刘徽的牛和羊代数学

C
Caravel
楼主 (未名空间)

互乘相消法:由于直除法消元要反复相减,比较繁琐。刘徽在《九章算术》章题目:

今有牛五、羊二,直金十两;牛二、羊五,直金八两。问牛、羊各直金几何?的注释中创造了“互乘相消法”。原术文只有三个字“如方程”,

刘徽注释曰:
“假令威同齐,头位为牛,当相乘。右行定,更置牛十、羊四,直金二十两;
左行牛十、羊二十五,直金四十两。牛数等同,金多二十两者,羊差二十一使之然也。以少行减多行,则牛数尽,惟羊与直金之数见,可得而知也。以小推大,虽四、五行不异也。”

这就是互乘相消法,用该方法一下子就实现了齐同,比直除相消法简便很多。而且,刘徽认为互乘相消法是普遍方法,对任意多行的方程都适用。

牛和羊换成x,y就是线代。
5x + 2y = 10
2x + 5y = 8

变成
10x + 4y = 20
10x + 25y = 40.

C
Caravel

这个不能看成一题一解把,任何有悟性都知道这是通用解法。
r
rihai

中国数学没有开发出符号,很遗憾
用中文记录数学发现, 还是差点意思
lol

【 在 Caravel (克拉维尔) 的大作中提到: 】
: 互乘相消法:由于直除法消元要反复相减,比较繁琐。刘徽在《九章算术》章题目:: 今有牛五、羊二,直金十两;牛二、羊五,直金八两。问牛、羊各直金几何?的注释中
: 创造了“互乘相消法”。原术文只有三个字“如方程”,
: 刘徽注释曰:
: “假令威同齐,头位为牛,当相乘。右行定,更置牛十、羊四,直金二十两;
: 左行牛十、羊二十五,直金四十两。牛数等同,金多二十两者,羊差二十一使之然也。
: 以少行减多行,则牛数尽,惟羊与直金之数见,可得而知也。以小推大,虽四、五行不
: 异也。”
: 这就是互乘相消法,用该方法一下子就实现了齐同,比直除相消法简便很多。而且,刘
: 徽认为互乘相消法是普遍方法,对任意多行的方程都适用。
: ...................

C
Caravel

符号是很后来的事情,哈喇子米的代数书也是用文字描述的,印度最早有符号的表示,可惜中国没有采用。

【 在 rihai (海桑虎桑柱桑等倭杂之克星) 的大作中提到: 】
: 中国数学没有开发出符号,很遗憾
: 用中文记录数学发现, 还是差点意思
: lol

F
FoxMe

实际上,用算筹解线性方程组,非常方便,比用x, y还快。直接摆出(增广)矩阵,算几下,很快得到答案。和计算机的原理完全相同,这是中国牛逼的地方。其它国家不知道要到何年马月才会。

【 在 rihai (海桑虎桑柱桑等倭杂之克星) 的大作中提到: 】
: 中国数学没有开发出符号,很遗憾
: 用中文记录数学发现, 还是差点意思
: lol

C
Caravel

坏处是用算筹的人会渐渐忘记为啥要这么做,真正懂数学本质的人会越来越少。如果是纸笔演算,会很清楚自己干什么

【 在 FoxMe (FoxMe) 的大作中提到: 】
: 实际上,用算筹解线性方程组,非常方便,比用x, y还快。直接摆出(增广)矩阵,算
: 几下,很快得到答案。和计算机的原理完全相同,这是中国牛逼的地方。其它国家不知
: 道要到何年马月才会。

bobolan88

属实。现在用电脑软件做计算,很多理工科的数学基础也在变差。从某种意义上说,中国古代较早掌握了先进的计算工具,一定程度上抑制了数学理论体系的发展。

【 在 Caravel (克拉维尔) 的大作中提到: 】
: 坏处是用算筹的人会渐渐忘记为啥要这么做,真正懂数学本质的人会越来越少。如果是
: 纸笔演算,会很清楚自己干什么
F
FoxMe

是的,现在求矩阵行列式,逆,各种分解等,都可直接调用函数。除非专家,很少有人记得怎么做。

算筹就是几根棒棒,看上去很原始,却很强大,尤其是做矩阵计算。比如牛羊这个例子,用算筹摆出矩阵:

5 2
2 5
10 8

然后变成

10 10
4 25
20 40

刘徽的左行右行对应于当今的左列右列。算盘更先进,容易携带,但却做不了矩阵。算筹的运用可能是中国在矩阵方面独树一帜的原因。

n
novawt

不是我要鸡蛋里挑骨头,刘徽的注里写得很明白,“虽四五行不异也”。为什么只有四五行?根据上面有人发的贴子,古人用筹算解线性方程组,受工具所限,超过四五行,算筹移来移去也容易搞乱了的原因吧。

所以我的读后感就是刘徽的眼界还只是停留在用算筹解实际问题。至于这种方法是否普遍适用,在他看来依然是要用摆算筹来证明,而没有真正思考过超出人力摆放算筹的能力时的任意情况。

【 在 Caravel (克拉维尔) 的大作中提到: 】
: 互乘相消法:由于直除法消元要反复相减,比较繁琐。刘徽在《九章算术》章题目:: 今有牛五、羊二,直金十两;牛二、羊五,直金八两。问牛、羊各直金几何?的注释中
: 创造了“互乘相消法”。原术文只有三个字“如方程”,
: 刘徽注释曰:
: “假令威同齐,头位为牛,当相乘。右行定,更置牛十、羊四,直金二十两;
: 左行牛十、羊二十五,直金四十两。牛数等同,金多二十两者,羊差二十一使之然也。
: 以少行减多行,则牛数尽,惟羊与直金之数见,可得而知也。以小推大,虽四、五行不
: 异也。”
: 这就是互乘相消法,用该方法一下子就实现了齐同,比直除相消法简便很多。而且,刘
: 徽认为互乘相消法是普遍方法,对任意多行的方程都适用。
: ...................

C
Caravel

古人写书精炼,不可能显而易见的东西引申很多。4,5行可以推广,6,7行当然也没有问题,这是显而易见的推广。就像我们小时候学方程组,一般也就2元,3元,再高就不提了。

用牛和羊,在我看来本身就是一种代数学思想,你不会真的认为刘徽关心的是牛和羊,刀和箭就不行?当然牛和羊不如x,y好,我猜西方最早的也是这样,先放两个单词
cattle,sheep,然后省事就写成c,s, 自然而然出现了符号代数学。 这是字母文字
的一个优势。

【 在 novawt (novawt) 的大作中提到: 】
: 不是我要鸡蛋里挑骨头,刘徽的注里写得很明白,“虽四五行不异也”。为什么只有四
: 五行?根据上面有人发的贴子,古人用筹算解线性方程组,受工具所限,超过四五行,
: 算筹移来移去也容易搞乱了的原因吧。
: 所以我的读后感就是刘徽的眼界还只是停留在用算筹解实际问题。至于这种方法是否普
: 遍适用,在他看来依然是要用摆算筹来证明,而没有真正思考过超出人力摆放算筹的能
: 力时的任意情况。

n
novawt

按你的逻辑,写个“虽千万行不异也”和“虽四五行不异也”字数相等,一样精炼啊。为啥刘徽选择后者,不是因为他不能证明这个方法能推广到更复杂情况呢?如果他写“虽十行不异也”,还能省一个字呢。是不是他用算筹摆不到十行,所以没有底气说这句话?

归根结底,中国古人在数学上还停留在用归纳总结方法来证明,迟迟跳不出这个圈子,向上突破发展。

【 在 Caravel (克拉维尔) 的大作中提到: 】
: 古人写书精炼,不可能显而易见的东西引申很多。4,5行可以推广,6,7行当然也没有
: 问题,这是显而易见的推广。就像我们小时候学方程组,一般也就2元,3元,再高就不
: 提了。
: 用牛和羊,在我看来本身就是一种代数学思想,你不会真的认为刘徽关心的是牛和羊,
: 刀和箭就不行?当然牛和羊不如x,y好,我猜西方最早的也是这样,先放两个单词
: cattle,sheep,然后省事就写成c,s, 自然而然出现了符号代数学。 这是字母文字
: 的一个优势。

C
Caravel

这不过体现了刘徽同志的谦逊,如果刘徽不具备无限归纳的能力,你怎么解释他的割圆术?

“割之弥细,所失弥少。割之又割,以至于不可割,则与圆合体,而无所失矣”

【 在 novawt (novawt) 的大作中提到: 】
: 按你的逻辑,写个“虽千万行不异也”和“虽四五行不异也”字数相等,一样精炼啊。
: 为啥刘徽选择后者,不是因为他不能证明这个方法能推广到更复杂情况呢?如果他写“
: 虽十行不异也”,还能省一个字呢。是不是他用算筹摆不到十行,所以没有底气说这句
: 话?
: 归根结底,中国古人在数学上还停留在用归纳总结方法来证明,迟迟跳不出这个圈子,
: 向上突破发展。

n
novawt

刘在圆周率问题上有无限归纳能力,也不等于他在线性代数方面也有同样能力啊。我不否认他当时可能有一些这方面思想的萌芽,但也不要低估个人思想的局限性。最终要在已有的证据基础上讨论问题。

【 在 Caravel (克拉维尔) 的大作中提到: 】
: 这不过体现了刘徽同志的谦逊,如果刘徽不具备无限归纳的能力,你怎么解释他的割圆
: 术?
: “割之弥细,所失弥少。割之又割,以至于不可割,则与圆合体,而无所失矣”