qas168888 发表于 2025-05-03 15:40 求导，或者求极限。不用微积分
rabbitfl 发表于 2025-05-03 15:45 不用求导 求极限 怎么做？ 现在是代数2 应该没学到
qas168888 发表于 2025-05-03 15:51 我觉得你还是看看上课内容吧。这道题不用求导或者求极限是不可能做出来的。
elevenoclock 发表于 2025-05-03 15:54 设切线方程为y=mx + b， 该线与y=x^2 有且只有一个交点在 （2，4）， x^2=mx+b 仅在x=2 成立，得m=4，b=-4，切线方程为y=4x-4
BBZ 发表于 2025-05-03 15:52 写出tangent line方程，因为过（2，4）这个点，所以只有斜率一个未知数。这个线的方程和抛物线只交于一点，所以两方程组成的二次方程determinant等于0，从而求得斜率
不用求导 求极限 怎么做？ 现在是代数2 应该没学到 rabbitfl 发表于 2025-05-03 15:45
qas168888 发表于 2025-05-03 15:55 你这个肯定不对，抛物线不是椭圆，能交一点的直线有无数条
你这个肯定不对，抛物线不是椭圆，能交一点的直线有无数条 qas168888 发表于 2025-05-03 15:55
sunnyStore 发表于 2025-05-03 15:57 汗,高中数学啊 所谓切线就是过定点在该临域与曲线只有一个交点的点 Y-4=m(x-2) 带入y=x^2 m(x-2)+4=x^2 x^2-mx+2m-4=0 然后二次函数delta等于0，求出m 高中平面解析几何求切线
抛物线向上无限延展 满足相交一点的条件的斜率只有一个！ BBZ 发表于 2025-05-03 16:00
sunnyStore 发表于 2025-05-03 16:03 二次函数与一次函数只有三种交点情况 2个 1个 0个 对应的是delta大于0,等于0，小于0 同样方法还可以用到椭圆中，圆与直线的相交，相离，相切中。
qas168888 发表于 2025-05-03 16:08 你数学没学好，跟楼上那个一样。这道题能不用导数或者极限做出来都是数学没学好
qas168888 发表于 2025-05-03 16:07 你这个求解看似对，实际上是谬论。 你那个xm公式，x只能等于2。x=2的时候m可以得任意值。事实上在这个点上的确你可以得到无数根线和这个抛物线只交于（2，4）点。这道题只能求导
你这个求解看似对，实际上是谬论。 你那个xm公式，x只能等于2。x=2的时候m可以得任意值。事实上在这个点上的确你可以得到无数根线和这个抛物线只交于（2，4）点。这道题只能求导 qas168888 发表于 2025-05-03 16:07
BBZ 发表于 2025-05-03 16:17 自大得不行。试一下都能知道了，是不是这方法试一下都不会呀
qas168888 发表于 2025-05-03 16:39 哈哈 我是自大了。这道题很反直觉。我试了一下y=bx^2在（a，a^2）好像都是成立的。然后我才意识到y=x^2和y=ax都有两个交点。但是我仍然不觉得这个解法适用于任意曲线。
qgp 发表于 2025-05-03 16:32 好像不是的，除了切线和竖直的线（which doesn’t have a finite slope)，的确没有其他直线可以只交于一点，因为x^2比直线增长快，所以从这一点穿过的直线迟早有一天被曲线从下方穿过。
shanggj 发表于 2025-05-03 16:39 能发好几个帖子， 也不草稿纸上算一下？
因为在车上，手边没有草稿纸🥹 qas168888 发表于 2025-05-03 16:43
SCABBARD 发表于 2025-05-03 17:29 y = x^2 y = mx + b 这两条线相交于一点(2,4)。也就是说， x^2 = mx + b 有且仅有一个解 x=2 将等式变形为标准一元二次方程 x^2 - mx -b = 0 有且仅有一解的标准是 m^2-4(-b) = 0, 即m^2 + 4b = 0 又因直线过点(2,4)，所以， 4 = 2m +b，故b =4-2m 所以，m^2 + 4(4-2m) = 0 即 m^2 - 8m + 16 = 0 所以，m = 4 , b = -4 直线方程为 y = 4x-4
rabbitfl 发表于 2025-05-03 15:38 have the function f(x) = x^2 and find the tangent line at the point where x = 2.
crichris 发表于 2025-05-03 19:33 设 y = kx + b 你只要求在x =2 的时候和这个抛物线只有一个交点的情况 这么做不太严谨因为当这条线是竖着的时候也是只有一个交点但是可以这么凑活着先做着 kx + b = x^2 => x^2 - kx - b = 0 如果只有一个解那么 k^2 + 4b = 0 and k/2 = 2 能求出 k = 4 b = -4
垂直的线写不出y=kx+b形式的方程，所以不用担心垂直的情况 elevenoclock 发表于 2025-05-03 22:34
MegMegMeg 发表于 2025-05-03 16:38 万变不离其宗，用个delta，[f(x+delta)-f(x) ]/ delta, then delta -> 0, x=2.
不用求导 求极限 怎么做？ 现在是代数2 应该没学到
逼近法，(f(2+h) - f(2-h))/2h, 把h弄得很小就可以了。
我觉得你还是看看上课内容吧。这道题不用求导或者求极限是不可能做出来的。
对。 要不然， 牛顿也不用发明微积分了。
切线的定义就是来自导数吧。
你这个肯定不对，抛物线不是椭圆，能交一点的直线有无数条
((x+a)2-(x-a)2)/2a=2x
高中平面解析几何求切线
抛物线向上无限延展 满足相交一点的条件的斜率只有一个！
二次函数与一次函数只有三种交点情况 2个 1个 0个 对应的是delta大于0,等于0，小于0 同样方法还可以用到椭圆中，圆与直线的相交，相离，相切中。
你这个求解看似对，实际上是谬论。
你那个xm公式，x只能等于2。x=2的时候m可以得任意值。事实上在这个点上的确你可以得到无数根线和这个抛物线只交于（2，4）点。这道题只能求导
很有意思，好像除了x=2，的确是这样
已知斜率可以用你这个思路做。没有斜率的情况下不行
自大得不行。试一下都能知道了，是不是这方法试一下都不会呀
x=2不可能与抛物线相切。y=f(x)的二次函数都不可能与x=a相切。。。。。
就是不知道斜率，才设斜率为m， delta=0能够求出对应的m 我接着写出来 Y-4=m(x-2) 带入y=x^2 m(x-2)+4=x^2 x^2-mx+2m-4=0 delta=m^2-8m+16=（m-4）^2=0 m=4
所以切线方程是的y-4=4(x-2)
但是关于x，y次数<=2的各种函数之间关系的探讨是中国高中解析几何基本内容，求切线，求交于一点范围，各种涉及二次的函数都有这个基础分析能力。
美国我就不确定是放在几何里面教，还是放在代数里面教，还是根本不教了。
好像不是的，除了切线和竖直的线（which doesn’t have a finite slope)，的确没有其他直线可以只交于一点，因为x^2比直线增长快，所以从这一点穿过的直线迟早有一天被曲线从下方穿过。
能发好几个帖子， 也不草稿纸上算一下？
哈哈 我是自大了。这道题很反直觉。我试了一下y=bx^2在（a，a^2）好像都是成立的。然后我才意识到y=x^2和y=ax都有两个交点。但是我仍然不觉得这个解法适用于任意曲线。
你这是 圆锥曲线 的基本性质都忘光了
是的是的😅
人家给的方法都涉及了二次方程的delta求解了，哪来的“任意曲线”，任意曲线根本就没这个approach。
因为在车上，手边没有草稿纸🥹
Discriminant
哦。我糊涂了。确实可以相切。
这没有反直觉， 是任何关于二次，或者可以化二次的都可以用这种方法来解。 我查了一下娃做的kumon中间也有类似， 推广一些说，就是如果可以化成二次函数（别管一开始是二次函数，椭圆，圆，还是根号） 都可以用delta的代数方式来解决。 delta的大于0，等于0，小于0 放到连列后的代数的方程里面就表征了有2个，1个，0个交点， 也就几何意义上表征了相交，相切，想离
我一直很推荐kumon就是因为觉得它有一个完整清晰的代数体系， 好歹小孩要找什么的时候，可以翻出来给他。下面是kumon关于Delta法在函数探讨中应用
其实从更广泛的例子（不可以化成二次函数的），楼上说到极限逼近，求导才可以
这就涉及到一个问题， 有些类似与如果最后都要用计算器，那么要不要熟练计算？ 既然的的desmos都能帮着求交点了，那么要不要玩熟二次函数的性质？ 既然最终都是求导那，那么要不要再初等代数的范围内玩熟平面解析几何，代数变换？
我个人的倾向是还是需要，就是在不用微积分的情况下去玩转平面解析几何，因为它大大培养了逻辑解析的能力。 美国这边普通进程教学方式是倾向于不太需要，他们更多是推进之知识。好像在微积分后面他们也有解析能力的培养，至少kumon是这个样子。AP考试我不太清楚，估计没有这种需要写一张纸的解析过程。（当然美国也有可能问题的终结在于找不到可以帮着学生一点点学解析，看解析的学校老师。中国中考高考那种大题目的一题一页纸的解析在美国是没有系统的老师推进学习的。鉴于这个问题，我经常在论坛上推荐kumon，好歹它补充了一些漏洞，有了完整的代数体系，微积分计算，就当个参考资料查起来也方便。）
到了后面kumon也有微积分求导数，应用
这两条线相交于一点(2,4)。也就是说，
x^2 = mx + b 有且仅有一个解 x=2
将等式变形为标准一元二次方程
x^2 - mx -b = 0 有且仅有一解的标准是 m^2-4(-b) = 0,
即m^2 + 4b = 0
又因直线过点(2,4)，所以， 4 = 2m +b，故b =4-2m
所以，m^2 + 4(4-2m) = 0
即 m^2 - 8m + 16 = 0
所以，m = 4 , b = -4
直线方程为 y = 4x-4
看不懂。为什么 只在在x=2 成立，就可以推出 m=4, b= -4?
代数解法是 已知切点 （2，4），切线是 （y-4)=s(x-2)。 求 slope s 方程联列 (1) y=x^2 (2) y-4)=s(x-2) 因为是相切，其实数解有且只有一个 （相同解）
整理得 x^2-sx+2s-4=0 x 只有一个解 （相同解）。所以必然符合 (x-b)^2=0
所以 s^2 /4== 2s-4 s=4.
切线是 (y-4)=4(x-2)
关键是把两条线的问题，转化为标准一元二次方程求解问题。相交两点是两个解，相切一点是唯一解，不相交也不相切，是无解。
如果这个都不会，退学去中专吧。
设 y = kx + b
你只要求在x =2 的时候和这个抛物线只有一个交点的情况
这么做不太严谨因为当这条线是竖着的时候也是只有一个交点但是可以这么凑活着先做着
kx + b = x^2 => x^2 - kx - b = 0 如果只有一个解那么 k^2 + 4b = 0 and k/2 = 2 能求出 k = 4 b = -4
垂直的线写不出y=kx+b形式的方程，所以不用担心垂直的情况
是, 我只是说"和曲线只有一个交点的直线就是切线" 这个claim是不对的
对于这道题来说这个解的答案是没问题的
f(2+x)-f(2) = 4x+x^2 \approx 4x, f'(2)=4
我去，还在讨论啊。
方法一：切线y=kx+b, 斜率k用上面的delta求极限逼近，意思是在切点f(x)无限小的这一段的极限跟这个切线应该理论重合，所以斜率是k = [f(x+delta)-f(x)]/delta = [(x+dela)^2 - x2]/delta=[2delta x + delta ^2]/delta = 2x + delta, when delta -> 0, x=2 so k=4. 然后切线 y = 4x+b 经过切点（2，4），推出 b=-4
方法一虽然没有明确用导数，但是极限逼近就是用来推理导数的思想。
方法二：纯初中办法，没有任何求导思想。切线与抛物线相切，那就是 f(x) = x^2=kx + b 只有一个解，所以 x^2-kx-b = 0 只有一个解的话 =》 k^2+4b =0 并且 切线经过（2，4）也就是4 = 2K + b 结合这两个方程解出 k=4, b=-4.
x^2=mx+b 仅在x=2 成立 一个方程两个未知数,m,b,可以说说怎么求出m,b的吗?