最近专攻JSL兄推荐的一本书：Goedel, Escher and Bach，简称GEB。这本书在MIT open course 里有讲座，于是不敢怠慢，引言就看了一周（主要重新去复习了一遍慌言悖论和罗素的理发师悖论），发觉作者的描述确实和哲学里的理解有偏差。这里先不提，过两天专门写文repo一下。
刚刚终于读到正文，开头就是关于Archilles和乌龟的对话，然后看到禅宗大师, 六祖Zeno，一下子给我笑翻了。心想Zeno是六祖，那么他follow的Parmenides算是谁呢？果然，作者一本正经以Zeno“六祖”的身份介绍他师父“五祖”（Parmenides）的理论：现实本实是不可切割且不变的the One(这其实也是基督教对上帝描述的哲学来源），变化与运动都是不可能的，它们其实都是我们感官的错觉。
既然提到了Zeno，又看到坛中对“点”又感起兴趣来，我觉得可以写一下古希腊在此话题上的一些渊源。
Zeno最有名的应该是他的悖论，我也在追上追不上，形逻应用中说起过他的箭矢和二分法悖论。但其实他还有一个很有名的against毕达哥拉斯学派（就是那个也发现了勾股定理的数学学派）的论证，是关于unit占不占物理空间的问题：
如果一个点有magnitude, 且无穷个点组成一个线段，那么任何线段都是无穷长的。
如果一个点没有magnitude，再多点加在一起也不可能有任何magnitude。
（读到这里，石石子是不感到了来自古希腊的共鸣？）
我认为Zeno这里的第一句话是对的，因为任何长度乘以无穷大都是无穷大。这段话和Zeno的其它悖论不同。其它的悖论里，一段距离，先二分，再四分，再八分……，越分越小，所以加起来时，它们收敛于一个极限。例如0.1+0.01+0.001……，可以无限加下去，但因为加数越来越小，结果可以不是无穷大。但线段上的点是任意点，所以如果点有magnitude，那么所有点都应该是等值的，没有任何理由在这里假设一个点比另一个点小，所以这里可以用乘法。而任何正数乘以无穷大，都是无穷大。
所以在现实里的一段线，它没有“无穷”个点，“无穷”这个概念是数学概念，不是物理现实。
我们再来看Zeno的第二段话：
这里先说明一下，没有magnitude和没有部分是不同的。一个事物没有部分，这在古希腊的意思是这个事物不可分，它内里没有和此事物不同的structure。比如一棵树它是有部分的，树干，树枝，树叶，都有不同的structure。但”atom”（古希腊概念的原子）就没有部分，因为它不可分，但这并不是说它没有magnitude。在今天我们说有些基本粒子，point-like，也不是说它们完全不占据空间，而是说它们没有（没发现）inner structure。
那么我们假设点不占据空间，在现实里，又如何有magnitude呢？我们说，虽然点不占据空间，但它可以让别人也占据不了空间。粒子，原子，分子之间都有非常复杂的作用力，有排斥有吸引，而正是net的“排斥力”产生了“距离”。
最后再申明一遍，数学概念是数学概念，物理现实是物理现实。数学有无穷连续，物理现实是有限离散（最起码量子级的能量不是连续的）。因为现实够小，在一定程度上可以用数学公式有效模拟现实，但这不代表数学就百分百精确对应现实。现实没有完美的圆，于是也没有Pi，无理数，虚数……。
你可以选择buy in, 那你就一直可以玩味其中，由此品尝各种题外的联想，这或许也不错；
但你也可以选择不要buy in，便直接跳到圈外，不再纠缠于似是而非。
对芝诺这类到达问题，我选择后者，当物理学有了速度这一明确概念后，我们不应再假装迷惑其中。到达问题不是距离问题而是距离和时间的联合问题，当距离无限细分，也意味着时间段无限细分，但无论在那一点，都有一对不为零的距离段和时间段，因而这点的速度等于距离变化除以时间变化，它非但不为零，而且不被无限细分，更接近一个恒常。在某点只要有一个大于零的速度，那必然在有限时间可以抵达下一点，再下一点，直至终点。
所以陷于芝诺，是由于一个错误的等价。明白了抵达不等价于A到B的距离，而是等价于A到B 的距离和时间，那故意再纠缠不清就没意义了。
您的解释其实最初是Aristotle提出的，我个人认为这个解释不很让人满意，为什么无限距离除于无限时间，就一定是有限的？如果走的是个曲线呢，则这个结果并不收敛。所以我认为直到有“极限”的概念，我们才清晰知道，加数无限相加并不一定是无穷大，这才解决了这个悖论。
所以顺便聊一下Zeno和毕达哥拉斯学派的一二事。关于GEB写的关于罗素的问题，那可说来话长了。小小聊一个点，罗素的type theory ，并没被判“死刑”，实际上CS里的type system也基于type theory。这一点您应该比我懂。：）
https://bbs.wenxuecity.com/teatime/743612.html
根据定义 线的两端是点
然后定义又说顺着线延伸出来点构成了线（直观解释：）
这样线上面必然有点 至少二点
问题是线上除了这两点之外还有什么？
他认为中间是空的
我的问题是如果是空的
那二条线的交点是什么
我好奇各人的欧式几何模型为何如此不一样：）
似乎现在流行点铺满线的解释。
https://bbs.wenxuecity.com/teatime/743425.html
只要能自洽就行，应该没有对错：）
Def: the set of real numbers R is an ordered field which has the least upper bound property and contains Q。
写作背景是想说明根据所列参考博文
现在流行的点线基本关系数学模型 供网友打架参考：）
你可以把你对点和线的关系总结一下
让大家评评，他们应该还有兴趣。
注意把点和线关系表达清楚 是铺满呢还是两端 或其他：）
个地方。
在Dedekind cut里fill the gap也是打引号的，定义里并没有线是点组成的意思。
https://bbs.wenxuecity.com/teatime/743573.html
就说外面的箭和您脑中的箭一样，那就像我们说黑石和黑夜都是黑的，所以石等于夜一样。
发生。一个箭也不一定非要经过沿途的每一个点。。。
最近专攻JSL兄推荐的一本书：Goedel, Escher and Bach，简称GEB。这本书在MIT open course 里有讲座，于是不敢怠慢，引言就看了一周（主要重新去复习了一遍慌言悖论和罗素的理发师悖论），发觉作者的描述确实和哲学里的理解有偏差。这里先不提，过两天专门写文repo一下。
刚刚终于读到正文，开头就是关于Archilles和乌龟的对话，然后看到禅宗大师, 六祖Zeno，一下子给我笑翻了。心想Zeno是六祖，那么他follow的Parmenides算是谁呢？果然，作者一本正经以Zeno“六祖”的身份介绍他师父“五祖”（Parmenides）的理论：现实本实是不可切割且不变的the One(这其实也是基督教对上帝描述的哲学来源），变化与运动都是不可能的，它们其实都是我们感官的错觉。
既然提到了Zeno，又看到坛中对“点”又感起兴趣来，我觉得可以写一下古希腊在此话题上的一些渊源。
Zeno最有名的应该是他的悖论，我也在追上追不上，形逻应用中说起过他的箭矢和二分法悖论。但其实他还有一个很有名的against毕达哥拉斯学派（就是那个也发现了勾股定理的数学学派）的论证，是关于unit占不占物理空间的问题：
如果一个点有magnitude, 且无穷个点组成一个线段，那么任何线段都是无穷长的。
如果一个点没有magnitude，再多点加在一起也不可能有任何magnitude。
（读到这里，石石子是不感到了来自古希腊的共鸣？）
我认为Zeno这里的第一句话是对的，因为任何长度乘以无穷大都是无穷大。这段话和Zeno的其它悖论不同。其它的悖论里，一段距离，先二分，再四分，再八分……，越分越小，所以加起来时，它们收敛于一个极限。例如0.1+0.01+0.001……，可以无限加下去，但因为加数越来越小，结果可以不是无穷大。但线段上的点是任意点，所以如果点有magnitude，那么所有点都应该是等值的，没有任何理由在这里假设一个点比另一个点小，所以这里可以用乘法。而任何正数乘以无穷大，都是无穷大。
所以在现实里的一段线，它没有“无穷”个点，“无穷”这个概念是数学概念，不是物理现实。
我们再来看Zeno的第二段话：
如果一个点没有magnitude，再多点加在一起也不可能有任何magnitude。
这里先说明一下，没有magnitude和没有部分是不同的。一个事物没有部分，这在古希腊的意思是这个事物不可分，它内里没有和此事物不同的structure。比如一棵树它是有部分的，树干，树枝，树叶，都有不同的structure。但”atom”（古希腊概念的原子）就没有部分，因为它不可分，但这并不是说它没有magnitude。在今天我们说有些基本粒子，point-like，也不是说它们完全不占据空间，而是说它们没有（没发现）inner structure。
那么我们假设点不占据空间，在现实里，又如何有magnitude呢？我们说，虽然点不占据空间，但它可以让别人也占据不了空间。粒子，原子，分子之间都有非常复杂的作用力，有排斥有吸引，而正是net的“排斥力”产生了“距离”。
最后再申明一遍，数学概念是数学概念，物理现实是物理现实。数学有无穷连续，物理现实是有限离散（最起码量子级的能量不是连续的）。因为现实够小，在一定程度上可以用数学公式有效模拟现实，但这不代表数学就百分百精确对应现实。现实没有完美的圆，于是也没有Pi，无理数，虚数……。
你可以选择buy in, 那你就一直可以玩味其中，由此品尝各种题外的联想，这或许也不错；
但你也可以选择不要buy in，便直接跳到圈外，不再纠缠于似是而非。
对芝诺这类到达问题，我选择后者，当物理学有了速度这一明确概念后，我们不应再假装迷惑其中。到达问题不是距离问题而是距离和时间的联合问题，当距离无限细分，也意味着时间段无限细分，但无论在那一点，都有一对不为零的距离段和时间段，因而这点的速度等于距离变化除以时间变化，它非但不为零，而且不被无限细分，更接近一个恒常。在某点只要有一个大于零的速度，那必然在有限时间可以抵达下一点，再下一点，直至终点。
所以陷于芝诺，是由于一个错误的等价。明白了抵达不等价于A到B的距离，而是等价于A到B 的距离和时间，那故意再纠缠不清就没意义了。
您的解释其实最初是Aristotle提出的，我个人认为这个解释不很让人满意，为什么无限距离除于无限时间，就一定是有限的？如果走的是个曲线呢，则这个结果并不收敛。所以我认为直到有“极限”的概念，我们才清晰知道，加数无限相加并不一定是无穷大，这才解决了这个悖论。
所以顺便聊一下Zeno和毕达哥拉斯学派的一二事。关于GEB写的关于罗素的问题，那可说来话长了。小小聊一个点，罗素的type theory ，并没被判“死刑”，实际上CS里的type system也基于type theory。这一点您应该比我懂。：）
https://bbs.wenxuecity.com/teatime/743612.html
根据定义 线的两端是点
然后定义又说顺着线延伸出来点构成了线（直观解释：）
这样线上面必然有点 至少二点
问题是线上除了这两点之外还有什么？
他认为中间是空的
我的问题是如果是空的
那二条线的交点是什么
我好奇各人的欧式几何模型为何如此不一样：）
似乎现在流行点铺满线的解释。
https://bbs.wenxuecity.com/teatime/743425.html
只要能自洽就行，应该没有对错：）
Def: the set of real numbers R is an ordered field which has the least upper bound property and contains Q。
写作背景是想说明根据所列参考博文
现在流行的点线基本关系数学模型 供网友打架参考：）
你可以把你对点和线的关系总结一下
让大家评评，他们应该还有兴趣。
注意把点和线关系表达清楚 是铺满呢还是两端 或其他：）
个地方。
在Dedekind cut里fill the gap也是打引号的，定义里并没有线是点组成的意思。
https://bbs.wenxuecity.com/teatime/743573.html
就说外面的箭和您脑中的箭一样，那就像我们说黑石和黑夜都是黑的，所以石等于夜一样。
发生。一个箭也不一定非要经过沿途的每一个点。。。