混沌理论

美国数学家约克与他的研究生李天岩在1975年的论文“周期3则乱七八糟(Chaos)”中首先引入了“混沌”这个名称。美国气象学家洛伦茨在20世纪60年代初研究天气预报中大气流动问题时，揭示出混沌现象具有不可预言性和对初始条件的极端敏感依赖性这两个基本特点，同时他还发现表面上看起来杂乱无章的混沌，仍然有某种条理性。1971年法国科学家罗尔和托根斯从数学观点提出纳维-斯托克司方程出现湍流解的机制，揭示了
准周期进入湍流的道路，首次揭示了相空间中存在奇异吸引子，这是现代科学最有力的发现之一.
............

约克是一位颇有个性的美国数学家，他关心政治，兴趣广泛，才华横溢，不修边幅。他研究的是应用数学，喜欢在跨学科的边沿地带转悠。约克所在的美国马里兰大学应用数学所，有一位作气象研究的A. Feller教授。1972年，约克从Feller教授那儿得到了洛
伦茨有关气象预测、蝴蝶效应等相关的几篇论文，十分感兴趣。并且，约克在研究洛伦茨那三个微分方程时，以一个数学家敏锐的直觉，猜测如果一个连续函数有一个周期为三的点，这个函数的长期行为就将会十分奇特，类同于洛伦茨所发现的奇异吸引子那样。约克把这个想法告诉李天岩，鼓动这个得意门生证明他的这个猜想。

李天岩果然不负老师所望，大约两星期后，就完成了这个后来被称之为Li-Yorke定理的全部证明。而且，证明简单易懂，只用到初等微积分里的“中值定理”。于是，两人将结果投稿到一个较通俗的刊物“数学月刊”。

不料“数学月刊”的编辑认为论文内容太过于研究性质而将文稿退了回来，建议他们转投其它刊物，或进行修改，以至于学生们能读懂。当时的李天岩专注于自己的博士论文课题，且疾病缠身，无暇顾及去改好这篇文章。

话说李天岩和约克的那篇文章，从“数学月刊”退回之后，便一直被搁置在桌上受冷落。直到一年之后，混沌理论的开山鼻祖之一，著名的生态学家罗伯特·梅，从普林斯顿大学来到马里兰大学，讲他的逻辑斯蒂方程。

听到罗伯特·梅介绍逻辑斯蒂系统的倍周期分岔现象，群体繁殖的周期数目逐渐增多又增多，最后导致奇异行为出现一事，约克恍然大悟，立即联想到自己有关‘周期3’的
猜想。当演讲完毕，约克将罗伯特·梅送到飞机场时，赶快给他看了李天岩那篇尚未发出的文章。罗伯特·梅立即表示，文中的思想和证明，也许能够对这种因周期分岔、从有序走向无序的现象，作出最好的数学诠释。

“一语惊醒梦中人”，约克从飞机场回学校，便立即马不停蹄地找到李天岩。三个月之后，那篇著名的、名为“周期3意味着乱七八糟”的文章才终于见诸于世，发表在1975
年12月的“数学月刊”上。

有趣的是，李天岩和约克在他们文章的标题中，给那种‘奇异行为’起了一个恶作剧式的名字：“乱七八糟”（Chaos）。没想到这个名字还颇得人心，随着它所表述的理论
一起，不胫而走，从此名扬天下！

此故事还有一段后续插曲。

作为“周期三意味着混沌”一文的作者，“混沌”一词的命名人，约克被邀请到处演讲。一次在东柏林的演讲后，约克去玩游艇，碰到一位名叫沙可夫斯基 (Oleksandr M.
Sharkovsky, 1936-) 的乌克兰数学教授，并且无比吃惊地得知，这位教授比他早十来
年就证明了与他们的“李-约克定理”类似的定理。这是怎么回事呢？

苏联学者在理论物理和数学上的成果的确不容小觑，难怪有苏联科学家挖苦西方人之语：“你们美国人搞的东西，我们10年前就有了！”

约克后来收到了沙可夫斯基寄来的论文，发表在《乌克兰数学杂志》1964年第16期上，那是一个美国数学家从不问津的一份刊物。比起李-约克文章发表的1975年，已经整整
11年过去了。

李天岩和约克的论文《周期三意味着混沌》的第一部分，证明的是，如果一个系统出现了‘周期3’，那么就会出现任何正整数的周期，系统便一定会走向混沌。或者说，系
统有三周期点，就有一切周期点！
......

这个结果看起来似乎让美国学者无地自容，不过，李-约克定理的第二部分仍然能使美
国人觉得挽回颜面，扬眉吐气，因为这一部分是沙可夫斯基定理中没有的，它深刻地揭示了结果关于初始值的敏感依赖性，以及由此而导致的不可预测性，那正是混沌的本质。

俄国科学家们固然功底深厚，硕果累累，但西方学界不拘一格的活跃气氛，跨学科间的亲密接触，理论和应用之间的配搭融合，也都是值得东方学者们深思和借鉴的。
http://toutiao.manqian.cn/wz_biiY2Zl6it.html

李天岩：回首來時路

我常常覺得自己的數學生涯實在是太幸吡恕Ｓ浀媚悄暝趧P洛格（B. Kellogg）教授所
開「非線性數值分析」的課堂上聽到他講 關於赫希（M. Hirsch）用微分拓撲的反證法證明「布勞威爾（Brouwer）不動點」的存在定理【布勞威爾不動點定理，是拓撲學裡
一個重要 定理，可應用到有限維空間並構成了一般不動點定理的基石。布勞威爾不動
點定理得名於荷蘭數學家魯伊茲·布勞威爾（L. E. J. Brouwer）】。其實我覺得只要 把赫希的證明稍稍做些變動（這個變動大概不超過原來證明的1%吧！），就可以輕易
地把他的反證法（「……若『不動點』不存在，則天下會 大亂……」）變成一個找這
些不動點的實際方法。後來和導師約克教授提起了我的看法。記得那時擺在我面前的研究課題 有好幾個，沒想到約克教授卻堅持要我全力以赴地去實踐這個算法的構想。老
實說，那時我心裡最不想做的就是 這個問題。首先，我那時根本不懂計算（連基本的
Fortran語言都不會）。另外，我們那時並沒有什麼「工作站」、「個人電腦」，所有
計算程序都必須打在卡片上（一行一張卡），然後把它們 送去計算機中心，他們用學
校僅有的兩台機器替你跑程序。接下來就看你的邭饬耍袝r二十分鐘之後就有結果，
有時要等兩三個小時甚至 更長時間。還有一個不想做這個題目的理由：那時總以為數
學研究總是要證些定理什麼的，搞些εε-δδ的玩 意兒，我對算布勞威爾不動點的構想即使可以順利咦鳎孟褚矡o法推出什麼定理來。不管怎樣，在我們那個年代，好像
老師叫你 做什麼，你照著做就是了。雖然我自己心中極不熱衷這個題目，但是從裡到
外都毫無排斥的意識。

記得我是在1974年1月中開始著手這個問題。關於寫程序，甚至打卡都只好一面做一面
學。我幾乎每天在清晨6點半就送卡片去 計算機中心，然後是等結果、改程序、等結果、改程序……常常弄到半夜12點多。每次等到的結果都因程序或算法的 錯誤，基本上
拿到的都是一大沓廢紙。後來，去計算機中心拿(或等)一沓廢紙好像已經變得習以為常了。記得是3月15日那天早上，我到計算機中心 拿到的結果卻只有薄薄的幾頁。起先心中只是大為疑惑：今天是怎麼回事？沒想到打開一看，居然算出「不動點」來了！那是個100維的問題！

說實在的，我那時心中並沒有很大的成就感。這就好像老師要我去掃廁所，我終於把廁所打掃乾淨了，如是而已。沒想到，大約在 一個月後，約克教授在美國數學學會的
Notice上看到一個將在當年6月26-28日在南卡羅來納州的克萊姆森大學（Clemson
University）舉行「不動點計算及應用國際會議」（International Conference on
Computing Fixed Points with Applications）的消息。完全出乎我們意料之外的是，從1967年開始就有一大群人在 研究布勞威爾不動點的算法。這些人多半是出自名校經
濟系、商學院、作業研究、工業工程等系所的教授，因為許多經濟學裡的 模式的「均
衡點」（equilibrium）都可以用布勞威爾不動點的方式來表達，因此布勞威爾不動點
的咚� 變成了實際應用上的一個重要工具。這個會議顯然邀請了那個門派所有
的重量級
人物去做報告。約克教授在知道這個會議的 信息之後，立刻打了個電話給這個會議的
主辦人卡拉馬爾迪昂（S. Karamardian），告訴他我們有一個新的 算法。當時卡拉馬
爾迪昂也只是半信半疑地勉強答應提供我們兩張往返克萊姆森的機票。後來我和凱洛格（Kellogg）教授一起參加了 那個會議。我們在那裡「一鳴驚人」。後來耶魯大學經濟系的講座教授斯卡夫（H. Scarf，他是當初在1967年，第一個提出布勞威爾不動點算
法的）在會議論文集的簡介里說：

「……對於我們中的很多人來說，在克萊姆森會議中給我們極大驚喜的是凱洛格、李和約克的一篇文章，文中他們給出了第一個通過使用微分拓撲里的 連續映射來計算不動
點的方法，而不是使用我們傳統的組合方法。在這篇文章中，作者們同樣給出了為何赫希的論證可以用來定義從 任意指定的邊界點到不動點的路徑……」

附帶一提的是，我們算法中所引用的微分拓撲概念，後來在解非線性問題數值計算的「同倫算法」中起了「革命性」的作用。

原文網址：https://kknews.cc/education/og5brxq.html
原文網址：https://kknews.cc/education/og5brxq.html

關於「Li-Yorke 渾沌」的故事
李天岩

本文是李天岩教授為日本數學雜誌《數學xxxxx》所寫的中文稿

在科學界，關於渾沌 (Chaos) 現象和奇異吸引子 (Strange Attractor) 的研究領域裡，名氣最大的奇異吸引子大概就是所謂的 Lorentz Attractor 吧。在 Lorentz
Attractor 成名的過程中，有一個關鍵性的教授 Allen Feller 的名字卻很少有人知道。

我在美國 University of Maryland 作研究生時，我的 Ph.D. 論文的指導教授 J.A.
Yorke 先生所屬的 Institute 是「Institute for Fluid Dynamics and Applied
Mathematics」。 （現在的名稱已改成 Institute for Physical Science and
Technology）。那個 Institute 所包含的領域非常之廣。比如說，Solid State
Physics, Plasma Physics, Chemical Engineering, Applied Mathematics,$
cdotscdots$ 等等。其中有一個非常奇怪的 program，叫做氣象組 (Meteorology
program)，A. Feller 是這個 program 的教授。

大約在1972年時，Feller 教授將 E.N. Lorentz 所寫關於「氣象預測」model 的 4 篇文章交給 Yorke 教授。當時 Feller 教授覺得 Lorentz 的文章太過於理論化、數學化。他們不感興趣。也許我們搞數學的會比較感興趣。那 4 篇文章都是在氣象的期刊上
登的。若不是 Feller 教授，我們也許不太可能有機會接觸到它。那段時間，我們讀了那幾篇 Lorentz 寫的文章，覺得很有意思。

在1973年4月中的一天下午，我到 Yorke 教授的辦公室。那時他對我說：「I have a
good idea for you!」那時我在做微分方程方面的研究。我以為他所謂的「good idea
」是關於微分方程方面的高深 idea。 但是我卻開玩笑地說：「Is your idea good
enough for Monthly?」Monthly（編者按：指《American Mathemaical Monthly》）是一個相當普遍的月刊。它就好像日本的《數學xxxxx》一樣，是一般學生都能看懂的溄
s誌。 它並不刊載非常高深的 idea。（這種學生向老師開玩笑的事，在美國非常普
遍，但是在國內好像並不多見。）Yorke 教授聽了我的話後，只是笑了一下。當時他告訴我的 idea 就是後來出名的 Li-Yorke 定理： 對於一個從 R1 到 R1 上的函數 f，
我們用 fn(x) 來代表 $fcirc f^{n-1}(x)$。如果對一點 $ainmathbf{R^{1}}$，我們
有 fk(a)=a 而且 $f^{j}(a)neq a$, $0leq
j
.....

這個 idea 的原始出發點是在 Lorentz 那些文章之中。我聽了這個 idea 之後，馬上
感慨的說：「It will be a perfect work for Monthly!」 的確是如此，因為他根本
不牽涉高深的語言。一般學生都應看得懂，不是嗎?

大約兩星期後，我就完全證明了這個定理，證明過程中所用到的只是初等微積分裡的「中值定理」，寫的不是太「高深」。我們將它寫好之後，就真的投到 Monthly 去了。 那時那篇文章的 Reference 只有 Lorentz 的那 4 篇文章。

沒想到，沒過多久那篇文章就被 Monthly 退回。他們說，我們這篇文章過於偏向「研
究性」，並不適合Monthly這個期刊的讀者。因此，他們建議我們將原稿轉寄其他的期
刊。 但是我們若一定要投回Monhly，他們建議我們把它改寫到一般學生都看得懂的地
步。

文章退回以後，Yorke 教授還是堅持要寄回 Monthly，因為 Monthly 比較一般化，它
的讀者群非常之大。（其實，我真恨不得他能同意我轉寄別的期刊。）當初我們研究這個問題，以及寫這篇文章，只是著迷於它本身的趣味。這和我博士論文的內容根本無關。因此我並沒有花功夫去改它。事實上，我也不知道該怎麼改。於是乎，這篇文章就在我桌上躺了將近一年。

1974年是 University of Maryland 數學系，生物數學的「特殊年」。 在這一年裡，
每星期都要請「生物數學」這個領域裡最傑出的學者來校演講。 在5月的第一個星期，他們所邀請的學者是赫赫有名的 Robert May 教授。 他是當時普林斯頓大學生物系的
教授。R. May 教授在那一星期中，每一天都給一個演講。 最後一天演講的內容是函數 $f_{r}(x)=rx(1-x)x ; in [0,1]$, 0領域裡是一個非常重要的 Model。 通常被稱為「Logistic Model」。
......

Yorke 教授聽完 R. May 教授的演講後，在送 May 上飛機時， 把在我桌上躺了將近一年的那篇關於 Li-Yorke 定理的文章給他看。 他看了文章的結果後，大為吃驚。他認
為這個定理大大的解釋了他的疑問。 Yorke 教授從飛機場回來後，立刻跑來找我說：
「我們應該馬上改寫這篇文章。」 文章在兩星期內改寫完成，三個月後 Monthly 接受我們這篇文章， 它登在1975年12月份的 Monthly 上。

R. May 是舉世聞名的教授。那年暑假時，他被邀請到歐洲到處去演講。 Li-Yorke 定
理-「週期三則渾沌」，因此大為出名。 Lorentz Attractor 也跟著大為出名。 特別
值得一提的是 R. May 教授在來 University of Maryland 之前並不知道所謂的
Lorentz Attractor。

.....

在 Li-Yorke 定理出現以前，大家多半相信即使在三維以上的空間裡， 不受「噪音」(noise)影響的微分動力系統，它的解的軌跡的長期路徑多多少少追隨一些規律。但是當 Li-Yorke 定理出現以後， 大家不再迷信這個定理。首先的一個例子，就是 Lorentz Attractor（它是三維空間裡的微分動力系統）。 後來大家發現「奇異吸引子」到處都是，各個領域都有。這個混亂的現象，不是人為計算上的錯誤或誤差所造成的。 而是
「神的旨意」。

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http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_12_3_02/index.html

李天岩（1945年6月－2020年6月25日），美籍數學家，湖南人，密西根州立大學傑出數學教授。
https://www.sohu.com/a/406838095_260616

https://web.math.sinica.edu.tw/mathmedia/author18.jsp?query_filter=%E6%9D%8E%E5%A4%A9%E5%B2%A9