谈谈泛函吧

TheMatrix
楼主 (未名空间)

什么是泛函?它和函数有什么区别?

函数这个框架太大了,泛函当然也是函数,但是它强调的是函数的函数,或者说函数空间上的函数。或者说对于函数空间里的每一个点,也就是一个函数,以某种方式得到一个数,这种方式,就叫一个泛函。

比如一个随机变量,random variable,要完全描述它的话,它是一个函数,是样本空
间的一个函数。这不是一个数能描述的。每一个样本对应一个数,把样本和数的全部对应关系写出来,才是对这个随机变量的完全描述。但是我们通常要抓主要特征。就给我一个数,我只看一个数,那怎么给?那就给期望吧。随机变量的期望,arguably,是描述随机变量最重要的一个数。它显然不能完全描述这个随机变量。我说再给我一个数,那怎么给?那就给标准方差吧。标准方差,arguably,是描述一个随机变量第二重要的一个数。这就叫泛函,从一个函数(随机变量)得到一个数(期望,标准方差)。

衡量一个国家贫富分化的基尼指数,Gini coefficient,也是一个泛函。完全的描述一个国家的财富分布,那只能是一个函数,也就是要给出每个人多少财富的对应关系。但是我们只关心贫富分化的程度,而且只看一个数,因为多了我们也看不懂,或者没空看,那应该给什么数?那就是基尼指数。但是,必须指出,即使只关心贫富分化的程度,基尼指数也不能完全描述。

物理里面,泛函可以和测量有关。一个系统的物理状态怎么描述?一般是一个函数。态函数,场函数,等。多体系统里它可以是几个数,那也可以看成是函数,[n] —> R 的函数。我关心动量,我关心角动量,我关心势能。从描述系统状态的函数,得到动量,角动量,势能,的数值,的测量/计算方法,这也是泛函。

最新回帖

bobolan88
99 楼

外星人在泛的无穷次方函上等着球人。

【 在 ne5234 (长亭短亭) 的大作中提到: 】
: 有没有泛泛函?从理论上来说肯定有

F
FoxMe
98 楼

可能我记混了。

【 在 TheMatrix (TheMatrix) 的大作中提到: 】
: 把算符叫functional,这个不太合规范。
: 吗?

TheMatrix
97 楼

把算符叫functional,这个不太合规范。

【 在 FoxMe (FoxMe) 的大作中提到: 】
: 对,从函数到函数叫算符(operator)。好像也有人管这叫functional,这种称呼也对吗?

TheMatrix

那泛函分析研究什么呢?

它研究的是线性泛函,linear functional。也就是从函数空间到数空间的映射是线性
的。非线性的泛函,可以考虑它的小范围的近似,从而得到线性泛函。

稍微扩大化一下,取值不是一个数,而是一个函数,可以是本函数空间里的函数,也可以是其他函数空间里的函数。这叫线性算符。泛函分析也研究线性算符。

怎么研究呢?一个线性泛函,包括线性算符,要研究它自己什么样,也要把它们集合起来,看它所在的空间什么样,它在它所在的空间里的什么位置,它附近什么样。这是数学研究的标准套路,大套路。

工具首先有线性代数的工具。矩阵,向量,本征值,本征向量,这些。然后有拓扑的工具,有拓扑,有metric,有norm,有连续,有compact,有bounded,unbounded,这些
概念。也有分析的工具,Lp空间,甚至微积分的工具。

【 在 TheMatrix (TheMatrix) 的大作中提到: 】
: 什么是泛函?它和函数有什么区别?
: 函数这个框架太大了,泛函当然也是函数,但是它强调的是函数的函数,或者说函数空
: 间上的函数。或者说对于函数空间里的每一个点,也就是一个函数,以某种方式得到一
: 个数,这种方式,就叫一个泛函。
: 比如一个随机变量,random variable,要完全描述它的话,它是一个函数,是样本空
: 间的一个函数。这不是一个数能描述的。每一个样本对应一个数,把样本和数的全部对
: 应关系写出来,才是对这个随机变量的完全描述。但是我们通常要抓主要特征。就给我
: 一个数,我只看一个数,那怎么给?那就给期望吧。随机变量的期望,arguably,是描
: 述随机变量最重要的一个数。它显然不能完全描述这个随机变量。我说再给我一个数,
: 那怎么给?那就给标准方差吧。标准方差,arguably,是描述一个随机变量第二重要的
: ...................

Oppenheimer

有点意思,你科普还不错,个别细节不严谨不重要,太严谨就丧失科普性了。
bookacar

泛函就是高级一点的线性代数,里面加了点点击拓扑。
这课在我憋非常流行。谜底数学系学过这个课的可能还没学过代数数论的多。

【 在 TheMatrix(TheMatrix) 的大作中提到: 】

: 那泛函分析研究什么呢?

: 它研究的是线性泛函,linear functional。也就是从函数空间到数空间的映射
是线性

: 的。非线性的泛函,可以考虑它的小范围的近似,从而得到线性泛函。

: 稍微扩大化一下,取值不是一个数,而是一个函数,可以是本函数空间里的函数,也可

: 以是其他函数空间里的函数。这叫线性算符。泛函分析也研究线性算符。

: 怎么研究呢?一个线性泛函,包括线性算符,要研究它自己什么样,也要把它们集合起

: 来,看它所在的空间什么样,它在它所在的空间里的什么位置,它附近什么样。这是数

: 学研究的标准套路,大套路。

: 工具首先有线性代数的工具。矩阵,向量,本征值,本征向量,这些。然后有拓扑的工

: 具,有拓扑,有metric,有norm,有连续,有compact,有bounded,unbounded
,这些
: ...................

didadida

开个youtube频道吧

【 在 TheMatrix (TheMatrix) 的大作中提到: 】
: 什么是泛函?它和函数有什么区别?
: 函数这个框架太大了,泛函当然也是函数,但是它强调的是函数的函数,或者说函数空
: 间上的函数。或者说对于函数空间里的每一个点,也就是一个函数,以某种方式得到一
: 个数,这种方式,就叫一个泛函。
: 比如一个随机变量,random variable,要完全描述它的话,它是一个函数,是样本空
: 间的一个函数。这不是一个数能描述的。每一个样本对应一个数,把样本和数的全部对
: 应关系写出来,才是对这个随机变量的完全描述。但是我们通常要抓主要特征。就给我
: 一个数,我只看一个数,那怎么给?那就给期望吧。随机变量的期望,arguably,是描
: 述随机变量最重要的一个数。它显然不能完全描述这个随机变量。我说再给我一个数,
: 那怎么给?那就给标准方差吧。标准方差,arguably,是描述一个随机变量第二重要的
: ...................

furoci

这是因为变分法是党妈许多工程类专业的首要工具,

而理解变分法就得知道点泛函分析,

于是考上了工科硕士上的第一门课就是泛函分析和变分法

【 在 bookacar (bookacar) 的大作中提到: 】
: 泛函就是高级一点的线性代数,里面加了点点击拓扑。
: 这课在我憋非常流行。谜底数学系学过这个课的可能还没学过代数数论的多。

TheMatrix

嗯,拓扑线性空间。但是空间比较大,里面啥都有,跟什么都沾边。

【 在 bookacar (bookacar) 的大作中提到: 】
: 泛函就是高级一点的线性代数,里面加了点点击拓扑。
: 这课在我憋非常流行。谜底数学系学过这个课的可能还没学过代数数论的多。

dnls

泛函就是无穷维线性代数
研究的还是蒜子可逆性
总的来说方法不多
要么就是范数小 构造一个收敛的几何级数
要么就是用紧算子/fredholm理论 这个也是某种意义的小
是空间维度被压缩了
daigaku

把线性代数里的向量(自然数到实数或复数的映射)拓展成实数到实数(或复数)的映射
其他就跟线性代数差不多了
j
jiujanoufu

泛函分析和变分法本来是希望用在工程上找解析解,但我们知道很多工程问题的微分方程都是知道的,但解析解大部分情况下都是找不到的,甚至可能是不存在的。既然如此工科学生学泛函分析和变分法实在没有任何作用。大量的工程问题还是要靠有限元来解决。不如花时间去大量研究数值解的稳定性的问题。
TheMatrix

总的来说方法不多。我觉得这个说的对。和无穷维有关的,都是方法不多。对我来讲,就是提供一个语言框架。

【 在 dnls (三宝门中福好修 一文付出万文收) 的大作中提到: 】
: 泛函就是无穷维线性代数
: 研究的还是蒜子可逆性
: 总的来说方法不多
: 要么就是范数小 构造一个收敛的几何级数
: 要么就是用紧算子/fredholm理论 这个也是某种意义的小
: 是空间维度被压缩了

dnls

很好 kanting那个老瘪三自知无趣灰溜溜走了?
【 在 TheMatrix (TheMatrix) 的大作中提到: 】
: 总的来说方法不多。我觉得这个说的对。和无穷维有关的,都是方法不多。对我来讲,
: 就是提供一个语言框架。

TheMatrix

主要是提供一个理解的框架。能开始算就是有活干了。但是计算也很快就会遇到瓶颈。比如非线性问题的数值计算,网格数是指数增长,这就是碰到了本质不可解问题。必须得换思路,最终得换思路。考虑思路,理论框架的基础就需要了。

【 在 jiujanoufu (久家懦夫) 的大作中提到: 】
: 泛函分析和变分法本来是希望用在工程上找解析解,但我们知道很多工程问题的微分方
: 程都是知道的,但解析解大部分情况下都是找不到的,甚至可能是不存在的。既然如此
: 工科学生学泛函分析和变分法实在没有任何作用。大量的工程问题还是要靠有限元来解
: 决。不如花时间去大量研究数值解的稳定性的问题。

bobolan88

属实 感觉这么说好理解 楼主说的不严谨还把人绕晕了

【 在 dnls (三宝门中福好修 一文付出万文收) 的大作中提到: 】
: 泛函就是无穷维线性代数
: 研究的还是蒜子可逆性
: 总的来说方法不多
: 要么就是范数小 构造一个收敛的几何级数
: 要么就是用紧算子/fredholm理论 这个也是某种意义的小
: 是空间维度被压缩了

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bookacar

现在要有人能提出可以计算的新的框架,那绝对是大师级了。哪怕只能算几个简单的例子。

【 在 TheMatrix(TheMatrix) 的大作中提到: 】

: 主要是提供一个理解的框架。能开始算就是有活干了。但是计算也很快就会遇到瓶颈。

: 比如非线性问题的数值计算,网格数是指数增长,这就是碰到了本质不可解问题。必须

: 得换思路,最终得换思路。考虑思路,理论框架的基础就需要了。

TheMatrix

理解是高度个人化的。

【 在 bobolan88 (波波熊) 的大作中提到: 】
: 属实 感觉这么说好理解 楼主说的不严谨还把人绕晕了
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whopawho

Why talk about math in military forum?
whopawho

Why talk about math in Military forum? Confused.
【 在 TheMatrix (TheMatrix) 的大作中提到: 】
: 那泛函分析研究什么呢?
: 它研究的是线性泛函,linear functional。也就是从函数空间到数空间的映射是线性
: 的。非线性的泛函,可以考虑它的小范围的近似,从而得到线性泛函。
: 稍微扩大化一下,取值不是一个数,而是一个函数,可以是本函数空间里的函数,也可
: 以是其他函数空间里的函数。这叫线性算符。泛函分析也研究线性算符。
: 怎么研究呢?一个线性泛函,包括线性算符,要研究它自己什么样,也要把它们集合起
: 来,看它所在的空间什么样,它在它所在的空间里的什么位置,它附近什么样。这是数
: 学研究的标准套路,大套路。
: 工具首先有线性代数的工具。矩阵,向量,本征值,本征向量,这些。然后有拓扑的工
: 具,有拓扑,有metric,有norm,有连续,有compact,有bounded,unbounded,这些
: ...................

TheMatrix

Why talk about 赵薇 in military forum?

这么说吧,你不要把它当成math。这也是我常说的,这不是math,这就是闲聊。

【 在 whopawho (脑残志坚) 的大作中提到: 】
: Why talk about math in Military forum? Confused.

vigo

变分法就是力学中能量原理的数学工具。钱伟长,胡海昌和鷲津久一郎在弹塑性力学领域的变分法应用有很多贡献,并用于寻找有限元算法中的单元的数学表达形式
c
chebyshev

compact support,广义函数什么的没学过?
泛函是分析的分支,只讲代数性质不全面。
【 在 TheMatrix (TheMatrix) 的大作中提到: 】
: 什么是泛函?它和函数有什么区别?
: 函数这个框架太大了,泛函当然也是函数,但是它强调的是函数的函数,或者说函数空
: 间上的函数。或者说对于函数空间里的每一个点,也就是一个函数,以某种方式得到一
: 个数,这种方式,就叫一个泛函。
: 比如一个随机变量,random variable,要完全描述它的话,它是一个函数,是样本空
: 间的一个函数。这不是一个数能描述的。每一个样本对应一个数,把样本和数的全部对
: 应关系写出来,才是对这个随机变量的完全描述。但是我们通常要抓主要特征。就给我
: 一个数,我只看一个数,那怎么给?那就给期望吧。随机变量的期望,arguably,是描
: 述随机变量最重要的一个数。它显然不能完全描述这个随机变量。我说再给我一个数,
: 那怎么给?那就给标准方差吧。标准方差,arguably,是描述一个随机变量第二重要的
: ...................

m
mimidaidai

变函

TheMatrix

我这个主贴,解释的不是泛函分析这个学科,而是泛函这个概念。泛函和函数有什么区别。开篇就说了。你去知乎上看,就知道有很多人有这个疑问。

【 在 bobolan88 (波波熊) 的大作中提到: 】
: 属实 感觉这么说好理解 楼主说的不严谨还把人绕晕了
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a
affineV

要出文章,还得绑上袋鼠. von neumann, bdf, nest, c*. 数学是研究结构的
p
pickvalue


请教一下,如果自学,有什么比较友好的书推荐吗?看了一下functional analysis的
书,感觉好多定理证明什么的对我来说太理论了,用不上,没有动力花时间一页一页的都看明白。理想的目标就是你说的提供一个理解的框架,实际具体的止于解金融衍生品应用之类的问题。谢谢

【 在 TheMatrix (TheMatrix) 的大作中提到: 】
: 主要是提供一个理解的框架。能开始算就是有活干了。但是计算也很快就会遇到瓶颈。
: 比如非线性问题的数值计算,网格数是指数增长,这就是碰到了本质不可解问题。必须
: 得换思路,最终得换思路。考虑思路,理论框架的基础就需要了。

TheMatrix

比较友好的书,这个真不知道。我也只知道流行的那几种书,都是很多定理证明的那种。深入浅出,既严格又浅显,篇幅还小,直奔主题,铺开一定程度就停止。这些要求是能做到的。数学系教授应该都有这个水平。这应该是一个讲义。但是我不知道有没有这么写的。网上搜一下讲义看看有没有人这样写吧。

【 在 pickvalue (pickvalue) 的大作中提到: 】
: 请教一下,如果自学,有什么比较友好的书推荐吗?看了一下functional analysis的
: 书,感觉好多定理证明什么的对我来说太理论了,用不上,没有动力花时间一页一页的
: 都看明白。理想的目标就是你说的提供一个理解的框架,实际具体的止于解金融衍生品
: 应用之类的问题。谢谢

TheMatrix

或者直接跳过定理证明。

【 在 pickvalue (pickvalue) 的大作中提到: 】
: 请教一下,如果自学,有什么比较友好的书推荐吗?看了一下functional analysis的
: 书,感觉好多定理证明什么的对我来说太理论了,用不上,没有动力花时间一页一页的
: 都看明白。理想的目标就是你说的提供一个理解的框架,实际具体的止于解金融衍生品
: 应用之类的问题。谢谢

verdelite

在研究量子力学?因此研究薛定谔方程?因此研究理论力学?因此研究变分?因此研究泛函?

如果答案的是“是是是是是”,那么我可以告诉你最重要的结论。

【 在 TheMatrix(TheMatrix) 的大作中提到: 】

: 或者直接跳过定理证明。

p
pickvalue

谢谢。

【 在 TheMatrix (TheMatrix) 的大作中提到: 】
: 比较友好的书,这个真不知道。我也只知道流行的那几种书,都是很多定理证明的那种
: 。深入浅出,既严格又浅显,篇幅还小,直奔主题,铺开一定程度就停止。这些要求是
: 能做到的。数学系教授应该都有这个水平。这应该是一个讲义。但是我不知道有没有这
: 么写的。网上搜一下讲义看看有没有人这样写吧。

TheMatrix

没有专门研究什么,处在外围蕴酿阶段。

【 在 verdelite (石头) 的大作中提到: 】
: 在研究量子力学?因此研究薛定谔方程?因此研究理论力学?因此研究变分?因此研究
: 泛函?
: 如果答案的是“是是是是是”,那么我可以告诉你最重要的结论。

g
guvest

牛顿力学之后,就是拉格朗日力学。
任何一个物理系也就是大二大三的课程。
那时候工程数学里的变分法已经学会了。不然无法上课做题。

以数学系而言。
定积分就是函数到数的map,是第一个泛函。
定积分学完(一般是大二第一学期以后),就要开始学泛函。

本科知识年轻时候基础不打牢。再往后,学了也没用。

【 在 TheMatrix(TheMatrix) 的大作中提到: 】
<br>: 没有专门研究什么,处在外围蕴酿阶段。
<br>

g
guvest

从质点的牛顿定律,推广到刚体。就要学欧拉拉格朗日力学。那就要用变分法。刷完题你就会了。以及都是连杆,滑块,阻尼什么的。

如果你连最具体的机械原理都学不会。那就放弃吧。不是那块料。

【 在 pickvalue(pickvalue) 的大作中提到: 】
<br>: 请教一下,如果自学,有什么比较友好的书推荐吗?看了一下functional
analysis的
<br>: 书,感觉好多定理证明什么的对我来说太理论了,用不上,没有动力花时间一页
一页的
<br>: 都看明白。理想的目标就是你说的提供一个理解的框架,实际具体的止于解金融
衍生品
<br>: 应用之类的问题。谢谢
<br>

g
guvest

你是否弄不清楚边值问题和初值问题......
有限元法很重要,那是对边值问题的。初值问题要用有限差分。除此而外,还有谱方法等等。

再说,
没有泛函分析的基础。怎么可能弄明白有限元是怎么回事。
【 在 jiujanoufu(久家懦夫) 的大作中提到: 】
<br>: 泛函分析和变分法本来是希望用在工程上找解析解,但我们知道很多工程问题的
微分方
<br>: 程都是知道的,但解析解大部分情况下都是找不到的,甚至可能是不存在的。既
然如此
<br>: 工科学生学泛函分析和变分法实在没有任何作用。大量的工程问题还是要靠有限
元来解
<br>: 决。不如花时间去大量研究数值解的稳定性的问题。
<br>

TheMatrix

我不想讨论什么大二大三就应该会。

但是你说定积分就是函数到数的map,是第一个泛函。这是对的。。。但是要回头看。
高层次的抽象要在掌握一定素材之后进行。

【 在 guvest (我爱你老婆Anna) 的大作中提到: 】
: 牛顿力学之后,就是拉格朗日力学。
: 任何一个物理系也就是大二大三的课程。
: 那时候工程数学里的变分法已经学会了。
: 以数学系而言。
: 定积分就是函数到数的map,是第一个泛函。
: 定积分学完(一般是大二第一学期以后),就要开始学泛函。
: : 没有专门研究什么,处在外围蕴酿阶段。
:

g
guvest

“ 高层次的抽象要在掌握一定素材之后进行”
,这是地摊文学。什么叫高层次抽像?牛顿拉格朗日与欧拉首先是力学大家....

我说的泛函什么时候学的。你自己找大学课程表。
中国美国都可以找。

你主贴那总结就是瞎胡闹。functional analysis是很具体的东西。没有什么需要什么
神秘化的。把概率当典型应用,不符合历史发展,也不符合学理。

不懂你连基本的RLC电路都无法计算。EE,ME大二人人都懂。
不是说你包装成这个那个就高级了。

有这功夫,不如做下题。

【 在 TheMatrix(TheMatrix) 的大作中提到: 】
<br>: 我不想讨论什么大二大三就应该会。
<br>: 但是你说定积分就是函数到数的map,是第一个泛函。这是对的。。。但
是要回
头看。
<br>: 高层次的抽象要在掌握一定素材之后进行。
<br>

TheMatrix

你就是爱吵架。碰到自己能沾点边的就没别人了。得。你自己继续吧。

【 在 guvest (我爱你老婆Anna) 的大作中提到: 】
: “ 高层次的抽象要在掌握一定素材之后进行”
: ,这是地摊文学。什么叫高层次抽像?牛顿拉格朗日与欧拉首先是力学大家....
: 我说的泛函什么时候学的。你自己找大学课程表。
: 中国美国都可以找。
: 你主贴那总结就是瞎胡闹。functional analysis是很具体的东西。没有什么需要什么
: 神秘化的。把概率当典型应用,不符合历史发展,也不符合学理。
: 不懂你连基本的RLC电路都无法计算。EE,ME大二人人都懂。
: 不是说你包装成这个那个就高级了。
: 有这功夫,不如做下题。
:
: 我不想讨论什么大二大三就应该会。
: ...................

b
btphy

泛函的本质是原相或者像空间是无限维。由于无限维会出现很多反常识的现象,原本有限为空间很明显的事实到了无限维往往不一定成立,所以要严格定义或推广一些定理就必须附加很多额外的条件,所以需要添加很多新的结构和定义。

【 在 TheMatrix (TheMatrix) 的大作中提到: 】
: 什么是泛函?它和函数有什么区别?
: 函数这个框架太大了,泛函当然也是函数,但是它强调的是函数的函数,或者说函数空
: 间上的函数。或者说对于函数空间里的每一个点,也就是一个函数,以某种方式得到一
: 个数,这种方式,就叫一个泛函。
: 比如一个随机变量,random variable,要完全描述它的话,它是一个函数,是样本空
:

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g
guvest

机械系的不说。

任何一个EE的,大二都要学工程数学之广义函数。
没有泛函,傅立叶变换是说不清楚的。
懂这个的本科生没有一万也有八千。真不知你主贴弄的那么神秘有多大意思。

buzz
words背多了脑子会抽筋的。

【 在 TheMatrix(TheMatrix) 的大作中提到: 】
<br>: 你就是爱吵架。碰到自己能沾点边的就没别人了。得。你自己继续吧。
<br>

TheMatrix

对。无穷维分析,本身除了线性代数,还要引入拓扑,范数这些,就是额外条件。

但是我主贴主要说的是泛函这个概念,它和函数有什么区别。因为很多人有这个疑问,看一下知乎,这个问题经常出现。

【 在 btphy (btphy) 的大作中提到: 】
: 泛函的本质是原相或者像空间是无限维。由于无限维会出现很多反常识的现象,原本有
: 限为空间很明显的事实到了无限维往往不一定成立,所以要严格定义或推广一些定理就
: 必须附加很多额外的条件,所以需要添加很多新的结构和定义。
: :
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g
guvest

你比他更糊涂。他是崇拜buzz words ,不知道自己在说什么。你是糊涂到家了。到了
本质了。

【 在 btphy(btphy) 的大作中提到: 】

: 泛函的本质是原相或者像空间是无限维。由于无限维会出现很多反常识的现象,原本有

: 限为空间很明显的事实到了无限维往往不一定成立,所以要严格定义或推广一些定理就

: 必须附加很多额外的条件,所以需要添加很多新的结构和定义。

: :

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TheMatrix

我主贴你看不懂就多看几遍。

【 在 guvest (我爱你老婆Anna) 的大作中提到: 】
: 机械系的不说。
: 任何一个EE的,大二都要学工程数学之广义函数。
: 没有泛函,傅立叶变换是说不清楚的。
: 懂这个的本科生没有一万也有八千。真不知你主贴弄的那么神秘有多大意思。
: buzz
: words背多了脑子会抽筋的。
:
: 你就是爱吵架。碰到自己能沾点边的就没别人了。得。你自己继续吧。
:

g
guvest

我本科数学与数学系一起培养,物理与物理系一起,计算机与计算机系一起,...

来美国当过泛函分析的TA,博士资格考考过applied functional analysis。

基础不牢,嘴吹可以。计算程序写一下就会发现问题。

什么无穷维空间,那些东西都是为了教学方便。我认为并不重要。从概念上讲,傅立叶以后的人在这方面没有概念上的突破。

好好的三角函数(或者类似的函数)序列,你改个名字叫无穷维空间,一定全是益处吗?
【 在 TheMatrix(TheMatrix) 的大作中提到: 】
<br>: 我主贴你看不懂就多看几遍。
<br>

TheMatrix

好吧。你资格我可以承认。其实我不看资格的,但是你说这么多,我不能不给面子啊。

泛函,咱不说泛函分析是什么,就说泛函,是什么?它和函数有什么区别?你说吧。看看和我说的有什么不同。可以讨论一下。

【 在 guvest (我爱你老婆Anna) 的大作中提到: 】
: 我本科数学与数学系一起培养,物理与物理系一起,计算机与计算机系一起,...
: 来美国当过泛函分析的TA,博士资格考考过applied functional analysis。
: 基础不牢,嘴吹可以。计算程序写一下就会发现问题。
: 什么无穷维空间,那些东西都是为了教学方便。我认为并不重要。从概念上讲,傅立叶
: 以后的人在这方面没有概念上的突破。
: 好好的三角函数(或者类似的函数)序列,你改个名字叫无穷维空间,一定全是益处吗?
:
: 我主贴你看不懂就多看几遍。
:

b
btphy

装什么大头蒜,学了几下经典力学路径积分的变分法就以为啥都懂了,其实变分只不过是基础中的基础。当然对于搞工程的人来说也就需要点这个,最高级能做点基础的泛函积分也就够了,但是数学里面的泛函分析有很多其它内容。

【 在 guvest (我爱你老婆Anna) 的大作中提到: 】
: 你比他更糊涂。他是崇拜buzz words ,不知道自己在说什么。你是糊涂到家了。到了
: 本质了。
:
: 泛函的本质是原相或者像空间是无限维。由于无限维会出现很多反常识的现象,
: 原本有
:
: 限为空间很明显的事实到了无限维往往不一定成立,所以要严格定义或推广一些
: 定理就
:
: 必须附加很多额外的条件,所以需要

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g
guvest

你听谁说的泛函有一个“本质”。
你从哪获得的幻觉,觉得自己知道这个“本质”?

所以我说你就是个糊涂蛋。这不在于你学了多少课,在于你的本质就是糊涂蛋。

【 在 btphy(btphy) 的大作中提到: 】

: 装什么大头蒜,学了几下经典力学路径积分的变分法就以为啥都懂了,其实变分只不过

: 是基础中的基础。当然对于搞工程的人来说也就需要点这个,最高级能做点基础的泛函

: 积分也就够了,但是数学里面的泛函分析有很多其它内容。

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b
btphy

靠,三角函数只是线性空间的一组基而已,并不是任何时间都用三角函数最方便的,很多时候需要其他特殊函数坐傅立叶展开更方便,比如贝塞尔函数,河流超级和函数,等等,具体要看系统的对称性,三角函数,或者说是指数函数,只是最适用于具有平移不变性的体系而已,你这泛函分析的博士是不是太水点啊?

【 在 guvest (我爱你老婆Anna) 的大作中提到: 】
: 我本科数学与数学系一起培养,物理与物理系一起,计算机与计算机系一起,...
: 来美国当过泛函分析的TA,博士资格考考过applied functional analysis。
: 基础不牢,嘴吹可以。计算程序写一下就会发现问题。
: 什么无穷维空间,那些东西都是为了教学方便。我认为并不重要。从概念上讲,傅立叶
: 以后的人在这方面没有概念上的突

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C
Caravel

泛函在物理里面就是最小作用量原理用了一下,大部分特性都是借用了普通的微积分,感觉就是稀里糊涂就用了,也没有证明是不是对所有的函数空间都成立。

【 在 TheMatrix (TheMatrix) 的大作中提到: 】
: 什么是泛函?它和函数有什么区别?
: 函数这个框架太大了,泛函当然也是函数,但是它强调的是函数的函数,或者说函数空
: 间上的函数。或者说对于函数空间里的每一个点,也就是一个函数,以某种方式得到一
: 个数,这种方式,就叫一个泛函。
: 比如一个随机变量,random variable,要完全描述它的话,它是一个函数,是样本空
: 间的一个函数。这不是一个数能描述的。每一个样本对应一个数,把样本和数的全部对
: 应关系写出来,才是对这个随机变量的完全描述。但是我们通常要抓主要特征。就给我
: 一个数,我只看一个数,那怎么给?那就给期望吧。随机变量的期望,arguably,是描
: 述随机变量最重要的一个数。它显然不能完全描述这个随机变量。我说再给我一个数,
: 那怎么给?那就给标准方差吧。标准方差,arguably,是描述一个随机变量第二重要的
: ...................

g
guvest

定义很清楚啊。就是函数到数的映射呗。
也就是定积分的推广。

但是以我的看法,
泛函的发展有个重要的问题,就是维度幻觉。
Running index一写,1到n,就抹杀了不同维度之间的巨大不同,弄的好像单变量与多变量都可以似的。无穷维,beauty,牛逼。其实这都是那时候学霸们推广自己学派的工具
而已。

这么一整,后果很严重。

没几个人知道多变量微积分与单变量只有极小部分是重叠的。
这是因为空间或者维度的基本性质。例如你在桌子上画个圈
,就把桌面分为内外两部分。在空中就不行了,对不对?
三维也有三维独有的性质。等等等等。

泛函作为定积分的推广。问题是类似的。
所以什么无穷维如何如何,不过是处理了极小部分与单变量函数相似的东西而已。

多元函数之Fourier理论,以及多元函数的高斯分布....离建立起来还早。你碰到一定
要小心。08年金融危机据说就是一个老中弄了个多元函数的高斯分布,弄出来了次贷模型给搞出来的。

Buzz words会让人产生懂了的幻觉。但总会leak很多东西。

【 在 TheMatrix(TheMatrix) 的大作中提到: 】
<br>: 好吧。你资格我可以承认。其实我不看资格的,但是你说这么多,我不能不给面
子啊。
<br>: 泛函,咱不说泛函分析是什么,就说泛函,是什么?它和函数有什么区别?你说
吧。看
<br>: 看和我说的有什么不同。可以讨论一下。
<br>: 吗?
<br>

g
guvest

没有泛函的概念,如何推出欧拉拉格朗日方程。那可是牛顿质点力学之后立即要学的东西。

【 在 Caravel(克拉维尔) 的大作中提到: 】

: 泛函在物理里面就是最小作用量原理用了一下,大部分特性都是借用了普通的微积分,

: 感觉就是稀里糊涂就用了,也没有证明是不是对所有的函数空间都成立。

g
guvest

我看你一辈子也不会弄明白: 见素抱朴 绝学无忧 的道家理想。

非如此,你就不知道三角函数比以此为基础的抽象推广更重要。

【 在 btphy(btphy) 的大作中提到: 】

: 靠,三角函数只是线性空间的一组基而已,并不是任何时间都用三角函数最方便的,很

: 多时候需要其他特殊函数坐傅立叶展开更方便,比如贝塞尔函数,河流超级和函数,等

: 等,具体要看系统的对称性,三角函数,或者说是指数函数,只是最适用于具有平移不

: 变性的体系而已,你这泛函分析的博士是不是太水点啊?

: ★ 发自iPhone App: ChinaWeb 1.1.5

a
affineV

给两个拓朴向量空间的张量积赋拓朴,有人做过吗?
g
guvest

我当初的学法是先讲distribution和格林函数,然后讲L2,然后讲索博列夫空间,pde之 weak solution。完全是分析的路数。比较古典。

不同系统之间估计是无法公约的。我现找题给你做,你肯定也得歇菜。

【 在 affineV() 的大作中提到: 】
<br>: 给两个拓朴向量空间的张量积赋拓朴,有人做过吗?
<br>

TheMatrix

我觉得你看到的这个问题,可能不是维度问题,搞不好是更重要的问题,但是你提的不是很清晰。

【 在 guvest (我爱你老婆Anna) 的大作中提到: 】
: 定义很清楚啊。就是函数到数的映射呗。
: 也就是定积分的推广。
: 但是以我的看法,
: 泛函的发展有个重要的问题,就是维度幻觉。
: Running index一写,1到n,就抹杀了不同维度之间的巨大不同,弄的好像单变量与多变
: 量都可以似的。无穷维,beauty,牛逼。其实这都是那时候学霸们推广自己学派的工具
: 而已。
: 这么一整,后果很严重。
: 没几个人知道多变量微积分与单变量只有极小部分是重叠的。
: 这是因为空间或者维度的基本性质。例如你在桌子上画个圈
: ...................

g
guvest

我补充一点。

你的主贴有一个重要问题没有讲。
泛函是定义在广义函数上的,不是一般函数,例如狄拉克delta函数。
但是讲清楚广义函数又要泛函知识。
这个互相定义的loop如何unfolding是我认为的唯一难点。

所以理解数学意义上的functional ,不是知道其跟定积分类似就可以的了。
现代之积分与泛函有内生的关系。不同的unfolding办法导致了不同的叙事,讲法甚至
科学史学派。

其他的我觉得就是尽可能的忽略不同纬度的特殊性。

【 在 TheMatrix(TheMatrix) 的大作中提到: 】

: 我觉得你看到的这个问题,可能不是维度问题,搞不好是更重要的问题,但是你提的不

: 是很清晰。

w
wass

广义函数是特殊的泛函,泛函的下一步是Banach空间,也叫现代分析。

但是这些主要是线性的为主,接着就是非线性分析。非线性的第一步是凸分析,然后非凸分析,再下一步就是非光滑分析。

从另一个角度来看,光滑分析是线性逼近,非光滑分析是拟线性逼近。

这些都是理论,拟线性逼近的皇冠是Deep Learning,就是多元非线性规划的拟线性逼
近。

因为DL不是数学家发明的,有时候觉得咱们学数学的有点惭愧

L
Lwangls

国内内蒙古大学的孙炯 “泛函分析 算是写得简单和清楚的,适合快速入门。
网上还能找到孙炯的视频,配合服用效果更佳

【 在 pickvalue (pickvalue) 的大作中提到: 】
: 请教一下,如果自学,有什么比较友好的书推荐吗?看了一下functional analysis的
: 书,感觉好多定理证明什么的对我来说太理论了,用不上,没有动力花时间一页一页的
: 都看明白。理想的目标就是你说的提供一个理解的框架,实际具体的止于解金融衍生品
: 应用之类的问题。谢谢

Amorphou

I, Johann Bernoulli, address the most brilliant mathematicians in the world. Nothing is more attractive to intelligent people than an honest,
challenging problem, whose possible solution will bestow fame and remain as a lasting monument. Following the example set by Pascal, Fermat, etc., I
hope to gain the gratitude of the whole scientific community by placing
before the finest mathematicians of our time a problem which will test their methods and the strength of their intellect. If someone communicates to me the solution of the proposed problem, I shall publicly declare him worthy of praise.

[The problem] Given two points A and B in a vertical plane, what is the
curve traced out by a point acted on only by gravity, which starts at A and reaches B in the shortest time.

...there are fewer who are likely to solve our excellent problems, aye,
fewer even among the very mathematicians who boast that [they]... have
wonderfully extended its bounds by means of the golden theorems which (they thought) were known to no one, but which in fact had long previously been
published by others.

-- Johann Bernoulli, in Acta Eruditorum (June 1696).

【 在 furoci (伊千枝) 的大作中提到: 】
: 这是因为变分法是党妈许多工程类专业的首要工具,
: 而理解变分法就得知道点泛函分析,
: 于是考上了工科硕士上的第一门课就是泛函分析和变分法

F
FoxMe

讲得很好,泛函就是函数的函数,第一堂课老师是这么说的。

【 在 TheMatrix (TheMatrix) 的大作中提到: 】
: 什么是泛函?它和函数有什么区别?
: 函数这个框架太大了,泛函当然也是函数,但是它强调的是函数的函数,或者说函数空
: 间上的函数。或者说对于函数空间里的每一个点,也就是一个函数,以某种方式得到一
: 个数,这种方式,就叫一个泛函。
: 比如一个随机变量,random variable,要完全描述它的话,它是一个函数,是样本空
: 间的一个函数。这不是一个数能描述的。每一个样本对应一个数,把样本和数的全部对
: 应关系写出来,才是对这个随机变量的完全描述。但是我们通常要抓主要特征。就给我
: 一个数,我只看一个数,那怎么给?那就给期望吧。随机变量的期望,arguably,是描
: 述随机变量最重要的一个数。它显然不能完全描述这个随机变量。我说再给我一个数,
: 那怎么给?那就给标准方差吧。标准方差,arguably,是描述一个随机变量第二重要的
: ...................

F
FoxMe

为啥?数论的逼格高?名校都要搞点数论来装逼?为啥土鳖不装逼?

【 在 bookacar (bookacar) 的大作中提到: 】
: 泛函就是高级一点的线性代数,里面加了点点击拓扑。
: 这课在我憋非常流行。谜底数学系学过这个课的可能还没学过代数数论的多。

g
guvest

DL属于CS,拿的是图灵奖。
跟数学是两回事。

“因为DL不是数学家发明的,有时候觉得咱们学数学的有点惭愧”
这话有蹭热度之嫌。

你不能说广义相对论是以数学形式来表示的,
就该数学家来发明。

计算机里面的数字/数据,跟数学里的数字/数据不是一回事。
真懂数学的,估计也看不上DL这种暴力法。
【 在 wass (...) 的大作中提到: 】
: 广义函数是特殊的泛函,泛函的下一步是Banach空间,也叫现代分析。
: 但是这些主要是线性的为主,接着就是非线性分析。非线性的第一步是凸分析,然后非
: 凸分析,再下一步就是非光滑分析。
: 从另一个角度来看,光滑分析是线性逼近,非光滑分析是拟线性逼近。
: 这些都是理论,拟线性逼近的皇冠是Deep Learning,就是多元非线性规划的拟线性逼
: 近。
: 因为DL不是数学家发明的,有时候觉得咱们学数学的有点惭愧

TheMatrix

嗯。。。。deep learning目前来看和函数逼近有关系,但是从人工智能的最终目标来
看,函数逼近不在最核心的位置上。

deep learning那么多参数,这也表明了它和函数逼近的关系是副产品。这么参数表达
了什么呢?这里有一个容量的概念。参数多,容量大,什么都能映照进来,而且是忠实映照。

接下来应该是个组合-评估的迭代问题,组合可以看成是生长,生成,试探,搜索。评
估可以和函数逼近有关系。

deep learning的发展,主要还是一个计算机,算法,的问题。是它在发展之后,发现
了数学。数学想要发现它,很难。

【 在 wass (...) 的大作中提到: 】
: 广义函数是特殊的泛函,泛函的下一步是Banach空间,也叫现代分析。
: 但是这些主要是线性的为主,接着就是非线性分析。非线性的第一步是凸分析,然后非
: 凸分析,再下一步就是非光滑分析。
: 从另一个角度来看,光滑分析是线性逼近,非光滑分析是拟线性逼近。
: 这些都是理论,拟线性逼近的皇冠是Deep Learning,就是多元非线性规划的拟线性逼
: 近。
: 因为DL不是数学家发明的,有时候觉得咱们学数学的有点惭愧

TheMatrix

对,函数的函数,老师是这么讲的。但是第一堂课不知道怎么从一个函数得到一个数,well,积分是一个,包括有kernel的积分,取值操作是一个,还有什么?

函数的函数,它实际上并不限制你如何取值,取值的办法千奇百怪,literally。我也
是逐渐才扩充这个认识。并不完全trivial - 因为我主贴已经写出来了,还有人不认识,认为在装逼。

【 在 FoxMe (FoxMe) 的大作中提到: 】
: 讲得很好,泛函就是函数的函数,第一堂课老师是这么说的。

verdelite


【 在 TheMatrix (TheMatrix) 的大作中提到: 】
: 对,函数的函数,老师是这么讲的。但是第一堂课不知道怎么从一个函数得到一个数,
: well,积分是一个,包括有kernel的积分,取值操作是一个,还有什么?
: 函数的函数,它实际上并不限制你如何取值,取值的办法千奇百怪,literally。我也
: 是逐渐才扩充这个认识。并不完全trivial - 因为我主贴已经写出来了,还有人不认识
: ,认为在装逼。

主贴有一个缺陷,说随机变量是函数。随机变量不是函数,它是随机变量。随机变量的分布函数是个函数。

TheMatrix

这个会有很多人扁你。

【 在 verdelite (石头) 的大作中提到: 】
: 主贴有一个缺陷,说随机变量是函数。随机变量不是函数,它是随机变量。随机变量的
: 分布函数是个函数。

TheMatrix

当然,说分布函数也可以,因为我们的确只在乎分布。我觉得我本来想写的也是分布函数,但是写的时候可能卡住了,突然写成了随机变量。不过我也没有写错。

【 在 verdelite (石头) 的大作中提到: 】
: 主贴有一个缺陷,说随机变量是函数。随机变量不是函数,它是随机变量。随机变量的
: 分布函数是个函数。

IGvsNaVi


【 在 TheMatrix(TheMatrix) 的大作中提到: 】

爺绌朵粈涔堝憿锛

篃灏辨槸浠庡嚱鏁扮┖闂村埌鏁扮┖闂寸殑鏄犲皠鏄嚎鎬

殑娉涘嚱锛屽彲浠ヨ€冭檻瀹冪殑灏忚寖鍥寸殑杩戜技锛屼粠鑰屽緱鍒扮嚎鎬ф硾鍑姐€

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瀽涔熺爺绌剁嚎鎬х畻绗︺€

畠鑷繁浠€涔堟牱锛屼篃瑕佹妸瀹冧滑闆嗗悎璧

粈涔堜綅缃紝瀹冮檮杩戜粈涔堟牱銆傝繖鏄暟

: 学研究的标准套路,大套路。

: 工具首先有线性代

湁鎷撴墤鐨勫伐

: 具,有拓扑,有metric,有norm,有连续,有compact,有
bounded,unbounded,这些
: ...................

s
sbbs

正解

菌班需要你这样的清流。现在垃圾信息太多了,信息量低。老邢如此这般鼓励“拿钱发帖”求快钱,不是长久之策。

【 在 TheMatrix (TheMatrix) 的大作中提到: 】
: 主要是提供一个理解的框架。能开始算就是有活干了。但是计算也很快就会遇到瓶颈。
: 比如非线性问题的数值计算,网格数是指数增长,这就是碰到了本质不可解问题。必须
: 得换思路,最终得换思路。考虑思路,理论框架的基础就需要了。

TheMatrix

我自己说吧。

随机变量是一个函数,样本空间上的函数嘛,sample space。随机变量是个随机的数,我们的确是想表达这个意思,但是这样说很难把它容纳在数学的体系中,只能认为它是一个单独的物体。说它就是一个样本空间上的函数,可以减少一个单独的物体,也不违和。

说随机变量的分布函数,就不分辨identically distributed的两个随机变量,也行。

【 在 verdelite (石头) 的大作中提到: 】
: 主贴有一个缺陷,说随机变量是函数。随机变量不是函数,它是随机变量。随机变量的
: 分布函数是个函数。

verdelite


【 在 TheMatrix (TheMatrix) 的大作中提到: 】
: 我自己说吧。
: 随机变量是一个函数,样本空间上的函数嘛,sample space。随机变量是个随机的数,
: 我们的确是想表达这个意思,但是这样说很难把它容纳在数学的体系中,只能认为它是
: 一个单独的物体。说它就是一个样本空间上的函数,可以减少一个单独的物体,也不违
: 和。
: 说随机变量的分布函数,就不分辨identically distributed的两个随机变量,也行。

说他是样本空间上的函数也不对。函数是这样一个东西,给他一个定义域里的输入,就有一个确定的输出。

比如我给你这样一个样本空间上的函数,你看它是不是随机变量。

1 -> 1
2 -> 2
3 -> 3
4 -> 4
5 -> 5
6 -> 6

这是个随机变量吗?

s
sbbs

之前看你的贴,认定你是应数背景,属于解题派
后来这两段,你提了一个很重要的而常被有意无意忽略的问题。这算从“应用”回归理论触发理论进步的好例子,手动给你点赞91

【 在 guvest (我爱你老婆Anna) 的大作中提到: 】
: 我补充一点。
: 你的主贴有一个重要问题没有讲。
: 泛函是定义在广义函数上的,不是一般函数,例如狄拉克delta函数。
: 但是讲清楚广义函数又要泛函知识。
: 这个互相定义的loop如何unfolding是我认为的唯一难点。
: 所以理解数学意义上的functional ,不是知道其跟定积分类似就可以的了。
: 现代之积分与泛函有内生的关系。不同的unfolding办法导致了不同的叙事,讲法甚至
: 科学史学派。
: 其他的我觉得就是尽可能的忽略不同纬度的特殊性。
: : 我觉得你看到的这个问题,可能不是维度问题,搞不好是更重要的问题,但是你
: ...................

TheMatrix

我觉得说它是随机变量也可以。

【 在 verdelite (石头) 的大作中提到: 】
: 说他是样本空间上的函数也不对。函数是这样一个东西,给他一个定义域里的输入,就
: 有一个确定的输出。
: 比如我给你这样一个样本空间上的函数,你看它是不是随机变量。
: 1 -> 1
: 2 -> 2
: 3 -> 3
: 4 -> 4
: 5 -> 5
: 6 -> 6
: 这是个随机变量吗?

verdelite


【 在 TheMatrix (TheMatrix) 的大作中提到: 】
: 我觉得说它是随机变量也可以。

我觉得不对。随机变量是有自己的性质的,而这个函数,样本空间中的函数,并没有包含其全部性质。

比如可以有两个不同的随机变量,它们拥有同一个样本空间中的函数。

第一个随机变量它的分布函数是:1: 50%, 2,3,4,5,6各10%。
第二个随机变量它的分布函数是:1,2,3,4,5,6各1/6。

这两不同的随机变量,却有共同的样本空间中的函数。所以说,不能说样本空间中的函数就是随机变量。

TheMatrix

那也可以说这两个不在同一个样本空间上。

每个样本取的概率都不一样,怎么能说它们是同一个样本空间呢?

古典概率在建立到测度论基础上的时候,样本空间这个概念确实不完全令人满意。它基本上是纯抽象的。就是给它找一个集合论的基础。

【 在 verdelite (石头) 的大作中提到: 】
: 我觉得不对。随机变量是有自己的性质的,而这个函数,样本空间中的函数,并没有包
: 含其全部性质。
: 比如可以有两个不同的随机变量,它们拥有同一个样本空间中的函数。
: 第一个随机变量它的分布函数是:1: 50%, 2,3,4,5,6各10%。
: 第二个随机变量它的分布函数是:1,2,3,4,5,6各1/6。
: 这两不同的随机变量,却有共同的样本空间中的函数。所以说,不能说样本空间中的函
: 数就是随机变量。

verdelite


【 在 TheMatrix (TheMatrix) 的大作中提到: 】
: 那也可以说这两个不在同一个样本空间上。
: 每个样本取的概率都不一样,怎么能说它们是同一个样本空间呢?
: 古典概率在建立到测度论基础上的时候,样本空间这个概念确实不完全令人满意。它基
: 本上是纯抽象的。就是给它找一个集合论的基础。

所以说定义在样本空间上的函数,不是一个随机变量。

函数是一个映射,mapping,把输入映射到输出。给出这个映射,就给出了其全部性质。

真正的随机变量,它不仅包含这个映射的性质,它还包括样本空间的性质。

TheMatrix

谢谢。

我想你能理解,这就是闲聊,这不是数学。提供理解,感悟,思想火花,这都不是数学,我尽量说严格,但是肯定会为思想的节奏而放弃部分严格性,我就把它叫做闲聊。

闲聊有口味,有人喜欢聊明星,有人喜欢聊台海,有人喜欢聊民主,我就喜欢聊思想。思想闲聊,不行吗?呵呵。

周末有时间刷版,刷了几个小时实在找不到感兴趣的话题,才出手挖个坑。这个我觉得军版高智商将军们都能理解。

【 在 sbbs (傻) 的大作中提到: 】
: 正解
: 菌班需要你这样的清流。现在垃圾信息太多了,信息量低。老邢如此这般鼓励“拿钱发
: 帖”求快钱,不是长久之策。

C
Caravel

我看随机变量最好理解成一个算符,outcome满足一个分布,像波函数的测量一样。

X|0》~ f(x)

【 在 TheMatrix (TheMatrix) 的大作中提到: 】
: 那也可以说这两个不在同一个样本空间上。
: 每个样本取的概率都不一样,怎么能说它们是同一个样本空间呢?
: 古典概率在建立到测度论基础上的时候,样本空间这个概念确实不完全令人满意。它基
: 本上是纯抽象的。就是给它找一个集合论的基础。

C
Caravel

映射在可数的情形下很好理解。一个普通的函数,如果定义域和值域都是可数的,则函数可以很清晰的数出来,在此之上,泛函就是一个普通的集合到另外一个普通集合的映射,难就难在变成连续情形,还要求微积分。。。

【 在 TheMatrix (TheMatrix) 的大作中提到: 】
: 谢谢。
: 我想你能理解,这就是闲聊,这不是数学。提供理解,感悟,思想火花,这都不是数学
: ,我尽量说严格,但是肯定会为思想的节奏而放弃部分严格性,我就把它叫做闲聊。: 闲聊有口味,有人喜欢聊明星,有人喜欢聊台海,有人喜欢聊民主,我就喜欢聊思想。
: 思想闲聊,不行吗?呵呵。
: 周末有时间刷版,刷了几个小时实在找不到感兴趣的话题,才出手挖个坑。这个我觉得
: 军版高智商将军们都能理解。

daigaku

按照一般的描述,随机变量是把事件表达成数
比如硬币朝上,可以表达成1,反之0
也可以换个表达,连续两次硬币朝上表达成3.14,两次朝下表达成8.88(虽然这种设定不太好)

而概率本身是针对事件的,写成针对随机变量可以看成是为了数学描写的方便
P(X=1)和P(硬币朝上)是一个意思,但是后者不好写数学公式

【 在 Caravel (克拉维尔) 的大作中提到: 】
: 我看随机变量最好理解成一个算符,outcome满足一个分布,像波函数的测量一样。
: X|0》~ f(x)

F
FoxMe

在随机过程和动力系统中,可以用泛函来描述概率分布的演化,收敛速率取决于算子的spectral gap.

量子中是不是也有用?

【 在 TheMatrix (TheMatrix) 的大作中提到: 】
: 对,函数的函数,老师是这么讲的。但是第一堂课不知道怎么从一个函数得到一个数,
: well,积分是一个,包括有kernel的积分,取值操作是一个,还有什么?

C
Caravel

量子力学里面一个著名的泛函就是费曼路径积分,貌似现在数学家还是没有完全弄明白,可以严格求解的路径积分非常少。

【 在 FoxMe (FoxMe) 的大作中提到: 】
: 在随机过程和动力系统中,可以用泛函来描述概率分布的演化,收敛速率取决于算子的
: spectral gap.
: 量子中是不是也有用?

F
FoxMe

deep learning可能要用Grothendieck的代数几何那一套(topos etc.)来解释。

【 在 TheMatrix (TheMatrix) 的大作中提到: 】
: 嗯。。。。deep learning目前来看和函数逼近有关系,但是从人工智能的最终目标来
: 看,函数逼近不在最核心的位置上。
: deep learning那么多参数,这也表明了它和函数逼近的关系是副产品。这么参数表达
: 了什么呢?这里有一个容量的概念。参数多,容量大,什么都能映照进来,而且是忠实
: 映照。
: 接下来应该是个组合-评估的迭代问题,组合可以看成是生长,生成,试探,搜索。评
: 估可以和函数逼近有关系。
: deep learning的发展,主要还是一个计算机,算法,的问题。是它在发展之后,发现
: 了数学。数学想要发现它,很难。

z
zhetian

广相的测地线方程,也是要用泛函推导。说泛函没用的,数值计算都没法做

【 在 guvest (我爱你老婆Anna) 的大作中提到: 】
: 没有泛函的概念,如何推出欧拉拉格朗日方程。那可是牛顿质点力学之后立即要学的东
: 西。
:
: 泛函在物理里面就是最小作用量原理用了一下,大部分特性都是借用了普通的微
: 积分,
:
: 感觉就是稀里糊涂就用了,也没有证明是不是对所有的函数空间都成立。
:

TheMatrix

事件就是sample space的一个子集。X=1 理解为 { a: X(a)=1 },其中a为sample
space中的一点。

【 在 daigaku (2913121329) 的大作中提到: 】
: 按照一般的描述,随机变量是把事件表达成数
: 比如硬币朝上,可以表达成1,反之0
: 也可以换个表达,连续两次硬币朝上表达成3.14,两次朝下表达成8.88(虽然这种设定
: 不太好)
: 而概率本身是针对事件的,写成针对随机变量可以看成是为了数学描写的方便
: P(X=1)和P(硬币朝上)是一个意思,但是后者不好写数学公式

TheMatrix

不是很知道。

【 在 FoxMe (FoxMe) 的大作中提到: 】
: 在随机过程和动力系统中,可以用泛函来描述概率分布的演化,收敛速率取决于算子的
: spectral gap.
: 量子中是不是也有用?

F
FoxMe

噢,好像见过。

求spectral gap也是一个很困难的问题,只有幸运的情况能得到闭式解。其中一种方法是用Sobolev inequality。

【 在 Caravel (克拉维尔) 的大作中提到: 】
: 量子力学里面一个著名的泛函就是费曼路径积分,貌似现在数学家还是没有完全弄明白
: ,可以严格求解的路径积分非常少。

TheMatrix

路径的空间是无穷维的,在其上积分,好像是没有合适的measure。

【 在 Caravel (克拉维尔) 的大作中提到: 】
: 量子力学里面一个著名的泛函就是费曼路径积分,貌似现在数学家还是没有完全弄明白
: ,可以严格求解的路径积分非常少。

TheMatrix

那么高深?我瞅瞅。。。

【 在 FoxMe (FoxMe) 的大作中提到: 】
: deep learning可能要用Grothendieck的代数几何那一套(topos etc.)来解释。

l
lsheng

听起来还是比非线性的东西好点,那些不知道有啥好的研究方法。
TheMatrix

sheaf这个概念应该可以成为某些新数学的起点,当然代数几何里已经用的很多了,但
是我觉得还不是这个数学。。。。

deep learning会和它有关系?现在看不出来。deep learning是很deep的,不一定比它浅。

【 在 TheMatrix (TheMatrix) 的大作中提到: 】
: 那么高深?我瞅瞅。。。

TheMatrix

非线性,np,指数增长,这些都是有联系的。我觉得要把它封闭起来,作为黑盒研究。不能打开。打开是错误的。要发明不打开的研究方法。

【 在 lsheng (lsheng) 的大作中提到: 】
: 听起来还是比非线性的东西好点,那些不知道有啥好的研究方法。

w
wass

DL就是一个多目标优化问题,算法就是拟线性逼近。不同的action函数就是不同的拟线性

【 在 FoxMe (FoxMe) 的大作中提到: 】
: deep learning可能要用Grothendieck的代数几何那一套(topos etc.)来解释。

ne5234

有没有泛泛函?从理论上来说肯定有
w
wass

有专门的杂志:Nonlinear Analysis 。个人一直觉得拟线性逼近是最好的,后来的DL也
验证了这一点。

【 在 lsheng (lsheng) 的大作中提到: 】
: 听起来还是比非线性的东西好点,那些不知道有啥好的研究方法。

F
FoxMe

对,从函数到函数叫算符(operator)。好像也有人管这叫functional,这种称呼也对吗?

【 在 TheMatrix (TheMatrix) 的大作中提到: 】
: 那泛函分析研究什么呢?
: 它研究的是线性泛函,linear functional。也就是从函数空间到数空间的映射是线性
: 的。非线性的泛函,可以考虑它的小范围的近似,从而得到线性泛函。
: 稍微扩大化一下,取值不是一个数,而是一个函数,可以是本函数空间里的函数,也可
: 以是其他函数空间里的函数。这叫线性算符。泛函分析也研究线性算符。

F
FoxMe

arXiv上有篇文章

Topos and Stacks of Deep Neural Networks

我也看不懂。你看懂了给讲讲。

【 在 TheMatrix (TheMatrix) 的大作中提到: 】
: sheaf这个概念应该可以成为某些新数学的起点,当然代数几何里已经用的很多了,但
: 是我觉得还不是这个数学。。。。
: deep learning会和它有关系?现在看不出来。deep learning是很deep的,不一定比它
: 浅。

TheMatrix

看不懂。

我只懂sheaf。sheaf之上的都不懂。

【 在 FoxMe (FoxMe) 的大作中提到: 】
: arXiv上有篇文章
: Topos and Stacks of Deep Neural Networks
: 我也看不懂。你看懂了给讲讲。