【出道数学题9】这个题对于95%的将军都太难了

本期题目其实不应该称作“题目”，而是一个著名的定理

费尔巴哈定理：九点圆与内切圆和旁切圆相切

定理只有一句话，但是其重要性和证明难度都是一流的。有将军说发这种著名的人名定理不太合适，我非常认同。但是这次还忍不住发出来是因为：

1原定理的证法和我自己做出的证法都比较复杂，我想看看将军们的想法
2本版将军神通广大，也许能做出或者知道一些好的方法
3虽然很难，但也并不是不可能的任务

上期“九点圆”的定义和性质，TheMatrix和kde23将军们都提出了很漂亮的证明
我做了一个简单的介绍视频

九点圆-第一弹（Nine-point circle EP1)：三角形性质的终极推演，平面几何的光辉
成就

又是平几，吐了！

平面几何后面的难题都属于奇技淫巧了

你真的很enjoy数学吗？怎么看都和你的专业不配，如果可以重来，你会做什么？

【 在 xiongmaoren (熊猫人) 的大作中提到: 】
: 本期题目其实不应该称作“题目”，而是一个著名的定理
: 费尔巴哈定理：九点圆与内切圆和旁切圆相切
: 定理只有一句话，但是其重要性和证明难度都是一流的。有将军说发这种著名的人名定
: 理不太合适，我非常认同。但是这次还忍不住发出来是因为：
: 1原定理的证法和我自己做出的证法都比较复杂，我想看看将军们的想法
: 2本版将军神通广大，也许能做出或者知道一些好的方法
: 3虽然很难，但也并不是不可能的任务
: 上期“九点圆”的定义和性质，TheMatrix和kde23将军们都提出了很漂亮的证明
: 我做了一个简单的介绍视频
: https://youtu.be/jP5vsS41-Zc
: ...................

兄弟，你波波熊附体了

这个题目你可以试试自己代数技巧，如果你觉得自己代数好的话，我可以确定能做出来

【 在 printf888 (foobar888) 的大作中提到: 】
: 又是平几，吐了！

这位兄弟问的好

是不是enjoy，只有自己知道。能不能重来，只有天知道了

【 在 kankankan (老将都是吃人饭不拉人S的畜生) 的大作中提到: 】
: 你真的很enjoy数学吗？怎么看都和你的专业不配，如果可以重来，你会做什么？

对，不能随便抓奶背操

【 在 bobolan88 (波波熊) 的大作中提到: 】
: 平面几何后面的难题都属于奇技淫巧了

网上抄了一个，感觉逻辑还算简洁。

按你的图，s代表半周长，x代表X圆半径，再补上常见的R,r,O,H:

由余弦定理，有:
1. HO^2=9R^2+8Rr+2r^2-2s^2
2. XH^2=4R^2+4Rr+r^2-s^2+2x^2
3. XO^2=R(R+2x)

在三角形HXO中，由中线公式，有:
4. 4XN^2=2XH^2+2XO^2-HO^2

由1-4，代入消元，可得XN=R/2+x，正好是圆心距，所以相切。

你抄的这个应该就是费尔巴哈原始证明方法，而且这个r应该是指“垂足
三角形”的内切圆的半径

代数法的证明，其基本思想都特别简单直接。但是这些公式都不太平凡。XH,XO可以算
是“比较显然”最难的地方，在于内心（就称为X）到H的距离，这一步不是一个“余弦定理”就能绕过去的

2. XH^2=4R^2+4Rr+r^2-s^2+2x^2 这一步能有明确步骤吗？

还是辛苦了，感谢！

: 1. HO^2=9R^2+8Rr+2r^2-2s^2
: 2. XH^2=4R^2+4Rr+r^2-s^2+2x^2
: 3. XO^2=R(R+2x)

【 在 printf888 (foobar888) 的大作中提到: 】
: 网上抄了一个，感觉逻辑还算简洁。
: 按你的图，s代表半周长，x代表X圆半径，再补上常见的R,r,O,H:
: 由余弦定理，有:
: 1. HO^2=9R^2+8Rr+2r^2-2s^2
: 2. XH^2=4R^2+4Rr+r^2-s^2+2x^2
: 3. XO^2=R(R+2x)
: 在三角形HXO中，由中线公式，有:
: 4. 4XN^2=2XH^2+2XO^2-HO^2
: 由1-4，代入消元，可得XN=R/2+x，正好是圆心距，所以相切。

将军们都出去玩了吗？

没做出来。想用解析几何算但是太复杂，化简不出来。

【 在 xiongmaoren (熊猫人) 的大作中提到: 】
: 将军们都出去玩了吗？

楼主下次出个简单一点的题？

好的，谢谢

这个题是有点难了，技巧型很强

下次一定不再出这种了

【 在 subsub1(Reaper Man) 的大作中提到: 】

: 楼主下次出个简单一点的题？

验证了直角三角形1，2，根号3的情况。不知道能不能射影一下得出一般的结论。射影
万能啊。哈哈。

【 在 TheMatrix (TheMatrix) 的大作中提到: 】
: 没做出来。想用解析几何算但是太复杂，化简不出来。

我化简了一下午，觉得差不多有眉目了

晚上有仔细算了一遍，才出正确的结果

我用的是最笨的方法：硬算

【 在 TheMatrix(TheMatrix) 的大作中提到: 】

: 没做出来。想用解析几何算但是太复杂，化简不出来。

要是能提出一个大统一理论就牛逼了

你试试看

【 在 TheMatrix(TheMatrix) 的大作中提到: 】

: 验证了直角三角形1，2，根号3的情况。不知道能不能射影一下得出一般的结论
。射影

: 万能啊。哈哈。

【 在 xiongmaoren (熊猫人) 的大作中提到: 】
: 本期题目其实不应该称作“题目”，而是一个著名的定理
: 费尔巴哈定理：九点圆与内切圆和旁切圆相切
: 定理只有一句话，但是其重要性和证明难度都是一流的。有将军说发这种著名的人名定
: 理不太合适，我非常认同。但是这次还忍不住发出来是因为：
: 1原定理的证法和我自己做出的证法都比较复杂，我想看看将军们的想法
: 2本版将军神通广大，也许能做出或者知道一些好的方法
: 3虽然很难，但也并不是不可能的任务
: 上期“九点圆”的定义和性质，TheMatrix和kde23将军们都提出了很漂亮的证明
: 我做了一个简单的介绍视频
: https://youtu.be/jP5vsS41-Zc
: ...................

哥本性就喜欢做这种题目自虐，做出来做不出来无关紧要，虐的痛快就好。

还是很羡慕能有钱有闲弄这个的人。

兄弟，够爽快！

直接看答案真的没意思了

【 在 dachu(Big Chef) 的大作中提到: 】

: 哥本性就喜欢做这种题目自虐，做出来做不出来无关紧要，虐的痛快就好。

: 还是很羡慕能有钱有闲弄这个的人。

现在正式给出提示1:

用最简单思路硬算，可以做出来
解析几何法似乎不是一个好方法，（因为计算本来就很复杂，变量越多越难）

用向量呗？好像也没容易到哪去吧

【 在 xiongmaoren (熊猫人) 的大作中提到: 】
: 现在正式给出提示1:
: 用最简单思路硬算，可以做出来
: 解析几何法似乎不是一个好方法

这些问题我记下了。以后能不能再浮现出来那不好说。

变换的思想，尤其是连续变换的思想，确实是很高明。因为人只有了解了周围环境才觉得对一个地方有点熟悉了。数学上就是看一个configuration，它稍微形变一下会变成
什么样，也就是把它放入一个空间，看一下这个空间局部甚至整体的性质。

【 在 xiongmaoren (熊猫人) 的大作中提到: 】
: 要是能提出一个大统一理论就牛逼了
: 你试试看

大家帮忙看看这是啥意思？
咋推荐的呀？

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mitbbscheck

这题真的是太难了，我想不出纯几何的方法，因此依照前面几位将军的思路，硬算:)
如果直接用解析几何方法，估计计算量超大，因此想用向量方式试一下。
设三角形ABC的外心为点O，外心半径为数值R。内心为点I，九点圆中心为点K。以O为坐标原点，每个点对应从O指向它的向量。用同样的字母A，B，C表示A，B，C三点对应的
向量。这样，我们可用A，B，C三向量的组合来表示平面上任意一点T：
T = kA + hB + mC
k,h,m可视为T的“坐标”。这样作的好处是|A|=|B|=|C|=R, 可以简化计算。
我们马上得到，重心G的坐标是
G = 1/3A + 1/3B + 1/3C
根据上次的讨论，九点圆的位置是相对于G与O对称，距离减半，因此，K的坐标是
K = G + 1/2G = 3/2*(1/3A + 1/3B + 1/3C) = 1/2A + 1/2B + 1/2C ----- (1)
I点的坐标麻烦一点。试用“重心法”求。设三角形ABC的三边长分别是a,b,c, 即|B-C|=a, |A-C|=b, |A-B|=c. 想象有三个砝码，重量分别是a克，b克，c克，分别挂在三角
形的A，B，C三顶点，我们来算这时三角形的重心。注意B和C两个砝码等价于在BC边上
一点D挂了(b+c)克砝码。D点位置与其重量成比例，即
BD:DC = c:b
这意味着AD是A的角平分线。现在B和C的重量移到了D上，有重量的只有A，D两点，故重心必在AD上，也就是，重心应该在角A的平分线上。同样的，重心也应该在B和C的角平
分线上。即，重心位置就是内心I。这个重心(注意不要和前面的"均匀分布"的重心G混
淆了)，也就是I的位置可根据每点所挂重量加权得出
I = a/(a+b+c)*A + b/(a+b+c)*B + c/(a+b+c)*C ----- (2)

有了(1)和（2），我们就可计算两个圆心的距离|K-I|,设法证明它等于两个圆的半径差。痛苦的计算过程开始了:)
先算一下A，B，C之间彼此的点乘作为准备
注意 a^2 = |B-C|^2 = |B|^2 + |C|^2 - 2 // 表示B，C之间点乘（内积）
= R^2 + R^2 - 2
故 = RR - 1/2*aa, 同理可得 = RR - 1/2*cc, = RR - 1/2*bb

|K-I| = |([1/2 - a/(a+b+c)]*A + [1/2 - b/(a+b+c)]*B + [1/2 - c/(a+b+c
)]*C | --- (3)
令p=1/2*(a+b+c)
则|K-I|^2 = |([1/2 - a/2p]*A + [1/2 - b/2p]*B + [1/2 - c/2p]*C |^2
= |((p-a)/2p*A + (p-b)/2p*B + (p-c)/2p*C|^2
= (p-a)^2*/4pp*|A|^2 + (p-b)^2*/4pp*|B|^2 + (p-c)^2*/4pp*|C|^2
+ 2(p-a)(p-b)/4pp*
+ 2(p-a)(p-c)/4pp* + 2(p-b)(p-c)/4pp*
= (p-a)^2/4pp*RR + (p-b)^2*/4pp*RR + (p-c)^2*/4pp*RR
+ 2(p-a)(p-b)/4pp*(RR-1/2*cc) + 2(p-a)(p-c)/4pp*(RR-1/2*bb)
+ 2(p-b)(p-c)/4pp*(RR-1/2*aa)

故4pp*|K-I|^2 = RR((p-a)^2 + (p-b)^2 + (p-c)^2
+ 2(p-a)(p-b) + 2(p-a)(p-c) +2(p-b)(p-c))
- (p-a)(p-b)cc - (p-a)(p-c)bb - (p-b)(p-c)aa
= RR(p-a+p-b+p-c)^2 - (p-a)(p-b)cc - (p-a)(p-c)bb - (p-b)(p-c)aa
= RR*pp - (p-a)(p-b)cc - (p-a)(p-c)bb - (p-b)(p-c)aa --- (4)

上式的形式让人想起海仑公式 S=sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)), 故以此公式为目标化简右
端的 (p-a)(p-b)cc + (p-a)(p-c)bb + (p-b)(p-c)aa
注意(p-a)(p-b)cc
= (p-a)(p-b)(cc-pc+pc) = (p-a)(p-b)(cc-pc) + (p-a)(p-b)pc
= -c(p-a)(p-b)(p-c) + pc(p-a)(p-b)
故 (p-a)(p-b)cc + (p-a)(p-c)bb + (p-b)(p-c)aa
= -(a+b+c)(p-a)(p-b)(p-c) + (pc(p-a)(p-b) + pb(p-a)(p-c) + pc(p-a)(p-b)
= -2p(p-a)(p-b)(p-c) + p[c(p-a)(p-b) + b(p-a)(p-c) + a(p-b)(p-c)]
---(5)
再来计算括号内的部分
c(p-a)(p-b) + b(p-a)(p-c) + a(p-b)(p-c)
= (a+b+c)p^2 + 3abc - 2p(ab+bc+ca)
= 2p^3 + 3abc - (a+b+c)(ab+bc+ca)
= 2p^3 + 3abc - 3abc - (ab(a+b) + ac(a+c) + bc(b+c))
= 2p^3 - (ab(a+b) + ac(a+c) + bc(b+c)) --- (6)

到目前为止，问题归结为简化 ab(a+b) + ac(a+c) + bc(b+c)，因此想到如下两个恒等式：
8p^3 = (a+b+c)^3 = a^3 + b^3 + c^3 + 6abc + 3[ab(a+b) + ac(a+c) + bc(b+c)] 8(p-a)(p-b)(p-c) = (a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)
= -a^3 - b^3 - c^3 - 2abc + ab(a+b) + ac(a+c) + bc(b+c)
上面两式相加，得
8p^3 + 8(p-a)(p-b)(p-c) = 4abc + 4[ab(a+b) + ac(a+c) + bc(b+c)]
故 ab(a+b) + ac(a+c) + bc(b+c) = 2p^3 + 2(p-a)(p-b)(p-c) - abc
---(7)

好，终于可以依次代回了。上式代回(6), 得
c(p-a)(p-b) + b(p-a)(p-c) + a(p-b)(p-c)
= 2p^3 - 2p^3 - 2(p-a)(p-b)(p-c) + abc
= -2(p-a)(p-b)(p-c) + abc
再代回(5):
(p-a)(p-b)cc + (p-a)(p-c)bb + (p-b)(p-c)aa
= -2p(p-a)(p-b)(p-c) + p[-2(p-a)(p-b)(p-c) + abc]
= -4p(p-a)(p-b)(p-c) + pabc

再代回(4):
4pp*|K-I|^2 = RR*pp - (-4p(p-a)(p-b)(p-c) + pabc)
= RR*pp + 4p(p-a)(p-b)(p-c) - pabc
故 |K-I|^2 = 1/4*RR + p(p-a)(p-b)(p-c)/p^2 - 1/4*abc/p --- (8)

现在可以用我们已熟知的与面积有关的公式： 设S为三角形面积，r为内切圆半径，则
SS = p(p-a)(p-b)(p-c)
S = pr
S = abc/4R
故abc/p = 4RS/p = 4Rpr/p = 4Rr
因此由(8),
|KI|^2 = 1/4*R^2 + SS/p^2 - 1/4*4Rr
= 1/4R^2 + r^2 - Rr
= (1/2R - r)^2
注意1/2R就是九点圆的半径，上式表明九点圆与内切圆相切。
旁切圆的情况来不及做了，应该可以用类似的方法解决。

半夜看见你这个做法就再也睡不着，各种计算技巧都非常精彩，体现了深厚的功力

我看了很久，也想了很久，觉得有一些地方暂时没想通

问题出在K点的坐标。我的理解是这种形式下三个坐标应该相加等于1，你的重心G和内
心I也体现了这一点。我理解的是你用重心法求I的时候，就必然有三坐标和等于1。

但是现在K点坐标是（1/2，1/2，1/2），这个我不太理解。如果用这个思路，垂心H的
坐标是（1，1，1）

你的证法给我很大启发，我试图还原费尔吧哈的证明，但是在计算过程中发现了如此问题

【 在 kde23(kdetest) 的大作中提到: 】
<br>: 这题真的是太难了，我想不出纯几何的方法，因此依照前面几位将军的思路，硬
算:)
<br>: 如果直接用解析几何方法，估计计算量超大，因此想用向量方式试一下。<br>: 设三角形ABC的外心为点O，外心半径为数值R。内心为点I，九点圆中心为点K。
以O为坐
<br>: 标原点，每个点对应从O指向它的向量。用同样的字母A，B，C表示A，B，C三点
对应的
<br>: 向量。这样，我们可用A，B，C三向量的组合来表示平面上任意一点T：
<br>: T = kA hB mC
<br>: k,h,m可视为T的“坐标”。这样作的好处是|A|=|B|=|C|=R,
可以简化计算。
<br>: 我们马上得到，重心G的坐标是
<br>: G = 1/3A 1/3B 1/3C
<br>: 根据上次的讨论，九点圆的位置是相对于G与O对称，距离减半，因此，K
的坐标是
: ...................
<br>

只有在用重心法求坐标时才需保持坐标值为1，相当于求加权平均值。一般情况下坐标
值之和可不一定为1. 举个简单的例子，如点T的坐标是 hA+kB+mC, 那么连接OT并延长
一倍得到的点P的坐标就是 2hA+2kB+2mC了，肯定不会一直保持坐标值之和为1。

我理解你的困惑，直觉三角形内所有点的坐标值之和应该为1。也许这一事实能帮助理
解：A，B，C三个向量不是线性无关的，这导致每个点的坐标值并不唯一，可能有很多
种方式。三角形内每一点(例如I)很多种坐标值中应该有一种其坐标值之和为1。

取任何一个坐标值计算得到的长度应该都是一样的。但对我们的计算来说，我们选择的是最简单的，而不一定是保持坐标值之和为1的

关于垂心的坐标，按上次的讨论，垂心H与外心O在G的两侧，并且距离是O的两倍。因此H的坐标值（严格的说，一个坐标值）是
H = 2G = 2/3A + 2/3B + 2/3C


【 在 xiongmaoren (熊猫人) 的大作中提到: 】
: 半夜看见你这个做法就再也睡不着，各种计算技巧都非常精彩，体现了深厚的功力
: 我看了很久，也想了很久，觉得有一些地方暂时没想通
: 问题出在K点的坐标。我的理解是这种形式下三个坐标应该相加等于1，你的重心G和内
: 心I也体现了这一点。我理解的是你用重心法求I的时候，就必然有三坐标和等于1。
: 但是现在K点坐标是（1/2，1/2，1/2），这个我不太理解。如果用这个思路，垂心H的
: 坐标是（1，1，1）
: 你的证法给我很大启发，我试图还原费尔吧哈的证明，但是在计算过程中发现了如此问题
:
: 这题真的是太难了，我想不出纯几何的方法，因此依照前面几位将军的思
: 路，硬
: 算:)
: ...................

垂心的坐标的确是(1,1,1)。

【 在 xiongmaoren (熊猫人) 的大作中提到: 】
: 半夜看见你这个做法就再也睡不着，各种计算技巧都非常精彩，体现了深厚的功力
: 我看了很久，也想了很久，觉得有一些地方暂时没想通
: 问题出在K点的坐标。我的理解是这种形式下三个坐标应该相加等于1，你的重心G和内
: 心I也体现了这一点。我理解的是你用重心法求I的时候，就必然有三坐标和等于1。
: 但是现在K点坐标是（1/2，1/2，1/2），这个我不太理解。如果用这个思路，垂心H的
: 坐标是（1，1，1）
: 你的证法给我很大启发，我试图还原费尔吧哈的证明，但是在计算过程中发现了如此问题
: : 这题真的是太难了，我想不出纯几何的方法，因此依照前面几位将军的思
: 路，硬
: 算:)
: ...................

啊呀，我搞错了，你们是对的，垂心的坐标是

G + 2G = 3G = 3(1/3A + 1/3B + 1/3C) = A + B + C
确实是 (1,1,1)

如前面说的，这只是垂心的众多可能坐标中的一个。 可以这么理解，三个向量A，B，C的指向不一样，因此它们的和有一部分相互抵消，导致坐标1，1，1的点还可能在三角
形内。

【 在 TheMatrix (TheMatrix) 的大作中提到: 】
: 垂心的坐标的确是(1,1,1)。
: 问题

嗯，的确。三角形内所有点都有一个坐标之和为1的表达，这个事情我没有意识到，所
以没有产生相应的困惑。呵呵。

【 在 kde23 (kdetest) 的大作中提到: 】
: 只有在用重心法求坐标时才需保持坐标值为1，相当于求加权平均值。一般情况下坐标
: 值之和可不一定为1. 举个简单的例子，如点T的坐标是 hA+kB+mC, 那么连接OT并延长
: 一倍得到的点P的坐标就是 2hA+2kB+2mC了，肯定不会一直保持坐标值之和为1。
: 我理解你的困惑，直觉三角形内所有点的坐标值之和应该为1。也许这一事实能帮助理
: 解：A，B，C三个向量不是线性无关的，这导致每个点的坐标值并不唯一，可能有很多
: 种方式。三角形内每一点(例如I)很多种坐标值中应该有一种其坐标值之和为1。
: 取任何一个坐标值计算得到的长度应该都是一样的。但对我们的计算来说，我们选择的
: 是最简单的，而不一定是保持坐标值之和为1的
: 关于垂心的坐标，按上次的讨论，垂心H与外心O在G的两侧，并且距离是O的两倍。因此
: H的坐标值（严格的说，一个坐标值）是
: ...................

数学竞赛里的平面几何题纯属浪费时间 lol

【 在 xiongmaoren (熊猫人) 的大作中提到: 】
: 本期题目其实不应该称作“题目”，而是一个著名的定理
: 费尔巴哈定理：九点圆与内切圆和旁切圆相切
: 定理只有一句话，但是其重要性和证明难度都是一流的。有将军说发这种著名的人名定
: 理不太合适，我非常认同。但是这次还忍不住发出来是因为：
: 1原定理的证法和我自己做出的证法都比较复杂，我想看看将军们的想法
: 2本版将军神通广大，也许能做出或者知道一些好的方法
: 3虽然很难，但也并不是不可能的任务
: 上期“九点圆”的定义和性质，TheMatrix和kde23将军们都提出了很漂亮的证明
: 我做了一个简单的介绍视频
: https://youtu.be/jP5vsS41-Zc
: ...................

Bn bx 都是角平分线吧。
所以公线，然后验证Bn 加 nx = bx
这些圆的半径以及原子能到顶点的距离应该都有公式吧。

垂心为（1，1，1），那么H到A的距离能算出来吗？

我理解这个线性相关的解释，但是这和用重心法算内心矛盾吗？

让我来算一下吧

【 在 kde23(kdetest) 的大作中提到: 】

: 啊呀，我搞错了，你们是对的，垂心的坐标是

: G 2G = 3G = 3(1/3A 1/3B 1/3C) = A B C

: 确实是 (1,1,1)

: 如前面说的，这只是垂心的众多可能坐标中的一个。 可以这么理解，三个向量A，B，C

: 的指向不一样，因此它们的和有一部分相互抵消，导致坐标1，1，1的点还可能
在三角

: 形内。

他们不可能共线。。。
这个题难度跟以前不是一个级别

【 在 bookacar(bookacar) 的大作中提到: 】
<br>: Bn bx 都是角平分线吧。
<br>: 所以公线，然后验证Bn 加 nx = bx
<br>: 这些圆的半径以及原子能到顶点的距离应该都有公式吧。
<br>

吃饭纯属浪费时间，草逼纯属浪费时间
上mit纯属浪费时间lol

【 在 dinassor(牛磨王) 的大作中提到: 】

: 数学竞赛里的平面几何题纯属浪费时间 lol

Bx 肯定是角平分线。
Bn 不是吗？9点里面没有角平分线吗？不记得9点是哪9点了。。。

【 在 xiongmaoren(熊猫人) 的大作中提到: 】

: 他们不可能共线。。。

: 这个题难度跟以前不是一个级别

:

必须不是，看看前面的帖子吧

【 在 bookacar(bookacar) 的大作中提到: 】

: Bx 肯定是角平分线。

: Bn 不是吗？9点里面没有角平分线吗？不记得9点是哪9点了。。。

我算了一下，用你的这个坐标HA的距离和OI的距离都是对的

这样的话应该没问题

让我来试试能不能找到一个化简的算法，直觉是很接近

【 在 kde23(kdetest) 的大作中提到: 】

: 啊呀，我搞错了，你们是对的，垂心的坐标是

: G 2G = 3G = 3(1/3A 1/3B 1/3C) = A B C

: 确实是 (1,1,1)

: 如前面说的，这只是垂心的众多可能坐标中的一个。 可以这么理解，三个向量A，B，C

: 的指向不一样，因此它们的和有一部分相互抵消，导致坐标1，1，1的点还可能
在三角

: 形内。

非常好！我的算法比较繁琐，如能化简那最好了。

【 在 xiongmaoren (熊猫人) 的大作中提到: 】
: 我算了一下，用你的这个坐标HA的距离和OI的距离都是对的
: 这样的话应该没问题
: 让我来试试能不能找到一个化简的算法，直觉是很接近

已经成功了，过程大幅简化，你可能没发现能有这么简单

我整理一下发出来

【 在 kde23 (kdetest) 的大作中提到: 】
: 非常好！我的算法比较繁琐，如能化简那最好了。