关于平行线相交的问题,答 trivial 和 Numero

兄贵
楼主 (文学城)

我说的一个故事

 Lobachevsky上中学的时候,发现可以让平行线相交 建立新的几何学。被老师斥责无可救药。他苦恼至死,死后12年公认 兄贵 

我写了这么一句后,被两个网友质疑:

• 更正一下:是线外过一点可以有不止一条平行线。任何几何学中“平行线”的定义都是不相交的线。 trivial - 

你那个Lobachevsky的典故理解错了,给你批判一下 LOL 来源: Numero 于 2023-03-20 13:23:04 [档案] [博客] [旧帖] [给我悄悄话] 本文已被阅读: 44 次 (469 bytes) 本文内容已被 [ Numero ] 在 2023-03-20 13:42:51 编辑过。如有问题,请报告版主或论坛管理删除.

任何几何学中平行线的定义是:如果两条线没交点则称为平行。

欧氏几何中是这样:“过线外一点有且只有一条线和已知线平行”

而非欧氏几何(Lobachevskian geometry),也就是双曲几何,平行线多了而已

是这样的: “过线外一点至少有两条不同的线和已知线平行“

其实可以有无数多条。。。

这两位应该是大学数学教授,所以我觉得应该回答一下。

首先我说的是 一个众所周知的事实,不知道他们反对什么,网上可以查,类似的很多:

https://k.sina.com.cn/article_6501934712_1838ba67800100rviq.html?from=science 

首先我说的没有错。再来看他们的论点:

trivial说的,任何几何学中“平行线”的定义都是不相交的线 反而是错的,诺巴切夫斯基和黎曼都是从质疑平行线是否相交开创的非欧几何的研究,而且平行线相交也是一种流行说法,见:

Numero 给了欧几里得几何和双曲几何的平行线定义。欧几里得几何是处处曲率为1 的特别特殊的几何,双曲几何是无数非欧几何中一种特别的几何,罗巴切夫斯基重点研究了双曲几何,黎曼重点研究了椭圆几何。这些都是一些特例,随便说一句,双曲几何可以引无数条平行线。你给的两个特例定义,完全不能否定从平行线相交的质疑。而且椭圆几何的平行线,确实是相交的,如地球经线相交在南极北极。

在非欧几何中,不存在直线的概念,所以,我从来不用平行线这个词。非欧几何中最短的是测地线,距离的系数是度规,从度规可以计算曲率,各个地方的曲率可以完全不同,甚至难以计算。欧几里得几何的平行线,在微分几何中,平行线相当于是曲面或者流形上的于测地线成90度角的系列线,因为测地线是曲率最小的曲线,沿着测地线平移的向量的大小和方向不会改变,对于给定的度规张量,这些“平行线”可以通过求测地线的微分方程来求解。

所以,Numero 的两个定义是可取的,但是不全面,更没有动摇我的说法。而trivial是完全不靠谱的。

 

S
STEMkid
你引的那个故事是人杜撰出来的,没有任何证据发生过。trivial 说的一点没错,Numero有概念错误
兄贵
trivial 明显错了。椭圆几何的平行线就是相交的
S
STEMkid
椭圆几何里没有平行线。直线就是欧式几何中的测地线
兄贵
你也可以计算微分几何中,流形平行线的解,是容许相交的。这是最基本概念。
兄贵
1)你看过黎曼的文章吗? 2)你学过现代微分几何吗? 你应该都没有
兄贵
平行线不是通过不相交定义的,而是通过和测地线垂直定义的。
S
STEMkid
所谓这三种几何的公理,不是指在流形中描述,而是在单联通空间描述
S
STEMkid
也就是球面,欧氏平面,和双曲平面
兄贵
不存在三种几何。微分几何一统天下。黎曼几何、双曲几何和欧氏几何一样,都是一种特例
S
STEMkid
这是另外一个问题了,微分几何里没有平行线这一说法
兄贵
这些都是理想简单化的特例。实际的世界,各点的曲率是由质量分布决定的,可正可负,随时随地变化也可
S
STEMkid
是的,没有平行线的概念了
大西洋里来的人
这不是拿知识砸人嘛,哈哈
兄贵
你的逻辑好奇怪。我从诺巴切夫斯基质疑平行线说的,说到平行线这个词不好,你回到我的想法了。但是微分几何是有平行线概念的
兄贵
类比欧氏几何,微分几何的平行线,就是都和测地线垂直的线
兄贵
别人先砸我的。而且追着我砸。每次我发个贴,都被砸
S
STEMkid
你肯定是把parallel transport的概念和平行线搞混了
M
Midwestrural
哈哈,这个问题太高深了,我去查了一下微分几何中有木有平行线,一堆豆芽菜出来,顿时眼冒五角星伴随着耳鸣,罢了罢了。。。

我是再也弄不明白了。。这些网站也不给个明确的回答。。。

a
avw
这么喜欢较真,大概是男的
兄贵
类比欧式,平行线是看着研曲线parallel transported,方向不变传输的结果
M
Midwestrural
革命最坚决最彻底的往往是女同学,参见各种运动中的女性表现,所以法国大革命的绘画中是自由女神带领大伙,而不是男神。。哈哈