代数数学题求助

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3sis2020
楼主 (北美华人网)

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N
Nicespringgirl
a+b+c=2+1+1=4
d
dreamalittledream
a=2,b=2,c=1
z
zzou
a=2, b=1, c=0
S
Skipper
a+b+c = 2+2 +1 = 5
S
Skipper
dreamalittledream 发表于 2024-08-10 19:04
a=2,b=2,c=1

正解
q
qas168888
我不知道你们怎么算的,我是取n=1和0 然后凑吧凑吧
S
Skipper
qas168888 发表于 2024-08-10 21:45
我不知道你们怎么算的,我是取n=1和0 然后凑吧凑吧

这样也行,或者两边同时减去 \frac{2}{3-1} 就可以推导出所要的表达式
y
youyouzou

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3sis2020 发表于 2024-08-10 18:52

取 三个不同的 n, 得到三个关于 a, b, c 的等式,一般能求出a,b,c。先从 n=0,1,2 开始算算。
或者 S(n+1) - S(n) 得到恒等式,化简得到关于 n的函数,利用某些系数为0,推出 a,b,c
s
sunnyStore
汗,这不是儿子前几天学的初中的分式裂项?
n
nj_guy
直接设三个方程用 n=0,1,2 会把自己绕死。每个方程都不是指数方程,如果高手能解的话,请把具体步骤写出来。看下面吧。
n
nj_guy
sunnyStore 发表于 2024-08-10 22:58
汗,这不是儿子前几天学的初中的分式裂项?

你这不行,为啥就没有其它解?怎么就得出 a = 2, b=2, c=1 的?糊弄事儿。
s
sunnyStore
你这不行,为啥就没有其它解?怎么就得出 a = 2, b=2, c=1 的?糊弄事儿。
nj_guy 发表于 2024-08-10 23:08

汗,你没有看懂,怎么裂项的。 每个都可以直接裂成两个相减的形式,然后前面一个裂成的带负号的,正好是后面的加数,所以就消去了,然后就剩下第一项和最后一项。 中国初中有类似的题目,因为前几天我家小孩正好学到初中的裂项,怎么化简连加的分式,里面就有类似的这种。而且这题很贴心的提示怎么的裂项,所以看一下就知道怎么裂了。 我前面写的带了n的通项,开裂的写法,那种写法,也应该是标准正确的。
至于为什么没有其解法,因为结果相等。就是这个结果正好是后面的结果,然后根据2,3质数的性质,就只能是以一一对应的关系。
其实在知道是初中数学题的前提下,基本上看到连加就知道是裂项了。至于具体怎么裂,那个是中国初中数学的内容。

n
nj_guy
回复 13楼 sunnyStore 的帖子
你还是没有回答我的问题,为什么这是唯一解?你不过是给了一个解,你要证明没有其它的解。你的分裂式无非是推导了一个公式,请你证明为什么没有其它的解?为什么没有其它等价的公式表示式?
所到底,你没有回答出这个问题,可以说是文不对题吧。
c
crichris
这题学渣表示
最惨最惨可以试几个数求出 abc然后再数归
吧?
s
sunnyStore
nj_guy 发表于 2024-08-10 23:28
回复 13楼 sunnyStore 的帖子
你还是没有回答我的问题,为什么这是唯一解?你不过是给了一个解,你要证明没有其它的解。你的分裂式无非是推导了一个公式,请你证明为什么没有其它的解?为什么没有其它等价的公式表示式?
所到底,你没有回答出这个问题,可以说是文不对题吧。
你还是仔细看看我写的吧!我给出的第一步是说明 c 不会 < 1,然后 我证明 c 不会 > 1(还没有写,因为没有人点赞), 所以 c 必须等于 1。然后才有解的唯一性。

因为n=1,2,3,4,5,6,。。。。可以得出一一系列关于a,bc方程组。可以证明这方程组只存在唯一解。你可以去写个证明去表达这个显然成立的结论。就像数学证明负负得正一样。
但不是出题人key point。 对于一道初中题来说,裂项求解就足够了。 我猜出题人希望学生测试的也是分式裂项, 或者是考学生的代数感,因为还是比较容易猜出来各个解是什么的。

n
nj_guy
因为n=1,2,3,4,5,6,。。。。可以得出一一系列关于a,bc方程组。可以证明这方程组只存在唯一解。你可以去写个证明去表达这个显然成立的结论。就像数学证明负负得正一样。
但不是出题人key point。 对于一道初中题来说,裂项求解就足够了。 我猜出题人希望学生测试的也是分式裂项, 或者是考学生的代数感,因为还是比较容易猜出来各个解是什么的。


sunnyStore 发表于 2024-08-10 23:57

楼主有说这道题是给初中生的吗?这完全可以是一道竞赛题。而且“唯一性”既然显然成立,那就给出证明,反正我不觉得显然。
s
sunnyStore
nj_guy 发表于 2024-08-11 00:00
楼主有说这道题是给初中生的吗?这完全可以是一道竞赛题。而且“唯一性”既然显然成立,那就给出证明,反正我不觉得显然。

这题目即使竞赛,也只是中学的竞赛吧。 美国的竞赛,为什么不让人化简,而是问a+b+c。因为美国没人改竞赛题,AMC,AIME只有填空选择题。鼓励学生连猜带蒙。所以只要能够,写出5,这个答案就可以了。 进MOP才需要写证明。
y
youyouzou

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3sis2020 发表于 2024-08-10 18:52


加入一个催化剂,Sn + 2/(3-1) 就容易直接算出结果。
这个催化剂正好是 1。Sn 直接可求出来。
这种也就是靠练习多了才能熟练。
n
nj_guy
这题目即使竞赛,也只是中学的竞赛吧。 美国的竞赛,为什么不让人化简,而是问a+b+c。因为美国没人改竞赛题,AMC,AIME只有填空选择题。鼓励学生连猜带蒙。所以只要能够,写出5,这个答案就可以了。 进MOP才需要写证明。

sunnyStore 发表于 2024-08-11 00:14

我给你加一下解的唯一性证明吧。这种题因为有很多exponetial function involved, 一般直接证唯一性,即使可能,也技巧性及强。比较简单的方法是看 n -> infinity 时的极限速度,进行比较。




s
sunnyStore
youyouzou 发表于 2024-08-11 00:19

加入一个催化剂,Sn + 2/(3-1) 就容易直接算出结果。
这个催化剂正好是 1。Sn 直接可求出来。
这种也就是靠练习多了才能熟练。

我买菜的时候,想起这个,脑中算了一下,你的方法更好更直接。
这个是中美数学竞赛的差异了。
如果是美国这种题型,放美国,没人改解答题试卷,所以AMC,AIME都是填空选择题,为了填空选择题,题目中会有更多的信息。可以利用这些信息。放这题就是直接让数字的部分放一起去滚雪球,直接就可以很快的得出答案
在中国这种初中数学题目,不管是中考,还是竞赛,会让学生写解析过程,所以题目一般是让分式化简,没有后面等于什么形式的提示,需要自己裂项,然后求出结果。从难度上来说,需要知道分式裂项的trick。
怪不得有人说,美国数学竞赛,考AIME的有专门的答题技巧。这题还是蛮明显的。
至于练习,我倒没觉得有需要,在中国只要知道分式相加,不断消去的trick就可以,在美国知道可以滚雪球的trick。估计中国高中数竞拿到省一的,再练练专门答选择填空技巧,应该在美国可以考入MOP。——这个简单题可见虽然本质意思一样,但不同的trick,所需时间还是有一些差别的。





x
xiaxie8
sunnyStore 发表于 2024-08-10 22:58
汗,这不是儿子前几天学的初中的分式裂项?

作为湖北省高中数学竞赛一等奖,我能够看出您推导过程的明显错误。
x
xiaxie8
youyouzou 发表于 2024-08-11 00:19

加入一个催化剂,Sn + 2/(3-1) 就容易直接算出结果。
这个催化剂正好是 1。Sn 直接可求出来。
这种也就是靠练习多了才能熟练。

这是正解!
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xiaxie8
nj_guy 发表于 2024-08-11 00:34
我给你加一下解的唯一性证明吧。这种题因为有很多exponetial function involved, 一般直接证唯一性,即使可能,也技巧性及强。比较简单的方法是看 n -> infinity 时的极限速度,进行比较。





这个对于中学数竞来说超纲了。
S
Skipper
xiaxie8 发表于 2024-08-11 12:05
这个对于中学数竞来说超纲了。

Generally speaking, 3^{2^{n+c}} and (9^c)^{2^n} are not the same thing. The former is equal to (3^{2^c})^{2^n}, while the latter is equal to (3^{2c})^{2^n}.
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xiaxie8
Skipper 发表于 2024-08-11 12:38
Generally speaking, 3^{2^{n+c}} and (9^c)^{2^n} are not the same thing. The former is equal to (3^{2^c})^{2^n}, while the latter is equal to (3^{2c})^{2^n}.

哈哈,多谢指正!
我先头没有看出那个极限证明的错误。
A
ALCHEM
sunnyStore 发表于 2024-08-10 22:58
汗,这不是儿子前几天学的初中的分式裂项?

yep。。。