出个立体几何题

首先 欧拉旋转定律：任何数量的 围绕同一点的任意旋转 得到的最终结果 都等价
于围绕一根转轴 转动某个角度 从线性代数的角度看 就是说任意数量的旋转矩阵相乘 结果肯定是个纯粹的旋转矩阵

那么在三维直角坐标系里 先后以两个不同的坐标轴为转轴 向某个方向（顺时针或者逆时针）旋转90度
你有没有一个简单直观的办法告诉我 与这两个旋转等价的总旋转 其转轴是什么方向

例如 以x轴为转轴 右手方向旋转90度 然后以y轴为转轴 左手方向旋转90度 这个组合 等于以什么直线为轴 转了多少度

你能提出一套方法 直观地找到这类转轴吗？

简单直观的意思 就是不要拿出矩阵之类的东西来算

升级的问题是 a)如果是超过2个旋转 你的方法稍微改改也能用吗？ b) 如果不是转整90度呢？

目测相当于沿着(1,1,1)这个个方向的轴饶了120度

这个结果是对的 沿着两个坐标轴各转90度 等于绕着类似（1,1,1)方向的轴转120度 这种
轴 不分方向的话 有四根

那有没有快速的办法判定 沿着任意两轴转90度 它的转轴是四根里的那一个呢？

【 在 BroPingtou (0803030303) 的大作中提到: 】
: 目测相当于沿着(1,1,1)这个个方向的轴饶了120度

用几何代数很容易判断

【 在 Huangchong (净坛使者) 的大作中提到: 】
: 这个结果是对的 沿着两个坐标轴各转90度 等于绕着类似（1,1,1)方向的轴转120
度
: 这种
: 轴 不分方向的话 有四根
: 那有没有快速的办法判定 沿着任意两轴转90度 它的转轴是四根里的那一个呢？

可以口算的话也算答案 需要纸上写的不算

【 在 pinfish (小刺鱼) 的大作中提到: 】
: 用几何代数很容易判断
: 度

猜的

可以先根据第一个和第二个旋转轴标记前两个坐标1或者-1为逆时针或者顺时针。然后
根据xyzx的顺序以及前两个的乘机标记第三个坐标

比如旋转是顺时针z轴再逆时针y轴，那么

(0,0,-1) ,to (0,1,-1) to (-1*-1,1,-1)最后一次因为先z后y所以parity是-1

【 在 Huangchong (净坛使者) 的大作中提到: 】
: 可以口算的话也算答案 需要纸上写的不算

本质确实是这样 但是这样不算太直观

【 在 BroPingtou (0803030303) 的大作中提到: 】
: 猜的
: 可以先根据第一个和第二个旋转轴标记前两个坐标1或者-1为逆时针或者顺时针。然后
: 根据xyzx的顺序以及前两个的乘机标记第三个坐标
: 比如旋转是顺时针z轴再逆时针y轴，那么
: (0,0,-1) ,to (0,1,-1) to (-1*-1,1,-1)最后一次因为先z后y所以parity是-1

我的答案是这样

首先 注意到转轴上的点的特征 是在旋转前后 它们的坐标是不变的 那么寻找转轴 就是寻找一个在旋转前后 坐标不变 也不在原点的点

前面已经说了 这种90度转两下的情况 只有四个轴 假如我们旋转的是个地球仪
这四个轴是通过东西经 45度 和南北纬45度的八个交点的 四根线

那假设有个单位球面 我从x轴方向看去 y轴朝右 z轴朝上 上述8个点 我可以可
以看到面向我的4个点

x轴正转 它们就逆时针各跑1/4圆 y轴正转 它们都往下跑1/4圆 那么只有右下这个点 是先往上后往下 跑了个来回 （在球面上路径是个（）形状）净运动是0 所以转轴肯定穿过右下这个点

【 在 BroPingtou (0803030303) 的大作中提到: 】
: 猜的
: 可以先根据第一个和第二个旋转轴标记前两个坐标1或者-1为逆时针或者顺时针。然后
: 根据xyzx的顺序以及前两个的乘机标记第三个坐标
: 比如旋转是顺时针z轴再逆时针y轴，那么
: (0,0,-1) ,to (0,1,-1) to (-1*-1,1,-1)最后一次因为先z后y所以parity是-1

在这个场景里 x轴正转等于逆时针转 y轴正转等于从上往下跑 z轴正转等于从左往右跑 尤其是把球面投影成圆的话 x转是画圆弧 y是上下直线 z是左右直线 只要从一点出发的路径最后闭合 这点就是在转轴上

因此就算转角不是整90度 转轴大概在哪里 也是可以很容易看出来的 转许多次 也
没问题 顺着三个转动方向画箭头 看看那里有闭合的可能 就知道转轴在哪里了

当然 假如转轴是z和y 你从x方向看 是看不到闭合线的 这时候从y或者z方向看
才行（单向箭头必须被环流箭头的一部分来消除）

【 在 Huangchong (净坛使者) 的大作中提到: 】
: 我的答案是这样
: 首先 注意到转轴上的点的特征 是在旋转前后 它们的坐标是不变的 那么寻找转轴
: 就是寻找一个在旋转前后 坐标不变 也不在原点的点
: 前面已经说了 这种90度转两下的情况 只有四个轴 假如我们旋转的是个地球仪
: 这四个轴是通过东西经 45度 和南北纬45度的八个交点的 四根线
: 那假设有个单位球面 我从x轴方向看去 y轴朝右 z轴朝上 上述8个点 我可以可
: 以看到面向我的4个点
: x轴正转 它们就逆时针各跑1/4圆 y轴正转 它们都往下跑1/4圆 那么只有右下这个
: 点 是先往上后往下 跑了个来回 （在球面上路径是个（）形状）净运动是0 所以转
: 轴肯定穿过右下这个点

这想法挺好，学习了！
【 在 Huangchong (净坛使者) 的大作中提到: 】
: 我的答案是这样
: 首先 注意到转轴上的点的特征 是在旋转前后 它们的坐标是不变的 那么寻找转轴
: 就是寻找一个在旋转前后 坐标不变 也不在原点的点
: 前面已经说了 这种90度转两下的情况 只有四个轴 假如我们旋转的是个地球仪
: 这四个轴是通过东西经 45度 和南北纬45度的八个交点的 四根线
: 那假设有个单位球面 我从x轴方向看去 y轴朝右 z轴朝上 上述8个点 我可以可
: 以看到面向我的4个点
: x轴正转 它们就逆时针各跑1/4圆 y轴正转 它们都往下跑1/4圆 那么只有右下这个
: 点 是先往上后往下 跑了个来回 （在球面上路径是个（）形状）净运动是0 所以转
: 轴肯定穿过右下这个点