一 Bertrand的盒子悖论
1
有三个外表一模一样的盒子，里面分别装有两枚硬币：其中一个两枚都是金币，一个两枚都是银币，剩下的则一金一银。现在随机选定一个盒子，并从里面随机抽取一个硬币，发现是金币，请问剩下的那枚也是金币的概率是多少？
这就是著名的Bertrand 盒子悖论(Bertrand's box paradox)，最先由法国数学家Joseph Louis François Bertrand (11 March 1822 – 5 April 1900) 提出来的。
严格说来，这个不能算真正的悖论，它和说谎者悖论与理发师悖论不同：那两个悖论都叫你左右为难，不知所措，而这个却不同，只能算是一个难题。
它真是一个难题吗？难在什么地方呢？它的神秘之处在于：如果你匆忙作答，很容易给出错误的答案，读者不妨先试试看。
这个悖论也有一个变种，叫卡片悖论：有三张卡片，一张两面皆黑，一张两面皆白，剩下的则一面白一面黑。你随机抽取一张卡片平放在桌面上，发现是黑的，请问另一面也是黑色的概率是多少？
2
你的答案是什么呢？是1/2吗？如果是，恭喜你，你错了。
你的1/2绝对不是空穴来风，也许下面就是你的推理。
1. 每个盒子被选中的机会是平等的。
2.既然有一个是金币，所以不可能是两个银币的那个盒子。
3.这样只能是剩下的两个盒子之一：要么两个都是金币，要么一金一银。
4.两个盒子被选中的机会是一样的，答案自然是1/2。
这个推理没问题呀，1/2只对不错。
但它确确实实是错误的！
到底哪里出了纰漏？正确的答案又是什么？
3
前三步的断言是正确的，纰漏就在第四步，那两个盒子被选中的概率是不一样的，这就涉及到了条件概率。
什么是条件概率？条件概率是指在已知某事件E发生后某事件X发生的概率。
用A，B，C分别表示两个都是金币的盒子，两个都是银币的盒子和一金一银的盒子。用E表示抽出的硬币是金色的，用F表示另一枚硬币也是金色的。用P(X)表示事件X发生的概率，用P(X|Y)表示已知事件Y已经发生的情况下X发生的条件概率。一开始，我们的确有P(A)=P(B)=P(C)=1/3，也即三个盒子被选中的概率各占三分之一。但是在已知E发生后，情况起了变化。比如，P(B｜E)=0，换句话说，在已知一个是金币的情况下，两个都是银币就不可能了。
我们先回顾一下条件概率公式：P(X|Y)=P(XY)/P(Y)。不难发现P(E)=1/2。P(EF)=P(A)=1/3。于是有P(F|E)=P(EF)/P(E)=2/3。这才是正确的答案。
4
不用条件概率公式，能不能算出答案呢？
能！我们们用(X,Y)表示抽中的盒子是X，选出的硬币是Y。于是所有的可能结果即样本空间是：（A，金1）（A，金2），（Ｂ，银1），（Ｂ，银2），（C，金）和（C，银）。现在已知（A，金1）（A，金2）和 （C，金）之一已经发生，因此两个都是金币的概率就是2/3了。
5
还有一个办法可以帮助我们找到正确答案。
我们随机选取一个盒子，里面的两个硬币相同（指同为金或同为银）的概率是多少？答案很显然是2/3。所以当我们已知一个硬币是金币的时候，另一个也是金币的概率就是2/3了。
另外还可以通过全概率公式导出答案：
P(A)=P(E)P(A|E)+P(~E)P(A|~E)=1/2 • P(A|E)=1/3，从而P(A|E)=2/3。
这类问题的关键要素就是要认识到事实上根本不存在“第二次xxx的概率”的说法。第二次xxx的结果是完全的唯一性的决定于第一次xxx的结果的，第一次的选择就已经完全的唯一性的决定了第二次出现的结果。比如，选定一个盒子后，第一次抽出一个球，那么第二次抽出的球就肯定是某个结果了；如果选了两个金球的盒子，第一次抽出了金球，第二次也必定抽出金球，没有可能性第二次抽出银球的；同理选了一金一银的盒子，第一次抽出金球，则第二次也必定抽出银球，没有可能性第二次抽出金球的；球的颜色不可能在第二次抽取前变化，这其实也是那个经典悖论的基本要点。第二次出现的结果和第二次抽取无关，只和前面的两个动作有关（选盒子+选哪个球看颜色）。只存在“第一次xxx的某些结果中某些其他结果的比例是多少”的这个概率说法。
由于这个原因，“第二次xxx"根本就不是一个独立的概率事件，也因此根本不存在概率的说法的，显然是不能用1/2来讨论的，因为1/2只适用于独立的概率事件下的情况。如果是要1/2的话，那么第二次也必须是同样的三个盒子再任意选一个盒子再任意选一个球看颜色，这种情况下第一次的结果就没有任何影响了，然后第二次才是独立的概率事件。
一 Bertrand的盒子悖论
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有三个外表一模一样的盒子，里面分别装有两枚硬币：其中一个两枚都是金币，一个两枚都是银币，剩下的则一金一银。现在随机选定一个盒子，并从里面随机抽取一个硬币，发现是金币，请问剩下的那枚也是金币的概率是多少？
这就是著名的Bertrand 盒子悖论(Bertrand's box paradox)，最先由法国数学家Joseph Louis François Bertrand (11 March 1822 – 5 April 1900) 提出来的。
严格说来，这个不能算真正的悖论，它和说谎者悖论与理发师悖论不同：那两个悖论都叫你左右为难，不知所措，而这个却不同，只能算是一个难题。
它真是一个难题吗？难在什么地方呢？它的神秘之处在于：如果你匆忙作答，很容易给出错误的答案，读者不妨先试试看。
这个悖论也有一个变种，叫卡片悖论：有三张卡片，一张两面皆黑，一张两面皆白，剩下的则一面白一面黑。你随机抽取一张卡片平放在桌面上，发现是黑的，请问另一面也是黑色的概率是多少？
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你的答案是什么呢？是1/2吗？如果是，恭喜你，你错了。
你的1/2绝对不是空穴来风，也许下面就是你的推理。
1. 每个盒子被选中的机会是平等的。
2.既然有一个是金币，所以不可能是两个银币的那个盒子。
3.这样只能是剩下的两个盒子之一：要么两个都是金币，要么一金一银。
4.两个盒子被选中的机会是一样的，答案自然是1/2。
这个推理没问题呀，1/2只对不错。
但它确确实实是错误的！
到底哪里出了纰漏？正确的答案又是什么？
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前三步的断言是正确的，纰漏就在第四步，那两个盒子被选中的概率是不一样的，这就涉及到了条件概率。
什么是条件概率？条件概率是指在已知某事件E发生后某事件X发生的概率。
用A，B，C分别表示两个都是金币的盒子，两个都是银币的盒子和一金一银的盒子。用E表示抽出的硬币是金色的，用F表示另一枚硬币也是金色的。用P(X)表示事件X发生的概率，用P(X|Y)表示已知事件Y已经发生的情况下X发生的条件概率。一开始，我们的确有P(A)=P(B)=P(C)=1/3，也即三个盒子被选中的概率各占三分之一。但是在已知E发生后，情况起了变化。比如，P(B｜E)=0，换句话说，在已知一个是金币的情况下，两个都是银币就不可能了。
我们先回顾一下条件概率公式：P(X|Y)=P(XY)/P(Y)。不难发现P(E)=1/2。P(EF)=P(A)=1/3。于是有P(F|E)=P(EF)/P(E)=2/3。这才是正确的答案。
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不用条件概率公式，能不能算出答案呢？
能！我们们用(X,Y)表示抽中的盒子是X，选出的硬币是Y。于是所有的可能结果即样本空间是：（A，金1）（A，金2），（Ｂ，银1），（Ｂ，银2），（C，金）和（C，银）。现在已知（A，金1）（A，金2）和 （C，金）之一已经发生，因此两个都是金币的概率就是2/3了。
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还有一个办法可以帮助我们找到正确答案。
我们随机选取一个盒子，里面的两个硬币相同（指同为金或同为银）的概率是多少？答案很显然是2/3。所以当我们已知一个硬币是金币的时候，另一个也是金币的概率就是2/3了。
另外还可以通过全概率公式导出答案：
P(A)=P(E)P(A|E)+P(~E)P(A|~E)=1/2 • P(A|E)=1/3，从而P(A|E)=2/3。
更多我的博客文章>>> chatgpt的答案有误？ 无题 无题 有趣的概率问题 六 有趣的概率问题 五
这类问题的关键要素就是要认识到事实上根本不存在“第二次xxx的概率”的说法。第二次xxx的结果是完全的唯一性的决定于第一次xxx的结果的，第一次的选择就已经完全的唯一性的决定了第二次出现的结果。比如，选定一个盒子后，第一次抽出一个球，那么第二次抽出的球就肯定是某个结果了；如果选了两个金球的盒子，第一次抽出了金球，第二次也必定抽出金球，没有可能性第二次抽出银球的；同理选了一金一银的盒子，第一次抽出金球，则第二次也必定抽出银球，没有可能性第二次抽出金球的；球的颜色不可能在第二次抽取前变化，这其实也是那个经典悖论的基本要点。第二次出现的结果和第二次抽取无关，只和前面的两个动作有关（选盒子+选哪个球看颜色）。只存在“第一次xxx的某些结果中某些其他结果的比例是多少”的这个概率说法。
由于这个原因，“第二次xxx"根本就不是一个独立的概率事件，也因此根本不存在概率的说法的，显然是不能用1/2来讨论的，因为1/2只适用于独立的概率事件下的情况。如果是要1/2的话，那么第二次也必须是同样的三个盒子再任意选一个盒子再任意选一个球看颜色，这种情况下第一次的结果就没有任何影响了，然后第二次才是独立的概率事件。