W：我想 von Neumann 和 Ulam 时代就开始了。他们用 Monte Carlo 方法。但这个方 法粗得很。具体运用时大致只能算到三重积分，维数再高就不一定好算了。而数论方法可以把维数提高到十几维。
Y：你能不能极简要地说明一下数论方法的实质？
W：可以。Monte Carlo 方法是把一个分析问题（比如求积分值）变成一个概率问题， 两个问题有同样的解。这样就可以用统计实验的方法来做这个概率问题，从而得到原分析问题的解。但统计实验是很粗的。我们能不能直接用确定性的方法来计算多重积分呢？而且要脱开古典方法一重一重来算的框架，直接从高维空间的整体出发来做。其关键是要在高维空间找出一组点列，分布得又非常均匀，是一致分布的。这不是统计意义下的一致分布，是按照 Hermann Weyl 定义下的分析意义上的一致分布。我们由实分圆域定义的一致分布点列出发，求出了它们的 discrepancy （偏差），这样可以精确地把 误差估出来。
W：记不准是 Kopобов 的还是 Гнеденко 的，是篇通俗介绍材料，讲了积分近似计算跟 Monte Carlo 方法的关系，讲了伪随机数是服从一致分布的。他们用一 个单和去逼近积分，而这个和是用一致分布点列构造出来的。那天华老很累，不想看。我说你就看这一行，行不行？他说，那好吧。一看，他就看出 Monte Carlo 方法实质 上就是数论中的一种方法。华老说；“一层纸戳穿了，就那么一点点东西” (Monte Carlo 方法在当时还是比较新的）。此后，他对这个问题就很有兴趣。所以华老后来说是被王元拉上了一条路。
“牛顿本人就是积分近似计算的专家”
W：我们这项工作有一个具体模型， 就是算多重积分。积分近似计算的历史很悠久了，牛顿发明微积分，本来考虑的也是积分近似计算，因为能求出原函数的函数很少。牛顿本人就是积分近似计算的专家，搞出了一些经典的多项式插值公式来计算积分。在他之后，又有许多数学家得出很多公式，但都是用来计算单重积分的。多重积分即高维的积分，是没人去做的。为什么过去几个世纪都没人搞呢？因为即使搞出个方法也无法实现，没有高速电子计算机这种工具。足见数学这个东西并不是可以胡思乱想的。另一方面，多重积分随着维数的增加，其计算量的增长快得不得了；方法不好，即使计算机的速度再提高几个数量级，仍然算不了多重积分。所以好的方法变得特别重要了。计算方法的研究本质上是一种软科学，很多人也许还没注意到软科学的进步。
Y：多重积分的数值计算最早可以追溯到什么时候？
W：我想 von Neumann 和 Ulam 时代就开始了。他们用 Monte Carlo 方法。但这个方
法粗得很。具体运用时大致只能算到三重积分，维数再高就不一定好算了。而数论方法可以把维数提高到十几维。
Y：你能不能极简要地说明一下数论方法的实质？
W：可以。Monte Carlo 方法是把一个分析问题（比如求积分值）变成一个概率问题，
两个问题有同样的解。这样就可以用统计实验的方法来做这个概率问题，从而得到原分析问题的解。但统计实验是很粗的。我们能不能直接用确定性的方法来计算多重积分呢？而且要脱开古典方法一重一重来算的框架，直接从高维空间的整体出发来做。其关键是要在高维空间找出一组点列，分布得又非常均匀，是一致分布的。这不是统计意义下的一致分布，是按照 Hermann Weyl 定义下的分析意义上的一致分布。我们由实分圆域定义的一致分布点列出发，求出了它们的 discrepancy （偏差），这样可以精确地把
误差估出来。
“华罗庚说，被王元拉上了一条路”
Y：用数论方法搞积分近似计算，你们是不是世界上第一家。
W：不是的。我们搞这项研究有点戏剧性。我最初看到苏联的一篇文章，表明苏联科学
院的讨论班已在考虑这个问题，是1958年。我被这种新的方向吸引住了，拿着那份材料（关键就是一行公式）去找华老。
Y：你还记得是谁的文章？
W：记不准是 Kopобов 的还是 Гнеденко 的，是篇通俗介绍材料，讲了积分近似计算跟 Monte Carlo 方法的关系，讲了伪随机数是服从一致分布的。他们用一
个单和去逼近积分，而这个和是用一致分布点列构造出来的。那天华老很累，不想看。我说你就看这一行，行不行？他说，那好吧。一看，他就看出 Monte Carlo 方法实质
上就是数论中的一种方法。华老说；“一层纸戳穿了，就那么一点点东西” (Monte
Carlo 方法在当时还是比较新的）。此后，他对这个问题就很有兴趣。所以华老后来说是被王元拉上了一条路。
Y：这么说，你先看到的文章还不是正式的研究论文！
W：实际上 KopOóOB 在1957年已发表了数论方法用于近似计算的第一篇理论文章[2]
。我们也是在1958年看到的。他的方法用了完整三角和，但不太精密。我把这篇文章给华老看了。完整三角和是华老在纯粹数学方面的最大贡献。苏联人不是用 Виног
радов 的三角和，而正是用他的完整三角和在数论与积分近似计算之间搭了座桥
。他确实很高兴。
Y：看来，你们和苏联数学家要展开一场竞争了。
W：Kopобов 比较好的方法是1959年发表的。这个方法从应用数学的角度看有一点
差劲，计算量太大。从纯粹数学的眼光看它确实是构造性的，但从应用数学的眼光看，它还是偏于存在性的。它的适用范围似乎也比较小。
我们的第一项成果也是在1959年得到的，1960年发表在“科学纪录”上。对二重积分我们得到了一个完美的逼近公式。
“华老在数学上最强的是直觉”
Y：你们的研究路子跟苏联人有没有差别？
W：我们的问题和目标很明确， 就是要找一种直接的方法，能比较快速地找出一组点，适用范围要尽可能的大。华老根据他的直觉，认为确定计算二重积分的点，即平面上的点，用 Fibonacci 序列和黄金分割就能得出来。我按他的想法去证，只用两页纸就证
出来了。日本数学家弥永昌吉在即将发表的一篇纪念华罗庚先生的文章中写上了这个公式，称它是elegant。这个公式到今天仍在实际中使用。
苏联学者则是搞了很复杂的理论，绕了较大的圈子，最后才推出二重积分可用黄金分割去做。一比较，证明华老的直觉很强。
下一步，在向更高维扩展时，Fibonacci序列怎么推广？华老又凭他的直觉，认为应该
是分圆域。他觉得从分圆域的单位出发，就可以找出均匀分布的点列。后来证明他的这个想法是对的。但当时我们两个都有一种弱点，因为是搞纯粹数学出身，把逻辑推导当成唯一的手段。他的直觉，在二维情形很容易证明，高维则不然了。他搞了半年多，证不出来，于是就放弃了。那是1959年里的事。
Y：关于华老在解决二维问题前的直觉，你能不能说得细一点。
W：当时已把问题归结为一个很简单的提法，即如何找一个多变数线性齐次同余式，使
它在尽可能大的区域内没有非零解。由此他猜出二维时可以用 Fibonacci 序列。很多
跟他来往的人认为，华罗庚先生最大的特点、最强的能力是逻辑推导和计算能力。事实上这并不是最重要的。你算得快、推导能力强，你一个月能干成的，人家多用点时间，比如三个月也能干出来。我感觉到他最强的是直觉力，这种本事就不是多花点时间和精力能做得到的。
华老的第二个特点是搞什么都用直接方法，把问题提明确，然后用单刀直入的办法来对付它。这使他能在很多领域搞研究。
。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。
Y：华老对你的主要影响是什么呢？
W：我学他怎么进行思维，这个很重要。前面已说过他的直觉力很强，他还特别善于启
发人，善于所谓的 Heuristic method. 他在搞问题时常让你看一看他的问题和思路。
不管多复变也好，代数也好，别的科目也好，他讲出来的问题你都听得懂。处理间题又基本上都是白手起家。你可以看得出来他怎样思考这个问题。他常常在问题处理以前先有个框图，框图中的目标实现得了实现不了并不完全知道，但他有这么个东西。这是从大数学家那里最难学到手的一招。在把每一步证明严格化以前，他总是先进行概算，这时不管严格性，往前跳得很多。我慢慢领悟到他的直觉力和搞框图的路子。他的有些学生没在这方面花功夫，就吃了一点亏。
非常惋惜。
W: 谈起这件事很痛心，晓得吧！H. Halberstam 在一篇悼念华老的文章中提到，华罗
庚和 Davenport 在圆法与三角和估计方面，是仅次于 Hardy、Littlewood 和 Вин
оградов 的人物。就做出历史上站得住脚的成果而言， 华老也许更强。
Davenport 的面也很广，总的说两人在数论方面处于同一水平。可是，他的讨论班出了 K. Roth, A. Baker; Bombieri 也受他影响。三个 Fields 奖得主。而华老的讨论班
过早夭折，事实上到 1957 年后就不允许他正常地搞下去了。他的讨论班刚在数论方面做出点成绩就给轰掉了。我跟他以后的合作只是一种私人间的关系，没有组织上的联系了。
分圆域用在积分里，是独树一帜。最后还用Roth的丢番图逼近（的推广）证明其误差，堪称完美。不知道后来数学所在代数数论和丢番图逼近方面还有没有继续，这些方面容易出菲尔兹奖。
分圆域非常有用，后量子密码也要用到。
在分圆（割圆）术方面，古代是刘徽和祖冲之水平最高。说不定祖冲之《缀术》里还有更多理论，可惜失传了。
这个访谈干货很多啊
【 在 FoxMe (FoxMe) 的大作中提到: 】
: 非常惋惜。
: W: 谈起这件事很痛心，晓得吧！H. Halberstam 在一篇悼念华老的文章中提到，华罗
: 庚和 Davenport 在圆法与三角和估计方面，是仅次于 Hardy、Littlewood 和 Вин
: оградов 的人物。就做出历史上站得住脚的成果而言， 华老也许更强。
: Davenport 的面也很广，总的说两人在数论方面处于同一水平。可是，他的讨论班出了
: K. Roth, A. Baker; Bombieri 也受他影响。三个 Fields 奖得主。而华老的讨论班
: 过早夭折，事实上到 1957 年后就不允许他正常地搞下去了。他的讨论班刚在数论方面
: 做出点成绩就给轰掉了。我跟他以后的合作只是一种私人间的关系，没有组织上的联系
: 了。
我可能是本站唯一研究过牛顿原著的ID。以前贴过一个牛顿给莱布尼兹的信。
但是无人有兴趣。
对牛顿莱布尼兹这个level的科学家而言。公理化收敛什么的其实什么都不是。
有就随手证明下，没有也无所谓。
后世之条条框框。包括所谓的公理，定义，证明什么的。主要目的是为了教学使用，使得
数学可以严格快速的scale out出去。
这就好比你出版一本书，肯定要符合规矩。但是那是最后之结果而已。
什么语言，过程，思路导致的这个结果？这部分不是用公理，定义，证明什么的
来做的。
【 在 Caravel (克拉维尔) 的大作中提到: 】
: https://zhuanlan.zhihu.com/p/377688839
: “牛顿本人就是积分近似计算的专家”
: W：我们这项工作有一个具体模型， 就是算多重积分。积分近似计算的历史很悠久了，
: 牛顿发明微积分，本来考虑的也是积分近似计算，因为能求出原函数的函数很少。牛顿
: 本人就是积分近似计算的专家，搞出了一些经典的多项式插值公式来计算积分。在他之
: 后，又有许多数学家得出很多公式，但都是用来计算单重积分的。多重积分即高维的积
: 分，是没人去做的。为什么过去几个世纪都没人搞呢？因为即使搞出个方法也无法实现
: ，没有高速电子计算机这种工具。足见数学这个东西并不是可以胡思乱想的。另一方面
: ，多重积分随着维数的增加，其计算量的增长快得不得了；方法不好，即使计算机的速
: 度再提高几个数量级，仍然算不了多重积分。所以好的方法变得特别重要了。计算方法
: ...................
从某种意义上来讲。这都是层次很低的问题。
根据我之前贴过的最新统计，90%之STEM留学生留在美国。为什么？
这是首要的现象或者问题。其他的科研细节都是sub order之现象或者问题。
这当然不仅仅是钱的原因。简化中文圈子里的人天天吹财务自由，什么
问题，先找金子银子小老婆。能弄明白怎么回事才怪。
【 在 Caravel (克拉维尔) 的大作中提到: 】
: 这个访谈干货很多啊
不要要求太高，现在能找到言之有物的文章都不容易了。一篇好的访谈，背后是一个人人生的浓缩。王元今年都已经过世了。
【 在 chebyshev (......) 的大作中提到: 】
: 从某种意义上来讲。这都是层次很低的问题。
: 根据我之前贴过的最新统计，90%之STEM留学生留在美国。为什么？
: 这是首要的现象或者问题。其他的科研细节都是sub order之现象或者问题。
: 这当然不仅仅是钱的原因。简化中文圈子里的人天天吹财务自由，什么
: 问题，先找金子银子小老婆。能弄明白怎么回事才怪。
这个文章在其本身领域是不错的。华老之学派值得尊敬。我中学看过陈景润的书。
是我表达不准。还是用古文的本末概念吧。我不该说层次低。
我的意思是，此类问题不是本。土壤比树叶重要。
【 在 Caravel(克拉维尔) 的大作中提到: 】
: 不要要求太高，现在能找到言之有物的文章都不容易了。一篇好的访谈，背后是一个人
: 人生的浓缩。王元今年都已经过世了。
华罗庚和达文波特是师兄弟关系。有次碰到过NSF管钱的，讲英国英语，说是达文波特
的学生，一查写过很多数论文章。
中国解析数论学派是唯一中国本土的数学学派把，虽然领域比较小，但是毕竟做到了世界顶级，哥德巴赫猜想加上老张的孪生素数都是这一派
【 在 guvest (我爱你老婆Anna) 的大作中提到: 】
: 这个文章在其本身领域是不错的。华老之学派值得尊敬。我中学看过陈景润的书。
: 是我表达不准。还是用古文的本末概念吧。我不该说层次低。
: 我的意思是，此类问题不是本。土壤比树叶重要。
:
: 不要要求太高，现在能找到言之有物的文章都不容易了。一篇好的访谈，背后是
: 一个人
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: 人生的浓缩。王元今年都已经过世了。
:
老张不好说是“中国解析数论”的。
【 在 Caravel (克拉维尔) 的大作中提到: 】
: 中国解析数论学派是唯一中国本土的数学学派把，虽然领域比较小，但是毕竟做到了世
: 界顶级，哥德巴赫猜想加上老张的孪生素数都是这一派
潘承彪的硕士学生，属于再传弟子了。看这个历史，老张去学代数几何是被强迫去的。中国解析数论学派可以在这个小领域里面成果辉煌，比tao还要强把，虽然一个大奖没
有拿过。
张益唐於1978-1982年间在北京大学数学科学学院读本科，又於1982-1985年间在北京大学继续修读硕士，师从潘承彪。[11]在北大求学期间，张益唐本来是有机会应知名数学家丘成桐的推荐去跟数论学家哈若德·斯塔克学习数论的，不过数学家丁石孙建议他选择代数几何作为方向。[2]他接触过代数几何，觉得不感兴趣，但还是答应了丁石孙。[2]事后他发现这个决定令自己很后悔，他日后研究高级数论问题的能力都要靠自己抽时间自学自练。[10]后来，代数几何学家莫宗坚访问北大，就招了张益唐做自己的博士生
【 在 chebyshev (......) 的大作中提到: 】
: 老张不好说是“中国解析数论”的。