回头再看几何原本里的证明http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookIX/propIX20.html 欧几里得在结论里明确指出： Therefore, prime numbers are more than any assigned multitude of prime numbers.
Proposition 20 Prime numbers are more than any assigned multitude of prime numbers. Let A, B, and C be the assigned prime numbers. I say that there are more prime numbers than A, B, and C. Take the least number DE measured by A, B, and C. Add the unit DF to DE. Then EF is either prime or not. First, let it be prime. Then the prime numbers A, B, C, and EF have been found which are more than A, B, and C. java applet or image VII.31 Next, let EF not be prime. Therefore it is measured by some prime number. Let it be measured by the prime number G. I say that G is not the same with any of the numbers A, B, and C. If possible, let it be so. Now A, B, and C measure DE, therefore G also measures DE. But it also measures EF. Therefore G, being a number, measures the remainder, the unit DF, which is absurd. Therefore G is not the same with any one of the numbers A, B, and C. And by hypothesis it is prime. Therefore the prime numbers A, B, C, and G have been found which are more than the assigned multitude of A, B, and C. Therefore, prime numbers are more than any assigned multitude of prime numbers.
这里只证明了不少于三个素数，怎么能一下子推到任意多？
并且“古希腊”没有像中国那样发明十进制位值制，计算能力远逊于中国。他们的数用线段表示，比如除法A/B A |----------------------------| B |--| 是这样算的： |-----------------------------| |--||--||--||--||--||--||--||--||--| 得出结果9。
【 在 FoxMe (FoxMe) 的大作中提到: 】 : 这个证明的问题更大： : http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookIX/propIX20.html : Proposition 20 : Prime numbers are more than any assigned multitude of prime numbers. : Let A, B, and C be the assigned prime numbers. : I say that there are more prime numbers than A, B, and C. : Take the least number DE measured by A, B, and C. Add the unit DF to DE. : Then EF is either prime or not. : First, let it be prime. Then the prime numbers A, B, C, and EF have been : found which are more than A, B, and C. : ...................
素数有无穷多个的证明一般归功于《几何原本》。怎么证明的呢？假设只有三个素数A, B, C。《几何原本》中用线段长度代表数字：
A------
B----------
C-------------
现构造一个新的数字ABC+1，如下所示：
D-------------------------E-F
其中线段DE长度代表乘积ABC，EF长度为1。因为A, B, C都能整除ABC（《几何原本》中说线段DE能被A, B, C量尽），所以它们都不能整除ABC+1。根据假设，ABC+1是合数，
却没有素因子，从而矛盾。所以素数的个数多于3。
显然，用同样的方法可以证明素数的个数多于4，多于5，多于6等等。所以素数有任意
多个。
注意，《几何原本》只证明了素数有任意多个，而不是无穷多个。因为那时可能没有无穷
多的概念，也没有数学归纳法。由于数学归纳法“显然”成立，所以一般都认为《几何原本》证明了素数有无穷多个。严格地说，它的证明不完整。
如果用相同的标准，那么商高的积矩法也证明了勾股定理。尽管以现在的标准来看，它的证明不严格。因为那时不存在现代这套符号体系，不能简单地套用现在的标准。证明的核心思想已经在那儿了。
商高的原文如下：
商高曰：「數之法出於圓方，圓出於方，方出於矩，矩出於九九八十一。故折矩，以為勾廣三，股脩四，徑隅五。既方之外，半其一矩，環而共盤，得成三四五，兩矩共長二十有五，是謂積矩。故禹之所以治天下者，此數之所生也。」
原文有些地方不太容易理解，但无论你如何往勾股定理证明上靠，你也只能读出商高主观上只想证明勾三股四弦五这个特例，没有任何将这种方法推广到一般形式的主观意识。
回头再看几何原本里的证明http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookIX/propIX20.html
欧几里得在结论里明确指出：
Therefore, prime numbers are more than any assigned multitude of prime
numbers.
所以欧几里得从一开始就明确了他的目的就是证明一般形式。
而把商高的方法推广到证明勾股定理一般形式的是后人，商高没有这个credit，因为他的思想从来就没有达到这个高度，后人再怎么拔高也是徒劳。
【 在 FoxMe (FoxMe) 的大作中提到: 】
: 素数有无穷多个的证明一般归功于《几何原本》。怎么证明的呢？假设只有三个素数A,
: B, C。《几何原本》中用线段长度代表数字：
: A------
: B----------
: C-------------
: 现构造一个新的数字ABC+1，如下所示：
: D-------------------------E-F
: 其中线段DE长度代表乘积ABC，EF长度为1。因为A, B, C都能整除ABC（《几何原本》中
: 说线段DE能被A, B, C量尽），所以它们都不能整除ABC+1。这样ABC+1也是素数，从而
: 与只有三个素数的假设矛盾。所以素数的个数多于3。
: ...................
《几何原本》的证明还有个大问题，即没有真正的除法（除法是用一把尺子去量实现的）。乘法也只能做到三个数，因为
“古希腊”认为两个数相乘得面积，三个数相乘得体积，四个数相乘就无法理解了。
【 在 FoxMe (FoxMe) 的大作中提到: 】
: 素数有无穷多个的证明一般归功于《几何原本》。怎么证明的呢？假设只有三个素数A,
: B, C。《几何原本》中用线段长度代表数字：
: A------
: B----------
: C-------------
: 现构造一个新的数字ABC+1，如下所示：
: D-------------------------E-F
: 其中线段DE长度代表乘积ABC，EF长度为1。因为A, B, C都能整除ABC（《几何原本》中
: 说线段DE能被A, B, C量尽），所以它们都不能整除ABC+1。这样ABC+1也是素数，从而
: 与只有三个素数的假设矛盾。所以素数的个数多于3。
: ...................
你这种说法有依据吗？
古希腊人知道一块砖的体积是长宽高三个数相乘，却理解不了10块砖的总体积是长宽高三个数连乘后再乘以10，即四个数连乘的意义？
【 在 FoxMe (FoxMe) 的大作中提到: 】
: 《几何原本》的证明还有个大问题，即没有真正的除法（除法是用一把尺子去量实现的
: ）。乘法也只能做到三个数，因为
: “古希腊”认为两个数相乘得面积，三个数相乘得体积，四个数相乘就无法理解了。: A,
商高的积矩法证明很巧妙，关键是要理解“外半其一矩，环而共盘”。就是把左下角的矩形切一半，得到一个三角形，让后环绕四周切四个同样的三角形。之后剩下的正方形面积
弦方 = 勾方 + 股方
很明显，该证明和具体的数字3，4，5没有关系。
详细分析请参阅曲安京《商高、赵爽与刘徽关于勾股定理的证明》：https://web.math.sinica.edu.tw/math_media/d203/20304.pdf
作者的结论是：
通過上述文字應可看出, 商高以勾三, 股 四, 弦五為例, 展示勾股定理的證明, 一方
面 基於這位遠古數學大師對複雜客觀事物的數 學抽象, 另一方面也體現了中算家對數學定 理往往“寓理于算”的傳統風格。
商高無疑已嚴格地證明了勾股定理。
这个事实和其证明自相矛盾。所以《几何原本》中素数有无穷多个的证明很可能是后人伪造的。
【 在 FoxMe (FoxMe) 的大作中提到: 】
: 《几何原本》的证明还有个大问题，即没有真正的除法（除法是用一把尺子去量实现的
: ）。乘法也只能做到三个数，因为
: “古希腊”认为两个数相乘得面积，三个数相乘得体积，四个数相乘就无法理解了。: A,
你先回答一下古希腊人会不会算一推车装十块砖、10推车组成一车队，10车队上的砖装满一条船，那十条船上一共有多少砖这类问题？
你如果活在道光朝，大概也会相信洋人一旦被挑翻在地就再也爬不起来之类的话吧？
【 在 FoxMe (FoxMe) 的大作中提到: 】
: 这个事实和其证明自相矛盾。所以《几何原本》中素数有无穷多个的证明很可能是后人
: 伪造的。
商高是怎么证明的，都是是今人推测的，所以只能说是后人“附会”得巧妙。
况且用一个三边长度已知的直角三角形，如何能证明出勾股定理的一般形式？最多只能证明这三边能够满足平方和关系罢了。你好歹要等把商高那段话里的三四五以及二十五这些具体数字都抠下去再来吹商高证明出了勾股定理一般形式吧？
【 在 FoxMe (FoxMe) 的大作中提到: 】
: 商高的积矩法证明很巧妙，关键是要理解“外半其一矩，环而共盘”。就是把左下角的
: 矩形切一半，得到一个三角形，让后环绕四周切四个同样的三角形。之后剩下的正方形
: 面积
: 弦方 = 勾方 + 股方
: 很明显，该证明和具体的数字3，4，5没有关系。
: 详细分析请参阅曲安京《商高、赵爽与刘徽关于勾股定理的证明》：
: https://web.math.sinica.edu.tw/math_media/d203/20304.pdf
: 作者的结论是：
: 通過上述文字應可看出, 商高以勾三, 股 四, 弦五為例, 展示勾股定理的證明, 一方
: 面 基於這位遠古數學大師對複雜客觀事物的數 學抽象, 另一方面也體現了中算家對數
: ...................
洋奴思维能力低，当然理解不了。
【 在 novawt (novawt) 的大作中提到: 】
: 商高是怎么证明的，都是是今人推测的，所以只能说是后人“附会”得巧妙。
: 况且用一个三边长度已知的直角三角形，如何能证明出勾股定理的一般形式？最多只能
: 证明这三边能够满足平方和关系罢了。你好歹要等把商高那段话里的三四五以及二十五
: 这些具体数字都抠下去再来吹商高证明出了勾股定理一般形式吧？
你在几何原本14、15卷问题上小题大做捕风捉影，却对今人脑补商高的所谓勾股定理证明视而不见，你还能更双标一点吗？
【 在 FoxMe (FoxMe) 的大作中提到: 】
: 洋奴思维能力低，当然理解不了。
这个证明的问题更大：
http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookIX/propIX20.html
Proposition 20
Prime numbers are more than any assigned multitude of prime numbers.
Let A, B, and C be the assigned prime numbers.
I say that there are more prime numbers than A, B, and C.
Take the least number DE measured by A, B, and C. Add the unit DF to DE.
Then EF is either prime or not.
First, let it be prime. Then the prime numbers A, B, C, and EF have been
found which are more than A, B, and C.
java applet or image VII.31
Next, let EF not be prime. Therefore it is measured by some prime number.
Let it be measured by the prime number G.
I say that G is not the same with any of the numbers A, B, and C.
If possible, let it be so. Now A, B, and C measure DE, therefore G also
measures DE. But it also measures EF. Therefore G, being a number, measures the remainder, the unit DF, which is absurd.
Therefore G is not the same with any one of the numbers A, B, and C. And by hypothesis it is prime. Therefore the prime numbers A, B, C, and G have been found which are more than the assigned multitude of A, B, and C.
Therefore, prime numbers are more than any assigned multitude of prime
numbers.
这里只证明了不少于三个素数，怎么能一下子推到任意多？
并且“古希腊”没有像中国那样发明十进制位值制，计算能力远逊于中国。他们的数用线段表示，比如除法A/B
A |----------------------------|
B |--|
是这样算的：
|-----------------------------|
|--||--||--||--||--||--||--||--||--|
得出结果9。
用几何方法来计算，是“古希腊”无法理解四个数相乘的原因。所以这个证明很可能是后人伪造的（至少是篡改的）。
你怎么从不质疑商高如何能从三四五这个特例突然跳越到能够证明勾股定理的一般形式的？商高那段话是不是后人伪造的啊？
大胆假设，可以，但小心求证，更重要。
【 在 FoxMe (FoxMe) 的大作中提到: 】
: 这个证明的问题更大：
: http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookIX/propIX20.html
: Proposition 20
: Prime numbers are more than any assigned multitude of prime numbers.
: Let A, B, and C be the assigned prime numbers.
: I say that there are more prime numbers than A, B, and C.
: Take the least number DE measured by A, B, and C. Add the unit DF to DE.
: Then EF is either prime or not.
: First, let it be prime. Then the prime numbers A, B, C, and EF have been
: found which are more than A, B, and C.
: ...................
咋回事，abc如果没有2，A*B*C 1肯定是偶数啊，咋就推出它是素数了
这个问题问得很好。这正说明了只有三个素数的假设是错误的。顶楼用了反证法，已更正。
如果不用反证法，那么证明还要多一步，即：
如果ABC+1是素数，那么多出一个素数；
如果ABC+1不是素数，那么它一定有一个素因子，这个素因子不等于A, B, C，也多出一个素数。
【 在 gblw (昵尼玛吗) 的大作中提到: 】
: 咋回事，abc如果没有2，A*B*C 1肯定是偶数啊，咋就推出它是素数了
《周髀算经》记载的商高的古朴证明，用具体数字来描述，从现代的眼光来看有缺陷。但正因为其古朴，所以看起来像真的。
而素数有无穷多个这个证明过于彪悍，而且在《几何原本》里， 别处再也没有用到，
看起来不像真的。另外一个例子是根号2是无理数的证明，有的《几何原本》版本里有
，但一般版本都不好意思放在里面。
【 在 novawt (novawt) 的大作中提到: 】
: 你怎么从不质疑商高如何能从三四五这个特例突然跳越到能够证明勾股定理的一般形式
: 的？商高那段话是不是后人伪造的啊？
: 大胆假设，可以，但小心求证，更重要。
你直接说你根据你的主观感受某个证明是否彪悍才是最终标准不就得了吗？干嘛扯那些证明是否跳跃？用来掩饰你根本没有啥客观标准？
你的套路无非就是先假设古希腊人数学达不到那个高度，然后得出古希腊人数学就是达不到那个高度的结论。你这套逻辑连小学生水平都没有啊。
【 在 FoxMe (FoxMe) 的大作中提到: 】
: 《周髀算经》记载的商高的古朴证明，用具体数字来描述，从现代的眼光来看有缺陷。
: 但正因为其古朴，所以看起来像真的。
: 而素数有无穷多个这个证明过于彪悍，而且在《几何原本》里， 别处再也没有用到，
: 看起来不像真的。另外一个例子是根号2是无理数的证明，有的《几何原本》版本里有
: ，但一般版本都不好意思放在里面。
欧几里得用的是反证法。A*B*C+1是偶数，也就是合数，却无法进行质因数分解，产生
了矛盾。
【 在 gblw (昵尼玛吗) 的大作中提到: 】
: 咋回事，abc如果没有2，A*B*C 1肯定是偶数啊，咋就推出它是素数了
既然说到“古朴”，再来看商高原文：
“故折矩，以為勾廣三，股脩四，徑隅五。”
也就是说商高一上来就构建了一个边长为三、四、五的直角三角形，据说接下来就能证明勾股定理了。
我的问题就是：
三、四、五这三个数本身就满足平方和关系，那商高所谓“外半其一矩，环而共盘”那通骚操作，是不是在故弄玄虚？直接写3平方加4平方等于5平方不好吗？离开直角三角
形，3平方加4平方能等于6平方了是吗？
所以商高连勾股定理三四五这个特例证明都是还没开始就结束了，的确很符合你对“古朴”的要求。
【 在 FoxMe (FoxMe) 的大作中提到: 】
: 《周髀算经》记载的商高的古朴证明，用具体数字来描述，从现代的眼光来看有缺陷。
: 但正因为其古朴，所以看起来像真的。
: 而素数有无穷多个这个证明过于彪悍，而且在《几何原本》里， 别处再也没有用到，
: 看起来不像真的。另外一个例子是根号2是无理数的证明，有的《几何原本》版本里有
: ，但一般版本都不好意思放在里面。
这恰好说明了：商高以具体的数字来描述其普适的证明。这只是一个术语/notation的
问题，因为当时并没有a, b, c这样的符号。但是积矩法的核心思想摆在那儿，所以史
上第一个证明应归功于商高。
【 在 novawt (novawt) 的大作中提到: 】
: 既然说到“古朴”，再来看商高原文：
: “故折矩，以為勾廣三，股脩四，徑隅五。”
: 也就是说商高一上来就构建了一个边长为三、四、五的直角三角形，据说接下来就能证
: 明勾股定理了。
: 我的问题就是：
: 三、四、五这三个数本身就满足平方和关系，那商高所谓“外半其一矩，环而共盘”那
: 通骚操作，是不是在故弄玄虚？直接写3平方加4平方等于5平方不好吗？离开直角三角
: 形，3平方加4平方能等于6平方了是吗？
: 所以商高连勾股定理三四五这个特例证明都是还没开始就结束了，的确很符合你对“古
: 朴”的要求。
商高在条件里给定了三角形三边具体长度，同时又规定这个三角形是直角三角形。请问有了这两个条件，还需要证明勾股定理成立，即直角三角形三边满足平方和关系吗？
在下不才，但也知道如果想要证明勾股定理，或者是已知三边长度，去证明其为直角三角形。或者已知其为直角三角形和两边长度，去求第三边长度。
同时请你详细展开说明如何用“具体数字描述其普世的证明的”？你能从初中几何课本里挑选两三个定理，用商高的具体数字法进行改写，完成普适证明吗？
【 在 FoxMe (FoxMe) 的大作中提到: 】
: 这恰好说明了：商高以具体的数字来描述其普适的证明。这只是一个术语/notation的
: 问题，因为当时并没有a, b, c这样的符号。但是积矩法的核心思想摆在那儿，所以史
: 上第一个证明应归功于商高。
“注意，《几何原本》只证明了素数有任意多个，而不是无穷多个。因为那时可能没有无穷
多的概念，也没有数学归纳法。由于数学归纳法“显然”成立，所以一般都认为《几何原本》证明了素数有无穷多个。严格地说，它的证明不完整。”
你这段话是不是反映了古希腊人的古朴？能不能由此得出几何原本为真？你可不能只许商高古朴，不许欧几里得古朴哦。
【 在 FoxMe (FoxMe) 的大作中提到: 】
: 素数有无穷多个的证明一般归功于《几何原本》。怎么证明的呢？假设只有三个素数A,
: B, C。《几何原本》中用线段长度代表数字：
: A------
: B----------
: C-------------
: 现构造一个新的数字ABC+1，如下所示：
: D-------------------------E-F
: 其中线段DE长度代表乘积ABC，EF长度为1。因为A, B, C都能整除ABC（《几何原本》中
: 说线段DE能被A, B, C量尽），所以它们都不能整除ABC+1。根据假设，ABC+1是合数，
: 却没有素因子，从而矛盾。所以素数的个数多于3。
: ...................
开始我就是这么讲的，要一碗水端平。《几何原本》有假，洋人自己都承认。
【 在 novawt (novawt) 的大作中提到: 】
: “注意，《几何原本》只证明了素数有任意多个，而不是无穷多个。因为那时可能没有
: 无穷
: 多的概念，也没有数学归纳法。由于数学归纳法“显然”成立，所以一般都认为《几何
: 原本》证明了素数有无穷多个。严格地说，它的证明不完整。”
: 你这段话是不是反映了古希腊人的古朴？能不能由此得出几何原本为真？你可不能只许
: 商高古朴，不许欧几里得古朴哦。
: A,
3^2 + 4^2 = 5^2，这是“然”。再用积矩法解释“所以然”。
就好比小学生学直角三角形面积，先给个例子底为2，高为1，算得面积为1。然后，老
师再用两个相同的三角形并起来，解释为什么面积等于底乘高除以2。这不是很自然的
事吗？
【 在 novawt (novawt) 的大作中提到: 】
: 商高在条件里给定了三角形三边具体长度，同时又规定这个三角形是直角三角形。请问
: 有了这两个条件，还需要证明勾股定理成立，即直角三角形三边满足平方和关系吗？: 在下不才，但也知道如果想要证明勾股定理，或者是已知三边长度，去证明其为直角三
: 角形。或者已知其为直角三角形和两边长度，去求第三边长度。
: 同时请你详细展开说明如何用“具体数字描述其普世的证明的”？你能从初中几何课本
: 里挑选两三个定理，用商高的具体数字法进行改写，完成普适证明吗？
你可真有才。
你算面积时，先要确定“面积”的定义吧？现在大家公认的定义是由矩形得来的。如果你愿意，可以另辟蹊径，定义面积是直角三角形面积底乘以高，即2，那两个三角形放
在一起得到的矩形面积就是4。
商高定义了直角三角形边长是3、4和5，那直接拿出笔来算算是不是满足平方和关系就
行了。他接下来实际上是在演示勾股定理成立的前提下，可以完成“环而共盘”那些操作。这不叫证明，顶多叫验证，解决的是没有发现勾股定理有错的问题，而不是勾股定理成立的问题。
【 在 FoxMe (FoxMe) 的大作中提到: 】
: 3^2 + 4^2 = 5^2，这是“然”。再用积矩法解释“所以然”。
: 就好比小学生学直角三角形面积，先给个例子底为2，高为1，算得面积为1。然后，老
: 师再用两个相同的三角形并起来，解释为什么面积等于底乘高除以2。这不是很自然的
: 事吗？