S2×S1，纤维丛，动力学，拓扑结构，商空间，全同粒子....

怎么想象S2×S1，一个球面和一个圆的简单积？我们来想一下这个问题。假设我们开始有一个S2，也就是球面，和一个S1，就是一个圆。让这个球面沿着这个圆发展出去，形成一个整体的三维的manifold。这个怎么发展呢？S2本身虽然是二维的manifold，但它是弯曲的，我们只能在三维空间中想象它。也可以说S2已经占据了三维空间，在三维空间中再没有另外一个维度让它发展出去。静态的想象S2×S1，怎么想都是错的，因为它就不在三维空间中。

但是我们有一个时间维度，这个维度好啊，不管我们把空间想象成几维，时间永远在它之外。也就是我们想象的不是静态的，而是一个运动。比如我们想象一个球面，半径为r=0.5，放置在三维空间中，最初的球心在(1,0,0)处。然后让这个球，以(0,0,0)为中
心，以1为半径，在xy平面上匀速转动，角速度为2π。考察如下点集

{(x,y,z,t) | (x-cos(2πt))^2+(y-sin(2πt))^2+z^2=r^2}

球面永远不会和自己交叉，因为多了一个时间维度。以时间为横坐标，空间为纵坐标，这是一个周期运动。把(x,y,z,t)和(x,y,z,t+1)算为同一点，那么这个集合正是S2×S1。这说明不能静态的想象S2×S1，而要把它想象成一个运动。它描述的就是球面的一个简单的循环往复的运动。

好文

楼主可以来个系列的

配上图更好

想这个几天就走火入魔了。

系列是肯定的，我也是这么想的，题目也是这么说的。但是想法不成熟，一直也没有成熟起来。兴奋了我才会写上一段，也是对自己的一个刺激。

【 在 molen (molen) 的大作中提到: 】
: 好文
: 楼主可以来个系列的
: 配上图更好

所以要得其门而入。

【 在 wallow (天顶78门) 的大作中提到: 】
: 想这个几天就走火入魔了。

S2XS1是什么意思？
球乘以圆代表什么？
S是什么意思？
2 又是什么意思？

做课后习题即可
【 在 TheMatrix (TheMatrix) 的大作中提到: 】
: 所以要得其门而入。

可以想象成一个厚球壳的里面外面对应的点粘起来。

S2就是球面，2-dim sphere。S1就是圆，1-dim sphere。

S2 X S1 是这两个几何物体的乘积，集合上看就是笛卡尔积，拓扑就是乘积拓扑。它是一个3-dim manifold。本文就是讲如何想象它。

【 在 wadaxiwa (另请高明) 的大作中提到: 】
: S2XS1是什么意思？
: 球乘以圆代表什么？
: S是什么意思？
: 2 又是什么意思？

厚球壳里面外面对应点粘起来，粘起来之后什么样，这个你能想象出来吗？

【 在 OldHeadWind () 的大作中提到: 】
: 可以想象成一个厚球壳的里面外面对应的点粘起来。

纤维丛怎么用在宇宙里

动力学的看法和课后习题走的不是一条路。

【 在 Chromo (CHROMO) 的大作中提到: 】
: 做课后习题即可

我觉得粒子就是纤维丛。

【 在 wangyangming (灭明功臣) 的大作中提到: 】
: 纤维丛怎么用在宇宙里

大神你展开说说

[在 TheMatrix (TheMatrix) 的大作中提到：]
:我觉得粒子就是纤维丛。
:☆ 发自 iPhone 买买提 1.24.11

不把它嵌入三维欧氏空间不就好了

【 在 TheMatrix(TheMatrix) 的大作中提到: 】

: 厚球壳里面外面对应点粘起来，粘起来之后什么样，这个你能想象出来吗？

这个我就是随便一说，但是想法不成熟，也没想好怎么写，就是个感想。可能会写，也主要是为了刺激一下自己。

【 在 wangyangming (灭明功臣) 的大作中提到: 】
: 大神你展开说说
: [在 TheMatrix (TheMatrix) 的大作中提到：]
: :我觉得粒子就是纤维丛。
: :☆ 发自 iPhone 买买提 1.24.11

你能直观想象超过三维的空间吗？

【 在 OldHeadWind () 的大作中提到: 】
: 不把它嵌入三维欧氏空间不就好了
: : 厚球壳里面外面对应点粘起来，粘起来之后什么样，这个你能想象出来吗？
:

S2Xs1对应的自然解物理模型是什么？
电子？还是原子核？

可以想象这个三维流形本身，不把它嵌入其他空间。

【 在 TheMatrix(TheMatrix) 的大作中提到: 】

: 你能直观想象超过三维的空间吗？

局域的想象，它就是一个三维欧几里德空间。整体无法想象，因为它不在三维空间内。

哦，我还得再加一句，人类无法直观想象不能嵌入三维空间中的几何物体。这句话我认为不言自明。

【 在 OldHeadWind () 的大作中提到: 】
: 可以想象这个三维流形本身，不把它嵌入其他空间。
: : 你能直观想象超过三维的空间吗？
:

物理上，它就是一个球（球面）绕一点旋转。

【 在 wadaxiwa (另请高明) 的大作中提到: 】
: S2Xs1对应的自然解物理模型是什么？
: 电子？还是原子核？

不是局部想象。
不同意你说的。你老师咋教的。

【 在 TheMatrix(TheMatrix) 的大作中提到: 】

: 局域的想象，它就是一个三维欧几里德空间。整体无法想象，因为它不在三维空间内。

: 哦，我还得再加一句，人类无法直观想象不能嵌入三维空间中的几何物体。这句话我认

: 为不言自明。

牛逼!

你把这个搞出来1，就可以描述球体旋转了，是不是？有没有方程的链接？

【 在 TheMatrix (TheMatrix) 的大作中提到: 】
: 物理上，它就是一个球（球面）绕一点旋转。

你在讽刺我吗？呵呵。

【 在 wadaxiwa (另请高明) 的大作中提到: 】
: 牛逼!
: 你把这个搞出来1，就可以描述球体旋转了，是不是？有没有方程的链接？

老师只教了我微分几何，但没教我怎么想象不能嵌入三维的流形。你老师怎么教的？：）

【 在 OldHeadWind () 的大作中提到: 】
: 不是局部想象。
: 不同意你说的。你老师咋教的。

我真的不懂。你讲什么流形我根本不懂你在说什么
但你说是一个球在转，我就懂了

我的脑子建模能力很强。所以你讲出一个在转的球，我立刻就懂了。你这时给我看方程我就能看懂。

有很多牛人不用建模，靠看方程就能看懂，我没那本事。

【 在 TheMatrix (TheMatrix) 的大作中提到: 】
: 你在讽刺我吗？呵呵。

你只要想象生活在那个流形里是什么样子就好了。

【 在 TheMatrix(TheMatrix) 的大作中提到: 】

: 老师只教了我微分几何，但没教我怎么想象不能嵌入三维的流形。你老师怎么教的？：）

哦。那倒没什么牛逼的。描述球体绕一点旋转不算牛逼吧。呵呵。

方程有啊，原帖里就有啊。

【 在 wadaxiwa (另请高明) 的大作中提到: 】
: 我真的不懂。你讲什么流形我根本不懂你在说什么
: 但你说是一个球在转，我就懂了
:
: 我的脑子建模能力很强。所以你讲出一个在转的球，我立刻就懂了。你这时给我看方程
: 我就能看懂。
:
: 有很多牛人不用建模，靠看方程就能看懂，我没那本事。
:
:
: 【 在 TheMatrix (TheMatrix) 的大作中提到: 】
: : 你在讽刺我吗？呵呵。

蚂蚁思维？

【 在 OldHeadWind () 的大作中提到: 】
: 你只要想象生活在那个流形里是什么样子就好了。
:
:
: 【 在 TheMatrix(TheMatrix) 的大作中提到: 】
: : 老师只教了我微分几何，但没教我怎么想象不能嵌入三维的流形。你老师怎么教
: 的？：）

因为它局部是和三维欧式空间同胚的，所以人也可以塞进去。你自己进去了，在那个空间里逛一逛，就对它的形状有直觉了。

【 在 TheMatrix(TheMatrix) 的大作中提到: 】

: 蚂蚁思维？

(x-cos(2πt))^2+(y-sin(2πt))^2+z^2=r^2

就是这个方程吗？
现在看懂了。
你不说我就看不懂

【 在 TheMatrix (TheMatrix) 的大作中提到: 】
: 哦。那倒没什么牛逼的。描述球体绕一点旋转不算牛逼吧。呵呵。
: 方程有啊，原帖里就有啊。

我觉得没有动力学的直观好。但是，也可以。

为什么这么说呢？因为你即使进去了，逛一逛，直观感受的还是局域。通过测量你发现和普通三维空间有所不同。然后你还是在想象，它到底什么样呢？呵呵。好像只能放弃直观。

【 在 OldHeadWind () 的大作中提到: 】
: 因为它局部是和三维欧式空间同胚的，所以人也可以塞进去。你自己进去了，在那个空
: 间里逛一逛，就对它的形状有直觉了。
:
:
: 【 在 TheMatrix(TheMatrix) 的大作中提到: 】
: : 蚂蚁思维？

哦。这是个简单的例子。想说明的是，微分几何如果解构，回到动力学的话，也许是更好的方式。

【 在 wadaxiwa (另请高明) 的大作中提到: 】
: (x-cos(2πt))^2+(y-sin(2πt))^2+z^2=r^2
:
: 就是这个方程吗？
: 现在看懂了。
: 你不说我就看不懂
:
: 【 在 TheMatrix (TheMatrix) 的大作中提到: 】
: : 哦。那倒没什么牛逼的。描述球体绕一点旋转不算牛逼吧。呵呵。
: : 方程有啊，原帖里就有啊。

我的方法还可以再加一个时间维度。

【 在 TheMatrix(TheMatrix) 的大作中提到: 】

: 我觉得没有动力学的直观好。但是，也可以。

: 为什么这么说呢？因为你即使进去了，逛一逛，直观感受的还是局域。通过测量你发现

: 和普通三维空间有所不同。然后你还是在想象，它到底什么样呢？呵呵。好像只能放弃

: 直观。

再加一个时间维度，不就回到我说的动力学了吗？

【 在 OldHeadWind () 的大作中提到: 】
: 我的方法还可以再加一个时间维度。
:
:
: 【 在 TheMatrix(TheMatrix) 的大作中提到: 】
: : 我觉得没有动力学的直观好。但是，也可以。
: : 为什么这么说呢？因为你即使进去了，逛一逛，直观感受的还是局域。通过测量
: 你发现
: : 和普通三维空间有所不同。然后你还是在想象，它到底什么样呢？呵呵。好像只
: 能放弃
: : 直观。

你为了想象空间，已经把时间这维用掉了。我不用时间去想象空间，所以在我的空间里，还可以想象时间流逝，物体运动。

【 在 TheMatrix(TheMatrix) 的大作中提到: 】

: 再加一个时间维度，不就回到我说的动力学了吗？

时间在任何空间维度之外。它永远不会被用掉，用了还有。我下一步是想说，高维的空间，应该解构为多个物体的状态。它的之外，还有时间。

【 在 OldHeadWind () 的大作中提到: 】
: 你为了想象空间，已经把时间这维用掉了。我不用时间去想象空间，所以在我的空间里
: ，还可以想象时间流逝，物体运动。
: : 再加一个时间维度，不就回到我说的动力学了吗？
:

你没听说过Poincaré group?

受到因果律限制，时间不是一个独立变量。

【 在 TheMatrix (TheMatrix) 的大作中提到: 】
: 时间在任何空间维度之外。它永远不会被用掉，用了还有。我下一步是想说，高维的空
: 间，应该解构为多个物体的状态。它的之外，还有时间。

时间之所以是不同于空间的维度，是因为它们在物理定律中的地位不对称。没有物理定律不能空谈时间。

【 在 TheMatrix(TheMatrix) 的大作中提到: 】

: 时间在任何空间维度之外。它永远不会被用掉，用了还有。我下一步是想说，高维的空

: 间，应该解构为多个物体的状态。它的之外，还有时间。

这东西和身体的传感器有关。参考Poincare的：空间为什么有三维。在他的 最后的沉
思 一书里。

【 在 TheMatrix(TheMatrix) 的大作中提到: 】

: 我觉得没有动力学的直观好。但是，也可以。

: 为什么这么说呢？因为你即使进去了，逛一逛，直观感受的还是局域。通过测量你发现

: 和普通三维空间有所不同。然后你还是在想象，它到底什么样呢？呵呵。好像只能放弃

: 直观。

你这个s2xs1是错的，不可能存在于现实之中，因为违反Poincaré group

你应该从Poincaré group出发，来建立一个比较现实的模型

poincare group我知道，是Minkowski空间的线性变换。哦，包括translation的。应该说affine transformation group。相对论把时间和空间耦合了，
这个确实是一个问题。我的确目前有意回避时空耦合的情况。但是我觉得即使耦合了，也还是要考虑动力学的方法，把高维流形纤维丛之类的解构了，以物理的方法看问题。我觉得是可以的。

【 在 furoci (伊千枝) 的大作中提到: 】
: 你这个s2xs1是错的，不可能存在于现实之中，因为违反Poincaré group
: 你应该从Poincaré group出发，来建立一个比较现实的模型

这我可以同意。

【 在 OldHeadWind () 的大作中提到: 】
: 时间之所以是不同于空间的维度，是因为它们在物理定律中的地位不对称。没有物理定
: 律不能空谈时间。
: : 时间在任何空间维度之外。它永远不会被用掉，用了还有。我下一步是想说，高
: 维的空
: : 间，应该解构为多个物体的状态。它的之外，还有时间。
:

对。说到底，人就是三维。

【 在 guvest (我爱你老婆Anna) 的大作中提到: 】
: 这东西和身体的传感器有关。参考Poincare的：空间为什么有三维。在他的 最后的沉
: 思 一书里。

低速近似。这行了吧？

【 在 furoci (伊千枝) 的大作中提到: 】
: 你这个s2xs1是错的，不可能存在于现实之中，因为违反Poincaré group
: 你应该从Poincaré group出发，来建立一个比较现实的模型

我靠
Falling出狱啦？

【 在 TheMatrix (TheMatrix) 的大作中提到: 】
: 怎么想象S2×S1，一个球面和一个圆的简单积？我们来想一下这个问题。假设我们开始
: 有一个S2，也就是球面，和一个S1，就是一个圆。让这个球面沿着这个圆发展出去，形
: 成一个整体的三维的manifold。这个怎么发展呢？S2本身虽然是二维的manifold，但它
: 是弯曲的，我们只能在三维空间中想象它。也可以说S2已经占据了三维空间，在三维空
: 间中再没有另外一个维度让它发展出去。静态的想象S2×S1，怎么想都是错的，因为它
: 就不在三维空间中。
: 但是我们有一个时间维度，这个维度好啊，不管我们把空间想象成几维，时间永远在它
: 之外。也就是我们想象的不是静态的，而是一个运动。比如我们想象一个球面，半径为
: r=0.5，放置在三维空间中，最初的球心在(1,0,0)处。然后让这个球，以(0,0,0)为中
: 心，以1为半径，在xy平面上匀速转动，角速度为2π。考察如下点集
: ...................

你们都是从数学出发研究物理，只有我是从物理出发研究物理。我讲究物理直觉，头脑里有物理模型。数学浩如烟海，进去了出不来。刚才这句话讲得太文艺，直接说就是大脑不大，装不下东西，用不到的不要学。我不研究数学，我只学习需要用到的数学。

【 在 TheMatrix(TheMatrix) 的大作中提到: 】

: 低速近似。这行了吧？

就想象成月球表面绕地球运动一个周期呗。

【 在 TheMatrix (TheMatrix) 的大作中提到: 】
: 怎么想象S2×S1，一个球面和一个圆的简单积？我们来想一下这个问题。假设我们开始
: 有一个S2，也就是球面，和一个S1，就是一个圆。让这个球面沿着这个圆发展出去，形
: 成一个整体的三维的manifold。这个怎么发展呢？S2本身虽然是二维的manifold，但它
: 是弯曲的，我们只能在三维空间中想象它。也可以说S2已经占据了三维空间，在三维空
: 间中再没有另外一个维度让它发展出去。静态的想象S2×S1，怎么想都是错的，因为它
: 就不在三维空间中。
: 但是我们有一个时间维度，这个维度好啊，不管我们把空间想象成几维，时间永远在它
: 之外。也就是我们想象的不是静态的，而是一个运动。比如我们想象一个球面，半径为
: r=0.5，放置在三维空间中，最初的球心在(1,0,0)处。然后让这个球，以(0,0,0)为中
: 心，以1为半径，在xy平面上匀速转动，角速度为2π。考察如下点集
: ...................

提醒你，这是相空间，不是运动轨迹

【 在 TheMatrix (TheMatrix) 的大作中提到: 】
: 低速近似。这行了吧？

接着这个写。

一个S2，在三维空间中做着圆周运动，当我们考察这个S2在时空中的轨迹时，我们抽象出一个S2 X S1的纤维丛，以S2为纤维，以S1为基底。

但是仔细考察这个过程，我们之所以能这样做，不仅仅因为这是一个简单的周期运动，还因为S2这个东西，绕一圈回来以后，和初始的S2“全同”。因为如果不全同的话，你怎么能认为这是一个周期运动呢？

全同不全同，以什么为准？以我们刻画它的参数为准。比如这里的S2怎么刻画？就两个参数，一个是球心坐标，一个是半径。两个S2在这两个参数上相同，那它们就全同。它们只能全同。

半径相同球心坐标相同的两个S2一定全同吗？“仔细”看一下这个S2的表面，我们可以给它们规定不同的曲率，再仔细看一下，说不定S2的表面上还有湍流呢。但是，这些我们都不关心，也可能是无法测量到。我们只有两个参数，一个半径，一个球心坐标。它们
是“内禀”的。没有办法不内禀，如果我们只能测到这两个参数的话。

把S2想象成一个粒子，我们的两个参数描述是一个拓扑结构。拓扑结构还不一定是静态的，比如S2×S1，这是一个拓扑结构，但是也可以把它看成一个循环往复的运动。一个结构，也可以是一个运动的pattern。而且这个pattern也可以看成一个粒子，而且全同，而且到处出现，还能产生和湮灭。

【 在 TheMatrix (TheMatrix) 的大作中提到: 】
: 怎么想象S2×S1，一个球面和一个圆的简单积？我们来想一下这个问题。假设我们开始
: 有一个S2，也就是球面，和一个S1，就是一个圆。让这个球面沿着这个圆发展出去，形
: 成一个整体的三维的manifold。这个怎么发展呢？S2本身虽然是二维的manifold，但它
: 是弯曲的，我们只能在三维空间中想象它。也可以说S2已经占据了三维空间，在三维空
: 间中再没有另外一个维度让它发展出去。静态的想象S2×S1，怎么想都是错的，因为它
: 就不在三维空间中。
: 但是我们有一个时间维度，这个维度好啊，不管我们把空间想象成几维，时间永远在它
: 之外。也就是我们想象的不是静态的，而是一个运动。比如我们想象一个球面，半径为
: r=0.5，放置在三维空间中，最初的球心在(1,0,0)处。然后让这个球，以(0,0,0)为中
: 心，以1为半径，在xy平面上匀速转动，角速度为2π。考察如下点集
: ...................

最好想成循环往复的运动，一个周期不好。

【 在 beyond (一切皆有可能) 的大作中提到: 】
: 就想象成月球表面绕地球运动一个周期呗。

没啥区别。相空间是啥？不也是位置和速度吗？

【 在 furoci (伊千枝) 的大作中提到: 】
: 提醒你，这是相空间，不是运动轨迹

你的意思简单说，就是一个球面S2，其球心在S1的圆周的轨迹。
但你这个表示对于t有先后次序，比如在t=0.1的S2在t=0的时间的后面么？
引入了t，就引入了对于t的方向。S2*S1果真如此么？

试想一个比它简单的常用例子S1*S1，就是一个donut的外面，
它的每一个过小圆圆心的截面在大圆圆周上并没有顺序。

【 在 TheMatrix (TheMatrix) 的大作中提到: 】
: 怎么想象S2×S1，一个球面和一个圆的简单积？我们来想一下这个问题。假设我们开始
: 有一个S2，也就是球面，和一个S1，就是一个圆。让这个球面沿着这个圆发展出去，形
: 成一个整体的三维的manifold。这个怎么发展呢？S2本身虽然是二维的manifold，但它
: 是弯曲的，我们只能在三维空间中想象它。也可以说S2已经占据了三维空间，在三维空
: 间中再没有另外一个维度让它发展出去。静态的想象S2×S1，怎么想都是错的，因为它
: 就不在三维空间中。
: 但是我们有一个时间维度，这个维度好啊，不管我们把空间想象成几维，时间永远在它
: 之外。也就是我们想象的不是静态的，而是一个运动。比如我们想象一个球面，半径为
: r=0.5，放置在三维空间中，最初的球心在(1,0,0)处。然后让这个球，以(0,0,0)为中
: 心，以1为半径，在xy平面上匀速转动，角速度为2π。考察如下点集
: ...................

只有局部同胚，是否可以说人置身其中，也只能理解他的周遭一寸。
即使他遍历了整个空间，也无法理解。

【 在 OldHeadWind () 的大作中提到: 】
: 因为它局部是和三维欧式空间同胚的，所以人也可以塞进去。你自己进去了，在那个空
: 间里逛一逛，就对它的形状有直觉了。
:
: 蚂蚁思维？
:

我特别反对你这种说法

【 在 wallow (天顶✨门) 的大作中提到: 】
: 你们都是从数学出发研究物理，只有我是从物理出发研究物理。我讲究物理直觉，头脑
: 里有物理模型。数学浩如烟海，进去了出不来。刚才这句话讲得太文艺，直接说就是大
: 脑不大，装不下东西，用不到的不要学。我不研究数学，我只学习需要用到的数学。:
: 低速近似。这行了吧？
:

{(x,y,z,t) | (x-cos(2πt))^2+(y-sin(2πt))^2+z^2=r^2}

这就是一个点集。一维上当然是有顺序的，那它还循环呢，这能说明什么？

【 在 freelikewind (像风一样自由) 的大作中提到: 】
: 你的意思简单说，就是一个球面S2，其球心在S1的圆周的轨迹。
: 但你这个表示对于t有先后次序，比如在t=0.1的S2在t=0的时间的后面么？
: 引入了t，就引入了对于t的方向。S2*S1果真如此么？
: 试想一个比它简单的常用例子S1*S1，就是一个donut的外面，
: 它的每一个过小圆圆心的截面在大圆圆周上并没有顺序。

再来看一下Klein bottle。

Klein bottle是一个S1纤维的纤维丛，基底还是S1。集合上就是S1×S1，但是拓扑上它不同于简单product。
https://en.wikipedia.org/wiki/Klein_bottle

整个还是一个二维manifold。就这么一个东西，它却不能嵌入三维空间，也就是不能在三维空间中想象。人家图都画出来了，还不能想象吗？说实话，我觉得所有的静态图都是错的。这个东西必须把它想象成一个运动。静态图实际上是一个运动的示意图。

这个示意图也很难想象，一个S1，它在空间中绕了一圈，但它的要点是，这个S1做了一次“翻转”，就好像手心翻到手背，注意只能翻转一次，翻转两次，手心又回到手心，这就不是Klein bottle了。

手心翻到手背，能形成一个周期运动吗？注意这里我们不在意手心还是手背，我们只在意形状。也就是说空间中的一个S1我们用什么刻画？一个圆心，一个半径，一个法向方向，而且这个法向方向不分正反。这是一个“全同”的概念，也就是任意两个S1，只要这三个参数相同，那么它们就全同。

有了全同的概念，再有了空间之外的维度，也就是时间，那描述Klein bottle也不用那么麻烦了，S1直接原地翻转就行了。考虑如下点集，

{(x,y,z,t) | x^2+y^2+z^2=1, x*sin2πt+z*cos2πt=0}

这就是一个xy平面的单位圆，以y轴为转轴翻转，匀速转动的一个运动。时间这个维度
的好处就是，它永远在空间之外，不同时刻的点集永远不会交叉，这保证了结果是一个manifold。把(x,y,z,t)和(x,y,z,t+1/2)算为同一个点，这个集合就是一个Klein
bottle。

所以动力学的方法怎么想象Klein bottle？就是一个圆在空间中沿着一个轴翻转，周而复始。

如果把(x,y,z,t)和(x,y,z,t+1)算为同一个点，这就回到一个S1×S1的简单product，
也叫torus，donut。

Klein bottle和电子的自旋有关。千丝万缕，但是我没有完全想清楚。

【 在 TheMatrix (TheMatrix) 的大作中提到: 】
: 接着这个写。
: 一个S2，在三维空间中做着圆周运动，当我们考察这个S2在时空中的轨迹时，我们抽象
: 出一个S2 X S1的纤维丛，以S2为纤维，以S1为基底。
: 但是仔细考察这个过程，我们之所以能这样做，不仅仅因为这是一个简单的周期运动，
: 还因为S2这个东西，绕一圈回来以后，和初始的S2“全同”。因为如果不全同的话，你
: 怎么能认为这是一个周期运动呢？
: 全同不全同，以什么为准？以我们刻画它的参数为准。比如这里的S2怎么刻画？就两个
: 参数，一个是球心坐标，一个是半径。两个S2在这两个参数上相同，那它们就全同。它
: 们只能全同。
: 半径相同球心坐标相同的两个S2一定全同吗？“仔细”看一下这个S2的表面，我们可以
: ...................