李群与量子力学对应的简单问题

F
FoxMe
楼主 (未名空间)

没有学过量子力学,不知道数学概念和物理概念的联系,找了几本书也不知所云(基本上都是抄了些量子和李群)。以电子自旋为例:

李群(比如SU(2))的物理含义是什么?
李代数(比如su(2))的物理含义是什么?
李挎号恰好是commutator,物理含义是什么?
从李代数到李群的指数映射exp()的物理含义是什么?
李群作用在李代数上的物理含义又是什么?

就是说,物理上它们代表了什么?
TheMatrix

等几个学物理的回答吧。

【 在 FoxMe (FoxMe) 的大作中提到: 】
: 没有学过量子力学,不知道数学概念和物理概念的联系,找了几本书也不知所云(基本
: 上都是抄了些量子和李群)。以电子自旋为例:
:
: 李群(比如SU(2))的物理含义是什么?
: 李代数(比如su(2))的物理含义是什么?
: 李挎号恰好是commutator,物理含义是什么?
: 从李代数到李群的指数映射exp()的物理含义是什么?
: 李群作用在李代数上的物理含义又是什么?
:
: 就是说,物理上它们代表了什么?
furoci

对李群求导,就得到李代数,李代数就是李群的切空间
参阅Baker–Campbell–Hausdorff formula:http://en.wikipedia.org/wiki/Baker%E2%80%93Campbell%E2%80%93Hausdorff_formula
这个公式决定了如何从指数形式的李群exp()得到李代数[,]

对一个特点空间的坐标x,p(动量空间),如果满足李代数[x,p]=i,
则这个空间的体积元(能量)是量子化的。目前只认为动量空间
有[x,p]=i,坐标空间完全没有[x,y]=i,有许多人认为坐标空间
也有量子化,搞了许多玩意,比如loop quantum gravity.

如果动量空间坐标x,p里面的线性动量p换成角动量L,则有
x,L张成的动量空间的量子化,由于L跟p多了个旋转量,所以
出现了su(2)这个旋转量,这就是量子力学里面出现su(2)的
根本原因。

对一个空间中的manifold而言,lie algebra与李导数相联系,
是对应manifold曲率的数学表达,从物理学角度看,曲率代表
着相互作用,或者说代表着力,所以这里李代数又代表着力。

总之,

1.李代数对坐标系来说代表着量子化,对manifold来说代表着力。
2.量子力学里面的su(2)是x,p张成的动量空间变换成x,L张成的
动量空间而得到的,而场论里面的su(2)是从manifold的曲率
获得的,是完全两回事情。量子力学里面只有su(2)没有别的
因为从p到L只能得到su(2).

参阅
Geometry, topology, and physics:http://library.lol/main/D8A229B3A90C803764004B69CBB457F6

【 在 FoxMe (FoxMe) 的大作中提到: 】
: 没有学过量子力学,不知道数学概念和物理概念的联系,找了几本书也不知所云(基本
: 上都是抄了些量子和李群)。以电子自旋为例:
: 李群(比如SU(2))的物理含义是什么?
: 李代数(比如su(2))的物理含义是什么?
: 李挎号恰好是commutator,物理含义是什么?
: 从李代数到李群的指数映射exp()的物理含义是什么?
: 李群作用在李代数上的物理含义又是什么?
: 就是说,物理上它们代表了什么?

Amorphou

很棒的解释。

对于初学者,还需要读几个月书才也许能体会到吧。

【 在 furoci(伊千枝) 的大作中提到: 】
<br>: 对李群求导,就得到李代数,李代数就是李群的切空间
<br>: 参阅Baker–Campbell–Hausdorff formula:
<br>: http://en.wikipedia.org/wiki/Baker–Campbell–Hausdorff_formula
<br>: 这个公式决定了如何从指数形式的李群exp()得到李代数[,]
<br>: 对一个特点空间的坐标x,p(动量空间),如果满足李代数[x,p]=i,则这个
空间的
体积元
<br>: (能量)是量子化的。目前只认为有动量空间有[x,p]=i,坐标空间没有[x,y]=i
,有许
<br>: 多人认为坐标空间也有量子化,搞了许多玩意,比如loop quantum
gravity.
<br>: 如果动量空间坐标x,p里面的线性动量p换成角动量L,则有x,L张成的动量空间的
量子化
<br>: ,由于L跟p多了个旋转量,所以出现了su(2)这个旋转量,这就是量子力
学里面
出现su(
<br>: 2)的根本原因。
: ...................
<br>

TheMatrix

SU(2),我说的是李群SU(2),在量子力学中的出现,我是这么理解的:

首先,传统薛定谔方程中的波函数,是一个复数值的函数,值域为C,它不应该有SU(2)对称性,它只能有U(1)对称性。也就是一个波函数,它乘以一个复相位,波函数的物理意义不变。

在Pauli和Dirac方程中,由于波函数变成了C2和C4,可以有SU(2)对称性。其物理意义
是,一个C2值的波函数,乘以一个SU(2)的作用,其物理意义不变。

以上都是整体对称性,也就是说乘以的这个U(1)或SU(2)的作用,不随空间点x变化,是任意常量。

然后到了量子场论中,场函数仍然是一个C,C2,或者C4的函数,形式上它和薛定谔方
程,Pauli ,Dirac方程中的波函数一样,但是物理意义不同。这个时候我们不但可以
要求一个U(1)或SU(2)的整体对称性,还可以要求一个U(1)或SU(2)的局部对称性。这里是一个跳跃,并不是推导出来的。

要求一个U(1)或SU(2)的局部对称性是什么意思呢?就是这个场函数乘以一个随空间点x变化的U(1)或SU(2)作用,场函数的物理意义不变,或者说拉氏量协变。

波函数和场函数物理意义有什么区别呢?这也是一个跳跃,和要求局部对称性的跳跃是关联的,也就是说它不是一个能推理出来的东西,但它是可以类比出来的。

波函数的着眼点是系统状态,用传统物理多体问题来说就是每个物体的位置和速度,是高维相空间中的一点。当然量子力学中系统状态本身就是一个全空间的函数,波函数,而不是只有几个数,但是类比的话,它就相当于传统相空间中的点。

而场函数的着眼点是真实空间中的每一点,有点像流体力学中的流速场,它不着眼于跟踪每个粒子的位置和速度,而着眼于空间中的每一点,定点测量,哪个粒子到了这,就测它在这的速度。

【 在 furoci (伊千枝) 的大作中提到: 】
: 对李群求导,就得到李代数,李代数就是李群的切空间
: 参阅Baker–Campbell–Hausdorff formula:
: http://en.wikipedia.org/wiki/Baker%E2%80%93Campbell%E2%80%93Hausdorff_formula
: 这个公式决定了如何从指数形式的李群exp()得到李代数[,]
:
: 对一个特点空间的坐标x,p(动量空间),如果满足李代数[x,p]=i,
: 则这个空间的体积元(能量)是量子化的。目前只认为有动量空间
: 有[x,p]=i,坐标空间完全没有[x,y]=i,有许多人认为坐标空间
: 也有量子化,搞了许多玩意,比如loop quantum gravity.
:
: 如果动量空间坐标x,p里面的线性动量p换成角动量L,则有
: x,L张成的动量空间的量子化,由于L跟p多了个旋转量,所以
: 出现了su(2)这个旋转量,这就是量子力学里面出现su(2)的
: 根本原因。
:
: 对一个空间中的manifold而言,lie algebra与李导数相联系,
: 是对应manifold曲率的数学表达,从物理学角度看,曲率代表
: 着相互作用,或者说代表着力,所以这里李代数又代表着力。
:
: 总之,李代数对坐标系来说代表着量子化,对manifold来说代表着力。
:
: 参阅
: Geometry, topology, and physics:
: http://library.lol/main/D8A229B3A90C803764004B69CBB457F6
:
:
:
:
: 【 在 FoxMe (FoxMe) 的大作中提到: 】
: : 没有学过量子力学,不知道数学概念和物理概念的联系,找了几本书也不知所云(基本
: : 上都是抄了些量子和李群)。以电子自旋为例:
: : 李群(比如SU(2))的物理含义是什么?
: : 李代数(比如su(2))的物理含义是什么?
: : 李挎号恰好是commutator,物理含义是什么?
: : 从李代数到李群的指数映射exp()的物理含义是什么?
: : 李群作用在李代数上的物理含义又是什么?
: : 就是说,物理上它们代表了什么?
furoci

是角动量L引入的

至于Dirac方程,你都说了是spin引入的,所谓spin,也就是角动量L,角动量L与线动量P就差了个su(2)

总之本质上,是动量空间量子化条件[x,p]=i中,坐标p变换成L的结果

这也是说,量子力学里面只涉及su(2)李代数,不涉及任何其他的李代数。

【 在 TheMatrix (TheMatrix) 的大作中提到: 】
: SU(2),我说的是李群SU(2),在量子力学中的出现,我是这么理解的:
: 首先,传统薛定谔方程中的波函数,是一个复数值的函数,值域为C,它不应该有SU(2)
: 对称性,它只能有U(1)对称性。也就是一个波函数,它乘以一个复相位,波函数的物理
: 意义不变。
: 在Pauli和Dirac方程中,由于波函数变成了C2和C4,可以有SU(2)对称性。其物理意义
: 是,一个C2值的波函数,乘以一个SU(2)的作用,其物理意义不变。
: 以上都是整体对称性,也就是说乘以的这个U(1)或SU(2)的作用,不随空间点x变化,是
: 任意常量。
: 然后到了量子场论中,场函数仍然是一个C,C2,或者C4的函数,形式上它和薛定谔方
: 程,Pauli ,Dirac方程中的波函数一样,但是物理意义不同。这个时候我们不但可以
: ...................

b
btphy

李群:对应的是内稟空间的对称性。这个对称性可能和时间空间的结构有关,比如自旋SU(2)实际是空间旋转对称性SO(3)的覆盖群,扩展到洛伦兹群以后变成两个SU(2)群所
以出现左旋和右旋两种电子。这个对称性也可能完全和时空无关,比如强相互作用SU3
群,完全就是内稟空间的抽象概念。对称性在量子理论中重要是因为量子理论里物理体系的状态由一个抽象的希尔伯特空间里的矢量表示,这个希尔伯特空间必须尊重体系的对称性,这就直接决定了它必须是相关李群的某个表示,所以物理里所谓用到李群,大部分对候是用的群的表示理论。

李代数:李代数是李群的切空间,相当于无限微小的对称变换,等于是李群的微分,由于牛顿建立了用微分方法研究一切问题的门规,李代数实际在物理比李群用的多得多,对应也更直接。李代数对应的是态空间里的各种算符。如果李群对应的是时空对称性的话,李代数就对应的是沿时间或空间演化的算符,也就是动量,能量,角动量算符。

李括号:李括号对应李代数的交换算符,也直接对应物理里的交换算符。物理意义有很多,取决于原有对称性本身的意义,但归根结底和李括号的本意一样,就是一个切向量沿另一个切向量做无穷小对称变换的结果。比如动量和能量算符的对易子就是动量随时间的无穷小演化。

指数映照简单说就是把群元沿某个切向量方向的积分以后得到的结果,就是一个“大变换”,有物理意义,但因为一般很复杂所以实际用的不多,相当于研究微分容易,要积分总是很难。不过在形式公式的推导里经常用到,比如算符交换算符对应的是算符无穷小演化,但这都和数学里的用法一模一样。

【 在 FoxMe (FoxMe) 的大作中提到: 】
: 没有学过量子力学,不知道数学概念和物理概念的联系,找了几本书也不知所云(基本
: 上都是抄了些量子和李群)。以电子自旋为例:
: 李群(比如SU(2))的物理含义是什么?
: 李代数(比如su(2))的物理含义是什么?
: 李挎号恰好是commutator,物理含义是什么?
: 从李代数到李群的指数映射exp()的物理含义是什么?
: 李群作用在李代数上的

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b
btphy

自旋的产生是因为量子力学物理状态由态矢量表示,而态矢量是个抽象概念,不一定就是一个数,也可以是两个复数,三个复数,或任何一个抽象的希尔伯特空间里的矢量。唯一的限制条件是这个态空间必须尊重空间的旋转对称性,也就是物理公式不应该因为坐标系转动了一下就变样了。于是态空间只能是SO(3)的一个表示。态矢量可以是一个
标量也可以是一个矢量,也可以是任意高阶的张量,分别对应不同的整数自旋。

但量子力学又出现了一种新的可能,因为SO(3)是个复联通群,它有一个覆盖群是SU2,原本在经典力学里这没用,因为在SO(3)里转一圈可能对应到Su2里从1到-1,相当于坐
标系转一圈所有物理量变了符号,这不make sense,但量子力学里态矢量乘以任何复相位都不改变物理实质,所以可以接受,于是三维空间旋转对称性被推广到SU(2),态空
间实际可以是SU(2)的任意表示,所以就出现了1/2自旋。引入狭义相对论之后,空间转动对称性被推广到了时间空间统一的SO(3,1)洛伦兹群,这个群也有一个覆盖群SU(2)
xSU(2),所以单个的旋量变成了一对,就出现了狄拉克旋量。

【 在 TheMatrix (TheMatrix) 的大作中提到: 】
: SU(2),我说的是李群SU(2),在量子力学中的出现,我是这么理解的:
: 首先,传统薛定谔方程中的波函数,是一个复数值的函数,值域为C,它不应该有SU(2)
: 对称性,它只能有U(1)对称性。也就是一个波函数,它乘以一个复相位,波函数的物理
: 意义不变。
: 在Pauli和Dirac方程中,由于波函数变成了C2和C4,可以有SU(2)对称性。其物理意

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F
FoxMe

多谢各位的回答,看来万能的军版水平的确高(我在StackExchange找了好久没找到)。

毛塞顿开后,找到下面这本书看到半夜:

Quantum Theory, Groups and Representations: An Introductionhttps://www.math.columbia.edu/~woit/QM/qmbook.pdf

Chap. 7对电子自旋还有以下解释:

李群(比如SU(2))对应量子态的演化;
李代数(比如su(2))对应观测量(例如自旋),包括Hamiltonian;
李括号/commutator可用于Heisenberg picture中的薛定谔方程,也刻画了测不准原理;
李群作用在李代数上:Heisenberg picture中的观测量。李代数在李群作用下封闭。在计算机图形学中,用unit quaternion(即SU(2))来做(实空间)3维旋转,道理是一
样的。尽管看起来是大材小用,但是quaternion(4个实数)用起来比3x3实数矩阵更方便;
从李代数到李群的指数映射exp()可推出薛定谔方程。可能是事后诸葛亮。

见过薛定谔的孙子,还在研究量子(不过姓不相同)。

F
FoxMe

海森堡的李代数也有吧。这时Baker–Campbell–Hausdorff formula大大简化:

e^A e^B =e^{A+B+[A,B]/2}

【 在 furoci (伊千枝) 的大作中提到: 】
: 是角动量L引入的
: 至于Dirac方程,你都说了是spin引入的,所谓spin,也就是角动量L,角动量L与线动量
: P就差了个su(2)
: 总之本质上,是动量空间量子化条件[x,p]=i中,坐标p变换成L的结果
: 这也是说,量子力学里面只涉及su(2)李代数,不涉及任何其他的李代数。
: 2)

b
btphy

另外,量力力学和量子场论的区别是场论假设在任意一个时间空间点上都有一个希尔伯特空间,体系的希尔伯特空间是这无穷多个空间的积。这就出现了局域对称性和全局对称性的概念。全局对称性对应整体的坐标变换,所以对应于宇恒量,局域对称性对应的是从一个点到邻近点之间态空间的关联性,对应的就是度规,也就是规范场,描述相互作用。

【 在 TheMatrix (TheMatrix) 的大作中提到: 】
: SU(2),我说的是李群SU(2),在量子力学中的出现,我是这么理解的:
: 首先,传统薛定谔方程中的波函数,是一个复数值的函数,值域为C,它不应该有SU(2)
: 对称性,它只能有U(1)对称性。也就是一个波函数,它乘以一个复相位,波函数的物理
: 意义不变。
: 在Pauli和Dirac方程中,由于波函数变成了C2和C4,可以有SU(2)对称性。其物理意

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SnowDen

希尔伯特空间和李曼空间定义有什么不同?

【 在 btphy (btphy) 的大作中提到: 】
: 另外,量力力学和量子场论的区别是场论假设在任意一个时间空间点上都有一个希尔伯
: 特空间,体系的希尔伯特空间是这无穷多个空间的积。这就出现了局域对称性和全局对
: 称性的概念。全局对称性对应整体的坐标变换,所以对应于宇恒量,局域对称性对应的
: 是从一个点到邻近点之间态空间的关联性,对应的就是度规,也就是规范场,描述相互
: 作用。
: 2)
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SnowDen

这个manifold对应的是什么物理概念?

一个李曼流形,怎么用李群去定义描述?

【 在 furoci (伊千枝) 的大作中提到: 】
对一个空间中的manifold而言,lie algebra与李导数相联系,
是对应manifold曲率的数学表达,从物理学角度看,曲率代表
着相互作用,或者说代表着力,所以这里李代数又代表着力。

TheMatrix

我把我目前的理解用latex写了一下,因为这里用到函数的定义域和值域,符号写一下
更清楚。目前的理解是阶段性的,供自己记录。
TheMatrix

我写了一上午,和你的意思差不多。:)

每一点上都有一个希尔伯特空间,这样可以要求局域对称性,这倒是很方便。我想我也是这个意思。但是那么多个希尔伯特空间的积,这是有点太大了。

【 在 btphy (btphy) 的大作中提到: 】
: 另外,量力力学和量子场论的区别是场论假设在任意一个时间空间点上都有一个希尔伯
: 特空间,体系的希尔伯特空间是这无穷多个空间的积。这就出现了局域对称性和全局对
: 称性的概念。全局对称性对应整体的坐标变换,所以对应于宇恒量,局域对称性对应的
: 是从一个点到邻近点之间态空间的关联性,对应的就是度规,也就是规范场,描述相互
: 作用。
: 2)
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furoci

局域对称性不是量子力学的范畴,量子力学涉及到相互作用只有2个:

1.库伦相互作用1/r^2
2.电磁场和电子的耦合eA

而且这些都是人为外加的,不是自动产生的,量子力学也不解释为啥会出现这2个。

了解局域对称性,需要了解fiber bundle,用hilbert理解是不恰当的。

具体参见

part III
The Geometry of Physics: An Introductionhttp://library.lol/main/B18A6C646B75B26B043293D752C89F4D

这部分回答了你想知道的大部分问题。

【 在 TheMatrix (TheMatrix) 的大作中提到: 】
: 我写了一上午,和你的意思差不多。:)
: 每一点上都有一个希尔伯特空间,这样可以要求局域对称性,这倒是很方便。我想我也
: 是这个意思。但是那么多个希尔伯特空间的积,这是有点太大了。

TheMatrix

我这个好像有点问题。我mumble一下。

在C1 valued波函数的情况下,任何一个可观察量A,都和U(1)互易,也就是A(e^{it})=(e^{it})A。这个时候可以说U(1)是波函数的冗余性。

但是在C2 valued波函数的情况下,一个SU(2)变换T,即使是常量matrix,它也和A不互易,AT != TA。所以这个时候不能说SU(2)是波函数的冗余性。除非我们只讨论和SU(2)互易的可观察量,这可能相当于希尔伯特空间分解为direct sum,H=H1+H2,SU(2)和其他可观察量分别作用在H1和H2上。

SU(2)的确是spin-1/2的起源,因为SU(2)是Pauli matrix生成的,而Pauli matrix本征值为1/2,本征态是两个自旋状态,这个我之前有点糊涂了。

这样看来相当于剥去自旋,只考虑和自旋相互独立的可观察量。然后在场论中要求SU(2)的局域对称性,相当于在每一点都单独考虑自旋,剥离,再考虑其他的可观察量。

【 在 TheMatrix (TheMatrix) 的大作中提到: 】
: 我把我目前的理解用latex写了一下,因为这里用到函数的定义域和值域,符号写一下
: 更清楚。目前的理解是阶段性的,供自己记录。

TheMatrix

你这本书确实挺好。我也要看一下。

【 在 FoxMe (FoxMe) 的大作中提到: 】
: 多谢各位的回答,看来万能的军版水平的确高(我在StackExchange找了好久没找到
)。
: 毛塞顿开后,找到下面这本书看到半夜:
: Quantum Theory, Groups and Representations: An Introduction
: https://www.math.columbia.edu/~woit/QM/qmbook.pdf
: Chap. 7对电子自旋还有以下解释:
: 李群(比如SU(2))对应量子态的演化;
: 李代数(比如su(2))对应观测量(例如自旋),包括Hamiltonian;
: 李括号/commutator可用于Heisenberg picture中的薛定谔方程,也刻画了测不准原
理;
: 李群作用在李代数上:Heisenberg picture中的观测量。李代数在李群作用下封闭。在
: 计算机图形学中,用unit quaternion(即SU(2))来做(实空间)3维旋转,道理是一
: ...................

TheMatrix

谢谢。你说的量子力学不包括量子场论吧。

【 在 furoci (伊千枝) 的大作中提到: 】
: 局域对称性不是量子力学的范畴,量子力学涉及到相互作用只有2个:
: 1.库伦相互作用1/r^2
: 2.电磁场和电子的耦合eA
: 而且这些都是人为外加的,不是自动产生的,量子力学也不解释为啥会出现这2个。
: 了解局域对称性,需要了解fiber bundle,用hilbert理解是不恰当的。
: 具体参见
: part III
: The Geometry of Physics: An Introduction
: http://library.lol/main/B18A6C646B75B26B043293D752C89F4D
: 这部分回答了你想知道的大部分问题。

furoci

所有物理理论里面,spin这玩意都是人为强加进去的,无一例外

比如,量子力学里面通过引入L算符引入spin的su(2)

量子场论里面更干脆,不一样spin的标量场,矢量场,旋量场完全是条块分割,完全不同的lagrangian人为强加。

当然了,关于相互作用的起源倒比较自然(虽然又用到su(2),但是这是2回事情).

对于你说的什么无限个希尔伯特,建议看看fiber bundle和chern class

【 在 TheMatrix (TheMatrix) 的大作中提到: 】
: 谢谢。你说的量子力学不包括量子场论吧。

l
leiya

感谢各位有益的讨论。我也在考虑这些问题。
随便说说吧,不一定能说清,或者说得对。
我在讨论薛定谔方程的全局性的时候,注意到所有数学描述都是全局的。即使对微分方程这样看起来只涉及局部性质的描述,由于边条件的要求,实际上仍然是全局的。
我把波函数解释成能量密度,而不是概率密度,更接近场论。
量子场论虽然有全局和局部描述,但是相互作用,或者说变化,是传播的。场论中的传播子,我理解是粒子的传播。
我觉得不应该有粒子,就是场量或者流就可以了。这些场量或者流的稳定(复杂)模式构成粒子。
场论是基于(量子化)粒子的描述。其合理性当然来自于实验上只能从粒子出发,或者只能观察到粒子。但是如果粒子,就像我提出的那样,跟别的量子化一样,只是更深物理作用的表现形式(emergence),那么粒子描述不就是一个笨拙的工具吗?是不是这就
是场论计算无法进行下去的原因呢?
b
btphy

是,粒子表象只是场量波动的一种表示,相当于傅立叶变换,不是所有量子场论都有粒子表象的,但有粒子表象的比较直观也和观测到微观世界更吻合。没有的比较难懂。

【 在 leiya (雷奕安) 的大作中提到: 】
: 感谢各位有益的讨论。我也在考虑这些问题。
: 随便说说吧,不一定能说清,或者说得对。
: 我在讨论薛定谔方程的全局性的时候,注意到所有数学描述都是全局的。即使对微分方
: 程这样看起来只涉及局部性质的描述,由于边条件的要求,实际上仍然是全局的。
: 我把波函数解释成能量密度,而不是概率密度,更接近场论。
: 量子场

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b
btphy

没错,是太大了,所以是个无穷维空间,而且这个无穷还是连续统的无穷,数学上其实是很有问题的。严格来说量子场论的数学基础不严谨,实际操作时会遇到发散问题,所以需要重整化,目前来说只有个别特殊的integrable模型可以说数学上是严格的,其他都只有物理学家知道怎么操作,泛函积分形式也只是一种表述形式,并没有严谨的数学定义。这是量子场论目前未解的理论问题。

【 在 TheMatrix (TheMatrix) 的大作中提到: 】
: 我写了一上午,和你的意思差不多。:)
: 每一点上都有一个希尔伯特空间,这样可以要求局域对称性,这倒是很方便。我想我也
: 是这个意思。但是那么多个希尔伯特空间的积,这是有点太大了。

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b
btphy

希尔伯特空间赋予内积的线性空间,李曼空间是赋予了度规的空间。李曼空间也有长度的定义,但不一定是线性的,比如球面。李曼空间的切空间就是一个希尔伯特空间。

【 在 SnowDen (叔就是陈光诚) 的大作中提到: 】
: 希尔伯特空间和李曼空间定义有什么不同?

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Amorphou

属实。

For TheMatrix:

在量子力学里,坐标x 是算符,对应的本征矢形成一个表象。不存在无限个希尔伯特空间。

只在有考虑一些特殊的情形,比如对于开放系统,有一些缓变参数,例如系统在外场中的整体位置R,可以引入这些参数来描述系统的绝热演化,这时

|psi(R) >, R in S

这时你不能写 可以写< x | psi(R)>. R不再是动力学变量,而是参数。

就有局域的希尔伯特空间H(R), 形成纤维丛,可以定义曲率,还有陈省身的许多数。这些东西furoci推荐的Nakahara讲的很仔细,我推荐的John Baez也讨论。

【 在 furoci (伊千枝) 的大作中提到: 】

: 对于你说的什么无限个希尔伯特,建议看看fiber bundle和chern class

furoci



GAUGE FIELDS, KNOTS AND GRAVITY (Knots and Everything)
http://www.amazon.com/dp/9810220340/

这是一本极快速入门的书,从最简单的一直讲到chern-simons theory,涉及了几乎所有topic

很多年前听过john Baez还得意洋洋地吹嘘自己写了这么出名的一本书

【 在 Amorphou (阿毛) 的大作中提到: 】
: 属实。
: For TheMatrix:
: 在量子力学里,坐标x 是算符,对应的本征矢形成一个表象。不存在无限个希尔伯特空
: 间。
: 只在有考虑一些特殊的情形,比如对于开放系统,有一些缓变参数,例如系统在外场中
: 的整体位置R,可以引入这些参数来描述系统的绝热演化,这时
: |psi(R) >, R in S
: 这时你不能写 可以写< x | psi(R)>. R不再是动力学变量,而是参数。
: 就有局域的希尔伯特空间H(R), 形成纤维丛,可以定义曲率,还有陈省身的许多数。这
: 些东西furoci推荐的Nakahara讲的很仔细,我推荐的John Baez也讨论。

TheMatrix

谢谢。你推荐的书我有空会看。

我这里说的是量子场论。operator valued field。我前面说的传统场论,二次量子化
我没说,但是目标是量子场论。因为只有场论里才讨论局域对称性。

比如说时空的每一点都有一个operator,这是量子场论吧?那么每一点的operator
operate on什么呢?是同一个Hilbert空间吗?或者是每一点各自的希尔伯特空间?这
可以叫Hilbert bundle。

不一定make sense,随便说一下。

【 在 Amorphou (阿毛) 的大作中提到: 】
: 属实。
: For TheMatrix:
: 在量子力学里,坐标x 是算符,对应的本征矢形成一个表象。不存在无限个希尔伯特空
: 间。
: 只在有考虑一些特殊的情形,比如对于开放系统,有一些缓变参数,例如系统在外场中
: 的整体位置R,可以引入这些参数来描述系统的绝热演化,这时
: |psi(R) >, R in S
: 这时你不能写 可以写< x | psi(R)>. R不再是动力学变量,而是参数。
: 就有局域的希尔伯特空间H(R), 形成纤维丛,可以定义曲率,还有陈省身的许多数。这
: 些东西furoci推荐的Nakahara讲的很仔细,我推荐的John Baez也讨论。

TheMatrix

谢谢。

【 在 furoci (伊千枝) 的大作中提到: 】
: 对
: GAUGE FIELDS, KNOTS AND GRAVITY (Knots and Everything)
: http://www.amazon.com/dp/9810220340/
: 这是一本极快速入门的书,从最简单的一直讲到chern-simons theory,涉及了几乎所有
: topic
: 很多年前听过john Baez还得意洋洋地吹嘘自己写了这么出名的一本书

C
Caravel

你们搞数学的就是把定义理得很清楚。我的理解是波函数是单粒子的,所以是一个
global的spinor,spin-1/2的spin vector Sx, Sy, Sz组成的算子空间是作用在单一的spinor上面。spinor描述的是粒子除却空间自由度之外的一个内部空间自由度。所以波函数是spinor 乘以 空间波函数。 而对于场论来说,可以描述无穷多的粒子,所以SU(2)变成了local的对称性。

【 在 TheMatrix (TheMatrix) 的大作中提到: 】
: SU(2),我说的是李群SU(2),在量子力学中的出现,我是这么理解的:
: 首先,传统薛定谔方程中的波函数,是一个复数值的函数,值域为C,它不应该有SU(2)
: 对称性,它只能有U(1)对称性。也就是一个波函数,它乘以一个复相位,波函数的物理
: 意义不变。
: 在Pauli和Dirac方程中,由于波函数变成了C2和C4,可以有SU(2)对称性。其物理意义
: 是,一个C2值的波函数,乘以一个SU(2)的作用,其物理意义不变。
: 以上都是整体对称性,也就是说乘以的这个U(1)或SU(2)的作用,不随空间点x变化,是
: 任意常量。
: 然后到了量子场论中,场函数仍然是一个C,C2,或者C4的函数,形式上它和薛定谔方
: 程,Pauli ,Dirac方程中的波函数一样,但是物理意义不同。这个时候我们不但可以
: ...................

kx

雷老师好,我是隔壁学术版友民主投票选出来的二席科学代表,特此向雷老师讨教则个!

据我文学史博导所说,粒子只是真空微扰时的激发而已,从这个角度看对我们来说粒子这个描述能有用才是奇迹。有用这个印象是因为没有用或者解不出来的情况都被选择性的无视了吗?

为什么会觉得微扰激发没什么用?假设有个函数,除了函数极值附近的二阶导数外,什么都不知道,自然会觉得我对这个函数的总体性质还是一无所知,

粒子就像是那个二阶导

现在这个函数在无穷维(或者很多维,要多少有多少)的自变量上面,往哪个方向导一导,就出来个二阶导,对应就是很多个粒子

就算我知道了所有二阶导,

相互作用可以看成是三阶导

或者四阶,不能再多了

就算我知道了所有二阶,三阶,四阶导,这函数的总体性质我还是不清楚牙

所以鄙民科想请教雷老师这个类比对不对。bow!

【 在 leiya (雷奕安) 的大作中提到: 】
: 感谢各位有益的讨论。我也在考虑这些问题。
: 随便说说吧,不一定能说清,或者说得对。
: 我在讨论薛定谔方程的全局性的时候,注意到所有数学描述都是全局的。即使对微分方
: 程这样看起来只涉及局部性质的描述,由于边条件的要求,实际上仍然是全局的。
: 我把波函数解释成能量密度,而不是概率密度,更接近场论。
: 量子场论虽然有全局和局部描述,但是相互作用,或者说变化,是传播的。场论中的传
: 播子,我理解是粒子的传播。
: 我觉得不应该有粒子,就是场量或者流就可以了。这些场量或者流的稳定(复杂)模式
: 构成粒子。
: 场论是基于(量子化)粒子的描述。其合理性当然来自于实验上只能从粒子出发,或者
: ...................

TheMatrix


我主要是物理理解上的困惑,因为是自学的,这些知识理解缺乏同辈交流confirm。你
们的物理理解都比我强很多光年。我其实不是太在意数学的严格性,只是我没有东西抓住,只能抠数学,这比同辈交流confirm效率差远了。

你的理解显然是对的。我现在也渐渐接近这种理解。也就是spin是一个独立的属性,它和什么都无关。所以波函数只研究除spin之外的其他可观察量。如果一定要把spin和其他可观察量揉在一起的话,那就只能是direct sum,写成C2 valued波函数的话,也必
须尊重direct sum,也就是任何其它可观察量A都和SU(2)对易。说内禀自由度应该也是这个意思。

这是在Pauli的扩展下。在Dirac的扩展下,spin真的可以和其他可观察量揉合,在低速近似下才是direct sum。

【 在 Caravel (克拉维尔) 的大作中提到: 】
: 你们搞数学的就是把定义理得很清楚。我的理解是波函数是单粒子的,所以是一个
: global的spinor,spin-1/2的spin vector Sx, Sy, Sz组成的算子空间是作用在单一的
: spinor上面。spinor描述的是粒子除却空间自由度之外的一个内部空间自由度。所以波
: 函数是spinor 乘以 空间波函数。 而对于场论来说,可以描述无穷多的粒子,所以
SU(
: 2)变成了local的对称性。
: 2)

C
Caravel

彼此彼此,现在大家都陷入中年求知恐慌了,呵呵。就像肯尼迪说的那样,学这个东西不是因为,而是因为困难,太简单了反而不过瘾

【 在 TheMatrix (TheMatrix) 的大作中提到: 】
: 我主要是物理理解上的困惑,因为是自学的,这些知识理解缺乏同辈交流confirm。你
: 们的物理理解都比我强很多光年。我其实不是太在意数学的严格性,只是我没有东西抓
: 住,只能抠数学,这比同辈交流confirm效率差远了。
: 你的理解显然是对的。我现在也渐渐接近这种理解。也就是spin是一个独立的属性,它
: 和什么都无关。所以波函数只研究除spin之外的其他可观察量。如果一定要把spin和其
: 他可观察量揉在一起的话,那就只能是direct sum,写成C2 valued波函数的话,也必
: 须尊重direct sum,也就是任何其它可观察量A都和SU(2)对易。说内禀自由度应该也是
: 这个意思。
: 这是在Pauli的扩展下。在Dirac的扩展下,spin真的可以和其他可观察量揉合,在低速
: 近似下才是direct sum。
: ...................

furoci

spin不是独立属性,spin是由所选group属性决定的

比如,选择SU(2)作为相互作用的对称群,取定对称群后,
则用对应的李代数su(2)决定相互作用,
用群的adjoint representation安排相互作用的交换粒子(比如电磁作用下的photon),
用群的fundamental representation安排fermion(比如quark,或者电子).
这些粒子的spin都是由群的representation决定的,具体参阅dynkin diagram。
具体为啥用adjoint和fundamental,你得阅读日本人Nakahara的那本书。

总之,群的对应李代数决定相互作用,群的表示决定spin

所以,你们真是还差得远。

【 在 TheMatrix (TheMatrix) 的大作中提到: 】
: 我主要是物理理解上的困惑,因为是自学的,这些知识理解缺乏同辈交流confirm。你
: 们的物理理解都比我强很多光年。我其实不是太在意数学的严格性,只是我没有东西抓
: 住,只能抠数学,这比同辈交流confirm效率差远了。
: 你的理解显然是对的。我现在也渐渐接近这种理解。也就是spin是一个独立的属性,它
: 和什么都无关。所以波函数只研究除spin之外的其他可观察量。如果一定要把spin和其
: 他可观察量揉在一起的话,那就只能是direct sum,写成C2 valued波函数的话,也必
: 须尊重direct sum,也就是任何其它可观察量A都和SU(2)对易。说内禀自由度应该也是
: 这个意思。
: 这是在Pauli的扩展下。在Dirac的扩展下,spin真的可以和其他可观察量揉合,在低速
: 近似下才是direct sum。
: ...................

C
Caravel

你能不能把不独立的意思展开说说? 把spin理解成在时空这样的外部变量之外的某种
独立的内部空间没有什么问题把,所以对于波函数来说要写成[phi1(x), phi2(x)], 场量也可以依此写成这样多分量形式。

【 在 furoci (伊千枝) 的大作中提到: 】
: spin不是独立属性,spin是由所选group属性决定的
: 比如,选择SU(2)作为相互作用的对称群,取定对称群后,
: 则用对应的李代数su(2)决定相互作用,
: 用群的adjoint representation安排相互作用的交换粒子(比如电磁作用下的photon),
: 用群的fundamental representation安排fermion(比如quark,或者电子).
: 这些粒子的spin都是由群的representation决定的,具体参阅dynkin diagram。
: 具体为啥用adjoint和fundamental,你得阅读日本人Nakahara的那本书。
: 总之,群的对应李代数决定相互作用,群的表示决定spin
: 所以,你们真是还差得远。

KingofSoccer


看你说物理经常给人你只是知其然不知其所以然的印象。
具体来说就是你经常把某种特殊情况当作普遍特征。
你说
“用群的fundamental representation安排fermion(比如quark,或者电子)”,
这显然是错的。你可以给fermion安排任何representation。fundaental
representation只是其中一种相对简单的可能性而已。

【 在 furoci (伊千枝) 的大作中提到: 】
: spin不是独立属性,spin是由所选group属性决定的
: 比如,选择SU(2)作为相互作用的对称群,取定对称群后,
: 则用对应的李代数su(2)决定相互作用,
: 用群的adjoint representation安排相互作用的交换粒子(比如电磁作用下的photon),
: 用群的fundamental representation安排fermion(比如quark,或者电子).
: 这些粒子的spin都是由群的representation决定的,具体参阅dynkin diagram。
: 具体为啥用adjoint和fundamental,你得阅读日本人Nakahara的那本书。
: 总之,群的对应李代数决定相互作用,群的表示决定spin
: 所以,你们真是还差得远。

F
FoxMe

Chern-Simons theory的Simons是一个传奇人物。早年跟陈省身合作,后来去石溪去当
数学系主任。本来资历尚浅,不过因为只有他一个人申请,就给他当主任了。经常和杨振宁讨论,如果一路走下去,也可能成为著名数学家。不过他去搞了个对冲基金,成了billionaire。近年回馈数学,设了个基金,干了不少好事。一次演讲中, 人家问他数学都是人类共享的,你的对冲基金的算法能不能公开?他回答:算法太简单了,不足为外人道也。

诸位讨论的这些问题,老杨估计很早就懂了吧。老杨在西南联大上大学的时候,就研究群论了(不知道是不是他爹教的?)。老杨的主要工作都与群论/对称有关,是李群高
手(如Yang-Mills)。

李群的出发点是研究微分方程的对称性,而物理系统多以微分方程表达,这可能是李群为什么在物理中很有用的原因。近些年李群在数论中应用很多,即把普通的时间上的遍历定理推广到李群上的动力系统的遍历定理。由Margulis开拓,解决了著名的
Oppenheim猜想;后来的Lindenstrauss在Littlewood猜想的工作等等;这些人都拿了菲尔茨奖。物理里面有没有人用李群上的动力学?

【 在 furoci (伊千枝) 的大作中提到: 】
: 对
: GAUGE FIELDS, KNOTS AND GRAVITY (Knots and Everything)
: http://www.amazon.com/dp/9810220340/
: 这是一本极快速入门的书,从最简单的一直讲到chern-simons theory,涉及了几乎所有
: topic
: 很多年前听过john Baez还得意洋洋地吹嘘自己写了这么出名的一本书