Generally speaking, 3^{2^{n+c}} and (9^c)^{2^n} are not the same thing. The former is equal to (3^{2^c})^{2^n}, while the latter is equal to (3^{2c})^{2^n}.
Skipper 发表于 2024-08-11 12:38 Generally speaking, 3^{2^{n+c}} and (9^c)^{2^n} are not the same thing. The former is equal to (3^{2^c})^{2^n}, while the latter is equal to (3^{2c})^{2^n}.
A closed form for the sum
正解
这样也行，或者两边同时减去 \frac{2}{3-1} 就可以推导出所要的表达式
取 三个不同的 n, 得到三个关于 a, b, c 的等式，一般能求出a,b,c。先从 n=0,1,2 开始算算。
或者 S（n+1) - S(n) 得到恒等式，化简得到关于 n的函数，利用某些系数为0，推出 a,b,c
你这不行，为啥就没有其它解？怎么就得出 a = 2, b=2, c=1 的？糊弄事儿。
汗，你没有看懂，怎么裂项的。 每个都可以直接裂成两个相减的形式，然后前面一个裂成的带负号的，正好是后面的加数，所以就消去了，然后就剩下第一项和最后一项。 中国初中有类似的题目，因为前几天我家小孩正好学到初中的裂项，怎么化简连加的分式，里面就有类似的这种。而且这题很贴心的提示怎么的裂项，所以看一下就知道怎么裂了。 我前面写的带了n的通项，开裂的写法，那种写法，也应该是标准正确的。
至于为什么没有其解法，因为结果相等。就是这个结果正好是后面的结果，然后根据2,3质数的性质，就只能是以一一对应的关系。
其实在知道是初中数学题的前提下，基本上看到连加就知道是裂项了。至于具体怎么裂，那个是中国初中数学的内容。
你还是没有回答我的问题，为什么这是唯一解？你不过是给了一个解，你要证明没有其它的解。你的分裂式无非是推导了一个公式，请你证明为什么没有其它的解？为什么没有其它等价的公式表示式？
所到底，你没有回答出这个问题，可以说是文不对题吧。
最惨最惨可以试几个数求出 abc然后再数归
吧?
因为n=1,2,3，4,5,6,。。。。可以得出一一系列关于a,bc方程组。可以证明这方程组只存在唯一解。你可以去写个证明去表达这个显然成立的结论。就像数学证明负负得正一样。
但不是出题人key point。 对于一道初中题来说，裂项求解就足够了。 我猜出题人希望学生测试的也是分式裂项， 或者是考学生的代数感，因为还是比较容易猜出来各个解是什么的。
楼主有说这道题是给初中生的吗？这完全可以是一道竞赛题。而且“唯一性”既然显然成立，那就给出证明，反正我不觉得显然。
这题目即使竞赛，也只是中学的竞赛吧。 美国的竞赛，为什么不让人化简，而是问a+b+c。因为美国没人改竞赛题，AMC，AIME只有填空选择题。鼓励学生连猜带蒙。所以只要能够，写出5，这个答案就可以了。 进MOP才需要写证明。
加入一个催化剂，Sn + 2/(3-1) 就容易直接算出结果。
这个催化剂正好是 1。Sn 直接可求出来。
这种也就是靠练习多了才能熟练。
我给你加一下解的唯一性证明吧。这种题因为有很多exponetial function involved， 一般直接证唯一性，即使可能，也技巧性及强。比较简单的方法是看 n -> infinity 时的极限速度，进行比较。
我买菜的时候，想起这个，脑中算了一下，你的方法更好更直接。
这个是中美数学竞赛的差异了。
如果是美国这种题型，放美国，没人改解答题试卷，所以AMC，AIME都是填空选择题，为了填空选择题，题目中会有更多的信息。可以利用这些信息。放这题就是直接让数字的部分放一起去滚雪球，直接就可以很快的得出答案
在中国这种初中数学题目，不管是中考，还是竞赛，会让学生写解析过程，所以题目一般是让分式化简，没有后面等于什么形式的提示，需要自己裂项，然后求出结果。从难度上来说，需要知道分式裂项的trick。
怪不得有人说，美国数学竞赛，考AIME的有专门的答题技巧。这题还是蛮明显的。
至于练习，我倒没觉得有需要，在中国只要知道分式相加，不断消去的trick就可以，在美国知道可以滚雪球的trick。估计中国高中数竞拿到省一的，再练练专门答选择填空技巧，应该在美国可以考入MOP。——这个简单题可见虽然本质意思一样，但不同的trick，所需时间还是有一些差别的。
作为湖北省高中数学竞赛一等奖，我能够看出您推导过程的明显错误。
这是正解！
这个对于中学数竞来说超纲了。
Generally speaking, 3^{2^{n+c}} and (9^c)^{2^n} are not the same thing. The former is equal to (3^{2^c})^{2^n}, while the latter is equal to (3^{2c})^{2^n}.
哈哈，多谢指正！
我先头没有看出那个极限证明的错误。
yep。。。