量子密码，后量子密码：最前沿的技术和最古老的数学

前量子密码：经典密码，数学基础死整数（小学数学），初等数论，部分内容在古代数学就有了。
量子密码：量子技术，数学基础是矩阵，《九章算术》就有了。
后量子密码：经典密码，数学基础是代数整数（中学数学），代数数论，算是比较深奥，但其实就
是多项式方程，古代就有很多研究，秦九韶研究过十次方程。

最前沿的技术和最古老的数学没有鸿沟，很多人往往看不到这一点。如果真正学懂了数学，就知道数学的各个分支，古今中外，都是相通的。近代数学有个快速发展阶段，但也没有那么神。要融会贯通并不容易，有人指导也许不要紧，盯住某个方向就行了。但是如果想在某方面有突破，这种vision很重要。

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前量子密码：

数论是一门既古老又年轻的学科，是密码学的数学基础。公钥密码是最近几十年才发展起来的现代技术，以RSA 为代表。其实RSA 只需要初等数论，古典数学基本上就够了。在RSA密码中，如果x和y互素，要求在模 y下x 的逆，即求a使得
ax = 1 mod y
怎么求？这里要用到宋代数学家秦九韶的“大衍求一术”，西方称为Bezout定理（18世纪），即如果x和y互素，则存在a和b使得
ax + by = 1
"求一"就是求这个“1”。两边取模y，就得到了上面想要的式子。系数a和b怎么得到呢？要用到《九章算术》求最大公因子的辗转相除法，在西方称为欧几里得算法。（几乎可以肯定，该
算法不是欧几里得发明的 ，即使假设书是他写的）。以x=4, y=15为例：
15 = 4 x 3 + 3
4 = 3 x 1 + 1
反代回去，得到
1 = 4 – 3 = 4 – (15 – 4 x 3) = 4 x 4 – 1 x 15
知a=4, b=-1，所以x的逆是4。虽然这个例子我们一眼就能看出答案，但是在RSA中都是非常大的数，就非得要算法求解了。
《九章算术》是计算机（当时用算筹）算法的鼻祖，类似的算法很多。《九章算术》用最大公因子来约分，即把分子和分母的最大公因子算出来，同时除去，就得到了化简后的分数。事实上，我们今天还在使用的分子，分母，约分，因子等这些术语，都是在《九章算术》中定义的。
此外，在RSA中常用中国余数定理来加快乘法，可参见我写的《中国余数定理简史》一
文。
辗转相除法（欧几里得算法）是数论中非常重要的算法，今天还在发展之中。比如密码学中，对于非常大的数，如何加快辗转相除法？有不少人在研究。

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量子密码：基于量子技术的密码，也叫量子通讯或量子保密通讯，可抗量子攻击。其数学基础主要是矩阵，《九章算术》专
门有一章讲矩阵。此外，需要纠错编码来纠错，RS码是常用的码。RS码的译码就用到辗转相除法（欧几里得算法），只不过变成了求两个多项式的最大公因子。

但是缺点不少，应用范围有限，这里就不展开了。量子密码与经典密码孰优孰劣，是有争议的。

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后量子密码：

随着RSA在量子攻击下灰飞烟灭，我们即将进入后量子密码时代，整数将被代数整数（
形如1+\sqrt{2}的数）取代。代数
数论在纯粹数学专业一般是一门研究生课程，用抽象代数来研究数论。这里怎么做辗转相除法（欧几里得算法）？这是一个远远没有解决的问题；甚至连除法怎么做 ，都所
知甚少。
代数数论的最核心问题是费马大定理，即方程
x^n + y^n = z^n，n>2
不存在非平凡整数解。如果n=2,就是勾股定理
x^2 + y^2 = z^2
最早是中国数学家在《周髀算经》中给出的。费马大定理看起来很简单，但它曾是世界上最难的问题。要研究费马大定理，需要知道割圆（分圆）多项式。古代割圆术的最高成就者是祖冲之，创造了圆周率的记录。
如果说RSA中中国余数定理可有可无的话，在后量子密码中它将起到关键作用。什么作
用？乘法。或许你会问，乘法这么基本的东西，小学生都会，有啥好研究的？两个代数整数相乘，不是个简单问题。怎么乘得快？必须得在（割圆多项式）环上做CRT。
费马大定理最终由怀尔斯在上世纪90年代证明，可能是最近几十年数学的最大突破。怀尔斯的证明用了看起来没关联的椭圆曲线。大师能看到不同事物之间的联系，纵横不同领域之间，往往能取得意想不到的重大突破。

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可以说我们每天都在用古代数学家两千年前发明的算法，只是我们感觉不到罢了。
万丈高楼平地起。现代数学是高楼，古典数学是地基。对人类先贤，我们还是多一分尊敬好。

数学的贡献是以原创性为最重要的标准之一。张益唐的界有几千万，后来有人降低到几百，大家还是认为张益唐贡献最大。为什么，因为他是第一个。

sametime问了一个关于1+1=2和勒贝格积分的问题，我觉得问得很好。猛一看，勒贝格
积分高端大气，远不是1+1=2这种小儿科能比的。但是，从原创性来看，我认为第一个
给出1+1=2的人的贡献大于勒贝格积分。为什么？

第一个给出1+1=2的人的贡献是从无到有，增量巨大。

勒贝格积分是黎曼积分的推广，而后者又是对积分的严格化，所以勒贝格积分的增量并不比1+1=2大。

就好像1+1=2是地基，黎曼积分是10楼，勒贝格积分是11楼，虽然比地基高得多，但也
就是一层而已。理解了勒贝格积分，本质上还是1+1=2.

以上只是我个人角度而已。

从数学大尺度上看，的确是这样。

今天看了个知乎文章，说人类一万年前的事。一个部落发展出制陶罐的工艺，真是太不容易了。关键当时的迭代周期太长了。

反观数学，这都已经是小尺度了。再看一个概念，更不要说技巧了，前人已经有基础打下了。有基础，有问题的方向，有问题检验的目标，有同辈，这是啥条件啊？

所以，中国的问题主要还是一个科研环境的问题。在思维能力上找原因的人，是找错了方向。找错了方向，就很可能不能理解，这个国家的科研原创成果，会在不可思议的不长时间内井喷。

【 在 FoxMe (FoxMe) 的大作中提到: 】
: 数学的贡献是以原创性为最重要的标准之一。张益唐的界有几千万，后来有人降低到几
: 百，大家还是认为张益唐贡献最大。为什么，因为他是第一个。
: sametime问了一个关于1+1=2和勒贝格积分的问题，我觉得问得很好。猛一看，勒贝格
: 积分高端大气，远不是1+1=2这种小儿科能比的。但是，从原创性来看，我认为第一个
: 给出1+1=2的人的贡献大于勒贝格积分。为什么？
: 第一个给出1+1=2的人的贡献是从无到有，增量巨大。
: 勒贝格积分是黎曼积分的推广，而后者又是对积分的严格化，所以勒贝格积分的增量并
: 不比1+1=2大。
: 就好像1+1=2是地基，黎曼积分是10楼，勒贝格积分是11楼，虽然比地基高得多，但也
: 就是一层而已。理解了勒贝格积分，本质上还是1+1=2.
: ...................

人类的智力水平和环境之间不存在互动关系吗？人类拥有超大的脑容量，首先就是环境压力造成的进化结果。人类在脑容量增大的同时，具备了靠智力适应和改造环境，获取更多食物，支持大脑继续发展所需营养的能力。

而且，从个体来看，人类的智力也是从出生开始一直增长，成年以后，基本就不再增长了。人类社会达到温饱后，智力的差异就主要由社会环境来决定了，包括教育，也包括你所谓的科研环境。

结论就是，除非你相信神创论，即人类智力在上帝造人的那一刻就被瞬间固化的话，并且婴儿具有和成人一样的智力的话，那强调环境因素，并不能排除思维存在强弱，因为思维强弱依然可以是环境不同造成的。
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【 在 TheMatrix (TheMatrix) 的大作中提到: 】
: 从数学大尺度上看，的确是这样。
: 今天看了个知乎文章，说人类一万年前的事。一个部落发展出制陶罐的工艺，真是太不
: 容易了。关键当时的迭代周期太长了。
: 反观数学，这都已经是小尺度了。再看一个概念，更不要说技巧了，前人已经有基础打
: 下了。有基础，有问题的方向，有问题检验的目标，有同辈，这是啥条件啊？
: 所以，中国的问题主要还是一个科研环境的问题。在思维能力上找原因的人，是找错了
: 方向。找错了方向，就很可能不能理解，这个国家的科研原创成果，会在不可思议的不
: 长时间内井喷。

看来还是上帝他老人家贡献最大。没有他造人，从无到有，哪有你在这里灌水？

【 在 FoxMe (FoxMe) 的大作中提到: 】
: 数学的贡献是以原创性为最重要的标准之一。张益唐的界有几千万，后来有人降低到几
: 百，大家还是认为张益唐贡献最大。为什么，因为他是第一个。
: sametime问了一个关于1+1=2和勒贝格积分的问题，我觉得问得很好。猛一看，勒贝格
: 积分高端大气，远不是1+1=2这种小儿科能比的。但是，从原创性来看，我认为第一个
: 给出1+1=2的人的贡献大于勒贝格积分。为什么？
: 第一个给出1+1=2的人的贡献是从无到有，增量巨大。
: 勒贝格积分是黎曼积分的推广，而后者又是对积分的严格化，所以勒贝格积分的增量并
: 不比1+1=2大。
: 就好像1+1=2是地基，黎曼积分是10楼，勒贝格积分是11楼，虽然比地基高得多，但也
: 就是一层而已。理解了勒贝格积分，本质上还是1+1=2.
: ...................

连积分都搞不清的人到一边去。

这个就是典型的厚古薄今，祖先崇拜。 其实是妨碍进步的。

从工作的难度来说，全世界所有地方都发现了1+1=2. 没啥高深的。但是发现黎曼积分
只有一个地方的人，还是很伟大的。

前两天偶然看到，拉瓦锡发现了很多分子构造，在化学领域算是重要的奠基人。博世发明了大规模合成氨的方法。不能因为拉瓦锡早了100多年做了更基础的工作就说拉瓦锡
更牛。 博世的工作其实难多了。 甚至可以说早来的人是挑了很多low hanging fruit.

【 在 FoxMe (FoxMe) 的大作中提到: 】
: 数学的贡献是以原创性为最重要的标准之一。张益唐的界有几千万，后来有人降低到几
: 百，大家还是认为张益唐贡献最大。为什么，因为他是第一个。
: sametime问了一个关于1+1=2和勒贝格积分的问题，我觉得问得很好。猛一看，勒贝格
: 积分高端大气，远不是1+1=2这种小儿科能比的。但是，从原创性来看，我认为第一个
: 给出1+1=2的人的贡献大于勒贝格积分。为什么？
: 第一个给出1+1=2的人的贡献是从无到有，增量巨大。
: 勒贝格积分是黎曼积分的推广，而后者又是对积分的严格化，所以勒贝格积分的增量并
: 不比1+1=2大。
: 就好像1+1=2是地基，黎曼积分是10楼，勒贝格积分是11楼，虽然比地基高得多，但也
: 就是一层而已。理解了勒贝格积分，本质上还是1+1=2.
: ...................

他开篇说“数学的贡献是以原创性为最重要的标准之一”，写着写着，原创性就成了评价数学贡献的唯一标准了，开始对1+1=2大唱赞歌，是比黎曼积分都伟大的贡献。

所以有人评价他脑子不行，是一点没错的。但是脑子不行的人，也可以有常识。1+1=2
比黎曼积分贡献还大这种话要出口的时候，难道心中的常识不帮他把一下门吗？

【 在 sametime (MASANLI) 的大作中提到: 】
: 这个就是典型的厚古薄今，祖先崇拜。 其实是妨碍进步的。
: 从工作的难度来说，全世界所有地方都发现了1+1=2. 没啥高深的。但是发现黎曼积分
: 只有一个地方的人，还是很伟大的。
: 前两天偶然看到，拉瓦锡发现了很多分子构造，在化学领域算是重要的奠基人。博世发
: 明了大规模合成氨的方法。不能因为拉瓦锡早了100多年做了更基础的工作就说拉瓦锡
: 更牛。 博世的工作其实难多了。 甚至可以说早来的人是挑了很多low hanging
fruit.

这并非厚古薄今，而是要认识到数学的累积性发展，是一步一步前进的。（至于尊敬祖先，是中国传统。）

勒贝格积分，前面有黎曼积分，再前面有牛顿/莱布尼兹积分，再前面有刘辉-祖暅/
Cavalieri原理，再前面有求体积，再前面有求面积，再前面有乘法，再前面有累加，
再前面有加法，...，再前面有1+1=2。

了解点历史，就不会对勒贝格积分有那么崇拜了。

【 在 sametime (MASANLI) 的大作中提到: 】
: 这个就是典型的厚古薄今，祖先崇拜。 其实是妨碍进步的。
: 从工作的难度来说，全世界所有地方都发现了1+1=2. 没啥高深的。但是发现黎曼积分
: 只有一个地方的人，还是很伟大的。
: 前两天偶然看到，拉瓦锡发现了很多分子构造，在化学领域算是重要的奠基人。博世发
: 明了大规模合成氨的方法。不能因为拉瓦锡早了100多年做了更基础的工作就说拉瓦锡
: 更牛。 博世的工作其实难多了。 甚至可以说早来的人是挑了很多low hanging
fruit.

发信人: FoxMe (FoxMe), 信区: History
标 题: 球的体积公式简史兼打假阿基米德羊皮书
发信站: BBS 未名空间站 (Tue May 26 17:48:39 2020, 美东)

[由于很多证明细节可能不易看懂，先贴摘要。如有兴趣，可接着看全文。]

直径为D的球的体积公式pi/6*D^3是怎么推导的？学过微积分的大学生不见得都能推出
来。可是南北朝的中国数学家祖暅却做到了。让我们来回顾一下球体积公式五百年的发展历史。（西方把这一问题归功于阿基米德，但本文将论述其羊皮书是伪造的。）
以下为讨论方便，令D=1，这样球体积为pi/6。

第一节：中国数学家的方法
1. 汉代《九章算术》（公元前后）给出了一个近似公式：
球体积 = 9/16。
这个近似公式其实应该是(pi/4)^2。但因九章算术的圆周率pi取近似值3，得到球体积
约等于9/16，误差较大。
2. 刘徽（公元三世纪）做了很大努力，提出牟合方盖方法。
为修正此误差，刘徽构造了牟合方盖（图3）。这是两个相互垂直的圆柱（图1图2）的
公共部分（即两圆柱的相交部分），由上下对称的两个方形盖子组成。刘徽得到公式
球体积 = pi/4 * 牟合方盖体积。
但是方盖神秘莫测，刘徽虽绞尽脑汁，亦无能为力。
3. 祖暅（公元六世纪）推出了牟合方盖的体积2/3。这样，祖暅最终证明了
球体积 = pi/4 * 2/3 = pi/6。
注：还有更简洁的证明，即跳过牟合方盖，直接考虑圆柱和内切球（图7），用几乎完
全相同的方法，可证明球的体积是其外接圆柱体积的2/3。因为圆柱体积为pi/4，得到
同样的结果pi/4 * 2/3 = pi/6。姑且称它为直接法，是现代常用方法。

第二节：阿基米德的方法
但是上网一查，阿基米德早在公元前三世纪就证明了球体积公式。真的是这样吗？据说阿基米德有很多作品，但都失传了。1906年，有个欧洲人在土耳其“发现”了阿基米德的羊皮书，令人难以置信的是，作品非常全，有174页。
如果说这些东西我们只能怀疑，无法证伪的话，那么就来看看阿基米德是如何推导球的体积的。他的推导方法极其搞笑，要用个杠杆，左边挂个圆锥和球，右边挂个圆柱（图8）。明眼的人一下就看出，这其实是图7的翻版，无非是把图 7中右边的挖出的圆锥挪到了左边。阿基米德的推导极其繁琐，用了三十多个命题。
这里有两大疑点：第一，这个杆杠完全是多余的，你推数学就推数学，干嘛要弄根杆杠进来？第二，阿基米德既然是宇宙最大的数学家，数学推导怎么这么烂？比祖暅差远了。祖暅只用了几步，你为什么要用三十多个命题？
如果这些证据还不足以说服你的话，那么下面我们给它致命一击：羊皮书中也研究了一模一样的牟合方盖！算体积也是用杠杆的伎俩。奇怪的是，它算出牟合方盖体积之后就置之不管了。要知道，牟合方盖是个极不自然的形状，是刘徽构造出来的；刘徽和祖暅研究它，是为了推导球的体积。阿基米德莫名其妙地研究它干什么？耍无厘头吗？
不管怎样，由于两方研究的方法和结果如此相似，必有一方抄袭。既然阿基米德比刘徽和祖暅早几百年，不存在阿基米德抄袭的可能（假设阿基米德真实存在）。那么，必然是刘徽和祖暅抄袭；但是要做到这一点，他们得穿越三百年约定好，你抄一半，我抄一半。
如果你不相信时空穿越，就不得不得出一个结论：阿基米德的羊皮书必然是假的，造假者窃取了中国数学（或加上近代数学）的研究成果。造假者心虚，不敢原样照抄，作了些改头换面。

我看的是问题的难度。

站在黎曼积分的基础上研究出勒贝格积分，还是蛮难的。

啥都没有，看看自己的手指，研究出1+1=2，很多人做到了。

很多细分领域的难题很难，但是外面的人不熟悉，不代表他不厉害。很多基本原理用的人多，很有名，不代表他厉害。 不以成败论英雄。

【 在 FoxMe (FoxMe) 的大作中提到: 】
: 这并非厚古薄今，而是要认识到数学的累积性发展，是一步一步前进的。（至于尊敬祖
: 先，是中国传统。）
: 勒贝格积分，前面有黎曼积分，再前面有牛顿/莱布尼兹积分，再前面有刘辉-祖暅/
: Cavalieri原理，再前面有求体积，再前面有求面积，再前面有乘法，再前面有累加，
: 再前面有加法，...，再前面有1+1=2。
: 了解点历史，就不会对勒贝格积分有那么崇拜了。
: fruit.

你说的也有道理。角度不同。

【 在 sametime (MASANLI) 的大作中提到: 】
: 我看的是问题的难度。
: 站在黎曼积分的基础上研究出勒贝格积分，还是蛮难的。
: 啥都没有，看看自己的手指，研究出1+1=2，很多人做到了。
: 很多细分领域的难题很难，但是外面的人不熟悉，不代表他不厉害。很多基本原理用的
: 人多，很有名，不代表他厉害。 不以成败论英雄。

这样推演下去，还是创造万物的上帝最伟大嘛。

【 在 FoxMe (FoxMe) 的大作中提到: 】
: 这并非厚古薄今，而是要认识到数学的累积性发展，是一步一步前进的。（至于尊敬祖
: 先，是中国传统。）
: 勒贝格积分，前面有黎曼积分，再前面有牛顿/莱布尼兹积分，再前面有刘辉-祖暅/
: Cavalieri原理，再前面有求体积，再前面有求面积，再前面有乘法，再前面有累加，
: 再前面有加法，...，再前面有1+1=2。
: 了解点历史，就不会对勒贝格积分有那么崇拜了。
: fruit.