youyouzou 发表于 2025-04-28 01:12 正整数 k, d 满足: (5^k -1 ) / d <= 700/29 (i.e. 24 + 4/29) 那么 (5^k - 1) / d 的最大值 是 24 吗？ 如果是，怎么证明？ 从直觉上怎么找 证明思路？
youyouzou 发表于 2025-04-28 02:37回复 8楼 poppyjasper 的帖子 你怎么知道无限接近于？
youyouzou 发表于 2025-04-28 01:48回复 3楼 crichris 的帖子 那这个最大值可以算出来吗？
Hint: 费马-欧拉定理 xiaxie8 发表于 2025-04-28 02:44
crichris 发表于 2025-04-28 02:46 至少可以证这个解是无限趋近于700/29的 也许存在一组解使得正好等于700/29 得算一下
poppyjasper 发表于 2025-04-28 02:46 没那么复杂，看11楼 关键是整数除法，如果不是整数除法，这道题描述都是矛盾的 1.0 / 2 和 1 / 2 结果是不一样的
正整数 k, d 满足: (5^k -1 ) / d <= 700/29 (i.e. 24 + 4/29)
那么 (5^k - 1) / d 的最大值 是 24 吗？ 如果是，怎么证明？
从直觉上怎么找 证明思路？
k=8, d=16183,
(5^k - 1) / d = 24.1379，已经超过24，但极其接近700/29。
所以最大值比24略大，并且其极限接近700/29。
这个数论题无法用初等方法证明其极限，需要用解析方法， 需要远远高于微积分的知识水平， 我估计需要数学博士水平。
这显然不是啊.... 你把k 和d 都弄大总能使 (5^k - 1) / d > 24 <= 700/29 吧?
比如说你k = 10 d = 404576
至少这个解是可以无穷趋近700/29的
那这个最大值可以算出来吗？
您说得正确。这道题的极限就是700/29本身。
这道题不是中学数学竞赛级别，估计是斯坦福大学数学竞赛级别。
正整数限制
怎么知道存在（k,d）使得等式成立？
1 / 2 = 0
3 / 2 = 1
1.0 / 2 = 0.5
if (5^k - 1) / d 无限接近于 700 / 29，700 / 29 = 24
本质上来说，这个题目相当于证明5^k 可以无限接近700/29的整数倍。或者说 k log5 - log n 可以无限接近log (700/29)。或者说log n / log 5 的小数部分可以逼近任意给定（0,1）间的数：这是显然的，因为这个数列增长越来越慢（速度最后任意接近于0）。
你怎么知道无限接近于？
2）因为左边必须小于等于700/29，上面k=2，d=1已经满足了二个条件了
2-1）小于700/29，整数相除就是24
2-2）最大值24已经达到了，就是k=2, d=1
Hint:
费马-欧拉定理
至少可以证这个解是无限趋近于700/29的
也许存在一组解使得正好等于700/29
得算一下
没那么复杂，看11楼
关键是整数除法，如果不是整数除法，这道题描述都是矛盾的
1.0 / 2 和 1 / 2 结果是不一样的
说错了
好像不存在一组解使得正好等于700/29
因为29 和5互素
700 是7 * 5^2 但是 5^k -1 和 5 互素,当k > 0 的时候
所以不可能存在一组正整数 k d使得这个值正好等于700/29
您把解析数论（基于微积分的数论)竞赛题等同于Java/Python2的整数除法。
这道题的极限就是700/29本身，需要至少2页纸证明。
但没有任何一对正整数(k, d)可以正好满足
（5^k-1)/d = 700/29，原因很简单：5^k末位数必然是5，5^k-1末位数必然是4，而不是0！