一点点弄 还是小孩父亲做到
至少现在 小孩能够考虑 奥，要坐标系里面画一条直线需要两个独立条件 我们已经有了什么直接条件 如何把间接条件转成直接条件 然后把两个直接条件构建起来 成为得出直线
我个人觉得能够把 这样思维表达出来 应该足够高中学代数了
================================ 也就是说通过大半年的时间 邻居小孩终于在计算能力，计算步骤上 达到可以跟上高中学习的能力
所以，前面说的1，2虽然重要， 但要补救也容易 大半年磨一下养成习惯就好了。 ——不是不重要，是补救起来容易 至少在学代数之前还是比较容易的
学代数之前 步骤其实比较简单 脑中可以想清楚 只要把想清楚 表达出就好了
不能够在问题变复杂 脑中不能一下子想出来的时候 去补步骤和计算功课 那个时候就太晚了。 ==============================
至于那个高中modeling的能力， 我没样本也没经验 但觉得这个问题更严重
因为大学里各理工科对这个都有要求 ——有的时候考试表现不出来 但实际上一个人对一个知识的理解在于灵活运用上 不在于记住公式，依葫芦画瓢写公式。 （一位老教授说怎么出题控制分数 绕一个圈70%就虾米了 绕两个圈98%就虾米了 绕三个圈就全部虾米了 所以，有一定经验之后，基本上出什么卷子会控制多少分都心里有数 。。。。。 其实就是知识之间建构，直接， 还是要用两个点，还是要用三个点）
望有经验的人 分享经验。
其实在Grade8之前都可以建立（就是上高中之前， 既与大脑发展有关——大脑的软连接要在12-18岁之间会蓬勃发展 又与知识体系有关——代数是个整体，
问题是， 我不知道如果18岁之后 modeling能力没有 还有多少能力重建modeling的能力。
所以如果美国高中没有培养小孩 对于modeling的能力 那么还有机会吗？
你说的代数，也是不能是直接用代数知识，而得构建， 就是要通过间接条件构建出要求的条件 也就是有逻辑推理至少2-3部分
直接用知识点，那个知识fill the blank 要转成逻辑 得有推理在里面
代数， 平面几何 平面解析几何 他们中间任意拎出一个来都可以培养这方面的能力
其实我真的个人觉得 如果实在找不到好教材 那么直接拿 AMC，AMC10， AMC12的题目 来联系了写步骤 也行 那个其实也培养了modeling的能力 ——至少后面的题目不直白
我一起回答，前文中提到的
小平邦彦在后面 google drive已贴
法国材料是20年代由J. Tannnery, J. Hadamard, E. Borel, E. Cartan四位院士出马编写法国中学教材的。 法文中的一本可见https://www.amazon.com/Le%C3%A7ons-Darithm%C3%A9tique-Th%C3%A9orique-Pratique-French/dp/1143664787 并不适合小孩读，是纯粹从扎实数学功底的角度上来讲授数学
太好了，我也超喜欢anno的书，谢谢推荐！
我的高斯的Disquisitiones Arithmeticae 今天到了，翻看第一页第一段congruent number in general, 发现自己居然完全忘了什么是congruent number。。。汗啊。。。反正全当读着玩，不指望靠它赚饭票，慢慢看吧
前面讨论modeling，我知道我们学区二年级数学的作业有类似的练习。比如给你一个数学公式，让你讲一个故事。比如5+4=9，可以是“哥哥赢了5个treasure box， 妹妹赢了4个，两个人一共赢了9个”。或者是天上飞过几支鸭的故事。有些家长不喜欢，觉得每天都是数几只鸭子，很没意思。在这个练习里能有多少收获，跟家长的辅导能力关系很大，因为孩子一开始建模的例子会很单一，所以父母如果能给一些多样性有意思的应用，效果应该更好。关于高中以后能否有建模能力，我觉得完全可以。我的前老板，大学学的是american studies（我的偏见是这是很水很水的文科），她30岁以后去mit读计算机科学，毕业后工作起来，建模能力是杠杠的，虽然我也不觉得她有代表性，但我认为好的语言组织水平，对于清晰地表达/辨析/解释问题非常有帮助。
最后分享一些我最近发现的资源。
给数学外行的梳理数学知识的资源，我找到一个油管的10分钟视频，对我这个外行还是挺有意义的。
给小朋友的资源，我开始给孩子看一些非常简单的数学史的视频（
你老板是旧式系统培养出来， 2000年之前上小学和现在的小学数学完全变样了 （Bush不让一个学生拉下之后，变了很多很多 美国小学初中数学教育每十年往后退一步。。。。。）
老式教育还是很厉害的， Edward Witten本科历史， 照样拿了数学的菲尔兹和物理的诺奖
这种让小孩讲故事方法好 但美国的问题在于后继无力 大意就是整来整去都在演绎加减乘除
公倍数，公约数，分数，幂 等等似乎只认识了一下数学符号和定义 ——这个是我对邻居小孩的观察 不清楚其它样本
让老师编一个 某工程先做了1/3,又做了剩下的2/5,又做了剩下的6/7，最后剩下1天，问一开始工程多少天， 似乎有理解困难
要解释model首先的基本运算， 基本数字都理解清楚 似乎美国现在小学教育、 几乎大部分精力发在了整数的加减乘除上 然后分数有些虾米
（这一点我很喜欢AIME的题目 答案被迫化成最简分数）
我对beestar后面练习非常诧异 它对于分数，一元一次方程的练习数字上非常简单 没办法，分数计算跟不上，一元一次方程不能弄复杂一些的数字。。。 我娃还小，没想过这部分怎么弄 可能先爬质数格子 好歹把100以内数的因子分解都熟悉了
如果连分数只是了解了一下的话， 那么关于百分数， 关于物理公式的理解就更加。。。。
英语确实对解释清楚非常又帮助， 你举例的方法飞小鸟也非常好的， 但要跟知识持续性跟上， 不能只整加减乘除。。。。。。。 得随着内容的增加而变迁
Moore教学法（螺旋式上升） 本来是跟后面知识构建 但是后面知识没有来得及讲。。。。 比如讲什么A+B=C 还可以写什么A=C-B， B+A=C， B=C-A
这样讲是为了学生 对后来代数学的等式移项呼应起来 但后面教方程的老师不觉得， 他们还强求学生两边同时加减乘除 如果那样的话， 那么前面练习写变形 完全浪费了
Moore本身方法形容没有问题 打基础“理论上”也没有问题 实践上出了问题 后面的学习根本没有呼应前面深入的方法和知识
我个人觉得 小学一年级整加减各种理解都行 二年级整乘除，各种理解都行 到了三年级，就应该放精力在运算规则上 到了四年级，就放精力在小数上了。 到了五年级，精力放在整分数上
到了56年纪，还在整数加减乘除， 真的是把后面拉下来了。。。。
我当时看到邻居小孩 对分数的计算能力都震惊了 一算就错的地步 哪怕是最简单 一个分数除以一个分数都算不正确 据他妈说当年耗费了很大力气才理解了百分数。。。。 ——应该不代表美国大多数。。。。。
==================== 我对数学的看法freedom The essence of mathematics lies in its freedom. ——Georg Cantor
能够拓展它的认识和疆域的方法也好 书也好，我都愿意接受 但凡是限制它自由的， 我都难有些困难。。。。。
数学疆域的扩展 一次次就是为了自由 正数（加乘的自由）--> 整数（加减乘的自由，不在限制必须大的减去小的）--> 有理数（加减乘除的自由）--> 实数--> 复数
一次次寻求方程的解 也是为了自由 要不高斯就不会选择数学了
所以凡让我觉得限制了自由的方法——就是规定一定要怎样的， 都不喜欢 比如说解方程的套路 记住加减的family 等等
当计算能力限制了认识 也就会限制了数学的自由 美国小学，初中的分数计算能力 到底能不能达到 任意分数加减乘除的四则混合运算都没有问题 任意分数都可以化成最简形式。