一个解析函数

考虑一个函数
f(z)=sqrt(1+z^4)

平方根里面这个多项式有四个根，在复平面单位圆上，角度分别为1，3，5，7乘以45度，每个象限一个，命名为第1，2，3，4个。这个函数可以按照四个根拆成四个平方根相乘。

但是平方根函数是个多值函数，实际上它不是一个*函数*，或者说它不是*一个*函数，必须要事先选定一个符号，在一个点的一个符号，选定了一个点的符号后，周边的点的符号也就定下来了，根据连续性就够了。但是又不能绕着这个根点走一周，连续性就无法满足。

能做到最好最大的限度就是以一个根点为中心，沿任意一条线到无穷，把复平面剪开，在剪开的复平面上可以定义平方根的一个版本，是解析函数。还有另一个版本，也是解析函数。这是*两个*函数，统称平方根。但是必须清楚，这是两个函数，可以分别命名。这叫branch cut。剪开的目的，是阻止解析延拓绕branch point一周回到起始点。

这是一个平方根，现在这个函数有四个平方根。

四个branch point，单独绕每一个点绕一圈，都会形成一个不连续的函数值。所以要想给这个函数形式定义解析函数，必须阻止单独绕某一个branch point绕一圈这个操作。有两种最简的办法。cut1，把branch point 1到2剪开，3到4剪开。cut2，把1到4剪开
，2到3剪开。

两种cut都可以，给出了两种定义域。

另外，这个函数是四个平方根相乘，每个平方根在任意一点，比如0点的邻域内吧，都
只能有两个值，两个值就差一个正负号，那么相乘的结果，不管怎么组合，在每一点也只有两个值，相差正负号。记为符号1和符号2。

所以现在这个函数有四种选取方法，都是复平面上最大定义域：
cut1+符号1
cut1+符号2
cut2+符号1
cut2+符号2
它们都是不同的函数，cut决定了定义域，符号决定了函数值。它们之间的关系是这样
的：...

【 在 TheMatrix (TheMatrix) 的大作中提到: 】
: 考虑一个函数
: f(z)=sqrt(1+z^4)
: 平方根里面这个多项式有四个根，在复平面单位圆上，角度分别为1，3，5，7乘以45度
: ，每个象限一个，命名为第1，2，3，4个。这个函数可以按照四个根拆成四个平方根相
: 乘。
: 但是平方根函数是个多值函数，实际上它不是一个*函数*，或者说它不是*一个*函数，
: 必须要事先选定一个符号，在一个点的一个符号，选定了一个点的符号后，周边的点的
: 符号也就定下来了，根据连续性就够了。但是又不能绕着这个根点走一周，连续性就无
: 法满足。
: 能做到最好最大的限度就是以一个根点为中心，沿任意一条线到无穷，把复平面剪开，
: ...................

几个水饺？

这是多值函数的多叶面的概念吗？

【在 TheMatrix(TheMatrix)的大作中提到：】
：考虑一个函数
：f(z)=sqrt(1+z^4)

这个只在有branch cut的复平面上解析

函数哪有白面水饺好吃

对。

【 在 D47120458 () 的大作中提到: 】
: 这是多值函数的多叶面的概念吗？

是的。

【 在 LaiQingde (赖清德——台独工作者) 的大作中提到: 】
: 这个只在有branch cut的复平面上解析

四个平方根?

【 在 TheMatrix (TheMatrix) 的大作中提到: 】
: 考虑一个函数
: f(z)=sqrt(1+z^4)
: 平方根里面这个多项式有四个根，在复平面单位圆上，角度分别为1，3，5，7乘以45度
: ，每个象限一个，命名为第1，2，3，4个。这个函数可以按照四个根拆成四个平方根相
: 乘。
: 但是平方根函数是个多值函数，实际上它不是一个*函数*，或者说它不是*一个*函数，
: 必须要事先选定一个符号，在一个点的一个符号，选定了一个点的符号后，周边的点的
: 符号也就定下来了，根据连续性就够了。但是又不能绕着这个根点走一周，连续性就无
: 法满足。
: 能做到最好最大的限度就是以一个根点为中心，沿任意一条线到无穷，把复平面剪开，
: ...................

cut和符号的组合定义了四个函数，每个都不一样，首先如果符号不一样，也就是某点
的函数值不一样，那肯定是不同的函数，其次cut不一样，也就是定义域不一样，那也
是不同的函数，严格来说。所以这是四个不同的函数。统称原函数，也就是那四个平方根的乘积。

这四个函数的关系，从构造的过程看很明显了：
1，cut1+符号1，和cut1+符号2比较，在任意一点，函数值变号。
2，cut1+符号1，看切口上一点p和切口另一边相应点p‘，函数值变号。这也是为什么
要开这个口子，因为函数值不连续。
3，cut1+符号1的p点，和cut1符号2的p'点，函数值相同。
4，cut1上的p点和p'点，在cut2下不在切口上，就是同一点。在cut1下如果以函数值相等为条件，把p和p'粘合，从而把cut1+符号1和cut1+符号2这两个函数粘合，使粘合后
的函数可以越过切口，其效果实际上就是cut2在p点的表现。

【 在 TheMatrix (TheMatrix) 的大作中提到: 】
: 四个branch point，单独绕每一个点绕一圈，都会形成一个不连续的函数值。所以要想
: 给这个函数形式定义解析函数，必须阻止单独绕某一个branch point绕一圈这个操作。
: 有两种最简的办法。cut1，把branch point 1到2剪开，3到4剪开。cut2，把1到4剪开
: ，2到3剪开。
: 两种cut都可以，给出了两种定义域。
: 另外，这个函数是四个平方根相乘，每个平方根在任意一点，比如0点的邻域内吧，都
: 只能有两个值，两个值就差一个正负号，那么相乘的结果，不管怎么组合，在每一点也
: 只有两个值，相差正负号。记为符号1和符号2。
: 所以现在这个函数有四种选取方法，都是复平面上最大定义域：
: cut1+符号1
: ...................

现在对1/f(z)积分。

在cut1下，符号选为z等于0时函数值为1，而不是-1。取积分路径为绕branch point 1
和2一周，逆时针，branch point 3和4在外面。

这个路径积分是well defined的，因为积分路径完全在函数的定义域之内。

根据函数的解析性，这个积分等于，先沿着实数轴从-R到+R积分，实积分，加上，再从实数轴R点开始，从复平面上半部分，绕半圆，回到实数轴上-R点，的复积分，再取R趋于无穷大的极限。

积分的第二部分，绕半圆的部分，当R趋于无穷的时候趋于0。所以整个积分就等于第一部分的实积分，从负无穷到正无穷。

sympy可以算出解析解，
0.5*gamma(1/4)**2/sqrt(pi)，
记为alpha，数值解约等于3.708.

再考虑cut2下，符号还是选z=0时函数值为1。积分路径选顺时针绕branch point 1和4
一周，排除branch point 2和3在外面。这也是well defined，但必须是在cut2下。

根据解析性同理把它表示成一个沿虚数轴的积分，再变成一个普通的实数积分，其结果是 alpha*i，是一个纯虚数。

【 在 TheMatrix (TheMatrix) 的大作中提到: 】
: cut和符号的组合定义了四个函数，每个都不一样，首先如果符号不一样，也就是某点
: 的函数值不一样，那肯定是不同的函数，其次cut不一样，也就是定义域不一样，那也
: 是不同的函数，严格来说。所以这是四个不同的函数。统称原函数，也就是那四个平方
: 根的乘积。
: 这四个函数的关系，从构造的过程看很明显了：
: 1，cut1+符号1，和cut1+符号2比较，在任意一点，函数值变号。
: 2，cut1+符号1，看切口上一点p和切口另一边相应点p‘，函数值变号。这也是为什么
: 要开这个口子，因为函数值不连续。
: 3，cut1+符号1的p点，和cut1符号2的p'点，函数值相同。
: 4，cut1上的p点和p'点，在cut2下不在切口上，就是同一点。在cut1下如果以函数值相
: ...................

楼主穿越回去，可以和欧拉谈笑风生，相见恨晚。

你老婆性舔党委书记是走的什么路径？

盹盹盹

【在TheMatrix（TheMatrix）的大作中提到：】
：现在对1/f(z)积分。
：在cut1下，符号选为z等于0时函数值为1，而不是-1。取积分路径为绕branch point
1
：和2一周，逆时针，branch point 3和4在外面。
：这个路径积分是well defined的，因为积分路径完全在函数的定义域之内。
：根据函数的解析性，这个积分等于，先沿着实数轴从-R到+R积分，实积分，加上，再从实数轴R点开始，从复平面上半部分，绕半圆，回到实数轴上-R点，的复积分，再取R趋于无穷大的极限。
：积分的第二部分，绕半圆的部分，当R趋于无穷的时候趋于0。所以整个积分就等于第一部分的实积分，从负无穷到正无穷。
：sympy可以算出解析解，
：0.5*gamma(1/4)**2/sqrt(pi)，
：记为alpha，数值解约等于3.708.
：再考虑cut2下，符号还是选z=0时函数值为1。积分路径选顺时针绕branch point 1和
4
：..........

1-z^4 有4个根，对应的是其反函数是多叶函数，有4叶。但是 1-z^4 还是一般的单值
函数。

平方根函数是多值函数，具体说是双值，是双页。但在0点是单值。或者说双叶在原点
是粘在一起的。现在1-z^4有4个根，所以，sqrt(1-z^4)就是有四个粘结点的双叶函数
。粘结点是那四个根：1, -1, j, -j。

然后，圆周是360度一周就回头。比如360度＝0度，或者180度＝－180度。所以多叶函
数会有一条“穿越线”，在这条线不同叶连在了一起。这条线从粘结点出发，沿着某个方向。约定成俗的就是选360＝0这个方向（其实可以选任何一个方向，但所有公式需要重新写了。）

如果在更高维的空间里看，这条线是不存在的。叶与叶并无这样的穿越线。但如果只在2维复数空间（相当于4维实数空间），就需要这条穿越线来连接不同叶。可是这条线又是虚拟的。你可以想象一个蚂蚁，站在其中一个叶上。它看见头上有另一叶，而前方有一个两叶连接线。于是蚂蚁向着连接线爬去。蚂蚁无论如何爬，却总也无法到达那条线。可是蚂蚁却不知不觉地已经到了另外一个叶面了。

对w=sqrt(1-z^4)来说，假定蚂蚁站在z＝1附近，比如说z=0.9, w=－0.586处。如果蚂
蚁围着z＝1转一圈，它就到了2楼，站在原来位置的头顶上方，就是z=0.9, w=＋0.586
处。虽然蚂蚁感觉它没有走上下坡。如果它继续沿着同样的方向再转一圈，它就回到了一楼，回到了原来的出发点位置，z=0.9, w=－0.586处。