3桶问题的证明(更新)

l
llaalways
101 楼
漏斗是3/5

【 在 Huangchong (净坛使者) 的大作中提到: 】
哦 gamma无穷大的时候就是漏斗 gamma是-1的时候就是椎体
所以跟柱体需要的时间比 漏斗是2/5的时间 椎体是1.6倍的时间
H
Huangchong
102 楼
哦 最好加一句A=V/H 说明A是相当于同体积同高圆柱的底面积 (我原来以为这些推导脱离了同体积同高的假设) 不然从你对R的定义方法很容易把A误解成底面积 (
如果没仔细看体积公式)

【 在 llaalways (熊大) 的大作中提到: 】
A不是底面积。A是平均面积,也就是柱形桶的底面积。
H
Huangchong
103 楼
哦 对

【 在 llaalways (熊大) 的大作中提到: 】
漏斗是3/5
t
timefall
104 楼
圆锥梯形总能得到解析解,说明如下:

其实圆锥梯形的截面积跟高度是一个最高指数为二次的多项式。

在该高度下,小孔的流速(不是速度是流速),根据博努力型高中物理势能转化为动能,其结果是:把该高度的截面积(高度的二次函数),除以小孔面积(常数),乘以
sqrt(2*g*h)。。。所得到的是半整数指数的多项式,最高指数为 5/2。

把上面求得的小孔流速对于高度的函数,对高度不定积分一次,得到一个半整数指数的多项式,最高指数为 7/2。

而小孔流速对高度的定积分,就是前面不定积分得到的多项式求 h=杯子高度 和 h=0
的差,得到一个杯子高度的半整数指数的多项式,最高指数还是 7/2。

而该定积分等于总容积(常数)除以总时间。所以总时间等于总容积除以前面那个对于杯子总高度的半整数指数的多项式。。。所以总能得到解析解。

【在 Huangchong(净坛使者)的大作中提到:】

:哦 最好加一句A=V/H 说明A是相当于同体积同高圆柱的底面积 (我原来以为这些推导脱离了同体积同高的假设) 不然从你对R的定义方法很容易把A误解成底面积 (
t
timefall
105 楼
由此推而广之,对于所有截面积可以写成高度的有限项实数指数多项式的三维形状,都可以求得解析解。(包括 -3/2 指数,当然这个会出现 -1 指数,然后积分出来 ln(x),稍微有点那个啥。)

【在 timefall(时光崩塌)的大作中提到:】
:圆锥梯形总能得到解析解,说明如下:
t
timefall
106 楼
不过我心算也可能有错,如果有错不能保证实数指数多项式 proof path 的话,那就无法保证回到(closure)两个实数指数多项式相除的解析表达式了(特殊情况有 ln (x) 项)。。。不过这个太费体力了,我懒得复查了。

【在 timefall(时光崩塌)的大作中提到:】
:圆锥梯形总能得到解析解,说明如下:
r
rbs
107 楼
今天下午我算的B桶的初时体积比A 和C 大,不符合已知条件,现修改如下

A: Rtop=5cm, Rbottom=10cm, r=1cm, h=10cm
C: Rtop=10cm, Rbottom=5cm, r=1cm, h=10cm

初时体积=pi*(Rtop^2+Rtop*Rbottom+Rbottom^2)*h/3=1832.6 cm^3

B 初时体积 =pi*R^2*h=1832.6 cm^3

B:R=(1832.6/(pi*h))^1/2=7.6376cm, r=1cm, h=10cm

如果这样,B最后追上A提前流光

【 在 timefall (时光崩塌) 的大作中提到: 】
不过我心算也可能有错,如果有错不能保证实数指数多项式 proof path 的话,那就无
法保证回到(closure)两个实数指数多项式相除的解析表达式了(特殊情况有 ln (x)
项)。。。不过这个太费体力了,我懒得复查了。
:圆锥梯形总能得到解析解,说明如下:
t
timefall
108 楼
我刚才心算了一下。。。因为现在的物理模型是博努力或者博努力伞下的高中物理能量守恒版,那么该模型下,流速不再是高度的单调函数,而是正比于 “高度的根号” 乘以 “该高度下的面积”。。。这样由于我在父母版先前假设的流速对于高度的函数的
单调性不再存在(因为新的更符合实际的物理模型),所以我之前在父母版的心算证明 C 最快也不再正确,虽然其数学证明部分没错。

但这个还是有可能心算证明哪个更快以及最快。。。原因是 “截面积对高度”的定积
分 是一个常数,杯子高度也是一个常数,而 “截面积 乘以 高度的根号”的定积分
最大的时候,最快流光。。。所以理论上存在一种形状,流的最快。。。这个具体函数甚至有可能可以换元积分心算求得解析式。。。我得先对付娃娃,待会儿试试。

【在 rbs(jay)的大作中提到:】
:今天下午我算的B桶的初时体积比A 和C 大,不符合已知条件,现修改如下
t
timefall
109 楼
但这样心算的话,还是应该上大下小更快。。。因为截面积按高度积分是常数,而如果把更多的量放在更高的地方,更多地被乘号放大,这样积分更大。。。当然可能我前面的计算还有错。。。先去对付娃娃。。。

【在 timefall(时光崩塌)的大作中提到:】
:我刚才心算了一下。。。因为现在的物理模型是博努力或者博努力伞下的高中物理能量守恒版,那么该模型下,流速不再是高度的单调函数,而是正比于 “高度的根号” 乘以 “该高度下的面积”。。。这样由于我在父母版先前假设的流速对于高度的函数
的单调性不再存在(因为新的更符合实际的物理模型),所以我之前在父母版的心算证明 C 最快也不再正确,虽然其数学证明部分没错。
r
rbs
110 楼
我不这么认为,桶里的水面下降速度U是下面小孔流速vx(r/R)^2, 如果上大下小,初时的U会很小

【 在 timefall (时光崩塌) 的大作中提到: 】
但这样心算的话,还是应该上大下小更快。。。因为截面积按高度积分是常数,而如果
把更多的量放在更高的地方,更多地被乘号放大,这样积分更大。。。当然可能我前面
的计算还有错。。。先去对付娃娃。。。
:我刚才心算了一下。。。因为现在的物理模型是博努力或者博努力伞下的高中物理能
量守恒版,那么该模型下,流速不再是高度的单调函数,而是正比于 “高度的根号

乘以 “该高度下的面积”。。。这样由于我在父母版先前假设的流速对于高度的函数
的单调性不再存在(因为新的更符合实际的物理模型),所以我之前在父母版的心算证
明 C 最快也不再正确,虽然其数学证明部分没错。
t
timefall
111 楼
我算一下,假设小孔的面积为 s(常量),高度为 h(变量,范围从零到杯子高度 H),(该高度下)液面的面积为 S(h)(为高度的函数),小孔流出的水的速度(不是流
速)为 v。。。那么根据高中物理势能转动能,得:

g*h = (1/2)*(v^2)

化简一下:

sqrt(2*g*h) = v

由体积守恒(理想流体不可压缩),得:
v = (S(h)/s) * (dh/dt)

所以 (dh/dt) = (s/S(h)) * sqrt(2*g*h)

你是对的,高度相对时间的下降率,正比于 高度的根号 除以 该高度下的截面积。。
。我前面两个心算可能有计算错误。

【在 rbs(jay)的大作中提到:】
:我不这么认为,桶里的水面下降速度U是下面小孔流速vx(r/R)^2, 如果上大下小,初时的U会很小
t
timefall
112 楼
继续心算,由前面的 (dh/dt) = (s/S(h)) * sqrt(2*g*h),两边求倒数,得:

dt/dh = (1 / (s * sqrt(2*g))) * (S(h)/sqrt(h))

把这个从 0 到 h 求定积分,得到总时间。

其中的体积相同的题目条件,数学上就是把 S(h) 对 0 到 h 求定积分,是总体积。总体积对三个杯子相同。

【在 timefall(时光崩塌)的大作中提到:】
:我算一下,假设小孔的面积为 s(常量),高度为 h,(该高度下)液面的面积为 S(h)(为高度的函数),小孔流出的水的速度(不是流速)为 v。。。那么根据势能转
动能,得:
t
timefall
113 楼
所以从这个公式看

dt/dh = (1 / (s * sqrt(2*g))) * (S(h)/sqrt(h))

在 S(h) 对 h 的总定积分(从零到杯子高度 H)一定的条件下,如果把更多的面积放
在上边,那由上式(微分小量求和概念)计算定积分得到总时间时,会有更多的部分除以更大的 sqrt(h),那样的话总积分更小,也就是总时间更短。

也就是说,还是上大下小的 C 最快流完。

【在 timefall(时光崩塌)的大作中提到:】
:继续心算,由前面的 (dh/dt) = (s/S(h)) * sqrt(2*g*h),两边求倒数,得:
t
timefall
114 楼
其实把下面这个式子,对 h 变量求定积分(从 h = 0 到 h = H 杯子高度 的范围)就能得到对所有杯子形状的通解。

dt/dh = (1 / (s * sqrt(2*g))) * (S(h)/sqrt(h))

其中变量/常量定义如下:

h :高度变量,范围从 0 到杯子高度 H。

S(h):杯子截面积对于高度的函数,对于给定的杯子是已知函数。。。实际上就是杯子形状的数学表述。

s:杯底小孔面积,对给定的漏水杯子是常量。

g:重力加速度,常量。

而其中物理建模的假设如下:

1. 稳流,准稳态过程。

2. 小孔面积相对杯子截面积足够小,这样杯中水的动能忽略不计。。。粗略估算:小
孔面积小于杯子截面积的 1/25 ,差不多这样的量级。。。否则可能有动能误差和对流误差,导致实际时间比理论计算的更短。

3. 小孔面积相对水分子尺寸足够大,这样水的粘滞阻力忽略不计。。。粗略实验估计
是:小孔直径要大于 1 cm。。。否则有粘滞阻力误差,导致实际时间比理论计算的更
长。

【在 timefall(时光崩塌)的大作中提到:】
:所以从这个公式看
t
timefall
115 楼
而从以下这个式子,也能推断是不是容易得到解析解,具体而言:

dt/dh = (1 / (s * sqrt(2*g))) * (S(h)/sqrt(h))

因为把该式子对于 h 求定积分就得到总时间,所以如果在式子里的 S(h) 是 closed
form expression(也就是杯子形状存在解析表达
式)的前提下,只要 (S(h)/sqrt(h)) 对于变量 h 的不定积分能写成 closed form
expression,那么就存在解析解。

那从这个很容易看出,如果 S(h) 能写成对于高度的实数指数的准多项式,那就一定存在解析解。

而对于杯子形状是旋转对称的情况下,那只要杯子侧边曲线能写成对于高度的实数指数的准多项式,那就一定存在解析解。

其他的杯子形状函数的情况是不是存在解析解,要具体情况来看,但总体概念原则不变。

QED

【在 timefall(时光崩塌)的大作中提到:】
:其实把下面这个式子,对于 h 变量定积分(从 h = 0 到 h = H 杯子高度 的范围)就能得到对所有杯子形状的通解。
r
rbs
116 楼
let's call the initial water height in the vessel H, initial top radius R1, bottom radius R2, hole radius r
at a given time, water height in the vessel is h, flow velocity is U, radius is R,
flow velocity passing the hole is v

U=(2gh)^(1/2)*(r/R)^2

For C vessel

R=R1-(H-h)(R1-R2)/H

U=(2gh)^(1/2){r/[R1-(H-h)(R1-R2)/H]}^2

U=-dh/dt

-dh/dt=(2gh)^(1/2){r/[R1-(H-h)(R1-R2)/H]}^2

t
timefall
117 楼
你这个跟我好像是一样的,只是你写成 dh/dt。。。我是反过来写成 dt/dh,这样可以对 h 定积分就得总时间。。。仅仅是数学上的差别好像。

【在 rbs(jay)的大作中提到:】
:let's call the initial water height in the vessel H, initial top
radius R1, bottom radius R2, hole radius r
:at a given time, water height in the vessel is h, flow velocity is U,
radius is R,
t
timefall
118 楼
我写成 dt/dh 更多是考虑物理图景上直观一些(时空反转后,沿空间轴积分得时间轴
)。。。如果走严格数学解常微分方程的话,这个是典型的变量分离法心算一阶常微分方程。。。也就是写成下面的形式:

dt = (1 / (s * sqrt(2*g))) * (S(h)/sqrt(h)) * dh

然后左边对变量 t 不定积分,右边对变量 h 不定积分,而求解。

那么结果不一致的分歧,看起来是在数学部分而不是物理部分,估计谁有一个心算计算错误。。。

【在 timefall(时光崩塌)的大作中提到:】
:你这个跟我好像是一样的,只是你写成 dh/dt。。。我是反过来写成 dt/dh,这样可以对 h 定积分就得总时间。。。仅仅是数学上的差别好像。
t
timefall
119 楼
如果有人是用数字积分器,或者数值解微分方程的话,取决于具体的实现时的表达式形式,要保证该表达式的形式里不出现 1/h 或者 1/sqrt(h) 之类的(一般通过代数变形避免,实在不行的话考虑换元),否则可能产生函数的 computational condition 太
差(接近被零除,而导致数值积分时出现很大的 floating point round off error)
,而导致数值积分计算误差不可接受。

dt = (1 / (s * sqrt(2*g))) * (S(h)/sqrt(h)) * dh

【在 timefall(时光崩塌)的大作中提到:】
:我写成 dt/dh 更多是考虑物理图景上直观一些(时空反转后,沿空间轴积分得时间
轴)。。。如果走严格数学解常微分方程的话,这个是典型的变量分离解一阶常微分方程。。。也就是写成下面的形式:
x
xuem1
120 楼
赞,简练。

和楼主的结果一摸一样。按照这个参数:R1=2,R2=1,H=1, 替他均为常数,包括小孔r。

用水面的流速做,巧,简练,

用小孔的流量做,实际上把近似提高到了和水面流速一个级别,直观但麻烦。

【 在 rbs (jay) 的大作中提到: 】
let's call the initial water height in the vessel H, initial top radius R1,
bottom radius R2, hole radius r
at a given time, water height in the vessel is h, flow velocity is U,
radius
is R,
flow velocity passing the hole is v
U=(2gh)^(1/2)*(r/R)^2
For C vessel
R=R1-(H-h)(R1-R2)/H
U=(2gh)^(1/2){r/[R1-(H-h)(R1-R2)/H]}^2
U=-dh/dt
...................
x
xuem1
121 楼
你的能量守恒,少了一项水上面的运动,实际上就是伯努利方程:
g*h=1/2v^2+1/2u^2

恭喜,离伯努利只差一步。

【 在 timefall (时光崩塌) 的大作中提到: 】
我算一下,假设小孔的面积为 s(常量),高度为 h(变量,范围从零到杯子高度 H)
,(该高度下)液面的面积为 S(h)(为高度的函数),小孔流出的水的速度(不是流
速)为 v。。。那么根据高中物理势能转动能,得:
g*h = (1/2)*(v^2)
化简一下:
sqrt(2*g*h) = v
由体积守恒(理想流体不可压缩),得:
v = (S(h)/s) * (dh/dt)
所以 (dh/dt) = (s/S(h)) * sqrt(2*g*h)
你是对的,高度相对时间的下降率,正比于 高度的根号 除以 该高度下的截面积。。
...................
x
xuem1
122 楼
对不起,差个符号,应该是:
g*h=1/2v^2-1/2u^2,u指水面下降速度。

但至少,如雷贯耳皓月当空的白努力不是那么可怕了。

【 在 xuem1 (sena) 的大作中提到: 】
你的能量守恒,少了一项水上面的运动,实际上就是伯努利方程:
g*h=1/2v^2+1/2u^2
恭喜,离伯努利只差一步。
t
timefall
123 楼
我前面给了小孔面积不超过杯面或杯底的面积的 1/25 的条件。。。这样小孔的流速是水面下降速度的至少 25 倍。。。对于圆柱杯而言,刚开始水面最高的时候小孔流速最高,也就是整个杯子内的水往下的动能最高,之后速度缓缓降低,所以是一个渐变过程。。。再次因为小孔出水速度,是杯内水的速度的 25 倍,所以整个过程中,杯内水的动能,不会超过总势能的 1/(25^2) = 1/225。。。这样如果水花了 10 秒流完,那考
虑和不考虑杯中水的动能的模型的差别,估计在 0.1 秒的量级,可以忽略。

【在 xuem1(sena)的大作中提到:】
:你的能量守恒,少了一项水上面的运动,实际上就是伯努利方程:
:g*h=1/2v^2+1/2u^2
x
xuem1
124 楼
对不起,看来你已经知道白努力。

这里面rbs用u不用v,楼主用Pir^2v不用v,全是这个白努力捣乱。实际上都是近似,但讲究太大了。

【 在 timefall (时光崩塌) 的大作中提到: 】
我前面给了小孔面积不超过杯面或杯底的面积的 1/25 的条件。。。这样小孔的流速是
水面下降速度的至少 25 倍。。。对于圆柱杯而言,刚开始水面最高的时候小孔流速最
高,也就是整个杯子内的水往下的动能最高,之后速度缓缓降低,所以是一个渐变过程
。。。再次因为小孔出水速度,是杯内水的速度的 25 倍,所以整个过程中,杯内水的
动能,不会超过总势能的 1/(25^2) = 1/225。。。这样如果水花了 10 秒流完,那考
虑和不考虑杯中水的动能的模型的差别,估计在 0.1 秒的量级,可以忽略。
:你的能量守恒,少了一项水上面的运动,实际上就是伯努利方程:
:g*h=1/2v^2+1/2u^2
t
timefall
125 楼
你觉得楼上 rbs 在 111 楼的模型里,有考虑了杯子里水在流出小孔以前的运动的动能?

另外 rbs 在 111 楼的方程,跟我的方程,其实是等价的。。。当然我一开始也看错了,特解没有通解直观,也是人之常情。。。

【在 xuem1(sena)的大作中提到:】
:你的能量守恒,少了一项水上面的运动,实际上就是伯努利方程:
:g*h=1/2v^2+1/2u^2
t
timefall
126 楼
势能。。。

【在 xuem1(sena)的大作中提到:】
:是,rbs就是用杯子里水在流出小孔以前的运动的动能做的。
:【 在 timefall (时光崩塌) 的大作中提到: 】
x
xuem1
127 楼
是,rbs就是用杯子里水在流出小孔以前的运动的动能做的。
【 在 timefall (时光崩塌) 的大作中提到: 】
你觉得楼上 rbs 在 111 楼的模型里,有考虑了杯子里水在流出小孔以前的运动的动能?
另外 rbs 在 111 楼的方程,跟我的方程,其实是等价的。。。当然我一开始也看错了
,特解没有通解直观,也是人之常情。。。
:你的能量守恒,少了一项水上面的运动,实际上就是伯努利方程:
:g*h=1/2v^2+1/2u^2
t
timefall
128 楼
【在 xuem1(sena)的大作中提到:】
对不起,看来你已经知道白努力。
这里面rbs用u不用v,楼主用Pir^2v 不用v,全是这个白努力捣乱。实际上都是近似,
但讲究太大了。
t
timefall
129 楼
当然,引力质量等于惯性质量,导致 mass 的符号 m 在方程两边被约掉,确实容易让
人混淆。。。但是 rbs 在 111 楼的方程里有 g 这个重力加速度符号。。。警察叔叔
说了,如果这一烤肉拉前排坐的两位都叫惯性质量,那这个重力加速度 g 为啥在后座
打酱油?

【在 xuem1(sena)的大作中提到:】
:是,rbs就是用杯子里水在流出小孔以前的运动的动能做的。
:【 在 timefall (时光崩塌) 的大作中提到: 】
x
xuem1
130 楼
有三个能量,如果忽略内部热耗,你要再忽略水面的运动,你忽略的就太多了,不准了。
【 在 timefall (时光崩塌) 的大作中提到: 】
势能。。。
:是,rbs就是用杯子里水在流出小孔以前的运动的动能做的。
: :【 在 timefall (时光崩塌) 的大作中提到: 】
x
xuem1
131 楼
看来你没有理解白努力。别小瞧打酱油的。
那你这个咋来的?
g*h=1/2v^2.

【 在 timefall (时光崩塌) 的大作中提到: 】
当然,引力质量等于惯性质量,导致 mass 的符号 m 在方程两边被约掉,确实容易让
人混淆。。。但是 rbs 在 111 楼的方程里有 g 这个重力加速度符号。。。警察叔叔
说了,如果这一烤肉拉前排坐的两位都叫惯性质量,那这个重力加速度 g 为啥在后座
打酱油?
:是,rbs就是用杯子里水在流出小孔以前的运动的动能做的。
: :【 在 timefall (时光崩塌) 的大作中提到: 】
t
timefall
132 楼
从 t 到 t + delta-t 的时间段,杯子的水位降低了一点点,而同样质量的这一点点水从杯子最底部流出。

假设这一点点水的质量为 m,液面高度为 h,杯子底部小孔里流出的水的速度为 v。。。忽略杯中水的动能变化,由势能转化为动能,得出:

m*g*h = (1/2)*m*(v^2)

由于惯性质量等于引力质量,两边约去 m 得到:

g*h = (1/2)*(v^2)

另外由于理想流体的不可压缩性,也就是体积守恒,得到:

v*s = (dh/dt)*S(h) (其中 s 为小孔面积,S(h) 为液面面积(对于高度的函数))

两式联立,消去 v,得:

sqrt(2*g*h) = (S(h)/s)*(dh/dt)

变量分离准备求解一阶常微分方程,得:

dt = (1/sqrt(2*g*h))*(S(h)/s)*dh

左边对 t 不定积分,右边对 h 不定积分,即可求解。

【在 xuem1(sena)的大作中提到:】
:看来你没有理解白努力。别小瞧打酱油的。
:那你这个咋来的?
:g*h=1/2v^2.
C
CornucopiaX
133 楼
你也find a life....
金枪不老,深B特插。。
你不是学物理的,歇歇吧!

【 在 timefall (时光崩塌) 的大作中提到: 】
从 t 到 t + delta-t 的时间段,杯子的水位降低了一点点,而同样质量的这一点点水
从杯子最底部流出。
假设这一点点水的质量为 m,液面高度为 h,杯子底部小孔里流出的水的速度为 v。。
。忽略杯中水的动能变化,由势能转化为动能,得出:
m*g*h = (1/2)*m*(v^2)
由于惯性质量等于引力质量,两边约去 m 得到:
g*h = (1/2)*(v^2)
另外由于理想流体的不可压缩性,也就是体积守恒,得到:
v*s = (dh/dt)*S (其中 s 为小孔面积,S 为液面面积
:看来你没有理解白努力。别小瞧打酱油的。
...................
x
xuem1
134 楼
你这个结果就是楼主的结果。

但,白努力太复杂了。

你看,你第一个能量守恒忽略了水面运动,你第二个体积守恒又算上了水面运动。有问题。

实际上白努力从欧拉定律而来,用于稳态流速,也就是水流加速度等于0的条件下:

grad v^2-vXcurl v=-grad w
w=SdT+VdP,内能。

三桶问题,水流加速度不等于等于0,白努力不能用。

哎,全白努力了。

【 在 timefall (时光崩塌) 的大作中提到: 】
从 t 到 t + delta-t 的时间段,杯子的水位降低了一点点,而同样质量的这一点点水
从杯子最底部流出。
假设这一点点水的质量为 m,液面高度为 h,杯子底部小孔里流出的水的速度为 v。。
。忽略杯中水的动能变化,由势能转化为动能,得出:
m*g*h = (1/2)*m*(v^2)
由于惯性质量等于引力质量,两边约去 m 得到:
g*h = (1/2)*(v^2)
另外由于理想流体的不可压缩性,也就是体积守恒,得到:
v*s = (dh/dt)*S(h) (其中 s 为小孔面积,S(h) 为液面面积(对于高度的函数))
两式联立,消去 v,得:
...................
t
timefall
135 楼
其实这边很多中学级别的很多 invitational 级别的 math / physics 的题,我常常就算看了
提示答案,也还得想上半天,最后还拍案叫绝。。。这常常是高中甚至初中女生的送分题。。。

说实话,这种智力题,都是山外有山,天外有天,楼外有楼。。。一般人不太参加真正意义上的学科竞赛,没有切身感受。。。真正意义上的学科竞赛里,就算是底层最最不得志的范进炮灰,起点也至少是万里挑一,解蓝翔公开课的题目不是砍瓜切菜也不好意思跟人打招呼(当然偶尔失手或者宝刀生锈也是人之常情)。。。但是真到了真正的学科竞赛里,遇到十万挑一、百万挑一、千万挑一的,那特么觉得自己就就跟傻子差不多。。。真心的说。。。

【在 CornucopiaX(师太)的大作中提到:】
:你也find a life....
t
timefall
136 楼
我昨天在万恶的资本家办公楼里做了实验,实验结果贴在隔壁楼。

实验证实,在小孔孔径大于 1 cm,小孔面积小于杯子截面积的 1/25 的时候,不考虑
杯中水的动能版的博努力方程可以用。。。浪费万恶的资本家两个纸杯,四个回形针,圆珠笔被挪用戳洞两次。。。

我刚才上面还理论说明了那个 1/25。。。不重贴了。

【在 xuem1(sena)的大作中提到:】
:你这个结果就是楼主的结果。
t
timefall
137 楼
美帝 F=ma test,以及祖国相应的测试里,不叫博努力测试或者达西测试的原因,不是说那些人学博努力或者达西比不过大众,也不要一厢情愿觉得那些人解吉米多维奇的能力比不上大众。。。因为那些测试的本质是 problem solving 智力题,并不是要搞科
研成果,也不是要搞工程通火车。。。所以叫 F=ma test,也就是用最基本的知识,换取更多的时间可以花在玩 problem solving 有趣的部分。

【在 xuem1(sena)的大作中提到:】
:你这个结果就是楼主的结果。
t
timefall
138 楼
祖国版 F=ma test 的范进炮灰,的确大部分不去物理系。。。因为虽然很多局外人把 F=ma test 看成物理竞赛,其实本质上是 problem solving 的竞赛,跟物理学关系不
是那么大。。。所需要的物理学知识还远远不到高考范围,根本不是测试物理知识。

当然大部分 pushy mama 一听到 problem solving,脑海里立马条件反射式跳出小学 K 班智商测试的图形 pattern 题。。。

【在 CornucopiaX(师太)的大作中提到:】
:你也find a life....
C
CornucopiaX
139 楼
我初中生物竞赛居然地区二等奖。。我都不知道是怎么来的。

【 在 timefall (时光崩塌) 的大作中提到: 】
祖国版 F=ma test 的范进炮灰,的确大部分不去物理系。。。因为虽然很多局外人

F=ma test 看成物理竞赛,其实本质上是 problem solving 的竞赛,跟物理学关系不
是那么大。。。所需要的物理学知识还远远不到高考范围,根本不是测试物理知识。: 当然大部分 pushy mama 一听到 problem solving,脑海里立马条件反射式跳出小学 K
班智商测试的图形 pattern 题。。。
:你也find a life....
t
timefall
140 楼
不过这题我一开始没想到可以用理想流体加能量守恒来解。。。这种一来总会刀锈,二来在没有先验知识的情况下猜测也有运气成分。。。这种真有需要总可以临时报佛脚刷几遍 leetcode 短期提升人气。。。当然对长期还是没啥用。
t
timefall
141 楼
我初中生物竞赛校内被出局了。。。当然我也不知道生物竞赛的标地是啥。

【在 CornucopiaX(师太)的大作中提到:】
:我初中生物竞赛居然地区二等奖。。我都不知道是怎么来的。
t
timefall
142 楼
“你看,你第一个能量守恒忽略了水面运动,你第二个体积守恒又算上了水面运动。有问题。”

除了实验和前面的分析以外。。。对于这题的物理模型,从概念上而言,体积正比于速度(面积比),为线性函数。。。动能正比于速度的平方(面积比的平方),为二次函数。。。所以取决于面积比的具体比值,存在考虑一个但是忽略另一个的范围区间。

【在 xuem1(sena)的大作中提到:】
:你这个结果就是楼主的结果。
r
rbs
143 楼
我在写桶里的水面下降速度U时用了近似,实际U应该是
U^2/(2g)+h=v^2/(2g)
UR^2=vr^2
U=(2gh) ^(1/2)/[(R/r)^4-1]^(1/2)
由于R>>r, U=(2gh)^(1/2)(r/R)^(1/2)
f
fakestory
144 楼
用能量守恒算,你那不是在算水流,你那是在算喷雾枪呢。你想想你还能有连续的水流吗?

【 在 timefall(时光崩塌) 的大作中提到: 】
不过这题我一开始没想到可以用理想流体加能量守恒来解。。。这种一来总会刀锈,二
来在没有先验知识的情况下猜测也有运气成分。。。这种真有需要总可以临时报佛脚刷
几遍 leetcode 短期提升人气。。。当然对长期还是没啥用。
t
timefall
145 楼
我得庆幸我没有在你那里上物理课。。。我做了简单实验,这个能量守恒模型符合实际。小孔出水时间和速度,跟理论估计差不多。

当然我们当年个别本科的普物课老师可能跟你也差不太多。。。当然具体落到哪一年的学生,看上帝安排。

【在 fakestory(fakestory)的大作中提到:】
:用能量守恒算,你那不是在算水流,你那是在算喷雾枪呢。你想想你还能有连续的水流吗?
t
timefall
146 楼
我说实话我不懂博努力方程。。。但是从能量守恒角度,如果完整地考虑杯子里的水的动能,就不得不考虑杯子里水的动能的变化。。。也就是势能被转化为(1)小孔出口
前后的水的动能差(出口前动能不为零),(2)杯子中的水的动能变化。。。这个第
二项动能变化,即使是稳流假设,也会把整个常微分方程给升级成二阶常微分方程。

如果不出现二阶常微分方程,很可能只考虑上面的第一项,忽略不计第二项。。。当然考虑总是比不考虑更精确一层。

【在 rbs(jay)的大作中提到:】
:我在写桶里的水面下降速度U时用了近似,实际U应该是
:U^2/(2g)+h=v^2/(2g)
r
rbs
147 楼
林子大了什么鸟都有,在买买提上吹牛不收税。我要说我是Jay Leno 的徒弟你也信?

【 在 timefall (时光崩塌) 的大作中提到: 】
我得庆幸我没有在你那里上物理课。。。我做了简单实验,这个能量守恒模型符合实际
。小孔出水时间和速度,跟理论估计差不多。
当然我们当年个别本科的普物课老师可能跟你也差不太多。。。当然具体落到哪一年的
学生,看上帝安排。
:用能量守恒算,你那不是在算水流,你那是在算喷雾枪呢。你想想你还能有连续的水
流吗?
t
timefall
148 楼
哥们这是友军误击嘛。。。我回的是 fakestory 的贴,不是你 rbs 的贴。。。
fakestory 说伊教流体力学课的。。。我那贴是说 fakestory 不是说你 rbs,真话。
。。当然 fakestory 不上物理课,军版 id 吹牛的话,那我也没办法查实不是?

【在 rbs(jay)的大作中提到:】
:林子大了什么鸟都有,在买买提上吹牛不收税。我要说我是Jay Leno 的徒弟你已信
x
xuem1
149 楼
用Navier-Stokes equation, neglect viscosity:

q[dv/dt+(vdv/dh)=-grad p

here q is density, p pressure, v 小孔流速,

p=qgh

dv/dh*(1+(r/R)^2)*dh/dt=c, r,小孔半径,c constant

a=(R1-R2)/R1

(1+2ah/ho+a^2h^2/h0^2)(1+(r/R)^2)dh=cdt

如果忽略(r/R)^2:

t=C(h0 +a*h0^2/h0 + a^2*h0^3/3/h0^2) - (h + a*h^2/h0 + a^2*h^3/3/h0^2)

还是C最快。

如图

: 三桶问题,水流加速度不等于等于0,白努力不能用。

r
rbs
150 楼
Bernoulli方程是能量守恒的变形,把能量方程俩边同除以(流体密度xg)就得到
Bernoulli 方程。

【 在 timefall (时光崩塌) 的大作中提到: 】
我说实话我不懂博努力方程。。。但是从能量守恒角度,如果完整地考虑杯子里的水的
动能,就不得不考虑杯子里水的动能的变化。。。也就是势能被转化为(1)小孔出口
前后的水的动能差(出口前动能不为零),(2)杯子中的水的动能变化。。。这个第
二项动能变化,即使是稳流假设,也会把整个常微分方程给升级成二阶常微分方程。: 如果不出现二阶常微分方程,很可能只考虑上面的第一项,忽略不计第二项。。。当然
考虑总是比不考虑更精确一层。
:我在写桶里的水面下降速度U时用了近似,实际U应该是
:U^2/(2g)+h=v^2/(2g)
t
timefall
151 楼
另外我觉得要查实 fakestory 是真的教物理课,还是军版 id 吹牛不上税。。。这活
我大力举荐月光来干。

我刚搬来三排真皮三人大沙发。。。大伙儿可以坐观 月光 vs fakestory 撕逼大战三
百回合。。。// super fast run

【在 rbs(jay)的大作中提到:】
:林子大了什么鸟都有,在买买提上吹牛不收税。我要说我是Jay Leno 的徒弟你已信
t
timefall
152 楼
谢谢,拿小本本记下了。。。这样的话,博努力方程本身(指不做更多近似的情况下),应该也考虑了动能的变化率,是不是这样?

【在 rbs(jay)的大作中提到:】
:Bernoulli方程是能量守恒的变形,把能量方程俩边同除以(流体密度xg)就得到
:Bernoulli 方程。
t
timefall
153 楼
这个 naive stroke 旱鸭子游泳方程,是基于啥原理?

【在 xuem1(sena)的大作中提到:】
:用Navier-Stokes equation, neglect viscosity:
t
timefall
154 楼
不好意思我刚从游泳池里 naive stroke 出来,游泳镜起雾眼一花,看错了。

【在 timefall(时光崩塌)的大作中提到:】
:这个 naive stroke 旱鸭子游泳方程,是基于啥原理?
x
xuem1
155 楼
抄大数学家欧拉的,再加些粘性啥的。
【 在 timefall (时光崩塌) 的大作中提到: 】
不好意思我刚从游泳池里 naive stroke 出来,游泳镜起雾眼一花,看错了。
:这个 naive stroke 旱鸭子游泳方程,是基于啥原理?
l
llaalways
156 楼
你们真是着了魔了。
白努力就是稳态,不可压,无粘性的N-S方程

【 在 xuem1 (sena) 的大作中提到: 】
抄大数学家欧拉的,再加些粘性啥的。
r
rbs
157 楼
是的,能量守恒是指总能量守恒,包括动能,势能,压强做功,如果忽略由摩擦造成的能量损失

如果能量守恒方程除以(mg), [前面我的回答有误,不是除以(密度xg)], 便得到
Bernoulli 方程,包括3项:

速度头:v^2/2g
高度头:z
压强头: P/(密度g)

在桶里的水面选取一个点:总水力头H1= U^2/(2g)+z1+P1/(密度g)
在小孔水出口选取一个点:总水力头H2=v^2/(2g)+z2+P2/(密度g)

这两点的压强都等于大气压 P1=P2

这两个点的高度差 z1-z2=h

利用能量守恒/(mg), H1=H2:

U^2/(2g)+z1=v^2/(2g)+z2

U^2/(2g)+z1-z2=v^2/(2g)

U^2/(2g)+h=v^2/(2g)

【 在 timefall (时光崩塌) 的大作中提到: 】
谢谢,拿小本本记下了。。。这样的话,博努力方程本身(指不做更多近似的情况下)
,应该也考虑了动能的变化率,是不是这样?
:Bernoulli方程是能量守恒的变形,把能量方程俩边同除以(流体密度xg)就得到
:Bernoulli 方程。
x
xuem1
158 楼
现在问你一个问题:

大圆柱,盛满水,底部有一很小的孔漏水,水面下降均匀还是不均匀?

【 在 llaalways (熊大) 的大作中提到: 】
你们真是着了魔了。
白努力就是稳态,不可压,无粘性的N-S方程
t
timefall
159 楼
流体力学欧拉方程不是个能简单对付的玩意儿,因为偏微分和拉格朗日算子的出现,大部分要 computational simulation。。。对于圆柱体这种约束,可能有巧妙解,但也
不是个容易的事儿。

但欧拉方程本质是不是基于牛顿定律的场方程?这种场方程解暂态问题,比如出现对流甚至漩涡的情况,应该比能量守恒更直接。。。能量守恒容易做过多假设,更适合稳态问题。

不过在稳态的时候,欧拉方程应该跟博努力的结果一致的吧。。。不一致应该是有计算错误或者模型近似错误?

【在 xuem1(sena)的大作中提到:】
:抄大数学家欧拉的,再加些粘性啥的。
:【 在 timefall (时光崩塌) 的大作中提到: 】
t
timefall
160 楼
场方程出现大尺度复杂型漩涡湍流之类的,computational simulation 都不一定照的
。。。因为接近函数极点的情况一旦出现,随便 numerical round off error 来几下
的话,结果到处乱跳。。。8 billions 猴子们的大气方程随便换台机器算,肯定结果
狠不一样,马工曰:nondeterminism。

不过刚才天顶星人发电报说了,宇宙的 determinism 不过就是猴子们的 sensory
illusion 和 cognitive delusion。。。
x
xuem1
161 楼
大数学家欧拉随便写了个方程,不努力拿来一看,看不懂,于是就把其中的加速度变为0,简单了,看懂了,也有其他人看懂了,于是就叫不努力方程。

欧拉没办法,称这些人为民科。

【 在 timefall (时光崩塌) 的大作中提到: 】
流体力学欧拉方程不是个能简单对付的玩意儿,因为偏微分和拉格朗日算子的出现,大
部分要 computational simulation。。。对于圆柱体这种约束,可能有巧妙解,但也
不是个容易的事儿。
但欧拉方程本质是不是基于牛顿定律的场方程?这种场方程解暂态问题,比如出现对流
甚至漩涡的情况,应该比能量守恒更直接。。。能量守恒容易做过多假设,更适合稳态
问题。
不过在稳态的时候,欧拉方程应该跟博努力的结果一致的吧。。。不一致应该是有计算
错误或者模型近似错误?
:抄大数学家欧拉的,再加些粘性啥的。
: :【 在 timefall (时光崩塌) 的大作中提到: 】
r
rbs
162 楼
用Bernoulli 方程算三桶问题的硬伤是在于桶里的水流动不是稳态的,有误差,
好在U<
l
llaalways
163 楼
不均匀

【 在 xuem1 (sena) 的大作中提到: 】
现在问你一个问题:
大圆柱,盛满水,底部有一很小的孔漏水,水面下降均匀还是不均匀?
f
fakestory
164 楼
哈哈哈。。。。。。。。

【 在 xuem1(sena) 的大作中提到: 】
大数学家欧拉随便写了个方程,不努力拿来一看,看不懂,于是就把其中的加速度变为
0,简单了,看懂了,也有其他人看懂了,于是就叫不努力方程。
欧拉没办法,称这些人为民科。
x
xuem1
165 楼
当然,这个欧拉随便写的方程,落到高斯手里的时候,高斯摇摇头,说这么浅显易懂鸡毛蒜皮的东西,还要列方程,到处炫耀,不怕丢人,民科。

【 在 xuem1 (sena) 的大作中提到: 】
大数学家欧拉随便写了个方程,不努力拿来一看,看不懂,于是就把其中的加速度变为
0,简单了,看懂了,也有其他人看懂了,于是就叫不努力方程。
欧拉没办法,称这些人为民科。
l
llaalways
166 楼
是的,非稳态,忽略粘性,这些都是近似。
但桶内流动很慢时,这些都可以忽略不计。

倒是小孔里的流速较大,小孔阻力不应该忽略,不过不影响结论。

在我的公式里K=1就是无粘性的。K>1就走有粘性的。

【 在 rbs (jay) 的大作中提到: 】
用Bernoulli 方程算三桶问题的硬伤是在于桶里的水流动不是稳态的,有误差,
好在U<
r
rbs
167 楼
流体的加速度有两部分组成:

du/dt=au/at+u*au/as

a: 是偏导数,

局部加速度 au/at=0, 并不代表总加速度du/dt=0, 因为对流加速度u*au/as 不等于0

【 在 xuem1 (sena) 的大作中提到: 】
大数学家欧拉随便写了个方程,不努力拿来一看,看不懂,于是就把其中的加速度变为
0,简单了,看懂了,也有其他人看懂了,于是就叫不努力方程。
欧拉没办法,称这些人为民科。
t
timefall
168 楼
fakestory 估计说反话,出现喷雾的情况倒是真需要欧拉这种场方程。。。再难也没办法。。。

【在 xuem1(sena)的大作中提到:】
:当然,这个欧拉随便写的方程,落到高斯手里的时候,高斯摇摇头,说这么浅显易懂鸡毛蒜皮的东西,还要列方程,到处炫耀,不怕丢人,民科。
r
rbs
169 楼
对,没有绝对理论,需要抓住重要的

【 在 llaalways (熊大) 的大作中提到: 】
是的,非稳态,忽略粘性,这些都是近似。
但桶内流动很慢时,这些都可以忽略不计。
倒是小孔里的流速较大,小孔阻力不应该忽略,不过不影响结论。
在我的公式里K=1就是无粘性的。K>1就走有粘性的。
l
llaalways
170 楼
欧拉也是近似,最终还得你们说的那个旱鸭子游泳方程才是人间正道

【 在 timefall (时光崩塌) 的大作中提到: 】
fakestory 估计说反话,出现喷雾的情况倒是真需要欧拉这种场方程。。。再难也没办
法。。。
:当然,这个欧拉随便写的方程,落到高斯手里的时候,高斯摇摇头,说这么浅显易懂
鸡毛蒜皮的东西,还要列方程,到处炫耀,不怕丢人,民科。
t
timefall
171 楼
欧拉主要是自己不会换 engine 机油,所以不知道 Mobil1 0W-40 的机油,跟 Castro 10W-30 有啥区别。

当然实际上欧拉自己也解不出大部分欧拉方程。。。不过欧拉作为数学家,证明存在解就不管了。

【在 llaalways(熊大)的大作中提到:】
:欧拉也是近似,最终还得你们说的那个旱鸭子游泳方程才是人间正道
t
timefall
172 楼
拿小本本记下了。。。看起来是取两个重要点,然后上博努力/能量守恒,然后求解方
程,的解题思路。。。谢谢。

【在 rbs(jay)的大作中提到:】
:是的,能量守恒是指总能量守恒,包括动能,势能,压强做功,如果忽略由摩擦造成的能量损失
x
xuem1
173 楼
对,速度随时间和位置变化,稳态就是对某一点来说,速度不随时间变化。欧拉方程速度变化有两项。

【 在 rbs (jay) 的大作中提到: 】
流体的加速度有两部分组成:
du/dt=au/at+u*au/as
a: 是偏导数,
局部加速度 au/at=0, 并不代表总加速度du/dt=0, 因为对流加速度u*au/as 不等于0
r
rbs
174 楼
Bernoulli 方程是稳态,是从F=ma 推出的,au/at=0, 但 u*au/as 不等于0

【 在 xuem1 (sena) 的大作中提到: 】
对,速度随时间和位置变化,稳态就是对某一点来说,速度不随时间变化。欧拉方程速
度变化有两项。
0
t
timefall
175 楼
我觉得你前面用的 N-S 方程有可能遇到的问题是。。。N-S 跟 博努力不同的是,N-S 如果说流体无粘滞,那个是真正的无粘滞。。。这个可能不是高中物理的理想流体,而是成为超流体。

而这题里面更大的问题是,流体经过小孔以后是无约束的情况(相对小孔以前被重力约束在容器里)。。。而不管博努力还是 N-S 都不考虑流体自己对自己的万有引力。。
。这样博努力把过小孔后近似成水流,本质上是解题者强加的。。。但如果直接用 N-S 或者类似的场方程直接三维 simulation 的话,在绝对无粘滞的情况下,过小孔的水
存在无法凝聚成水流的可能,而形成类似旋转抛物面/体的水雾。。。这样导致小孔的
“动态阻抗”完全不同,形成不同的结果。

当然我没有计算或者做 simulation,以上就是 educated guess。。。错了不管。

【在 xuem1(sena)的大作中提到:】
:对,速度随时间和位置变化,稳态就是对某一点来说,速度不随时间变化。欧拉方程速度变化有两项。
t
timefall
176 楼
或者说,这个 educated guess 基于想象无摩擦刚体小球模型,因为出口是一孔,厚度为零,出口之上有矩形边界约束,likely 不能保证出口小球的动量矢量都严格垂直往
下。。。由
于无粘滞,小球之间无相互无摩擦也没有引力。

当然只是 educated guess,没有看方程具体形式。

【在 timefall(时光崩塌)的大作中提到:】
:我觉得你前面用的 N-S 方程有可能遇到的问题是。。。N-S 跟 博努力不同的是,N-S 如果说流体无粘滞,那个是真正的无粘滞。。。这个可能不是高中物理的理想流体,而是成为超流体。
x
xuem1
177 楼
对,dv/dt=av/at+v*grad v

【 在 rbs (jay) 的大作中提到: 】
Bernoulli 方程是稳态,是从F=ma 推出的,au/at=0, 但 u*au/as 不等于0
x
xuem1
178 楼
看来用不努力是正确的。

这里,v只是高度的函数,如果高度恒定,小孔流速不变。

【 在 xuem1 (sena) 的大作中提到: 】
对,dv/dt=av/at+v*grad v
x
xuem1
179 楼
三桶问题是个稳态问题
【 在 xuem1 (sena) 的大作中提到: 】
看来用不努力是正确的。
这里,v只是高度的函数,如果高度恒定,小孔流速不变。
r
rbs
180 楼
三桶问题其实不是稳态的,因为桶里的水位是变化的(下降)
【 在 xuem1 (sena) 的大作中提到: 】
三桶问题是个稳态问题
x
xuem1
181 楼
但只与位置有关,不是由于时间引起的。定义v=dh/dt.
【 在 rbs (jay) 的大作中提到: 】
三桶问题其实不是稳态的,因为桶里的水位是变化的(下降)
x
xuem1
182 楼
也就是说,高度一定,不管啥时候,流速一定。
【 在 xuem1 (sena) 的大作中提到: 】
但只与位置有关,不是由于时间引起的。定义v=dh/dt.
t
timefall
183 楼
不过这个前提可能还是要孔径够大,外加完全无粘滞。然后是三维仿真无附加假设。

【在 timefall(时光崩塌)的大作中提到:】
:或者说,这个 educated guess 基于想象无摩擦刚体小球模型,因为出口是一孔,厚度为零,出口之上有矩形边界约束,likely 不能保证出口小球的动量矢量都严格垂直往
:下。。。由
t
timefall
184 楼
对于三维 N-S 仿真无附加假设的话,外加液体绝对没有粘滞,那么过小孔是不是直流
或者花洒都不重要了。。。重要的是小孔处没有任何力支持住光滑小球,完全无粘滞的情况,杯中液体完全无法保持准稳态。。。想象一群光滑小球加速下滑。。。这样对于 10 cm 高,10 cm 底径,1 cm 小孔的情况,实际上相当于失去 1/100 的支撑力(平
衡重力),导致差不多 1 秒流光。。。只是现实世界的水不是这种拥有超级流动力的
液体而已。。。换言之就是水的微小粘滞力保持了准稳态,导致博努力方程的适用。

【在 timefall(时光崩塌)的大作中提到:】
:不过这个前提可能还是要孔径够大,外加完全无粘滞。然后是三维仿真无附加假设。:
t
timefall
185 楼
我觉得这个根源在于,中学物理的理想液体,并不是真正无粘滞的不可压缩流体,而是要加上一个附加条件,就是能保持稳态或者准稳态过程。。。也就是说,物理老师说你有,你就有。说你没有,那就是没有。

这也导致中学物理里的牛顿力学和流体力学,基本是两套路子的解题模式。

【在 timefall(时光崩塌)的大作中提到:】
:对于三维 N-S 仿真无附加假设的话,外加液体绝对没有粘滞,那么过小孔是不是直流
:或者花洒都不重要了。。。重要的是小孔处没有任何力支持住光滑小球,完全无粘滞的情况,杯中液体完全无法保持准稳态。。。想象一群光滑小球加速下滑。。。这样对于 10 cm 高,10 cm 底径,1 cm 小孔的情况,实际上相当于失去 1/100 的支撑力(平
t
timefall
186 楼
而且中学物理里面的理想液体,其实不仅不可压缩,而且也不允许雾化小滴其实。。。

【在 timefall(时光崩塌)的大作中提到:】
:我觉得这个根源在于,中学物理的理想液体,并不是真正无粘滞的不可压缩流体,而是要加上一个附加条件,就是能保持稳态或者准稳态过程。。。也就是说,物理老师说你有,你就有。说你没有,那就是没有。
t
timefall
187 楼
考虑不可雾化这个限制,完全无粘滞的,流出来还是水柱,越来越细。

但水杯内应该完全无法保持稳态准稳态,导致一秒流完这种超级流动性液体。

【在 timefall(时光崩塌)的大作中提到:】
:而且中学物理里面的理想液体,其实不仅不可压缩,而且也不允许雾化小滴其实。。。
t
timefall
188 楼
或者说,超级流动性液体的特征,是只保持容积,完全不考虑保持形状,形状就是百分之百的随遇而安。。。这种中学超级流动性液体的情况,好像难以想象。

【在 timefall(时光崩塌)的大作中提到:】
:考虑不可雾化这个限制,完全无粘滞的,流出来还是水柱,越来越细。
t
timefall
189 楼
从这个角度看,现实世界的水,以及博努力方程里的理想流体,要看成是微小粘滞的液体,而不是绝对零粘滞的超级流动性液体。。。否则就像超导体一样,一旦产生一个微小回流就能永远存在,永不停歇,导致准稳态永远不能到达。

【在 timefall(时光崩塌)的大作中提到:】
:或者说,超级流动性液体的特征,是只保持容积,完全不考虑保持形状,形状就是百分之百的随遇而安。。。这种中学超级流动性液体的情况,好像难以想象。
f
fakestory
190 楼
你终于想明白了一点了啊。哈哈哈。你要用白努力方程,必须保证速度的散度是零,假设液体不可压。你小孔上方的速度为零的假设是没法成立的。你再想想。

【 在 timefall(时光崩塌) 的大作中提到: 】
考虑不可雾化这个限制,完全无粘滞的,流出来还是水柱,越来越细。
但水杯内应该完全无法保持稳态准稳态,导致一秒流完这种超级流动性液体。
:而且中学物理里面的理想液体,其实不仅不可压缩,而且也不允许雾化小滴其实。。。
t
timefall
191 楼
完全严格的都不行,都是近似。

我觉得更形象的例子,是上次那个鸭蹼问题。。。我们之间的差异是,你所说的无粘滞,指理论无粘滞的超级流动性液体,也就是在相同的能量下完全不必保持形状的液体。。。这个在某些情况下都无法用无摩擦刚体小球来想象,只能数学的抽象的想象。。。在这种情况下,你说的用鸭璞搅水就跟用搅屎棍一样,水不会动。。。这确实是事实,因为鸭璞/搅屎棍前面的水,其实好比是 quantum tunnel 到 鸭璞/搅屎棍 后面去的,也就是数学上的同等能量不同形状,对于超级流动性液体毫无压力。。。鸭璞上都无法感受到踩水阻力。

但通常中学物理的无粘滞液体,指粘滞微小的液体。。。这样鸭璞划水虽然不是靠粘滞而是靠反推水的质量,但至少水不会像超级流动性液体那样 quantum tunnel 到鸭璞的反面去,搞得推水都是一场空。

【在 fakestory(fakestory)的大作中提到:】
:你终于想明白了一点了啊。哈哈哈。你要用白努力方程,必须保证速度的散度是零,假设液体不可压。你小孔上方的速度为零的假设是没法成立的。你再想想。
t
timefall
192 楼
或者在数学模型上,这个完全无粘滞导致超级流动性液体,导致鸭璞不划,跟实数连续性(无限可分)有一定关系(因为都是基于实数的模型)。

打个不恰当的比方,这个跟理论数学里的 Banach–Tarski paradox 有点异曲同工之处。。。

但自然里的水,分到水分子咋都不能再分了(指流体力学)。。。

【在 timefall(时光崩塌)的大作中提到:】
:完全严格的都不行,都是近似。
t
timefall
193 楼
或者打个比方说,好比不能因为 Banach–Tarski paradox 的存在,就干脆 AMC 12 的几何面积体积题就干脆统统不做算了。。。虽然这本质也是数学老师说不许用 axiom
of choice 就只好不用,物理老师说不准用绝对零粘滞也一样,本质上都属于高中大学老师们的霸王条款。。。但天顶星人说,这 8 billions 猴子搞出来的理论就是这么漏洞百出也没啥办法,能凑合着用就不错了。。。

【在 timefall(时光崩塌)的大作中提到:】
:或者在数学模型上,这个完全无粘滞导致超级流动性液体,导致鸭璞不划,跟实数连续性(无限可分)有一定关系(因为都是实数模型)。
f
fakestory
194 楼
你没明白我在说什么。欧拉方程的连续条件是速度散度是零。白努力方程是欧拉方程的一个特殊情况。没人说近似不可以用。只是你这种近似法,我看傻眼了。

【 在 timefall(时光崩塌) 的大作中提到: 】
或者打个比方说,好比不能因为 Banach–Tarski paradox 的存在,就干脆 AMC 12 的
几何面积体积题就干脆统统不做算了。。。虽然这本质也是数学老师说不许用
axiom
of choice 就只好不用,物理老师说不准用绝对零粘滞也一样,本质上都属于高中大学
老师们的霸王条款。。。但天顶星人说,这 8 billions 猴子搞出来的理论就是这么漏
洞百出也没啥办法,能凑合着用就不错了。。。
:或者在数学模型上,这个完全无粘滞导致超级流动性液体,导致鸭璞不划,跟实数连
续性(无限可分)有一定关系(因为都是实数模型)。
l
llaalways
195 楼
不对。
水位一定,流速一定。
并不是在同一高度的流速不随时间变化。
对于柱形桶来说,桶内垂直流速在同一时间是基本相同的。靠近桶底除外。

【 在 xuem1 (sena) 的大作中提到: 】
也就是说,高度一定,不管啥时候,流速一定。
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fakestory
196 楼
我说的是不存在粘滞力的情况下,你也要有物质守恒啊。。。
所以白努力方程根本没法用。

【 在 timefall (时光崩塌) 的大作中提到: 】
或者打个比方说,好比不能因为 Banach–Tarski paradox 的存在,就干脆 AMC 12 的
几何面积体积题就干脆统统不做算了。。。虽然这本质也是数学老师说不许用 axiom
of choice 就只好不用,物理老师说不准用绝对零粘滞也一样,本质上都属于高中大学
老师们的霸王条款。。。但天顶星人说,这 8 billions 猴子搞出来的理论就是这么漏
洞百出也没啥办法,能凑合着用就不错了。。。
:或者在数学模型上,这个完全无粘滞导致超级流动性液体,导致鸭璞不划,跟实数连
续性(无限可分)有一定关系(因为都是实数模型)。
t
timefall
197 楼
小孔上方的速度,以及速度的旋度,对能量守恒的影响很小,忽略不计,所以近似成白努力。。。一般物理里面物质不灭不去违反的。

当然理论数学家的 Banach–Tarski paradox 连物质不灭都无所谓了其实。

【在 fakestory(fakestory)的大作中提到:】
:我说的是不存在粘滞力的情况下,你也要有物质守恒啊。。。
:所以白努力方程根本没法用。
l
llaalways
198 楼
白努力方程不违反质量守恒。

时间上白努力方程就是稳态的无粘滞的质量守恒+动量守恒。

白努力方程并没有涉及到N-S 3个守恒方程里的能量方程。
但从质量守恒+动量守恒,可以推到出动能+势能守恒。

【 在 fakestory (fakestory) 的大作中提到: 】
我说的是不存在粘滞力的情况下,你也要有物质守恒啊。。。
所以白努力方程根本没法用。
t
timefall
199 楼
而完全无粘滞的超级流动性液体的问题,确实是在于这里。

假想堵住小孔的手指一旦松开,由于小孔的支撑力不存在。。。而超级流动性液体完全没有粘滞力支撑,导致小孔上方直接到水面的整个水柱“企图”以重力加速度自由落体。。。达不到真正的自由落体水柱是因为容积守恒要求,四周的水涌过来补缺。。。而小孔旁边的杯底的支撑力并没有消失,所以超级流动性液体以不旋转的漩涡的样子中心塌陷,速度场在竖直平面里形成旋度。。。没有任何粘滞力会跳出来阻止这样的旋度,以致旋度愈演愈烈,整个水在 1 秒钟左右塌陷流干(10 cm 高度,10 cm 底径,1 cm 小孔)。。。完全不进入稳态准稳态过程。

但以上这个是完全无粘滞的超级流动性液体,不是自然界的水。

【在 timefall(时光崩塌)的大作中提到:】
:小孔上方的速度,以及速度的旋度,对能量守恒的影响很小,忽略不计,所以近似成白努力。。。一般物理里面物质不灭不去违反的。
t
timefall
200 楼
而自然界的水,有着微小的粘滞力,而不是完全无粘滞的超级流动性液体。

这微小的粘滞力虽然不会把一杯水变成一块冰,但是因为这微小的粘滞力提供了微小的保持原来形状的意愿。。。这种意愿虽然很小,但在小孔较小的时候,能阻止移开堵住小孔手指的效应直接无阻尼到达水面。。。同时这种微小的保持形状的意愿,也阻止了旋度不受限制的愈演愈烈,把旋度控制在一个很小的范围。。。这个微小的粘滞,对能量守恒的影响忽略不计,但对平衡态维持的贡献极大。。。形象的比方,就好比一只看不见的手保持索男平衡在男子平衡木和花样滑冰场上。。。这最终使得白努力方程能够出鞘。

所以这讽刺的是,虽然白努力傲慢地把粘滞力踢出了教室。。。但那个躲在讲台下面的微小的粘滞力,使得白努力的教室没有塌方。。。

【在 timefall(时光崩塌)的大作中提到:】
:而完全无粘滞的超级流动性液体的问题,确实是在于这里。