话说钱老六数年如一日几乎天天都挖比特币。最开始的第一天他挖了1枚比特币，到第2000天时，他的会计太太问他刚开始的第2天挖了几枚比特币。钱老六挠了挠头说具体记不清了，但肯定多于两枚。当钱太再次追问时，钱老六掏出笔来写出了下面这个挖币公式：
然后，钱老六又数了数第2000天挖的枚数，发现和第1999天挖的枚数相差了7枚。问钱老六第二天挖了多少枚比特币？
用e[i]表示第i天的挖币数。 e[i]是一个整数（有可能小于0）， 则如题所示
e[i] = 2e[i-1] - e[i-2] or 2e[i-2] - e[i-1] 上式亦即 e[i]-e[i-1] = e[i-1] - e[i-2] or 2(e[i-2] - e[i-1]) 设 d[i] = e[i] - e[i-1], 则有
d[i] = d[i-1] or (-2)*d[i-1] 可写成 d[i] = (-2)^a[i] * d[i-1] a[i] 为 1 或 0
因此 7 = d[2000] = (-2)^a[2000] * d[1999] = (-2)^a[2000] * (-2)^a[1999] * d[1998] = ... = (-2)^a[2000] * (-2)^a[1999] * ... * (-2)^a[3] * d[2] = (-2)^(a[2000]+a[1999]+...+a[3]) * d[2] = (-2)^k * d[2] k为a[3],a[4],...a[2000]中等于1的个数 由此 7 = (-2)^k * d[2] 因为 7不含2因子，只可能k=0，d[2]=7 因此 e[2] = e[1] + d[2] = 1 + 7 = 8
国家队水平。有真才实学，赞！
e[i] = 2e[i-1] - e[i-2]
or 2e[i-2] - e[i-1]
上式亦即
e[i]-e[i-1] = e[i-1] - e[i-2]
or 2(e[i-2] - e[i-1])
设 d[i] = e[i] - e[i-1], 则有
d[i] = d[i-1]
or (-2)*d[i-1]
如果从这一步，用如下reasoning如何?
因此： d[i-1]|d[i],
可得：d[1]|d[2]|d[3]|......|d[2000]
得： d[1]|d[2000]===>d[1]|+/- 7
d[1]=+/- 1 or +/-7
Only 7 works
e[2]=1+7=8
* 后来题中改成成了相差7, e[2] 大于2. 更broad, 一些。
===========================
可写成
d[i] = (-2)^a[i] * d[i-1]
a[i] 为 1 或 0
因此 7 = d[2000]
= (-2)^a[2000] * d[1999]
= (-2)^a[2000] * (-2)^a[1999] * d[1998]
= ...
= (-2)^a[2000] * (-2)^a[1999] * ... * (-2)^a[3] * d[2]
= (-2)^(a[2000]+a[1999]+...+a[3]) * d[2]
= (-2)^k * d[2]
k为a[3],a[4],...a[2000]中等于1的个数
由此 7 = (-2)^k * d[2]
因为 7不含2因子，只可能k=0，d[2]=7
因此 e[2] = e[1] + d[2]
= 1 + 7
= 8
问题还可以扩展。
关于相邻项奇偶性分析非常好，完全同意。 但不理解为何满足递推公式 e[i+2]-e[i+1] = e[i+1]-e[i] ----- （1） 的数列是第三项才开始有等差性质，我感觉应该是整个数列都等差。 以你给出的例子分析: 1, 4, 7, 14, 21, ...
当i=2时, (1)式为 e[4] - e[3] = e[3] - e[2] 在此数列中就是 14 - 7 = 7 - 4 不成立
奇偶性则是一开始就有了。即，如果e[1],e[2]同为奇（偶），则项差为奇就不可能。
但初始条件一旦确定，以后的数据结构也就确定了。这道题说第2000天与第1999天的差别，就是给出反推初始条件的条件（从当前反推过去）。
如果第一天是1,第二天是4（而不是8）, 按题中给定的公式递推，第3天是7, 第4天是10 （而非14）, 以此类推，第2000天和第1999天会相差3而不是7。和题意不符。
非常好的问题，促进思考，对问题更深入了一步。
严格的说，因为递推公式只从第三项开始，上面的解法一，二只能推出d[4]|7或7=（-2)^k*d[4]. (题中的条件实际上是这个差可正可负）
以下还是要解关于e[2]和e[3]的方程。将有4种组合。
非常有意思的是，即使将7换成一个任意奇数k，由解法三，解方程
y=2x - 1; y+k = 2y - x, 所得的解为 x = k+1.
即是，这个数列仍是从1 开始以k 为公差的等差数列。
题中的条件e[2]不等于2可以拿掉。
题中的条件中有可能e[2000]-e[1999]=-7. 对于奇数这个显然不可能。
但是，如果是偶数，这就有可能d[2000]=e[2000]-e[1999]<0.
第二项不一定是9， 虽然9是其中一个可能的解。
话说钱老六数年如一日几乎天天都挖比特币。最开始的第一天他挖了1枚比特币，到第2000天时，他的会计太太问他刚开始的第2天挖了几枚比特币。钱老六挠了挠头说具体记不清了，但肯定多于两枚。当钱太再次追问时，钱老六掏出笔来写出了下面这个挖币公式：
然后，钱老六又数了数第2000天挖的枚数，发现和第1999天挖的枚数相差了7枚。问钱老六第二天挖了多少枚比特币？
用e[i]表示第i天的挖币数。 e[i]是一个整数（有可能小于0）， 则如题所示
e[i] = 2e[i-1] - e[i-2]
or 2e[i-2] - e[i-1]
上式亦即
e[i]-e[i-1] = e[i-1] - e[i-2]
or 2(e[i-2] - e[i-1])
设 d[i] = e[i] - e[i-1], 则有
d[i] = d[i-1]
or (-2)*d[i-1]
可写成
d[i] = (-2)^a[i] * d[i-1]
a[i] 为 1 或 0
因此 7 = d[2000]
= (-2)^a[2000] * d[1999]
= (-2)^a[2000] * (-2)^a[1999] * d[1998]
= ...
= (-2)^a[2000] * (-2)^a[1999] * ... * (-2)^a[3] * d[2]
= (-2)^(a[2000]+a[1999]+...+a[3]) * d[2]
= (-2)^k * d[2]
k为a[3],a[4],...a[2000]中等于1的个数
由此 7 = (-2)^k * d[2]
因为 7不含2因子，只可能k=0，d[2]=7
因此 e[2] = e[1] + d[2]
= 1 + 7
= 8
国家队水平。有真才实学，赞！
用e[i]表示第i天的挖币数。 e[i]是一个整数（有可能小于0）， 则如题所示
e[i] = 2e[i-1] - e[i-2]
or 2e[i-2] - e[i-1]
上式亦即
e[i]-e[i-1] = e[i-1] - e[i-2]
or 2(e[i-2] - e[i-1])
设 d[i] = e[i] - e[i-1], 则有
d[i] = d[i-1]
or (-2)*d[i-1]
如果从这一步，用如下reasoning如何?
因此： d[i-1]|d[i],
可得：d[1]|d[2]|d[3]|......|d[2000]
得： d[1]|d[2000]===>d[1]|+/- 7
d[1]=+/- 1 or +/-7
Only 7 works
e[2]=1+7=8
* 后来题中改成成了相差7, e[2] 大于2. 更broad, 一些。
===========================
可写成
d[i] = (-2)^a[i] * d[i-1]
a[i] 为 1 或 0
因此 7 = d[2000]
= (-2)^a[2000] * d[1999]
= (-2)^a[2000] * (-2)^a[1999] * d[1998]
= ...
= (-2)^a[2000] * (-2)^a[1999] * ... * (-2)^a[3] * d[2]
= (-2)^(a[2000]+a[1999]+...+a[3]) * d[2]
= (-2)^k * d[2]
k为a[3],a[4],...a[2000]中等于1的个数
由此 7 = (-2)^k * d[2]
因为 7不含2因子，只可能k=0，d[2]=7
因此 e[2] = e[1] + d[2]
= 1 + 7
= 8
问题还可以扩展。
关于相邻项奇偶性分析非常好，完全同意。 但不理解为何满足递推公式
e[i+2]-e[i+1] = e[i+1]-e[i] ----- （1）
的数列是第三项才开始有等差性质，我感觉应该是整个数列都等差。 以你给出的例子分析:
1, 4, 7, 14, 21, ...
当i=2时, (1)式为
e[4] - e[3] = e[3] - e[2]
在此数列中就是
14 - 7 = 7 - 4
不成立
奇偶性则是一开始就有了。即，如果e[1],e[2]同为奇（偶），则项差为奇就不可能。
但初始条件一旦确定，以后的数据结构也就确定了。这道题说第2000天与第1999天的差别，就是给出反推初始条件的条件（从当前反推过去）。
如果第一天是1,第二天是4（而不是8）, 按题中给定的公式递推，第3天是7, 第4天是10 （而非14）, 以此类推，第2000天和第1999天会相差3而不是7。和题意不符。
非常好的问题，促进思考，对问题更深入了一步。
严格的说，因为递推公式只从第三项开始，上面的解法一，二只能推出d[4]|7或7=（-2)^k*d[4]. (题中的条件实际上是这个差可正可负）
以下还是要解关于e[2]和e[3]的方程。将有4种组合。
非常有意思的是，即使将7换成一个任意奇数k，由解法三，解方程
y=2x - 1; y+k = 2y - x, 所得的解为 x = k+1.
即是，这个数列仍是从1 开始以k 为公差的等差数列。
题中的条件e[2]不等于2可以拿掉。
题中的条件中有可能e[2000]-e[1999]=-7. 对于奇数这个显然不可能。
但是，如果是偶数，这就有可能d[2000]=e[2000]-e[1999]<0.
第二项不一定是9， 虽然9是其中一个可能的解。