let's call the initial water height in the vessel H, initial top radius R1, bottom radius R2, hole radius r at a given time, water height in the vessel is h, flow velocity is U, radius is R, flow velocity passing the hole is v
你这个跟我好像是一样的，只是你写成 dh/dt。。。我是反过来写成 dt/dh，这样可以对 h 定积分就得总时间。。。仅仅是数学上的差别好像。
【在 rbs(jay)的大作中提到：】 ：let's call the initial water height in the vessel H, initial top radius R1, bottom radius R2, hole radius r ：at a given time, water height in the vessel is h, flow velocity is U, radius is R,
【 在 rbs (jay) 的大作中提到: 】 let's call the initial water height in the vessel H, initial top radius R1, bottom radius R2, hole radius r at a given time, water height in the vessel is h, flow velocity is U, radius is R, flow velocity passing the hole is v U=(2gh)^(1/2)*(r/R)^2 For C vessel R=R1-(H-h)(R1-R2)/H U=(2gh)^(1/2){r/[R1-(H-h)(R1-R2)/H]}^2 U=-dh/dt ...................
【 在 timefall (时光崩塌) 的大作中提到: 】 祖国版 F=ma test 的范进炮灰，的确大部分不去物理系。。。因为虽然很多局外人 把 F=ma test 看成物理竞赛，其实本质上是 problem solving 的竞赛，跟物理学关系不 是那么大。。。所需要的物理学知识还远远不到高考范围，根本不是测试物理知识。: 当然大部分 pushy mama 一听到 problem solving，脑海里立马条件反射式跳出小学 K 班智商测试的图形 pattern 题。。。 ：你也find a life....
【在 timefall(时光崩塌)的大作中提到：】 ：对于三维 N-S 仿真无附加假设的话，外加液体绝对没有粘滞，那么过小孔是不是直流 ：或者花洒都不重要了。。。重要的是小孔处没有任何力支持住光滑小球，完全无粘滞的情况，杯中液体完全无法保持准稳态。。。想象一群光滑小球加速下滑。。。这样对于 10 cm 高，10 cm 底径，1 cm 小孔的情况，实际上相当于失去 1/100 的支撑力（平
假想堵住小孔的手指一旦松开，由于小孔的支撑力不存在。。。而超级流动性液体完全没有粘滞力支撑，导致小孔上方直接到水面的整个水柱“企图”以重力加速度自由落体。。。达不到真正的自由落体水柱是因为容积守恒要求，四周的水涌过来补缺。。。而小孔旁边的杯底的支撑力并没有消失，所以超级流动性液体以不旋转的漩涡的样子中心塌陷，速度场在竖直平面里形成旋度。。。没有任何粘滞力会跳出来阻止这样的旋度，以致旋度愈演愈烈，整个水在 1 秒钟左右塌陷流干（10 cm 高度，10 cm 底径，1 cm 小孔）。。。完全不进入稳态准稳态过程。
如果没仔细看体积公式）
其实圆锥梯形的截面积跟高度是一个最高指数为二次的多项式。
在该高度下，小孔的流速（不是速度是流速），根据博努力型高中物理势能转化为动能，其结果是：把该高度的截面积（高度的二次函数），除以小孔面积（常数），乘以
sqrt(2*g*h）。。。所得到的是半整数指数的多项式，最高指数为 5/2。
把上面求得的小孔流速对于高度的函数，对高度不定积分一次，得到一个半整数指数的多项式，最高指数为 7/2。
而小孔流速对高度的定积分，就是前面不定积分得到的多项式求 h=杯子高度 和 h=0
的差，得到一个杯子高度的半整数指数的多项式，最高指数还是 7/2。
而该定积分等于总容积（常数）除以总时间。所以总时间等于总容积除以前面那个对于杯子总高度的半整数指数的多项式。。。所以总能得到解析解。
A: Rtop=5cm, Rbottom=10cm, r=1cm, h=10cm
C: Rtop=10cm, Rbottom=5cm, r=1cm, h=10cm
初时体积=pi*(Rtop^2+Rtop*Rbottom+Rbottom^2)*h/3=1832.6 cm^3
B 初时体积 =pi*R^2*h=1832.6 cm^3
B：R=(1832.6/(pi*h))^1/2=7.6376cm, r=1cm, h=10cm
如果这样，B最后追上A提前流光
单调性不再存在（因为新的更符合实际的物理模型），所以我之前在父母版的心算证明 C 最快也不再正确，虽然其数学证明部分没错。
但这个还是有可能心算证明哪个更快以及最快。。。原因是 “截面积对高度”的定积
分 是一个常数，杯子高度也是一个常数，而 “截面积 乘以 高度的根号”的定积分
最大的时候，最快流光。。。所以理论上存在一种形状，流的最快。。。这个具体函数甚至有可能可以换元积分心算求得解析式。。。我得先对付娃娃，待会儿试试。
速）为 v。。。那么根据高中物理势能转动能，得：
g*h = (1/2)*(v^2)
化简一下：
sqrt(2*g*h) = v
由体积守恒（理想流体不可压缩），得：
v = (S(h)/s) * (dh/dt)
所以 (dh/dt) = (s/S(h)) * sqrt(2*g*h)
你是对的，高度相对时间的下降率，正比于 高度的根号 除以 该高度下的截面积。。
。我前面两个心算可能有计算错误。
dt/dh = (1 / (s * sqrt(2*g))) * (S(h)/sqrt(h))
把这个从 0 到 h 求定积分，得到总时间。
其中的体积相同的题目条件，数学上就是把 S(h) 对 0 到 h 求定积分，是总体积。总体积对三个杯子相同。
dt/dh = (1 / (s * sqrt(2*g))) * (S(h)/sqrt(h))
在 S(h) 对 h 的总定积分（从零到杯子高度 H）一定的条件下，如果把更多的面积放
在上边，那由上式（微分小量求和概念）计算定积分得到总时间时，会有更多的部分除以更大的 sqrt(h)，那样的话总积分更小，也就是总时间更短。
也就是说，还是上大下小的 C 最快流完。
dt/dh = (1 / (s * sqrt(2*g))) * (S(h)/sqrt(h))
其中变量/常量定义如下：
h ：高度变量，范围从 0 到杯子高度 H。
S(h)：杯子截面积对于高度的函数，对于给定的杯子是已知函数。。。实际上就是杯子形状的数学表述。
s：杯底小孔面积，对给定的漏水杯子是常量。
g：重力加速度，常量。
而其中物理建模的假设如下：
1. 稳流，准稳态过程。
2. 小孔面积相对杯子截面积足够小，这样杯中水的动能忽略不计。。。粗略估算：小
孔面积小于杯子截面积的 1/25 ，差不多这样的量级。。。否则可能有动能误差和对流误差，导致实际时间比理论计算的更短。
3. 小孔面积相对水分子尺寸足够大，这样水的粘滞阻力忽略不计。。。粗略实验估计
是：小孔直径要大于 1 cm。。。否则有粘滞阻力误差，导致实际时间比理论计算的更
长。
dt/dh = (1 / (s * sqrt(2*g))) * (S(h)/sqrt(h))
因为把该式子对于 h 求定积分就得到总时间，所以如果在式子里的 S(h) 是 closed
form expression（也就是杯子形状存在解析表达
式）的前提下，只要 (S(h)/sqrt(h)) 对于变量 h 的不定积分能写成 closed form
expression，那么就存在解析解。
那从这个很容易看出，如果 S(h) 能写成对于高度的实数指数的准多项式，那就一定存在解析解。
而对于杯子形状是旋转对称的情况下，那只要杯子侧边曲线能写成对于高度的实数指数的准多项式，那就一定存在解析解。
其他的杯子形状函数的情况是不是存在解析解，要具体情况来看，但总体概念原则不变。
QED
at a given time, water height in the vessel is h, flow velocity is U, radius is R,
flow velocity passing the hole is v
U=(2gh)^(1/2)*(r/R)^2
For C vessel
R=R1-(H-h)(R1-R2)/H
U=(2gh)^(1/2){r/[R1-(H-h)(R1-R2)/H]}^2
U=-dh/dt
-dh/dt=(2gh)^(1/2){r/[R1-(H-h)(R1-R2)/H]}^2
）。。。如果走严格数学解常微分方程的话，这个是典型的变量分离法心算一阶常微分方程。。。也就是写成下面的形式：
dt = (1 / (s * sqrt(2*g))) * (S(h)/sqrt(h)) * dh
然后左边对变量 t 不定积分，右边对变量 h 不定积分，而求解。
那么结果不一致的分歧，看起来是在数学部分而不是物理部分，估计谁有一个心算计算错误。。。
差（接近被零除，而导致数值积分时出现很大的 floating point round off error）
，而导致数值积分计算误差不可接受。
dt = (1 / (s * sqrt(2*g))) * (S(h)/sqrt(h)) * dh
和楼主的结果一摸一样。按照这个参数：R1=2,R2=1,H=1, 替他均为常数，包括小孔r。
用水面的流速做，巧，简练，
用小孔的流量做，实际上把近似提高到了和水面流速一个级别，直观但麻烦。
g*h=1/2v^2+1/2u^2
恭喜，离伯努利只差一步。
g*h=1/2v^2－1/2u^2，u指水面下降速度。
但至少，如雷贯耳皓月当空的白努力不是那么可怕了。
虑和不考虑杯中水的动能的模型的差别，估计在 0.1 秒的量级，可以忽略。
这里面rbs用u不用v，楼主用Pir^2v不用v，全是这个白努力捣乱。实际上都是近似，但讲究太大了。
另外 rbs 在 111 楼的方程，跟我的方程，其实是等价的。。。当然我一开始也看错了，特解没有通解直观，也是人之常情。。。
人混淆。。。但是 rbs 在 111 楼的方程里有 g 这个重力加速度符号。。。警察叔叔
说了，如果这一烤肉拉前排坐的两位都叫惯性质量，那这个重力加速度 g 为啥在后座
打酱油？
那你这个咋来的？
g*h=1/2v^2.
假设这一点点水的质量为 m，液面高度为 h，杯子底部小孔里流出的水的速度为 v。。。忽略杯中水的动能变化，由势能转化为动能，得出：
m*g*h = (1/2)*m*(v^2)
由于惯性质量等于引力质量，两边约去 m 得到：
g*h = (1/2)*(v^2)
另外由于理想流体的不可压缩性，也就是体积守恒，得到：
v*s = (dh/dt)*S(h) （其中 s 为小孔面积，S(h) 为液面面积（对于高度的函数））
两式联立，消去 v，得：
sqrt(2*g*h) = (S(h)/s)*(dh/dt)
变量分离准备求解一阶常微分方程，得：
dt = (1/sqrt(2*g*h))*(S(h)/s)*dh
左边对 t 不定积分，右边对 h 不定积分，即可求解。
金枪不老，深B特插。。
你不是学物理的，歇歇吧！
但，白努力太复杂了。
你看，你第一个能量守恒忽略了水面运动，你第二个体积守恒又算上了水面运动。有问题。
实际上白努力从欧拉定律而来，用于稳态流速，也就是水流加速度等于0的条件下：
grad v^2-vXcurl v=-grad w
w=SdT+VdP,内能。
三桶问题，水流加速度不等于等于0，白努力不能用。
哎，全白努力了。
提示答案，也还得想上半天，最后还拍案叫绝。。。这常常是高中甚至初中女生的送分题。。。
说实话，这种智力题，都是山外有山，天外有天，楼外有楼。。。一般人不太参加真正意义上的学科竞赛，没有切身感受。。。真正意义上的学科竞赛里，就算是底层最最不得志的范进炮灰，起点也至少是万里挑一，解蓝翔公开课的题目不是砍瓜切菜也不好意思跟人打招呼（当然偶尔失手或者宝刀生锈也是人之常情）。。。但是真到了真正的学科竞赛里，遇到十万挑一、百万挑一、千万挑一的，那特么觉得自己就就跟傻子差不多。。。真心的说。。。
实验证实，在小孔孔径大于 1 cm，小孔面积小于杯子截面积的 1/25 的时候，不考虑
杯中水的动能版的博努力方程可以用。。。浪费万恶的资本家两个纸杯，四个回形针，圆珠笔被挪用戳洞两次。。。
我刚才上面还理论说明了那个 1/25。。。不重贴了。
研成果，也不是要搞工程通火车。。。所以叫 F=ma test，也就是用最基本的知识，换取更多的时间可以花在玩 problem solving 有趣的部分。
是那么大。。。所需要的物理学知识还远远不到高考范围，根本不是测试物理知识。
当然大部分 pushy mama 一听到 problem solving，脑海里立马条件反射式跳出小学 K 班智商测试的图形 pattern 题。。。
除了实验和前面的分析以外。。。对于这题的物理模型，从概念上而言，体积正比于速度（面积比），为线性函数。。。动能正比于速度的平方（面积比的平方），为二次函数。。。所以取决于面积比的具体比值，存在考虑一个但是忽略另一个的范围区间。
U^2/(2g)+h=v^2/(2g)
UR^2=vr^2
U=(2gh) ^(1/2)/[(R/r)^4-1]^(1/2)
由于R>>r, U=(2gh)^(1/2)(r/R)^(1/2)
当然我们当年个别本科的普物课老师可能跟你也差不太多。。。当然具体落到哪一年的学生，看上帝安排。
前后的水的动能差（出口前动能不为零），（2）杯子中的水的动能变化。。。这个第
二项动能变化，即使是稳流假设，也会把整个常微分方程给升级成二阶常微分方程。
如果不出现二阶常微分方程，很可能只考虑上面的第一项，忽略不计第二项。。。当然考虑总是比不考虑更精确一层。
fakestory 说伊教流体力学课的。。。我那贴是说 fakestory 不是说你 rbs，真话。
。。当然 fakestory 不上物理课，军版 id 吹牛的话，那我也没办法查实不是？
q[dv/dt+(vdv/dh)=-grad p
here q is density, p pressure, v 小孔流速，
p=qgh
dv/dh*(1+(r/R)^2)*dh/dt=c, r,小孔半径，c constant
a=(R1-R2)/R1
(1+2ah/ho+a^2h^2/h0^2)(1+(r/R)^2)dh=cdt
如果忽略(r/R)^2:
t=C(h0 +a*h0^2/h0 + a^2*h0^3/3/h0^2) - (h + a*h^2/h0 + a^2*h^3/3/h0^2)
还是C最快。
如图
: 三桶问题，水流加速度不等于等于0，白努力不能用。
Bernoulli 方程。
我大力举荐月光来干。
我刚搬来三排真皮三人大沙发。。。大伙儿可以坐观 月光 vs fakestory 撕逼大战三
百回合。。。// super fast run
白努力就是稳态，不可压，无粘性的N-S方程
如果能量守恒方程除以(mg), [前面我的回答有误，不是除以（密度xg)], 便得到
Bernoulli 方程，包括3项：
速度头：v^2/2g
高度头：z
压强头： P/(密度g）
在桶里的水面选取一个点：总水力头H1= U^2/(2g)+z1+P1/(密度g)
在小孔水出口选取一个点：总水力头H2=v^2/(2g)+z2+P2/(密度g)
这两点的压强都等于大气压 P1=P2
这两个点的高度差 z1-z2=h
利用能量守恒／(mg), H1=H2:
U^2/(2g)+z1=v^2/(2g)+z2
U^2/(2g)+z1-z2=v^2/(2g)
U^2/(2g)+h=v^2/(2g)
大圆柱，盛满水，底部有一很小的孔漏水，水面下降均匀还是不均匀？
不是个容易的事儿。
但欧拉方程本质是不是基于牛顿定律的场方程？这种场方程解暂态问题，比如出现对流甚至漩涡的情况，应该比能量守恒更直接。。。能量守恒容易做过多假设，更适合稳态问题。
不过在稳态的时候，欧拉方程应该跟博努力的结果一致的吧。。。不一致应该是有计算错误或者模型近似错误？
。。。因为接近函数极点的情况一旦出现，随便 numerical round off error 来几下
的话，结果到处乱跳。。。8 billions 猴子们的大气方程随便换台机器算，肯定结果
狠不一样，马工曰：nondeterminism。
不过刚才天顶星人发电报说了，宇宙的 determinism 不过就是猴子们的 sensory
illusion 和 cognitive delusion。。。
欧拉没办法，称这些人为民科。
好在U<
但桶内流动很慢时，这些都可以忽略不计。
倒是小孔里的流速较大，小孔阻力不应该忽略，不过不影响结论。
在我的公式里K=1就是无粘性的。K>1就走有粘性的。
du/dt=au/at+u*au/as
a: 是偏导数，
局部加速度 au/at=0， 并不代表总加速度du/dt=0, 因为对流加速度u*au/as 不等于0
当然实际上欧拉自己也解不出大部分欧拉方程。。。不过欧拉作为数学家，证明存在解就不管了。
程，的解题思路。。。谢谢。
而这题里面更大的问题是，流体经过小孔以后是无约束的情况（相对小孔以前被重力约束在容器里）。。。而不管博努力还是 N-S 都不考虑流体自己对自己的万有引力。。
。这样博努力把过小孔后近似成水流，本质上是解题者强加的。。。但如果直接用 N-S 或者类似的场方程直接三维 simulation 的话，在绝对无粘滞的情况下，过小孔的水
存在无法凝聚成水流的可能，而形成类似旋转抛物面/体的水雾。。。这样导致小孔的
“动态阻抗”完全不同，形成不同的结果。
当然我没有计算或者做 simulation，以上就是 educated guess。。。错了不管。
下。。。由
于无粘滞，小球之间无相互无摩擦也没有引力。
当然只是 educated guess，没有看方程具体形式。
这里，v只是高度的函数，如果高度恒定，小孔流速不变。
或者花洒都不重要了。。。重要的是小孔处没有任何力支持住光滑小球，完全无粘滞的情况，杯中液体完全无法保持准稳态。。。想象一群光滑小球加速下滑。。。这样对于 10 cm 高，10 cm 底径，1 cm 小孔的情况，实际上相当于失去 1/100 的支撑力（平
衡重力），导致差不多 1 秒流光。。。只是现实世界的水不是这种拥有超级流动力的
液体而已。。。换言之就是水的微小粘滞力保持了准稳态，导致博努力方程的适用。
这也导致中学物理里的牛顿力学和流体力学，基本是两套路子的解题模式。
但水杯内应该完全无法保持稳态准稳态，导致一秒流完这种超级流动性液体。
我觉得更形象的例子，是上次那个鸭蹼问题。。。我们之间的差异是，你所说的无粘滞，指理论无粘滞的超级流动性液体，也就是在相同的能量下完全不必保持形状的液体。。。这个在某些情况下都无法用无摩擦刚体小球来想象，只能数学的抽象的想象。。。在这种情况下，你说的用鸭璞搅水就跟用搅屎棍一样，水不会动。。。这确实是事实，因为鸭璞/搅屎棍前面的水，其实好比是 quantum tunnel 到 鸭璞/搅屎棍 后面去的，也就是数学上的同等能量不同形状，对于超级流动性液体毫无压力。。。鸭璞上都无法感受到踩水阻力。
但通常中学物理的无粘滞液体，指粘滞微小的液体。。。这样鸭璞划水虽然不是靠粘滞而是靠反推水的质量，但至少水不会像超级流动性液体那样 quantum tunnel 到鸭璞的反面去，搞得推水都是一场空。
打个不恰当的比方，这个跟理论数学里的 Banach–Tarski paradox 有点异曲同工之处。。。
但自然里的水，分到水分子咋都不能再分了（指流体力学）。。。
of choice 就只好不用，物理老师说不准用绝对零粘滞也一样，本质上都属于高中大学老师们的霸王条款。。。但天顶星人说，这 8 billions 猴子搞出来的理论就是这么漏洞百出也没啥办法，能凑合着用就不错了。。。
水位一定，流速一定。
并不是在同一高度的流速不随时间变化。
对于柱形桶来说，桶内垂直流速在同一时间是基本相同的。靠近桶底除外。
所以白努力方程根本没法用。
当然理论数学家的 Banach–Tarski paradox 连物质不灭都无所谓了其实。
时间上白努力方程就是稳态的无粘滞的质量守恒+动量守恒。
白努力方程并没有涉及到N-S 3个守恒方程里的能量方程。
但从质量守恒+动量守恒，可以推到出动能+势能守恒。
假想堵住小孔的手指一旦松开，由于小孔的支撑力不存在。。。而超级流动性液体完全没有粘滞力支撑，导致小孔上方直接到水面的整个水柱“企图”以重力加速度自由落体。。。达不到真正的自由落体水柱是因为容积守恒要求，四周的水涌过来补缺。。。而小孔旁边的杯底的支撑力并没有消失，所以超级流动性液体以不旋转的漩涡的样子中心塌陷，速度场在竖直平面里形成旋度。。。没有任何粘滞力会跳出来阻止这样的旋度，以致旋度愈演愈烈，整个水在 1 秒钟左右塌陷流干（10 cm 高度，10 cm 底径，1 cm 小孔）。。。完全不进入稳态准稳态过程。
但以上这个是完全无粘滞的超级流动性液体，不是自然界的水。
这微小的粘滞力虽然不会把一杯水变成一块冰，但是因为这微小的粘滞力提供了微小的保持原来形状的意愿。。。这种意愿虽然很小，但在小孔较小的时候，能阻止移开堵住小孔手指的效应直接无阻尼到达水面。。。同时这种微小的保持形状的意愿，也阻止了旋度不受限制的愈演愈烈，把旋度控制在一个很小的范围。。。这个微小的粘滞，对能量守恒的影响忽略不计，但对平衡态维持的贡献极大。。。形象的比方，就好比一只看不见的手保持索男平衡在男子平衡木和花样滑冰场上。。。这最终使得白努力方程能够出鞘。
所以这讽刺的是，虽然白努力傲慢地把粘滞力踢出了教室。。。但那个躲在讲台下面的微小的粘滞力，使得白努力的教室没有塌方。。。