引用 @sss_aaa 发表的:这个证明是错的，看来误导了很多人。这个问题本质上等价于无穷小是否等于0，引发了第二次数学危机。柯西明确指出无穷小不是一个数而是一个动态过程，魏尔斯特拉斯最终给出其严格定义。 1是数轴上的一个点，0.999....是一个无限趋近这个点的过程，两者当然不能画等号。理解这一点，才能理解为什么说高等数学是动态的。
引用 @流年‰飘雪 发表的:那么你的解释就证明了0.9的无限循环不等于1，那么问题来了，0.9的无限循环到底等不等于1？
引用 @Jeer样 发表的: 其实我认为应该把十进制改成9进制，或者说三进制，现在很多数学难题就解决了。在圆中360度是可以完美被3或3的倍数整除的。而3*3=9，而不是去凑无限接近10。如果把所有这些都放在这个环境前提下，大部分这类数学问题是能解决的。其实问题就在于当年以10为一个进制就是不严谨的
引用 @萌奇D路飞 发表的: https://bbs.hupu.com/27762353.html?share_from=kqapp
引用 @雨路大魔王 发表的:0.9，0.99，0.999......这是一组柯西列。我们小学定义的无限小数，就是指这个柯西列的极限。所以不要再说什么，无限小数本质就是无穷级数了。无限小数指的不是无穷级数，是这个无穷级数的极限，就是一个数。
引用 @EddiChoy 发表的: 9进制？那为什么不3进制可好了？
引用内容由于违规已被删除
引用 @Jeer样 发表的: 可以的，三进制，然后9代替10原来的功能
引用 @左光斗 发表的:“那么10s=9.9……记为2式” 这一步是不是出问题了。。。为什么10s=9.9……？
引用 @山脚下的坏蛋 发表的: t一旦确定了，p和q也确定了，这个时候再去定n。其实就是你拿出一个t，我再找一个n。反过来存在性的证明就不成立了。想必你离开大学好久了吧
引用 @梦幻儿253 发表的:直接列竖式算1除以3不就好了？
引用 @萌奇D路飞 发表的: 支持去b站或者西瓜视频，看李永乐老师官方的，老师人超棒！
引用 @郭鹏神 发表的: 就是看你怎么定义所谓的0.9循环，它本质是无穷级数，等于1。在严格一点的数学里就没有这些循环的东西了。 ---------分割线-------- 既然一堆人喷我那我就再说几句，还想喷我请声明理由，声明我哪里说得不对。 1、戴德金分划保证了“0.9循环”和1是同一个实数。 2、循环小数是不严格的数学记号。 2.1、那么什么是严格的呢？无穷级数。如果你非要定义循环小数，请使用无穷级数：sum_{i=1}^{infty} frac{9}{10^n} 恒等于1（虎扑不能LaTeX)。
引用 @Oo距离oO 发表的:没错啊，他的意思是S=0.9的循环，所以10S=9.9的循环
引用 @faraway136 发表的:三分之一乘以三等于零点九的循环也等于一
引用 @四月结束时 发表的: 1/3列算式等于0.33……，3/3列算式能得到0.999……吗？（声明我不讨论证明和对错）
引用 @fskdjlaskd 发表的:好吧，同学们。现在我们知道0.9999...是1了。那么，0.988888...是多少？
引用 @PGrApe 发表的:你可以用几何画出来看看，三分之一乘三就等于一了，你去哪找0.9循环。。。
引用 @两面有罪 发表的: ……无言以对，985一条街……
引用 @lycmlpw 发表的:本科学数学虽然学的很痛苦 但是从实数的几个完备性定理的循环证明 到戴德金分割定义实数这一段是反复看过的 充分展示了逻辑思维的完整性 所以作为一个数学系出身的人 每次有人提这个问题 都特别有表达欲（不过直到我现在忘干净了也没人愿意听我详细讲） 这个问题深挖可以从简单的数学问题一路挖到数学里对于实数空间本质的定义 至少这帖子里杠精们的回复都可以有严谨的证明解决的
引用 @流年‰飘雪 发表的:视频里开头就说了，q、p均为整数，q比p大，q-p大于1难道不正确？
引用 @我真是马克思主义者 发表的:你知道什么叫级数吗😓
引用 @EddiChoy 发表的: t如果等于1/2，那么pq等于1/2 2/4 3/6 4/8都可以。怎么能说pq定了呢？我就算数学水平巅峰期也和我提的问题无关呢。l
引用 @默念她于旧年 发表的:三分之一化成数字是0.3循环，乘3左边是1，右边是0.9循环，所以1等于0.9循环
引用 @雨路大魔王 发表的:这样理解毫无问题啊。关键很多人在杠无限小数不能用乘法的。他们怕是学了个高等数学就以为自己上天了，无限小数不能用乘法
引用 @马竞神帅西蒙尼 发表的:装逼你也稍微靠点谱啊，说一堆胡说八道的东西给谁看？
引用 @xz4426385 发表的: 这应该不是考研的那个李永乐吧
引用 @这个时间刚刚好 发表的:哈哈哈哈哈哈哈你说的是什么玩意。
引用 @我觉得挺好的啊 发表的:你知道什么是无穷级数吗。。。。
引用 @尼克杨在采访时说 发表的:你想说这样就能证明了吗哈哈
引用 @PGrApe 发表的:无限循环大于n。这是最关键的一点。。但是确实只能证明，本来就是看不见摸不着的东西，跟哲学似的，看人怎么想了。。
引用 @没钳任性 发表的: 有大佬可以解释下16分15秒那里 (q-p)/q大于等于1/q怎么来的吗。理解不到……
引用 @等一个暴击 发表的: 没看视频 为什么不用夹逼解释 几句话就可以了
引用 @sxjcool 发表的:这有什么说服性啊，1/3等于0.3循环也要证明呀，这本质上和3/3等于0.9就是一个命题。
引用 @上将段天德 发表的:有什么问题？0.999…本来就不是一个数学记号，所以要讨论的话首先要用数学的方式把这个“0.999…”表示出来
引用 @雨路大魔王 发表的:我不懂，您教我
引用 @fskdjlaskd 发表的:级数是数列所有项求∑的函数。
引用 @雨路大魔王 发表的:89/90
引用 @cmx6341 发表的:大佬讲讲非标准分析超实数什么的呗。。 之前在知乎看过看的一头雾水。。。。
引用 @雨路大魔王 发表的:所以你觉得我的问题出在哪里呢
引用 @LHospital 发表的:可以 李永乐专门说的标准错误初等数学证明出现了
引用 @慈溪孙大炮 发表的: q、p是整数，所以至少大1，懂了吗
引用 @fskdjlaskd 发表的:手里有计算器吗？
引用 @twxqq 发表的:有问题的。他把0.333…直接等于1/3了，那还证明啥0.999…呢。
0.999.....是一种计数法，按这种方法1应该写作1.000...
你还没懂，0.99.. 根本不是一个数，是一个极限过程，这个极限等于1
9进制？那为什么不3进制可好了？
985211一条街你不会真的相信吧，这就跟人均30万180公分街车卡宴一个意思
你知道什么叫级数吗😓
可以的，三进制，然后9代替10原来的功能
也别这样说，我每次就对这种题搞的晕头转向，所以在街上看到这种题从不参与讨论😂😂😂
那为啥不用π进制？
是这样理解的，如果0.99...是长度可变的，那它只是个极限为1的变量而不是数。
如果是循环小数，显然指的就是上面那个变量的极限了，证明这个数为1是没什么问题的。
还真有人当985一条街呢？小学生是不会下软件？
没错啊，他的意思是S=0.9的循环，所以10S=9.9的循环
t如果等于1/2，那么pq等于1/2 2/4 3/6 4/8都可以。怎么能说pq定了呢？我就算数学水平巅峰期也和我提的问题无关呢。l
1/3列算式等于0.33……，3/3列算式能得到0.999……吗？（声明我不讨论证明和对错）
上次李永乐老师那道红球蓝球概率题好多人说是1/2而且很肯定自己是对的老师是错的。。。
后来自己用笨想法理解了。
我是这么考虑的
0.9999无线循环=0.9+0.09+0.009+0.0009+.....
那么转换一下作为一个人类，我们能完成1米跑么？在你完成1米之前，你首先要到0.9米，然后要到0.99米，然后要到0.999米以此类推到0.9999999999999999999999999999999999等等等，在你跑到1米之前你一定要先跑出这些阶段。
那么如果0.9+0.09+0.009+0.0009......也就是0.99999不等于1的话，那么我们就永远无法跑到第1米，因为在1米前面永远有第0.99999999999999……这些阶段，
但是实际上显然我们可以跑到第1米，也就是0.9+0.09+0.009+。。。。等于1
这么说吧，360的所有因子并不都是3。因此不能用3进制。数学体系用2进制替代比较好。
看的我都想考研了
哈哈哈哈哈哈哈你说的是什么玩意。
问题就是，为什么9.9的循环是0.9循环的10倍。。。
这个我当然知道结果是对的，但证明好像不能用这个方法吧。。。
但是从实数的几个完备性定理的循环证明
到戴德金分割定义实数这一段是反复看过的
充分展示了逻辑思维的完整性
所以作为一个数学系出身的人
每次有人提这个问题
都特别有表达欲（不过直到我现在忘干净了也没人愿意听我详细讲）
这个问题深挖可以从简单的数学问题一路挖到数学里对于实数空间本质的定义
至少这帖子里杠精们的回复都可以有严谨的证明解决的
你在说什么飞机
0.999999<1也可以成立，只要接受非标准分析超实数之类的概念就行了。。。。>
视频里老师就说了，你这不看下就来？
看了李老师在学校的一个演讲，更喜欢他了
好像0.999999和1.00000000相等什么的，有没有大神来科普下啊。。
你把0.333333的每一个3都×3，不就是0.99999999嘛？
0.98111...是多少？0.98999...是多少？0.98777...是多少？
差不多 高中大专学历一条街
看到李永乐这三个字很难不让人点进来
三分之一是0.3的循环，那么三个三分之一不就是等于0.9的循环？三个三分之一就是三分之三就是等于1，那么0.9的循环不就是1了吗？我这文科生高考数学35分的人都知道0.9循环就是1，你们还在这里争！
本来就是定义问题，先想想你用所谓极限方法证明的时候，用的判定两个数相等的法则（差的绝对值小于任何正数），用这个定义，很容易得出0.9……=1，还需要证明吗？所以其实这个问题本来无法证明，数学家就把它变成了定义，就像虚数i的平方等于-1，和欧拉公式e^iπ=-1，都是定义，无法证明。恐怕985非数学专业也很少懂问题的根本吧
大佬讲讲非标准分析超实数什么的呗。。
之前在知乎看过看的一头雾水。。。。
他的意思应该是这种无限循环或者极限表示的是一种趋势，无穷趋近，把它定义成数时才是和1相等的
比较认同你说的
不正确。反例法证明，还可以等于1。
我也不是数学专业，等真正懂的人科普吧
这条街的平均学历应该有高中🐶
上次李永乐解答完红篮球问题还有人说李老师审题有误而1/2才是对的。。。哪一天菲尔兹奖得主亲自来解答，他们也会说获奖者名不副实要求委员会收回奖项。😥
装逼你也稍微靠点谱啊，说一堆胡说八道的东西给谁看？
我不懂，您教我
首先有理数一般定义成最简分数的形式。
即便不是这样，在你的例子里，只要找一个10^n比2大的n就能满足1/(10^2) < 1/2了，这时候q取4，6，8都没关系，因为1-1/(10^2) > t就足够了
为什么网上总会有人在各种地方产生奇怪的优越感呢？错了道绕弯儿的概率题就是不配上大学，不知道个历史问题就是没读过中学吗，真信985一条街的算是标高圈子来标榜自己的话，你们抓个小点就贬低别人的，可能轮起心思来，比他们还更low一点吧
89/90
没用的，那些人只会说老师专家照样会犯错。现在真心怀疑若是有一天街上因为一道物理题吵起来，杨振宁亲自下场解题，也会有人说诺贝尔奖得主名不副实，要他道歉。😥
首先你得先证明三分之一是0.3333333的循环
这样理解毫无问题啊。关键很多人在杠无限小数不能用乘法的。他们怕是学了个高等数学就以为自己上天了，无限小数不能用乘法
作者：Yuhang Liu
链接：https://www.zhihu.com/question/298779172/answer/514967678
来源：知乎
著作权归作者所有。商业转载请联系作者获得授权，非商业转载请注明出处。
在知乎上看到的，所以就是个定义问题么。。
听不懂就对了。因为人家是北大数院的。
没看视频 为什么不用夹逼解释 几句话就可以了
你想说这样就能证明了吗哈哈
哪句话说的不对，哪句话是胡说八道
嗯 不是一个人，不过都影响着我。
等于有理数89/90，有什么问题吗？
我在说：循环小数不是严格的数学记号，更严格的是无穷级数。
那么请问我说的哪里不对呢？
0.9999无限循环这个符号，在数学上是用来表示实数轴上的1，所以从逻辑层面，用戴德金分割证明两者相等是有逻辑错误的。
一切小数都是用来表示某个实数，抛开这个前提根本没有讨论0.999无限循环这个符号的必要。
这种证明更像是一种观察法的证明。在数学上是不严谨的，但是这样理解却没有问题。
真理本来就是在极限处才会显露真身的，在其它地方去分析看到的永远是表象。
这个思想没有的话，基本大学数学可以放弃了
另一派学过实数理论，理解0.99..=1在标准分析框架内是平凡的事实，却不理解数学是建立在公理体系上的。实数完备性是标准实数理论的性质。这一派建议去看看非标准分析，或者数理逻辑。
某种意义上第二派更加自负，他们学过戴德金分割、柯西列，然后看到我说“不一定相等”就开始质疑我没学懂高数／数分。说实话吧，你们自己的思维有局限；数学里面任何结论都是有前提的，而前提上推到尽头就是公理。
不再解释与此两派有关的问题，因为有些人可能根本听不进去，浪费我时间。
作者：Yuhang Liu
链接：https://www.zhihu.com/question/298779172/answer/514967678
来源：知乎
著作权归作者所有。商业转载请联系作者获得授权，非商业转载请注明出处。
我想我好像理解了点。。。
就是p小于等于q。
因为p/q是A子集中的数，所以p小于等于q。
如果p大于q，那p/q就是B子集中的数，而不可能是A子集中的数了。
345211一条街
这街上一堆高中没毕业的学生…
包括李永乐本人，能不能搞清楚小数是个什么东西？？？
小数是一个表示实数的记号。这个基本前提你们都搞不清，你们讨论的是数学吗？别侮辱数学了，就是一群数学盲在那意淫
因为他用了一半的时间解释如何从公理的角度证明实数是连续的。
如果这个前提不解释清楚，那是鸡同鸭讲。
其实这个证明最大的问题是，无限循环小数不能用四则运算计算，即0.3循环×3=0.9循环这个等式不成立。
有什么问题？0.999…本来就不是一个数学记号，所以要讨论的话首先要用数学的方式把这个“0.999…”表示出来
0.9999....是数学记号，是数学上规定的1的小数表示。你没见过不代表没有。
学数学要多看书。
级数是数列所有项求∑的函数。
能写成两个整数比值么？
所以你觉得我的问题出在哪里呢
你手机有计算器吗？自己算，89/90是多少。
这个我真没法讲
主要没看过任何这个学派的完整的书
也不知道这个体系是从我现在学的这套体系里哪一个问题发展出来的
（比如平面几何的几个公里由于有不可证明的 就发展出来一些其他体系）
感觉这个还不属于正常数学教学体系范围内
可以给你个简单理解……
1、在现在标准的数学体系里
有著名的epsilon delta语言来描述无穷小量
如果简化到极限概念里
就是如果当数列An的极限是B的时候，任取一个无穷小量epsilon，都会有一部分An-B比这个epsilon小
2、正常的实数体系里实数是“完备的”（这个是有严格证明的），也就是简单理解成实数轴是没有空隙的 我们在1里已经看到了An-B之间的空只能是无穷小，也就是不论给多小的空间，An和B都会靠的比这个紧 所以实数轴体系里An在无穷远处就是和B一样的
3、超实数的体系认为无穷大和无穷小都是存在的，他门认为这个无穷小不论多小都是一个量 也就是说实数轴总有“坑”，两个数之间如果隔着无穷小的距离，那这个距离也是一个实在距离
4、所以具体到0.9循环和1，实数理论体系下0.9循环和1之间距离无穷小，所以0.9循环和1就是等价的 但是超实数体系就不这么认为了…… [ 此帖被lycmlpw在2019-06-05 15:09修改 ]
话说这有什么用？👉
没有搞清楚数和函数的定义呗。
有问题的。他把0.333…直接等于1/3了，那还证明啥0.999…呢。
带专一条街，
这老哥id我记得，北大数院的。。。
手里有计算器吗？
太同意你了，在这个视频的前十几秒钟，李永乐老师就说了，初等数学不行，必须用数学公理化和实数的构造才能严格的证明。
明白了 忘了是整数了
0.988888..不谢
他是把1/3用小数表示出来啊。。。。。