广义相对论的两点疑问

o
oldwillow
楼主 (未名空间)

(有人能给转到数学版吗)

(1) 相对性原理是说,任何观察者自己都是静止的 (at rest)。基于这个原理再由光速不变,得到 Lorentz 变换

/ t'\ / 1/√(1 - v^2) -v \ / t \
| | = | | | |
\x'/ \ -vt 1/√(1 - v^2) / \ x /

(光速设为1)
where 是对方的,运动中的钟表和尺子的读数,此时我的钟表和尺子读数是

接下来很自然的想法是,既然非匀速运动也是相对的 (源于Ernst Mach,任何运动都
是相对的)。那么 和 关系是怎样的呢?但是当爱因斯坦真正坐下
来研究后,其走向跟这个出发点完全没有关系。众所周知,他的广义相对论,他的场方程(关于metric tensor 的方程 ) 完全不是描述 和 之间的对应
关系的。所以“广义相对论 ”这个标签有一种误导作用。好像爱因斯坦本人也承认(
我记不清,请斧正)。 为什么流行的说法都是 Einstein sought to develop his
theory of 1905 in a way that would extend the treatment of relative motion
to accelerated motion。完全是另一种理论吗 -- 关于“引力"(原因的) 的理论,so to speak。

(2) 关于黑洞。
众所周知,黑洞源于Einstein 场方程的 Schwarzschild 求出的解,即

ds^2 = - (1 - 2GM / r ) dt^2 + 1/(1 - 2GM / r ) dr^2 + ... (1)

where 2GM is so called radius of 黑洞,

假设太阳是一个点的话 在 距中心 3 公里处 (即 r = 3 km), 就是黑洞尺寸 (称为 Schwarzschild 半径) (1)也称作 Schwarzschild metric. 2GM 是这样得到的

Schwarzschild 求解 Einstein 场方程的最后一部是求下面式子中的待定常数μ

ds^2 = - (1 - μ/r ) dt^2 + 1/(1 - μ/r ) dr^2

To determine μ, consider 弱场情形(where Eeinstein 的场方程的components 可
写成 坐标变量的线性函数),就是牛顿力学情况,有
g_00 = - (1 - μ/r ) = - (1 + 2Φ)

where Φ 是 牛顿力学的 potential, 为 -GM/r

得到 μ = 2GM

长话短说,今天时间不多,直接给结论。(1)应该修正为

ds^2 = - {1 - 2GM (1/ r - 1/R0 )} dt^2
+ 1/{1 - 2GM (1/ r - 1/R0 )} dr^2 + ... (2)
where R0 是观察者,比如地球人,到太阳中心的距离。

在无穷远处,R0 = inf,(2) 就 reduce 到(1)。
当 r 和 R0 非常接近时(2)与Einstein 1907 年的paper 给出的结果一致 (
Schwarzschild metric is not)

从技术上说,在求定积分时(求Φ时)不必要把积分下限定为无穷远。而应该以观察者的位置为
参照, (Φ 零点)。所以根据(2),你如果离太阳近的话,黑洞对你是不存在的。黑洞的照片
是拍照者在足够远得到的图像。

从逻辑上说,质量与长度的比,M/r , 为 1 竟然有物理意义是不可思议的,因为质
量和长度是两个独立的维度。我们知道大小长短都是相对的 (相同维度的量才能比较
)而这里长度竟然与质量比较。很奇怪!

有兴趣者加入讨论

EIonMusk

民科来了。

理论物理专业人士起码要从场论群论谈起,哪来那么多初中数学开根号?

o
oldwillow

请把给我民科帽子去掉。你肯定是外行(没看过一页相对论的书吧)。

【 在 EIonMusk (马跃亭) 的大作中提到: 】
: 民科来了。
: 理论物理专业人士起码要从场论群论谈起,哪来那么多初中数学开根号?
b
btphy

1) 非匀速直线运动的变换没有这种简单的线性变换关系。

非匀速运动的坐标系相当于选择了曲线坐标轴。洛伦兹变换只在变成无穷小区间内成立。你需要学习弯曲流形和切从的关系。当时空和坐标轴都是平直的情况下,切空间和整体空间正好等价,这时候切空间里的线形变换变成了整体空间坐标的线形变换,这是个特殊情况。

【 在 oldwillow (老柳树) 的大作中提到: 】
: (有人能给转到数学版吗)
: (1) 相对性原理是说,任何观察者自己都是静止的 (at rest)。基于这个原理再由光
: 速不变,得到 Lorentz 变换
:
: / t' / 1/√(1 - v^2) -v / t
: | |= | | | |
: x'/ -vt 1/√(1 - v^2) / x /
: (光速设为1)
: where 是对

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b
btphy

2)不知道你想说什么。取无穷远处确立参数只为了方便,你当然可以取地球的位置,
但你不知道地球位置太阳引力场有多大,所以没有用处,取无穷远仅仅因为场方程简化为牛顿引力公式,所以解已知,这是个纯技术操作。

如果太阳半径小于黑洞视界,那太阳就变成黑洞了,如果你离太阳足够近你已经掉进黑洞了,啥叫黑洞不存在?你马上就要掉进奇点了。

质量和长度量纲相同有啥奇怪的?这是因为你把光速设为一了,理论物理里面这种情况多了,现代理论物理长度时间能量质量全部都是一个量纲,其实理论上讲,理论物理应该就只能有一个量纲。

【 在 oldwillow (老柳树) 的大作中提到: 】
: (有人能给转到数学版吗)
: (1) 相对性原理是说,任何观察者自己都是静止的 (at rest)。基于这个原理再由光
: 速不变,得到 Lorentz 变换
:
: / t' / 1/√(1 - v^2) -v / t
: | |= | | | |
: x'/ -vt 1/√(1 - v^2) / x /
: (光速设为1)
: where 是对

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niuheliang

民科我路过。光速不变只是假设,宗教信仰。等价于平行线永不香蕉。

【 在 oldwillow (老柳树) 的大作中提到: 】
: (有人能给转到数学版吗)
: (1) 相对性原理是说,任何观察者自己都是静止的 (at rest)。基于这个原理再由光
: 速不变,得到 Lorentz 变换
:
: / t' / 1/√(1 - v^2) -v / t
: | |= | | | |
: x'/ -vt 1/√(1 - v^2) / x /
: (光速设为1)
: where 是对方的,运动中的钟表和尺子的读数,此时我的钟表和尺子读数
是<
: t, x>
: ...................

iDemocracy

楼主的确不小心掉坑里了,但这不是楼主的错,网上流传的中文科普的编辑者的数学水平过于低下。

BTW, “非匀速运动也是相对的”这个命题是错的。
minotaur

还有玻尔兹曼常数k=1,所以温度也可以用能量单位表示

【 在 btphy (btphy) 的大作中提到: 】
: 2)不知道你想说什么。取无穷远处确立参数只为了方便,你当然可以取地球的位置,
: 但你不知道地球位置太阳引力场有多大,所以没有用处,取无穷远仅仅因为场方程简化
: 为牛顿引力公式,所以解已知,这是个纯技术操作。
: 如果太阳半径小于黑洞视界,那太阳就变成黑洞了,如果你离太阳足够近你已经掉进黑
: 洞了,啥叫黑洞不存在?你马上就要掉进奇点了。
: 质量和长度量纲相同有啥奇怪的?这是因为你把光速设为一了,理论物理里面这种情况
: 多了,现代理论物理长度时间能量质量全部都是一个量纲,其实理论上讲,理论物理应
: 该就只能有一个量纲。
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o
oldwillow

这么说吧. 如果太阳的直径是 1m (< 3km). 那么我在4km 处找看太阳,应该是没有黑
洞的。

关于“量纲”我可能没说清楚。我意是 "Dimension"。 应该换成”维度“。
质量和长度的比值,完全没有体现出任何意义的大小啊。注意,“大”“小”永远是相对的。

给定质量,那么 3km 就是”近“,会导致那里的时间停滞? 而几万公里就 ”远“?
这是不
能接受的,如果没有另外一个参考点的话。好比说,给定我的身高(长度),那么一小时的
时间是短,100年是长(会导致某某事件发生)-- 太荒谬了。

【 在 btphy (btphy) 的大作中提到: 】
: 2)不知道你想说什么。取无穷远处确立参数只为了方便,你当然可以取地球的位置,
: 但你不知道地球位置太阳引力场有多大,所以没有用处,取无穷远仅仅因为场方程简化
: 为牛顿引力公式,所以解已知,这是个纯技术操作。
: 如果太阳半径小于黑洞视界,那太阳就变成黑洞了,如果你离太阳足够近你已经掉进黑
: 洞了,啥叫黑洞不存在?你马上就要掉进奇点了。
: 质量和长度量纲相同有啥奇怪的?这是因为你把光速设为一了,理论物理里面这种情况
: 多了,现代理论物理长度时间能量质量全部都是一个量纲,其实理论上讲,理论物理应
: 该就只能有一个量纲。
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o
oldwillow

我原本是想说,Einstein起初希望找到

t' = f(x, t)
x' = g(x,t)

or

dt' = a*dt + b*dx
dx' = c*dt + d*dx

其中 a, b, c, d 不是常数, 比方 c=c(t) = v(t)dt ;不是线性变换。

我们看到的广义相对论,以及看老爱1907年后的劳动,完全不是上面这种东西。
也许老爱试过了向这方面走,或许是什么障碍,且,也或许,又受到更fancy
的 东西吸引--黎曼几何。

【 在 btphy (btphy) 的大作中提到: 】
: 1) 非匀速直线运动的变换没有这种简单的线性变换关系。
: 非匀速运动的坐标系相当于选择了曲线坐标轴。洛伦兹变换只在变成无穷小区间内成立
: 。你需要学习弯曲流形和切从的关系。当时空和坐标轴都是平直的情况下,切空间和整
: 体空间正好等价,这时候切空间里的线形变换变成了整体空间坐标的线形变换,这是个
: 特殊情况。
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o
oldwillow

任何运动都是相对的吧。望不吝赐教

【 在 iDemocracy (DEMO) 的大作中提到: 】
: 楼主的确不小心掉坑里了,但这不是楼主的错,网上流传的中文科普的编辑者的数学水
: 平过于低下。
: BTW, “非匀速运动也是相对的”这个命题是错的。

b
btphy


: dt' = a*dt + b*dx
: dx' = c*dt + d*dx
: 其中 a, b, c, d 不是常数, 比方 : c=c(t) = v(t)dt ;不是线性变换。

这怎么不是广义相对论里那套了?广义相对论不就是这么搞出来的?你这叫广义坐标变换,只不过所有参数不仅仅可以是时间的函数,同时还可能是所有四个坐标值的函数。

但是,既然没有了线形变换的约束,坐标是可以随便选择的,那么这个变换本身就没什么意义了,理论上你可以随意选取任何一套新的坐标是旧坐标的任意函数:

x’=x’(x, t), t’=t’(x, t)

然后通过求这些函数的偏微分你都可以得到一套很随意的变换,那这变换还有什么用呢?这说明这个变换本身已经不包含有用的物理意义了,所以就得找找有没有什么东西在这个任意的变换下还能保持有一定意义,于是就发现应该关注度规张量和黎曼曲率张量在这个变换下的变换方式以及他们不依赖于任意坐标选择的自身意涵。联想到这些坐标轴可以是随意的曲线,那么这些坐标所描述的空间当然也可以是随意弯曲的空间,什么性质是不随坐标选取而改变的呢?很明显只能是这个空间自身的几何性质了。

【 在 oldwillow (老柳树) 的大作中提到: 】
: 我原本是想说,Einstein起初期望可以找到
: t' = f(x, t)
: x' = g(x,t)
: or
:
: dt' = a*dt + b*dx
: dx' = c*dt + d*dx
: 其中 a, b, c, d 不是常数, 比方 c=c(t) = v(t)dt ;不是线性变换。
: 我们看到的广义相对论,以及看老爱1907年后的劳动,完全不是上面这种东西。
: 也许老爱试过了向这方面走,或许是什么障碍,且,也或许,又受到更fancy
: ..............

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T
TheMatrix2

广义相对论我不懂,但是你这两段话说的还是很有见地的。

【 在 btphy (btphy) 的大作中提到: 】
: 这怎么不是广义相对论里那套了?广义相对论不就是就是这么搞出来的?你这叫广义坐
: 标变换,只不过所有参数不仅仅是时间的函数,同时还可能是所有四个坐标值的函数。
: 但是,既然没有了线形变换的约束,坐标可以随便选择,那么这个变换本身就没什么意
: 义了,理论上你可以随意选取任何一套新的坐标是旧坐标的任意函数:
: x’=x’(x, t), t’=t’(x, t)
: 然后你都可以得到一套变换,那这本身还有什么用呢?这说明这个变换本身已经不包含
: 有用的物理意义了,所以就得找找有没有什么东西在这个任意的变换下还能保持有一定
: 的意义,所以就发现应该关注度规张量和黎曼曲率张量在这个变换下的变换方式以及他
: 们必要赖以任意坐标选择的自身意涵。
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s
srx

只有匀速直线运动是相对的,有加速度的当然不是。双生子佯谬就是这么来的。广相几个基本假设之一就是等效原理,另外一个是光速不变。
【 在 oldwillow (老柳树) 的大作中提到: 】
: 任何运动都是相对的吧。望不吝赐教

l
lasp

光速变化也不会彻底否定了相对论
就像相对论没有彻底否定牛顿定律
只需要修改c表达式就完了

【 在 niuheliang (别问我是谁) 的大作中提到: 】
: 民科我路过。光速不变只是假设,宗教信仰。等价于平行线永不香蕉。
:
:
: 【 在 oldwillow (老柳树) 的大作中提到: 】
: : (有人能给转到数学版吗)
: : (1) 相对性原理是说,任何观察者自己都是静止的 (at rest)。基于这个原理再由光
: : 速不变,得到 Lorentz 变换
: :牋牋牋牋牋牋牋牋牋
: :牋牋 / t'牋 / 1/√(1 - v^2)牋牋牋 -v牋牋牋牋牋 / t
: :牋 |牋 |= |牋牋牋牋牋牋牋牋牋牋牋牋牋牋牋牋牋牋牋 | |牋牋牋 |
: :牋牋 x'/牋牋牋 -vt牋牋牋牋 1/√(1 - v^2) /牋牋 x /
: : (光速设为1)
: : where 是对方的,运动中的钟表和尺子的读数,此时我的钟表和尺子读数
: 是<
: : t, x>
: : ...................
o
oldwillow

你说的下面那些,我基本都同意。由Einstein 场方程,解之可以得到 metric tensor

[g_{μ,ν}], μ,ν = t, x, y, z

将之带入Christofle symbols, 再将后者带入 geodesic equation 就可得到运动方程
,最终就可得到

x’=x’(x, t), t’=t’(x, t) -- - (3)

我不认为这样绕了一大圈,Einstein 是为了求 (3) 。事实上也不是。Einstein 开始
想 generalize 1905 的工作时只是想得到 (3)。但随着探索的进展 爱因斯坦 的目标
已经不是了,而是genralize 牛顿力学,不是 generalize 1905 工作。所以, 广义
相对论理论是 generalized 牛顿力学, 不是 generalized 1905's.

假设,爱因斯坦不走这条路,而是执着地求 (3), 我认为也会达到目的。他可能
会得到这样一个东西 (在低速情况):

/dt\ / 1 0 \ /dt'\
| | = | | | | (4)
\dx/ \ C/m*t' M/m / \dx' /

/dt'\ / 1 0 \ /dt\
| | = | | | | (4')
\dx'/ \-C/M*t m/M / \dx /
注意, 这里x 方向是观察者的左右方向,而不是绝对的方向。相对观察者,这个方向永远是左右。而对于第三者来说,这个方向是变动的。

这才是名副其实的广义 “1905”。把这称为 generalized relativity theory, 我认为
应该更少 让人confused.
我很好奇是什么原因,爱因斯坦放弃了这条路。他不可能没有tried。

给定初速度上面的运动方程将给出一个椭圆的运动轨迹。不相信的可以模拟一下。应该很容易。C 是一个常数,取 m*M (两者的质量乘积)。


【 在 btphy (btphy) 的大作中提到: 】
: 这怎么不是广义相对论里那套了?广义相对论不就是这么搞出来的?你这叫广义坐标变
: 换,只不过所有参数不仅仅可以是时间的函数,同时还可能是所有四个坐标值的函数。
: 但是,既然没有了线形变换的约束,坐标是可以随便选择的,那么这个变换本身就没什
: 么意义了,理论上你可以随意选取任何一套新的坐标是旧坐标的任意函数:
: x’=x’(x, t), t’=t’(x, t)
: 然后通过求这些函数的偏微分你都可以得到一套很随意的变换,那这变换还有什么用呢
: ?这说明这个变换本身已经不包含有用的物理意义了,所以就得找找有没有什么东西在
: 这个任意的变换下还能保持有一定意义,于是就发现应该关注度规张量和黎曼曲率张量
: 在这个变换下的变换方式以及他们不依赖于任意坐标选择的自身意涵。联想到这些坐标
: 轴可以是随意的曲线,那么这些坐标所描述的空间当然也可以是随意弯曲的空间,什么
: ...................

o
oldwillow

"有加速度的当然不是"

Why? Please give us detail, or references.

【 在 srx (srx) 的大作中提到: 】
: 只有匀速直线运动是相对的,有加速度的当然不是。双生子佯谬就是这么来的。广相几
: 个基本假设之一就是等效原理,另外一个是光速不变。

b
btphy

因为你这样搞了一大圈最后只不过得到了一套加速参照系和非加速参照系之间的变换关系公式,其实并没其他什么软用。

但是老爱很快想到了如果加速参照系也能和非加速参照系随便转换的话,那么有引力的环境也能和没引力的环境统一起来,就是著名的电梯理想实验,在重力中自由下坠的加速参照系里和没有重力的惯性参照系里的感受是完全一样的,这就是所谓等效原理。

明白了这一点老爱就开了天眼,他的理想比你高了一个级别,他要把引力也框进来,那就必须考虑能用什么东西去区别一个平常闵可夫斯基空间里随意乱画的一个曲线坐标系(无引力环境下的加速参照系)和非平常空间里局部看来却是正交的直角坐标系(有引力环境的自由落体参考系)呢?单纯看坐标变换的话两者都是一团乱麻,单纯算联络的话,两者也都不为零,所以就只能研究空间的曲率。因为一算曲率,如果一个为零另一个不为零的话,而这个结论是和坐标系选取无关的,那这不就一下子牛大发了吗?

【 在 oldwillow (老柳树) 的大作中提到: 】
: 你说的下面那些,我基本都同意。由Einstein 场方程,解之可以得到 metric
tensor
: [g_{μ,ν}], μ,ν = t, x, y, z
: 将之带入Christofle symbols, 再将后者带入 geodesic equation 就可得到运动方程
: ,最终就可得到
: x’=x’(x, t), t’=t’(x, t) -- - (3)
: 我不认为这样绕了一大圈,Einstein 是为了求 (3) 。事实上也不是。Einstein 开始
: 想 generalize 190

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a
affineV

把整个空间放到球面上,还要过度解读.不是骗子是什么?
b
btphy

简单说,广义比狭义牛逼几个数量级的原因恰恰是因为广相超出了一般相对性原理的追求而是开始统一引力,让他想到这个的诱因就是他在电梯失重了。

当然老爱开了这次挂以后就一路走到黑,试图把电磁力也一样搞起来,就是所谓的统一场论,后来也有不少人朝这个方向努力,但是很诡异的是奇迹再也没有发生第二次。

【 在 btphy (btphy) 的大作中提到: 】
: 因为你这样搞了一大圈最后只不过得到了一套加速参照系和非加速参照系之间的变换关
: 系公式,其实并没其他什么软用。
: 但是老爱很快想到了如果加速参照系也能和非加速参照系随便转换的话,那么有引力的
: 环境也能和没引力的环境统一起来,就是著名的电梯理想实验,在重力中自由下坠的加
: 速参照系里和没有重力的惯性参照系

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o
oldwillow

" ... 广相超出了一般相对性 ... 而是开始 ..."
~~~~
你用 “超出 ... 而是开始 ...“,我用 ”放弃 ... 转而“,似有相同.

的确,把 gravity力的概念从物理中成功剔除,实现 了(起码部分地)几代物理学家
,哲学家,一百多年的努力目标 --- 建立一个 forceless 的物理学, 这是伟大的一步。广义相对论以后就少有人在再做这方面的工作了;感觉是戛然而止。

现在流行说法是物质使时空弯曲,弯曲时空的“直线”就是我们看到的加速度:
物质 --> 弯曲时空 --> 加速度 (6)
但是几何并不是物理实在,只是 a way of 描述世界。物理实在是primitive, 几何是
derivation of it. 说加速度是弯曲空间的表现,这是概念关系的本末倒置。概念关系是加速度在先,几何描述, 即弯曲空间的description ("warped spacetime")在后。

因此广义相对论后我们被教导的是
物质 --> 加速度
vs 经典力学:
物质 --> 力 --> 加速度

最后, 不才抖胆说一句,只有把“力”的概念彻底抛弃,统一四种 “力" 才有可能实
现。我猜想老爱的出发点是,既然几何可以剔除引力,那么为什么不能剔除其它的“力”。不才斗胆(再次)说一句,几何不是primitive (第一性的)概念。广义的成功是基于物理现象(经典力学)加连猜带蒙 (超级的insight)。是个偶然现象。

【 在 btphy (btphy) 的大作中提到: 】
: 简单说,广义比狭义牛逼几个数量级的原因恰恰是因为广相超出了一般相对性原理的追
: 求而是开始统一引力,让他想到这个的诱因就是他在电梯失重了。
: 当然老爱开了这次挂以后就一路走到黑,试图把电磁力也一样搞起来,就是所谓的统一
: 场论,后来也有不少人朝这个方向努力,但是很诡异的是奇迹再也没有发生第二次。: ★ 发自iPhone App: ChinaWeb 1.1.5

T
TheMatrix2

你这个思想我觉得可以。力这个概念走的是引入新变量(力就是新变量),然后新旧变量交替迭代(运动和力),这是动力学的思路。几何方法的话,有点抽象,你说它不是primitive的,那也可以。当然看你在另一条路上能走多远了。

【 在 oldwillow (老柳树) 的大作中提到: 】
: " ... 广相超出了一般相对性 ... 而是开始 ..."
: ~~~~
: 你用“超出 ... 而是开始 ...“,我用 ”放弃 ... 转而“,似有相同.
: 的确,把 gravity力的概念从物理中成功剔除,实现 了(起码部分地)几代物理学家
: ,哲学家,一百多年的努力目标 --- 建立一个 forceless 的物理学, 这是伟大的一步
: 。广义
: 相对论以后就少有人在再做这方面的工作了;感觉是戛然而止。
: 现在流行说法是物质使时空弯曲,弯曲时空的“直线”就是加速度:
: 物质 --> 弯曲时空 --> 加速度 (6)
: 但是几何并不是物理实在,只是 a way of 描述世界。物理实在是primitive, 几何是
: ...................

o
oldwillow

关于几何不是物理实在,历来就有这种看法,这一派就是 rationalism (vs.
substantialism) 。Substantialism 的人看来,物质使时空弯曲,这是物理现象
。我记得Substantialism 从广义相对论才开始的(或死灰复燃的),在这篇文章提的,

"A Note on Berkeley as Precursor of Mach" by KR Popper 1953.
(我一时找不到这篇文章,所以没有double check)

显然我是站在 rationalism这一边的. 我的浅见是,加速度才是primitive;直线是
人们用来描述匀速运动的手段。不能反着说匀速运动是因为时空的平直性质。同样,不能说加速度是由于时空弯曲。

相对于物质,加速度也不是primitive 概念。为什么有加速度,原因是, 物质。物质怎么导致加速度 (没有力)? 这需要知道什么是物质,有了物质的的定义加速度就
是推论。顺便 clarify 一下,“为什么有加速度”这个问题的意思 (meaning),即它问的是什么。它问的是为什么有这么大的加速度。“为什么有加速度”应该 确切的表
达为 “为什么有这么大的加速度”。

“力这个概念走的是引入新变量(力就是新变量),然后新旧变量交替迭代(运动和力)”
完全对的。"Concepts of Force" (Max Jammer) 这本书把这个问题的历史也讲的很好。网上能下载。 我就集中看了最后四章,讲了人们如何想把力的概念从力学中去掉。
最后终结在爱因斯坦这,也是书的最后一章。

“当然看你在另一条路上能走多远了。”
如果沿着老爱的岔路口的另一条路,可能会得到:
(1)two-body (点对点,地球和月亮)系统的运动:
orbiting + rotating(自传,或者看成地球不动 orbiting的轨道旋转,就是月亮
在 x 和 y方向 同时orbit)
广义相对论是不适用two-body系统的,广义相对论适用的情况是点对“灰尘”。

(2) 点对线(无穷长)情况,
这种情况下只有orbiting, 没有rotating;这是不是跟电磁场很像啊。

(3) 点对面 (足够大,无穷大 -- 苹果和地球情况)
二维的orbiting 演变成了一维的往复运动;苹果向地球,穿过地心的往复运动

(4) 点对体 (地球对宇宙)
地球向四面八方往复运动,或者看成地球不动,四周对地球做往复运动 -- 宇宙的膨胀和收缩。

【 在 TheMatrix2 () 的大作中提到: 】
: 你这个思想我觉得可以。力这个概念走的是引入新变量(力就是新变量),然后新旧变
: 量交替迭代(运动和力),这是动力学的思路。几何方法的话,有点抽象,你说它不是
: primitive的,那也可以。当然看你在另一条路上能走多远了。