主丛上的联络

这篇本来是想写主丛上的联络，是最近复习微分几何的一个记录。但是还没写到主丛就累了。应该会往下再写点。也可能收场比较快。照本宣科我就不会再写了。但是能不能有一点自己的理解，这就不好说了。

纤维丛这个概念主要可以从两个角度去看它。一个是从基底的角度，一个是从纤维的角度。

从基底的角度，就是先有一个基底manifold，然后在基底manifold的每个点上，都有各自的纤维，这个纤维可以是向量空间，比如tangent space，或者是任何manifold。然
后把所有这些纤维放在一起，考虑这个大的空间，它本身也是一个manifold，一个更高维度的manifold，这就是纤维丛。

想象的话，一般是想象把纤维竖起来，生长在基底空间上。纤维丛很难想象，因为人类只能想象最多三维空间。基底二维，纤维一维，这就已经是三维了。或者基底一维，纤维二维，这也是三维。基本上就这么两种。再往上，就只能或者简化想象基底，或者简化想象纤维。

从纤维的角度看纤维丛的话，就是一大堆同样的纤维，可以是向量空间，可以是任意
manifold，它们叠在一起，但不是杂乱无章，而是以某种安排。这种安排可以叫参数，或者叫indexing，而indexing的空间是某个manifold，也就是基底manifold。

纤维丛的用例，我这篇只从一个角度看，目的是引出主丛上的联络这个概念。

纤维丛的用例，可以看成是对函数的一种扩展。比如基底manifold是M，纤维manifold
是F，一个函数 f:M->F，这是所有的点都取值在同一个纤维空间F。比如vector field
，空间中每个点上有一个向量，这些向量本身又可以看成是在同一个向量空间的，这就是f:R3->R3的一个函数。

但是，仔细想一下，每个向量其实有自己的“根点”，不同根点上的向量，概念上，可以并不属于同一个向量空间。甚而至于，在不同根点上的向量，它们有各自不同的约束，可以取值的空间并不完全相同，那这个值域空间设定为统一的F就成问题了。

在这种考虑下，纤维丛就出现了。用E代表基底为M纤维为F的总的纤维丛空间，f:M->F
被扩展为s:M->E，每个基底上的点的取值只能在各自上面的纤维中，每个纤维看起来都是F，但是是F的不同copy。这个扩展叫做section。也就是说，section是对函数的扩展。

下面几段我们先只看向量丛，目的是引出向量丛上的导数的概念。假设基底空间为M，
纤维为一个向量空间V，整个纤维丛为E。如果有一个函数f:M->V，可以很自然的考虑f
沿某个方向的导数，方向是M上某点的某个切方向。因为导数是函数值上的变化除以自
变量的变化，而函数值在同一空间V上，所以这个方向导数的定义是不成问题的。

现在f:M->V扩展成了向量丛上的section，s:M->E，每个点取值在自己的纤维向量空间
中，函数值的变化就成问题了，因为每个值不在同一空间，怎么讨论变化呢？所以函数扩展为向量丛上的section之后，方向导数这个概念成问题了。

除非，一个根点上的纤维向量空间，中的每一个向量，和另一个根点上的纤维向量空间中的一个向量，被认为相等，被建立“联络”，connection。有了这种联络，section
两个根点之上函数值的变化，就可以把一个根点上的函数值向量，通过“联络”拉回到另一个根点上，从而在同一空间中比较函数值的变化，section的方向导数的概念就不
成问题了。

联络的合理性，我再举一个例子，经济学中的“效用”。政府给每个人发1000美元补助，对不同的人“效用”不同。这里可以把美国三亿人看成一个基底manifold，二维吧，想象每个人在不同的地方。纤维，是每个人发的美元数量，的空间，这是一维，竖直的长在每个人的上面。这是一个纤维丛，是每个纤维都是一维向量空间的纤维丛，一维向量丛。每个人发1000美元，想象成每个人头顶上1000美元处的一点。每个人头顶上的
1000美元点，这是一个section。

但是每个人的1000美元的“效用”不同。如果讨论效用的话，我的1000美元可能要和你的1200美元相等，而和他的857美元相等。我头顶上的1000美元点，要和每个人头顶上
的不同的美元点连接起来，形成一张网面。这张网面，看成是在基底之上的和基底“平行”的一个面，弯曲的，叫联络面吧。我头上每个美元点，都有这么一个面，和其他人头上的不同的美元点连接起来。这是一系列联络面，它们之间互相不能交叉，都“平行”于基底，有点像微分方程的系列解。全部联络面放在一起，叫做一个“联络”。

联络的合理性可以继续讨论，但是这就差不多了。

有了“联络”，对section求方向导数几乎马上就出来了。这个导数叫covariant
derivative，协变导数。应该强调，这也是唯一概念正确的方向导数。因为没有“联络”，section的方向导数都无从谈起。还是用1000美元那个例子，你可能说，没有联络
，可以直接用美元数互相比较啊。但是一定会有人argue说：你这不合理，你这相当于
把你的1000美元等同于我的1000美元，....。仔细想这个argument，他实际上相当于说，你可以直接比较美元数，但是你实际上隐含地建立了一个联络，就是你的1000美元等于我的1000美元，等于所有人的1000美元。总之，先有联络，后有导数。

我先写到这吧。

接下来，一条路是直奔curvature，这也几乎是马上的了。大意是，section的方向导数还是一个section，那就可以再求方向导数，两个方向还可以不一样。那么方向换序是
否相等呢？这就是curvature的问题。

另一条路是联络的技术性问题。因为我们这里有一点简化，是联络面的问题，因为我们想象的基底空间是简单manifold，这基本上是联络的大意了，其他特殊情况可能要稍微变化一下。还有就是没说到主丛。主丛这个地方也有点technical，但是我想也是能科
普的。

纤维可不可以是个代数？
可以的化有什么好处？

没想到居然把纤维处理成一维

【 在 TheMatrix (TheMatrix) 的大作中提到: 】
: 这篇本来是想写主丛上的联络，是最近复习微分几何的一个记录。但是还没写到主丛就
: 累了。应该会往下再写点。也可能收场比较快。照本宣科我就不会再写了。但是能不能
: 有一点自己的理解，这就不好说了。
: 纤维丛这个概念主要可以从两个角度去看它。一个是从基底的角度，一个是从纤维的角
: 度。
: 从基底的角度，就是先有一个基底manifold，然后在基底manifold的每个点上，都有各
: 自的纤维，这个纤维可以是向量空间，比如tangent space，或者是任何manifold。然
: 后把所有这些纤维放在一起，考虑这个大的空间，它本身也是一个manifold，一个更高
: 维度的manifold，这就是纤维丛。
: 想象的话，一般是想象把纤维竖起来，生长在基底空间上。纤维丛很难想象，因为人类
: ...................

一维也是可以的吧， 比如描述电磁作用的U(1).

【 在 zeami (贼阿米) 的大作中提到: 】
: 没想到居然把纤维处理成一维

大概猜倒你们是在继续讨论，哥没跟着看贴
就说这贴作为单贴来看的话
基底上生长的纤维是想不到做为一维处理的
比如形象上来说它们已经都在基底的同一面了

【 在 wugrav (船长) 的大作中提到: 】
一维也是可以的吧， 比如描述电磁作用的U(1).

【 在 zeami (贼阿米) 的大作中提到: 】
: 没想到居然把纤维处理成一维

可能数学上比较平庸， 物理上还是有用的。

【 在 zeami (贼阿米) 的大作中提到: 】
: 大概猜倒你们是在继续讨论，哥没跟着看贴
: 就说这贴作为单贴来看的话
: 基底上生长的纤维是想不到做为一维处理的
: 比如形象上来说它们已经都在基底的同一面了
: 一维也是可以的吧， 比如描述电磁作用的U(1).

从纤维叠合的角度看纤维丛，那纤维当然是什么都可以。代数，你是指有乘法的vector space吧？那当然可以。好处肯定是有啊。比如说你研究系统状态，这个状态要用一个代数来刻画，也就是它的结构丰富，不仅有vector space structure，有拓扑结构，还有代数结构。进而你还要研究动力学系统，也就是这个系统随比如时间参数的演化，那就不是一个代数，而是一系列代数。这不是代数纤维丛吗？

【 在 wugrav (船长) 的大作中提到: 】
: 纤维可不可以是个代数？
: 可以的化有什么好处？

纤维是想象成竖着的。竖在基底之上。

【 在 zeami (贼阿米) 的大作中提到: 】
: 大概猜倒你们是在继续讨论，哥没跟着看贴
: 就说这贴作为单贴来看的话
: 基底上生长的纤维是想不到做为一维处理的
: 比如形象上来说它们已经都在基底的同一面了

主要是自己从来没有试图形象化吧
一个多维空间直接接受它是一个多维空间就得了
矩阵兄居然真的试着用形象化解释
很惊讶，真的能够形象化

【 在 wugrav (船长) 的大作中提到: 】
可能数学上比较平庸， 物理上还是有用的。

【 在 zeami (贼阿米) 的大作中提到: 】
: 大概猜倒你们是在继续讨论，哥没跟着看贴
: 就说这贴作为单贴来看的话
: 基底上生长的纤维是想不到做为一维处理的
: 比如形象上来说它们已经都在基底的同一面了
: 一维也是可以的吧， 比如描述电磁作用的U(1).

明白

【 在 TheMatrix (TheMatrix) 的大作中提到: 】
纤维是想象成竖着的。竖在基底之上。

【 在 zeami (贼阿米) 的大作中提到: 】
: 大概猜倒你们是在继续讨论，哥没跟着看贴
: 就说这贴作为单贴来看的话
: 基底上生长的纤维是想不到做为一维处理的
: 比如形象上来说它们已经都在基底的同一面了

频域傅立叶变换过后看值
哥跟一个机械制图的同事试图解释过，你换一个方向看
看到的结果就是一个高度，它就是一个一维的量
人白哥一眼走掉了

【 在 zeami (贼阿米) 的大作中提到: 】
明白

【 在 TheMatrix (TheMatrix) 的大作中提到: 】
纤维是想象成竖着的。竖在基底之上。

【 在 zeami (贼阿米) 的大作中提到: 】
: 大概猜倒你们是在继续讨论，哥没跟着看贴
: 就说这贴作为单贴来看的话
: 基底上生长的纤维是想不到做为一维处理的
: 比如形象上来说它们已经都在基底的同一面了

嗯， 是吧。
唉， 现在已经不搞这个了， 当年做物理的搞大统一理论的时候， 有点不爽那种引入
高维空间， 然后再用破缺和紧致化得到低维空间的方法， 琢磨用代数的方法理解标准模型的三个内空间， 也就是把SU(3)xSU(2)xU(1)对应的空间看成狄拉克代数的三维二
维和一维表示， 这样大统一的数学结构就是时空流形上的代数纤维。 后来啃不动，
也没找到搞这个饭碗， 就放弃了。

【 在 TheMatrix (TheMatrix) 的大作中提到: 】
: 从纤维叠合的角度看纤维丛，那纤维当然是什么都可以。代数，你是指有乘法的
vector
: space吧？那当然可以。好处肯定是有啊。比如说你研究系统状态，这个状态要用一个
: 代数来刻画，也就是它的结构丰富，不仅有vector space structure，有拓扑结构，还
: 有代数结构。进而你还要研究动力学系统，也就是这个系统随比如时间参数的演化，那
: 就不是一个代数，而是一系列代数。这不是代数纤维丛吗？

先写了curvature。好像有点罗嗦，感觉应该用不了这么一大篇。想趁热再写一下主丛
上的联络，这贴就结束了。

向量丛上有了“联络”就可以对一个section求方向导数了，也就是covariant
derivative。

向量丛上的section又叫vector field。基底manifold每个点上有个值，这叫field，每个值是一个vector，所以叫vector field。对一个向量丛vector field求方向导数，方向是基底manifold的一个tangent vector，得到的是向量丛基底该点之上的另一个
vector。

这里面有三个vector，一个是基底tangent vector，一个是被求方向导数的那个vector field在该点的vector，一个是求完方向导数后得到的vector。它们的维度可以不同，tangent vector的维度就是基底manifold的维度，后面两个vector的维度是向量丛
fiber vector space的维度。求方向导数这个操作，对于基底tangent vector，也就是方向vector，是一个线性操作。但是对于向量丛上那两个向量来说不是线性的。显然。因为这是一个导数，它和周围点的向量有关。

还可以这么看，对于一个基底tangent vector，方向导数把向量丛上的一个向量变成另一个向量。也就是求方向导数这个操作相当于一个函数，把一个基底tangent vector，取值为一个线性变换，该线性变换把向量丛上的一个向量变成另一个向量。

以上是相当于在一个点求一个方向的方向导数。如果允许点和方向都变化的话，那就不是一个tangent vector了，而是一个tangent vector field。这样求方向导数的话，可以叫沿着一个tangent vector field，求向量丛上的一个vector field的方向导数。得到的是什么？是向量丛上的另一个vector field。

用一点符号吧。用D代表covariant derivative，也就是前面说的方向导数。它需要一
个方向，这个方向可以是基底manifold上的一个tangent vector，也可以是基底
manifold上的一个tangent vector field。考虑tangent vector field吧，用X，Y，Z
等表示。它还需要一个被求方向导数的一个向量丛上的vector field。向量丛上的
vector field，用R，S，T等表示。那么covariant derivative就是D(X): R->S。

求完covariant derivative，向量丛上的一个vector field变成了另一个vector field，那就可以再求covariant derivative，两次的方向还可以不同。比如D(X)(D(Y)(S))
，简写成D(X)D(Y)S。还可以换序，求D(Y)D(X)S。它们相等吗？也就是D(X)D(Y)-D(Y)D(X)=?。在欧几里德空间它们也不相等，因为我们这里的X和Y是tangent vector field
，不是常向量。在欧几里德空间它们的关系是这样的：D(X)D(Y)-D(Y)D(X)=D([X,Y])。其中[X,Y]还是一个tangent vector field，叫做Lie bracket，又等于Lie derivative L(X)Y，这个先不说它。总之，D(X)D(Y)-D(Y)D(X)=D([X,Y])在欧几里德空间就代表了求方向导数可换序。那么D(X)D(Y)-D(Y)D(X)-D([X,Y])这个量就衡量一个联络它偏离欧几里德空间中的联络的程度。这就是curvature。

以上都相当于在一个trivialization下考虑问题，就是纤维丛相当于基底和纤维的简单product。如果考虑非简单product的情况，用主丛说明可能比较整洁。不是说更清楚，应该说是结果都合在一起，比较整洁。

【 在 TheMatrix (TheMatrix) 的大作中提到: 】
: 这篇本来是想写主丛上的联络，是最近复习微分几何的一个记录。但是还没写到主丛就
: 累了。应该会往下再写点。也可能收场比较快。照本宣科我就不会再写了。但是能不能
: 有一点自己的理解，这就不好说了。
: 纤维丛这个概念主要可以从两个角度去看它。一个是从基底的角度，一个是从纤维的角
: 度。
: 从基底的角度，就是先有一个基底manifold，然后在基底manifold的每个点上，都有各
: 自的纤维，这个纤维可以是向量空间，比如tangent space，或者是任何manifold。然
: 后把所有这些纤维放在一起，考虑这个大的空间，它本身也是一个manifold，一个更高
: 维度的manifold，这就是纤维丛。
: 想象的话，一般是想象把纤维竖起来，生长在基底空间上。纤维丛很难想象，因为人类
: ...................

纤维从在数学上是怎么引出来的，跟规范场无关吧？

【 在 TheMatrix (TheMatrix) 的大作中提到: 】
: 这篇本来是想写主丛上的联络，是最近复习微分几何的一个记录。但是还没写到主丛就
: 累了。应该会往下再写点。也可能收场比较快。照本宣科我就不会再写了。但是能不能
: 有一点自己的理解，这就不好说了。
: 纤维丛这个概念主要可以从两个角度去看它。一个是从基底的角度，一个是从纤维的角
: 度。
: 从基底的角度，就是先有一个基底manifold，然后在基底manifold的每个点上，都有各
: 自的纤维，这个纤维可以是向量空间，比如tangent space，或者是任何manifold。然
: 后把所有这些纤维放在一起，考虑这个大的空间，它本身也是一个manifold，一个更高
: 维度的manifold，这就是纤维丛。
: 想象的话，一般是想象把纤维竖起来，生长在基底空间上。纤维丛很难想象，因为人类
: ...................

一个曲面上每一点带一个局部坐标架，就自然的带来纤维从的概念了。

【 在 Caravel (克拉维尔) 的大作中提到: 】
: 纤维从在数学上是怎么引出来的，跟规范场无关吧？

从向量丛上的联络的方法来看，完全可以在任意的纤维丛上定义联络。当然，定义完联络，求方向导数还是只能在向量丛上进行，因为只有向量丛上两个同根点的向量才能比较大小。任意纤维丛两个点（假设在同一纤维上）怎么比较大小？当然如果你能定义一种合理的比较方法，那也可以。

上一篇讨论的是，纤维丛作为两个manifold（基底manifold和纤维manifold）的简单
product的情况下，联络，covariant derivative，以及curvature的定义。纤维丛还可以不是简单product，而是几片简单product的粘合。前面这些概念也要粘合在一起，给出一个在各个碎片中吻合的定义。这用主丛说明可能比较整洁。

从纤维叠合来看纤维丛的话，它不是杂乱无章的叠合，而是有很强的限制，局部看它完全是平庸的，这就是local trivialization，也就是简单product。但即使是局部看，
也已经可以想象，它已经开始有一点扭曲，沿着一个参数，越发展它扭曲越大（对最开始发展的那个纤维来说）。等全部发展完成后，它不再等于一个简单product了。

沿着参数发展，这里面隐含了动力学的观点。我觉得这也是一个很好的视角。

一个点的纤维发展到另一个点的纤维，其限制是什么呢？最宽松的限制，是
diffeomorphism。一个纤维和另一个纤维，必须得一一对应，还得连续，还得可导。也就是要考虑一个标准纤维到自己的automorphism group。这个group已经非常非常大了
。应该可以满足所有的需求。

但是一般用不到那么大。如果纤维是vector space的话，那很自然要求纤维之间是
linear transformation。如果纤维是circle的话，那就要求纤维之间是U(1)
transformation。这都是纤维automorphism group的子群。更多的时候比这还小。比如要求是SO transformation。纤维上有更多的结构就可以要求有更多限制的变换方式。

限制纤维之间变换的群，叫structure group。一般是一个李群。它不唯一。有一个最
严格的限制，也就是最小的群。但是放大它是可以的。这个李群也是一个manifold，把它作为一个纤维，按照原先纤维丛的发展方式发展出去，这样得到的纤维丛，叫做主丛。显然，这是一种特殊的纤维丛。

也可以反过来看，任意一个李群G，任意一个基底manifold M，以G为纤维，以M为基底
的纤维丛，都叫主丛。再给一个任意fiber F，这个fiber是一个G能够作用到的fiber，（G就是这么出来的，因为我们现在是反过来看）。通过这个主丛和这个fiber F的耦合，可以生成一个fiber为F的纤维丛。而且任何一个纤维丛都可以以这种方式生成出来。所以可以说，主丛中包含了一个纤维丛生成的信息。也就是说主丛中纤维（李群G）的
发展扭合的方式，和原先纤维丛是一样的。

我们可以讨论任意纤维丛上的联络，也就可以讨论主丛上的联络。而讨论了主丛上的联络，还可以以耦合的方式发展到任意纤维丛上的联络。

主丛上的联络，按前面任意纤维丛上的联络的概念，就是每一点上有一个“平行”于基底manifold的联络面。这是简单product的情况，也可以说是local trivialization的
情况。这个情况在考虑主丛整体的时候会遇到什么困难呢？来我们看一下联络面。一个联络面也是一个section，一个从manifold到主丛纤维上的一个section。而一个
section是一个函数的扩展，它存在着函数的局限性，也就是它不允许“多值函数”，
而主丛整个空间上的联络，有的时候恰恰是由多值函数定义的。

来看一个例子，一个圆柱面，把它看成一个一维的纤维丛，坐落在一个圆的基底上。想象一个螺旋线，在圆柱面上看，它是一个连续光滑的曲线，但是作为基底圆上的一个
section（函数），这是一个多值函数。也就是说它作为一个section是有问题的。但是它可以给出一个联络。这个联络在各处局部看都是成立的，而且之间还是和谐的。

这就是以联络面的方式局部定义联络，再上升到全局时会遇到的困难。圆柱面这个情况，我们还可以绕过困难，给出一种合法的section同时也是一个合法的联络。但是在主
丛的时候，一个非简单主丛，它必定会遇到这种多值的情况，是绕不过去的。

解决的方式是，不在基底manifold上看section，而在主丛整个上看问题。相当于不是
在函数上看问题，而是在函数的graph上看问题。从graph上看，这是一个非常合法的函数，什么上的函数？主丛上的函数，这就差不多了。但是，再变化一点，是主丛上的
tangent bundle上的函数。也就是每一个主丛上的tangent vector，都给出一个它是否平行于该处联络面的信息，如果平行了，那么主丛上通过该tangent vector的一条线不就在联络面上了吗，各个方向的线不就把该点处的联络面画出来了吗？

主丛上的一个tangent vector，怎么给出它是否平行于该处联络面？通过给出在主丛纤维方向的投影。在纤维方向投影为0，那就是平行于该处联络面。主丛纤维正是李群G。纤维方向，也就是纤维tangent方向，正是李群G的Lie algebra。所以主丛上的联络，
变成了主丛tangent bundle上的(Lie algebra)-valued一个函数，又叫一个
differential 1-form。

联络的给出，从基底manifold上的一个section，上升到主丛tangent bundle上一个函
数，局部上看应该是等价的。不过tangent bundle的方法有一定冗余性，加一个
equivariant条件挤出冗余性。

就这些了。

【 在 TheMatrix (TheMatrix) 的大作中提到: 】
: 这篇本来是想写主丛上的联络，是最近复习微分几何的一个记录。但是还没写到主丛就
: 累了。应该会往下再写点。也可能收场比较快。照本宣科我就不会再写了。但是能不能
: 有一点自己的理解，这就不好说了。
: 纤维丛这个概念主要可以从两个角度去看它。一个是从基底的角度，一个是从纤维的角
: 度。
: 从基底的角度，就是先有一个基底manifold，然后在基底manifold的每个点上，都有各
: 自的纤维，这个纤维可以是向量空间，比如tangent space，或者是任何manifold。然
: 后把所有这些纤维放在一起，考虑这个大的空间，它本身也是一个manifold，一个更高
: 维度的manifold，这就是纤维丛。
: 想象的话，一般是想象把纤维竖起来，生长在基底空间上。纤维丛很难想象，因为人类
: ...................

你学这玩意有什么用？亏你还去研究breadth first算法。知道breadth first算法的问题？如果早期剪掉了看起来不可能，但其实可能的道路，选择了看起来最好，但是却是错的道路就真要一条路走到黑吗？

你研究的这什么纤维丛，什么流形，都来自一个根节点：波尔的能级理论。它真是对的么？在出现这么多匪夷所思的结果后，不值得去重新考虑它的真实性？

你是看了《天顶星门》还执迷不悟的。别的没看过的，建议看一看。

没用的玩意儿容易打发时间

【 在 wallow (天顶✨门) 的大作中提到: 】
: 你学这玩意有什么用？亏你还去研究breadth first算法。知道breadth first算法的问
: 题？如果早期剪掉了看起来不可能，但其实可能的道路，选择了看起来最好，但是却是
: 错的道路就真要一条路走到黑吗？
: 你研究的这什么纤维丛，什么流形，都来自一个根节点：波尔的能级理论。它真是对的
: 么？在出现这么多匪夷所思的结果后，不值得去重新考虑它的真实性？
: 你是看了《天顶星门》还执迷不悟的。别的没看过的，建议看一看。

嗯，对。应该是Cartan那个年代发展出来的吧。

【 在 rgg (rgg) 的大作中提到: 】
: 一个曲面上每一点带一个局部坐标架，就自然的带来纤维从的概念了。

你说的原则上当然没错，但是每个人触碰的点不一样，直指心灵的地方也不同。我去研究它，肯定是认为这个地方能给我带来突破。这能理解吧？

【 在 wallow (天顶78门) 的大作中提到: 】
: 你学这玩意有什么用？亏你还去研究breadth first算法。知道breadth first算法的问
: 题？如果早期剪掉了看起来不可能，但其实可能的道路，选择了看起来最好，但是却是
: 错的道路就真要一条路走到黑吗？
: 你研究的这什么纤维丛，什么流形，都来自一个根节点：波尔的能级理论。它真是对的
: 么？在出现这么多匪夷所思的结果后，不值得去重新考虑它的真实性？
: 你是看了《天顶星门》还执迷不悟的。别的没看过的，建议看一看。

解释一下这个在物理上的应用？

应该说举两个例

【 在 wangyangming (灭明功臣) 的大作中提到: 】
: 解释一下这个在物理上的应用？

谢谢

[在 zeami (贼阿米) 的大作中提到：]
:应该说举两个例
: 我行四方 以日以年

你这个认识是错误的

fiber bundle是关于相互作用的理论，与量子化无关，可以是纯经典理论，比如经典引力，经典电磁场。

【 在 wallow (天顶✨门) 的大作中提到: 】
: 你研究的这什么纤维丛，什么流形，都来自一个根节点：波尔的能级理论。它真是对的
: 么？在出现这么多匪夷所思的结果后，不值得去重新考虑它的真实性？

弃婴讲讲怎么用纤维丛去解释引力啊这些

[在 furoci (伊千枝) 的大作中提到：]
:你这个认识是错误的
:fiber bundle是关于相互作用的理论，与量子化无关，可以是纯经典理论，比如经典
引力，经典电磁场。

时空流形的切空间的联络，曲率就是引力理论。时空流形每点加个u(1)的纤维从，就是电磁理论。

【 在 wangyangming(灭明功臣) 的大作中提到: 】

: 弃婴讲讲怎么用纤维丛去解释引力啊这些

: [在 furoci (伊千枝) 的大作中提到：]

: :你这个认识是错误的

: :fiber bundle是关于相互作用的理论，与量子化无关，可以是纯经典理论，比
如经典

: 引力，经典电磁场。