zt 李永乐老师讲为什么0.999....＝1！数学公理化证明

引用 @萌奇D路飞 发表的:
支持去b站或者西瓜视频，看李永乐老师官方的，老师人超棒！

李永乐老师喜欢无中生小朋友

@大鸟妮妮

引用内容由于违规已被删除

别吧，上次那题我给同学讲，他们还是不会。某985😂😂😂

引用 @不愿透露姓名的李奶奶 发表的:
做错题没有任何问题，状元也不是满分，但是那一批看完解释还是嘴硬的，我是不信上过大学，基础的高中知识你忘了，给你讲成这样还是不服说你不配上大学有毛病么？

本来就是，这种错了还不能认清错误的，上个初中都费劲。还配上个锤子大学

讲到分割就听不懂啦。

这是李永乐爷爷我切吊好吧🌝

那0.8999999……也等于0.9吗？

引用 @罗宾汉侠盗 发表的:
泰勒展开式很多人都不知道什么事，都是死记硬背的，

无脑泰勒就完事了

引用 @赶快修复吧 发表的:
无脑泰勒就完事了

对呀，无脑，也没什么限制条件，反正等式代换

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北大乱七八糟的。。。虎扑一堆民科权威

引用 @一道小闪电y 发表的:
别吧，上次那题我给同学讲，他们还是不会。某985😂😂😂

我朋友圈一位北美的金融学准教授第一次答都认为是二分之一。。以此为评判标准有点可笑哦

引用 @KB24home女团 发表的:
有啥问题，1／3不就是0.3333333……

看视频啊，当时的数学家甚至不认为这些算数字

引用 @twxqq 发表的:
看视频啊，当时的数学家甚至不认为这些算数字

嗯嗯

引用 @我觉得挺好的啊 发表的:
你知道什么是无穷级数吗。。。。

别人北大数院的，你懂什么是LaTeX吗

引用 @伟大唐斯 发表的:
这是李永乐爷爷我切吊好吧🌝

说的好像只有一个李永乐似的，切吧👎

引用 @罗宾汉侠盗 发表的:
对呀，无脑，也没什么限制条件，反正等式代换

图来了

引用内容由于违规已被删除

因为你看不懂啊 这么多人亮…
无穷数级就是有次序的可数或者无穷个数函数的和的收敛性及和的数值，他解释完全没问题

引用 @马克普莱策 发表的:
1/3不等于0.333循环，0.333循环=1/3*（1-0.1^n）

n趋于∞吗？那不还是0

引用 @我觉得挺好的啊 发表的:
你知道什么是无穷级数吗。。。。

如果真的想讨论，那请你也说一下你对无穷级数的理解，而不是一句反问显得自己比别人懂

以前初中课本就有九分之一是0.1111，九分之二是0.222222，这样一直推到九分之九应该是0.99999，而九分之九就是1，所以0.999999就等于1

最后一段关于追求科学真理的内容说的太好了！

引用 @fwbx529 发表的:
说真的，有些人如果这个不理解的话，那微积分里比如无穷级数泰勒展开什么的，就更没法理解了。

除非学数学的，不然很多人就是套公式，考研也是。你要让很多人理解泰勒公式，那很难做到

q＞p，怎么得出(q-p)/q≥1/q，不能确定(q-p)＞1啊

我就看个视频，你居然给我上了一课

先🐴

李永乐老师说的阿基里斯追乌龟就是一样的问题吧

引用 @别拿走我的鱼 发表的:
上次的概率题已经把步行街暴露的底裤不剩了，更别说整天各种奇葩的民科帖子了

有些人明明水平有限，还不愿意接受新知识，虎扑这种人太多了

李永乐不是个老爷爷嘛？

引用 @拯救者幻想计划 发表的:
小学就学过怎么把无限循环小数化成分数了，不懂可以百度

现在的小学课程路子这么野吗？我都是看了今天街上的讨论才自己想出来的。

引用 @郭鹏神 发表的:
就是看你怎么定义所谓的0.9循环，它本质是无穷级数，等于1。在严格一点的数学里就没有这些循环的东西了。 ---------分割线-------- 既然一堆人喷我那我就再说几句，还想喷我请声明理由，声明我哪里说得不对。 1、戴德金分划保证了“0.9循环”和1是同一个实数。 2、循环小数是不严格的数学记号。 2.1、那么什么是严格的呢？无穷级数。如果你非要定义循环小数，请使用无穷级数：sum_{i=1}^{infty} frac{9}{10^n} 恒等于1（虎扑不能LaTeX)。

第二点很认同。李的视频里q本来就要保证无穷大，直接给说了存在10的幂级数能大于q，这很牵强啊。这情况可跟大一高数不一样。我认为数学从整数开始就决定了它必须是无限分割数，能用就好了。当然我很敬佩为之奋斗的人，希望数学能发展得越来越好(这是句废话😉)。

码

但是戴德金分割只确定一个实数，而不是可以确定（至少）两个实数，这一点需要证明吧.

有一个问题：15分07秒处，t＜0.999.....→t小于1，这一步之所以能直接得出，似乎是已经默认了0.999.....在1的左边啊。 [ 此帖被winterdoger在2019-06-05 20:53修改 ]

引用内容由于违规已被删除

你这话，就算再加个狗头也会显得很无知

妙啊！多么漂亮的证明！
另外，戴德金这样的究竟是什么大脑。。。

引用 @山脚下的坏蛋 发表的:
是这样理解的，如果0.99...是长度可变的，那它只是个极限为1的变量而不是数。
如果是循环小数，显然指的就是上面那个变量的极限了，证明这个数为1是没什么问题的。

如果认为0.99...是一个数列的极限，完全可以用伊普西龙-N语言证明，也不用搞得这么复杂。

引用 @流年‰飘雪 发表的:
那么你的解释就证明了0.9的无限循环不等于1，那么问题来了，0.9的无限循环到底等不等于1？

不如先思考无穷小到底等不等于0？这个问题来源于牛顿的微积分，困扰了人类两百年，直到魏尔斯特拉斯给出极限严格的定义。也可以这样说：无穷小无限趋近于0，但是有些无穷小存在极限且等于0，有些不存在极限。这还只是在数轴上，高维空间中一个动力学系统在平衡点周围会呈现更加丰富的运动形式，比如中心点、焦点、鞍点。 [ 此帖被sss_aaa在2019-06-05 20:44修改 ]

引用 @郭鹏神 发表的:
就是看你怎么定义所谓的0.9循环，它本质是无穷级数，等于1。在严格一点的数学里就没有这些循环的东西了。 ---------分割线-------- 既然一堆人喷我那我就再说几句，还想喷我请声明理由，声明我哪里说得不对。 1、戴德金分划保证了“0.9循环”和1是同一个实数。 2、循环小数是不严格的数学记号。 2.1、那么什么是严格的呢？无穷级数。如果你非要定义循环小数，请使用无穷级数：sum_{i=1}^{infty} frac{9}{10^n} 恒等于1（虎扑不能LaTeX)。

所以可不可以理解为0.999...是否等于1本质上是由人类如何定义决定的？
也就是说既可以说等于，也可以说不等于，都可以对？

引用 @箕踞之人 发表的:
公理不需要证明。。。

你懂什么叫公理嘛。。

引用 @箕踞之人 发表的:
公理不需要证明。。。

你懂啥是公理嘛。。。

视频不是严禁转载么

无限这个东西没意义，因为世界是有限的

引用 @箕踞之人 发表的:
公理不需要证明。。。

公理...

引用 @kaiwen09 发表的:
三分之一是0.3的循环，那么三个三分之一不就是等于0.9的循环？三个三分之一就是三分之三就是等于1，那么0.9的循环不就是1了吗？我这文科生高考数学35分的人都知道0.9循环就是1，你们还在这里争！

额，你再仔细想想？

引用 @雨路大魔王 发表的:
0.9，0.99，0.999......这是一组柯西列。我们小学定义的无限小数，就是指这个柯西列的极限。所以不要再说什么，无限小数本质就是无穷级数了。无限小数指的不是无穷级数，是这个无穷级数的极限，就是一个数。

无穷级数就是极限

引用 @神户牛排33 发表的:
他们眼里面子大于真理，不想接纳反直觉的知识。大概率不是高学历的思维。做错了不可怕，我几个朋友，也有985，211学历的答错了。但你告诉他错，人家都能利用逻辑去思考并坦然承认，而不是钻牛角尖。反观步行街，错了后，要么不在理回选择逃避，要么一杠到底。而且中国大学生本来就是专科占多数啊，步行街哪来那么多985。

是，只要道理说明白了，错了就错了，更重要的是为什么错，为什么会以错误的思路去思考

我想提问一个问题
0.9循环，是无理数吧，
1是有理数吧，
1=0.9循环
既1等价于0.9循环，
那么，存在一个数，即是有理数，又是无理数？？
但是，有理数和无理数，应该是没有交集的吧，搞不懂了，有大佬可以解释一下吗？

引用 @王晨老公 发表的:
我想提问一个问题
0.9循环，是无理数吧，
1是有理数吧，
1=0.9循环
既1等价于0.9循环，
那么，存在一个数，即是有理数，又是无理数？？
但是，有理数和无理数，应该是没有交集的吧，搞不懂了，有大佬可以解释一下吗？

0.9循环是有理数啊......
无限循环小数都是有理数

引用 @王晨老公 发表的:
我想提问一个问题
0.9循环，是无理数吧，
1是有理数吧，
1=0.9循环
既1等价于0.9循环，
那么，存在一个数，即是有理数，又是无理数？？
但是，有理数和无理数，应该是没有交集的吧，搞不懂了，有大佬可以解释一下吗？

这是初中知识，不需要大佬.......

18分钟的讲学视频，对不起，流量有限、18分钟的电影剪辑，真好看！

引用 @萌奇D路飞 发表的:
0.9循环是有理数啊......
无限循环小数都是有理数

对哦，忘了~~~~

引用 @萌奇D路飞 发表的:
这是初中知识，不需要大佬.......

不好意思，忘了定义了~~~好久没学数学了~~

引用 @罗宾汉侠盗 发表的:
泰勒展开式很多人都不知道什么事，都是死记硬背的，

确实，证明原理早忘了，就靠背公式

学习了！

马住

引用 @追随流水 发表的:
遗憾的是，北大物理和经济双学位加清华硕士毕业这个级别的学习经历本就没多少人，去当老师的就更少了。

当老师的多，走上理论研究岗位的少。

引用 @冰心如水 发表的:
当老师的多，走上理论研究岗位的少。

呃，我其实意思是当中小学老师，这几年确实多了些，往年很少的

引用 @leozero使徒 发表的:
数学系大一的数学分析，一开始就会讲戴德金分割…… 完备性的话cantor的方法在实变里更好用吧。 不过这个证明方法应该是最好的了，以前我去反驳的时候设未知数X 乘10，漏洞还是挺多的。

X乘以10的漏洞在哪里哈，我给我朋友看视频，他用10X去证明，我该怎么说明这里面的漏洞哈

引用 @雨路大魔王 发表的:
0.9，0.99，0.999......这是一组柯西列。我们小学定义的无限小数，就是指这个柯西列的极限。所以不要再说什么，无限小数本质就是无穷级数了。无限小数指的不是无穷级数，是这个无穷级数的极限，就是一个数。

文科生被搞晕咯

数学太美了

这就是一个定义

引用 @箕踞之人 发表的:
公理不需要证明。。。

是个锤子公理 1+1=2都不是公理

引用 @sss_aaa 发表的:
不如先思考无穷小到底等不等于0？这个问题来源于牛顿的微积分，困扰了人类两百年，直到魏尔斯特拉斯给出极限严格的定义。也可以这样说：无穷小无限趋近于0，但是有些无穷小存在极限且等于0，有些不存在极限。这还只是在数轴上，高维空间中一个动力学系统在平衡点周围会呈现更加丰富的运动形式，比如中心点、焦点、鞍点。

你这是有前提的，即在X轴右侧。如果把范围拓展到整个X轴，无穷大和无穷小是没有极限的。

6分30秒，戴德金分割以有理数为分界的话该有理数应该属于集合A还是B

引用 @fyf191 发表的:
你最后面这个式子，x可以等于其他任何数

？

17：25中说到：因为q＞p所以q-p＞1。
我寻思：不是应该q-p＞0吗？

引用 @zzl0 发表的:
你懂啥是公理嘛。。。

依据人类理性的不证自明的基本事实，经过人类长期反复实践的考验，不需要再加证明的基本命题。不好意思，循环小数的定义就是这样，自己回去翻小学课本吧。希望你还留着

引用 @RocFish 发表的:
是个锤子公理 1+1=2都不是公理

谁教你1+1=2不是公理的，翻翻小学课本去吧，但愿你还留着。

引用 @ilzy 发表的:
0.999999.... 属于 【0,1】 这个集合里吗

白解释了，你问0.999..在不在[0，1]里面就是把0.99..当作一个数了

学习一下

引用 @箕踞之人 发表的:
依据人类理性的不证自明的基本事实，经过人类长期反复实践的考验，不需要再加证明的基本命题。不好意思，循环小数的定义就是这样，自己回去翻小学课本吧。希望你还留着

拿一句百度百科就来得瑟？我再告诉一遍，上过大学的都知道这根本不是公理，学数学分析的话很多老师都会证一遍的。不要拿无知当个性，没人给你证就成无证自明？

但感觉还是有问题这个证明，如果有一个数（肯定有）是0.9...8也就是无穷多个9，最后一个是8，同理最后一个等式成立，不就说明这个数也和1相等了吗

引用 @zzl0 发表的:
拿一句百度百科就来得瑟？我再告诉一遍，上过大学的都知道这根本不是公理，学数学分析的话很多老师都会证一遍的。不要拿无知当个性，没人给你证就成无证自明？

真惨嗷，连语文也没学好。不需再加证明又不是不能证明，有人再证一遍很奇怪吗。还有，你问我，我回答，还是说我在嘚瑟，啧啧啧啧，内心是多阴暗嗷。

引用 @箕踞之人 发表的:
真惨嗷，连语文也没学好。不需再加证明又不是不能证明，有人再证一遍很奇怪吗。还有，你问我，我回答，还是说我在嘚瑟，啧啧啧啧，内心是多阴暗嗷。

哈哈哈，说不过开始乱咬人啦。公理根本不需要证懂吗，所有需要证的都是推论。没人给你证是因为你没上过大学，或者上的是个辣鸡大学，现在懂了嘛？

引用 @箕踞之人 发表的:
谁教你1+1=2不是公理的，翻翻小学课本去吧，但愿你还留着。

你怕不是石乐志吧

引用 @箕踞之人 发表的:
真惨嗷，连语文也没学好。不需再加证明又不是不能证明，有人再证一遍很奇怪吗。还有，你问我，我回答，还是说我在嘚瑟，啧啧啧啧，内心是多阴暗嗷。

你脸皮是真的可以，谁先口无遮拦的心里没点数。你还不配说大学，自己回去翻小学课本吧，真可怜，估计早扔了。懒得理你了，88~

引用 @J了个R 发表的:
你怕不是石乐志吧

没上过学的真多

引用 @箕踞之人 发表的:
没上过学的真多

所以阁下就读于哪所大学呢

总存在n，使得10的n次方＞q，谁解释下。。。

引用 @zzl0 发表的:
哈哈哈，说不过开始乱咬人啦。公理根本不需要证懂吗，所有需要证的都是推论。没人给你证是因为你没上过大学，或者上的是个辣鸡大学，现在懂了嘛？

估计他也就是个大专生，还自以为是的那种，别理他了，你看他的有个回帖，说他爸爸本科，妈妈研究生，他给拖后腿了，所以结论是。。？

我虽然听完了 但是讲到PQ哪儿的时候有点绕不过来了
但我是认同这个说法的
之前听人说 你可以在1和0.9999……中间找一个数 结果找不到 这个解释也是让我信服了

引用 @神户牛排33 发表的:
他们眼里面子大于真理，不想接纳反直觉的知识。大概率不是高学历的思维。做错了不可怕，我几个朋友，也有985，211学历的答错了。但你告诉他错，人家都能利用逻辑去思考并坦然承认，而不是钻牛角尖。反观步行街，错了后，要么不在理回选择逃避，要么一杠到底。而且中国大学生本来就是专科占多数啊，步行街哪来那么多985。

不接纳反直觉的知识是对的，是进化论为人类带来的最优策略。你能做出什么判断基于你接触的环境，即使与事实不符合那也是你应该做出的正确判断。因为你不是为这一次而活着，接受直觉经验才能保证总体最优结果

突然想不起来高中时黑板是黑的还是绿的

引用 @箕踞之人 发表的:
没上过学的真多

合肥某211，毕业两年了。这和大学没关系，小学课本就够了

引用 @箕踞之人 发表的:
公理不需要证明。。。

wtfk？？？
是哪位仙人告诉你，1/3等于0.3333的循环是公理的？？？
屁不懂就在这胡扯。。。

引用 @箕踞之人 发表的:
谁教你1+1=2不是公理的，翻翻小学课本去吧，但愿你还留着。

公个锤子的理。。。无知得让人想笑。。。

真心话，我初中高中如果有李永乐这样的数学老师，我真不至于数学高考不及格！初中前2年，数学老师是班主任，一学期老老实实讲课不足一半课时，有段时间半学期没上课，反而是历史老师帮我们补的，初三那个历史老师成了我的数学老师，算是补回了一点，但是基础不稳固。到了高中，数学老师是教导处主任，哎，威严很大，不懂的不敢问，浑浑噩噩3年过去了，到了大学就更学不精微积分了

引用 @马竞神帅西蒙尼 发表的:
装逼你也稍微靠点谱啊，说一堆胡说八道的东西给谁看？

你不懂就低调些 稍微涉猎过实数完备性的人都不说你这样的话 shame on you

引用 @阳阳在珞珈山看勒布朗 发表的:
wtfk？？？
是哪位仙人告诉你，1/3等于0.3333的循环是公理的？？？
屁不懂就在这胡扯。。。

戾气这么重，感谢你的经验 哈哈哈哈哈哈哈

这数轴画的真直……

引用 @箕踞之人 发表的:
谁教你1+1=2不是公理的，翻翻小学课本去吧，但愿你还留着。

1+1=2是个鸡儿公理。。

引用 @库玆马 发表的:
有一点没懂的是怎么证明0.9999和1中间没有无理数呢。 真心求教

他没有证明0.9999和1直接没有无理数，而是根据实数的定义，证明了从0.9999进行分割，和从1进行分割，两者是等价的，因此0.9999就是1，因为有理数无理数不连续，但是实数是连续的。

引用 @箕踞之人 发表的:
戾气这么重，感谢你的经验 哈哈哈哈哈哈哈

经验很有用吗！！？？我又不care。。。没什么能比怼你这种二憨憨更开心的了～
哈哈哈红红火火恍恍惚惚哈哈哈哈

引用 @阳阳在珞珈山看勒布朗 发表的:
经验很有用吗！！？？我又不care。。。没什么能比怼你这种二憨憨更开心的了～
哈哈哈红红火火恍恍惚惚哈哈哈哈

等你一天去小黑屋啦~

证明的不完整吧 p/q<1，怎么就能直接p>

引用 @星起南北西东 发表的:
证明的不完整吧 p/q<1，怎么就能直接p p="">

不能直接p＜q，还有负数情况

引用 @BPJisoo 发表的:
所以可不可以理解为0.999...是否等于1本质上是由人类如何定义决定的？
也就是说既可以说等于，也可以说不等于，都可以对？

不，就是等于。因为现有的数学符号里，循环小数只有这一种定义（无穷级数）。这个定义保证了相等

学习了

不懂就问，为啥q比p大所以q-p比1大啊..

引用 @邓槑轮纳德 发表的:
问题从证明0.9循环等于1，变成了0.3循环等于1/3

借楼真心问一下嗷，为啥q大于p所以（q-p）/q就大于等于1/q，不是应该q-p大于0吗