请教概率大师们一道题

开始有两个球，编号1，2。随机抽取，抽到2就放回去，抽到1就拿走。那么抽取两次能把两个球都拿出来过的概率是多少。抽取4次，或者6次呢？ 然后是4个球，1，2，3，4，抽到3,4放回去，抽到1,2拿走。同样，抽取4次，抽取8次，抽取12次能够全部拿出来过的概率。 然后扩展到n+n，拿到前n个球就拿走，拿到后面n个球就放回。抽n次，2n次，3n次能够全部拿出来过的概率。
===========下面大概率是错的 ，反正我是非常糊涂============== 两个球取两次，有下面的可能性 2,1 2,2 1,2 所以取两次能够取出过两个的概率是2/3。或者是3/4？ 四次 2,1,1,1 2,2,1,1 2,2,2,1 2,2,2,2 1,2,2,2 概率是4/5,或者是15/16? 6次我就糊涂了 4个就更糊涂了 n个完全没方向

抽取两次能把两个球都拿出来, 第一次是 2 号， 肯定不行， 所以必须是 1 号求， 然后就两次了， 第一次抽到1 号的概率， 显然是 1/2。 抽取4次， 前两次必须都是 2 号， 否则用不了4 次， 前两次都是2 号， 第三次是1 号， （1/2)^3 抽取6次，前四次必须都是 2 号， 否则用不了6 次. 前四次必须都是 2 号， 第五次是1号， （1/2)^5

开始有两个球，编号1，2。随机抽取，抽到2就放回去，抽到1就拿走。 如果抽到2放回去，你永远不能都拿出来啊，难道你的意思是说二号球要在一号球之后才不放回去？

bleu 发表于 2024-07-04 10:08
开始有两个球，编号1，2。随机抽取，抽到2就放回去，抽到1就拿走。 如果抽到2放回去，你永远不能都拿出来啊，难道你的意思是说二号球要在一号球之后才不放回去？

这题的确描述不清楚。2号球按照规则是不会被拿出来的，只能拿起来再放回去。

bleu 发表于 2024-07-04 10:08
开始有两个球，编号1，2。随机抽取，抽到2就放回去，抽到1就拿走。 如果抽到2放回去，你永远不能都拿出来啊，难道你的意思是说二号球要在一号球之后才不放回去？

我改了一下描述，应该是“拿出来过”。就是都遇到过的概率，重复不要紧，必须都遇到过。

这题的确描述不清楚。2号球按照规则是不会被拿出来的，只能拿起来再放回去。
ganymede 发表于 2024-07-04 10:13

很清楚啊。 拿到两个球， 比如第一次是 1 号， 不放回去， 第二次肯定就是2 号了， 就全拿到了。不用考虑最后一步还要放回去了。

gokgs 发表于 2024-07-04 10:18
很清楚啊。 拿到两个球， 比如第一次是 1 号， 不放回去， 第二次肯定就是2 号了， 就全拿到了。不用考虑最后一步还要放回去了。

你看看楼主在5层的补充说明，你这解答就不对了。第一问的概率就成了75%

楼主你在主楼添加的解答忽略了一点，你列的这些情况并不是等概率出现的。第一问应该是3/4

ganymede 发表于 2024-07-04 10:27
楼主你在主楼添加的解答忽略了一点，你列的这些情况并不是等概率出现的。第一问应该是3/4

你是对的。所以我越做越糊涂，所以在这里请教什么大师能够解答清楚。

两次的话答案是1-1/2^2=3/4；一般的话，n次（n>=2）都没拿过2号球的概率是1/2^n，所以两个球都被拿到过的概率是1-1/2^n.

如果你没表达错的话，第一问没拿出来过12的唯一可能就是2222…， 可能就是1/2^n。所以拿出来的情况是这个的complement，就是1-2^n

你用概率树画一画，可以帮助你理解

你看看楼主在5层的补充说明，你这解答就不对了。第一问的概率就成了75%
ganymede 发表于 2024-07-04 10:23

我觉得没问题， 不改变题意， 除非是拿到过。
拿到2 号就放回去， 第一次拿到的是2 号， 两次肯定不会拿到两个球。 第一次拿到的是1 号， 第二次肯定是2 号， 总概率 1/2。
拿四次的时候， 是不是必须正好四次， 两次就拿到的， 大概也应该算吧， 这个我没考虑。 12. ---> 1/2 212. --> 1/4 2212 --> 1/8 222x
1/2+1/4+1/8 = 7/8
或者说前三次有一次拿到1，就肯定成功， 前三次都没拿到1， 就失败了， 1 - （1/2)^3 = 7/8


拿六次， 同样， 前五次有一次拿到1 号就成功了， 失败的时候只有前五次都是 2 号， 1 - （1/2)^5 = 31/32
所以 n 次， 就是 1-(1/n)^(n-1)

第三只熊猫 发表于 2024-07-04 07:19
开始有两个球，编号1，2。随机抽取，抽到2就放回去，抽到1就拿走。那么抽取两次能把两个球都拿出来过的概率是多少。抽取4次，或者6次呢？ 然后是4个球，1，2，3，4，抽到3,4放回去，抽到1,2拿走。同样，抽取4次，抽取8次，抽取12次能够全部拿出来过的概率。 然后扩展到n+n，拿到前n个球就拿走，拿到后面n个球就放回。抽n次，2n次，3n次能够全部拿出来过的概率。
===========下面大概率是错的 ，反正我是非常糊涂============== 两个球取两次，有下面的可能性 2,1 2,2 1,2 所以取两次能够取出过两个的概率是2/3。或者是3/4？ 四次 2,1,1,1 2,2,1,1 2,2,2,1 2,2,2,2 1,2,2,2 概率是4/5,或者是15/16? 6次我就糊涂了 4个就更糊涂了 n个完全没方向

i两个球的时候比较容易。
两次取到的概率就是 3/4， 因为12 和21 不是等概率的，大家都提到了。
刚好n次取到两个球的概率也提到了，唯一的可能就是前面取的都是2， 第n次是1， 所以是0.5^n
四个球已经很复杂了。 4次取到的情况是24 种， 4！每种情况不是等概率的。
比如 1 2 3 4 的概率是 (1/4)*(1/3)*(1/2)*(1/2) （四个球里取到 1， 三个球里取到2， 两个球里取3 和两个球里取4）
3 4 1 2 的概率是 (1/4)*(1/4)*(1/4)*(1/3) (四个球里取3， 四个球里取4， 四个球里取1， 三个球里取2)
把24 种情况列出来， 算了一下总概率是0.26662 左右， 可能有错。
但是8次， 12 次取到更复杂， 感觉不是这条路可以走通的。

4个球也是可以做的，方法类似但是计算会复杂一些，有需要的话自己去化简一下。
考虑n次取球（n>=4）不满足要求的概率（就是说至少有一个球没有被取到过），这里会出现三种情况：
（1）n次取的都是3或者4号球，这样的概率是(2/4)^n=2^(-n) （2）n-1次取了3或者4号球，有一次（假设是第i次）取到了1或者2号球，这样的概率是(2/4)^(i-1)×(2/4)×(2/3)^(n-i)=(1/2)^i×(2/3)^(n-i)，然后对i从1到n求和，这是个等比级数，求和很容易 （3）n-2次取了3或者4号球，有两次（假设是第i次和第j次，1<=i<j<=n）取到了1或者2号球。由于我们考虑的是至少有一个球没被取到的情况，也就是说要么是3号球没取到，要么是4号球没取到，这样的概率是2×(1/4)^(i-1)×(2/4)×(1/3)^(j-i-1)×(1/3)×(1/2)^(n-j)=(1/4)^(i-1)×(1/3)^(j-i)×(1/2)^(n-j)。然后对1<=i<j<=n求和，属于稍微复杂点的双重求和，但是只涉及到等比级数，也很容易。

你这题目有个typo啊，总数应该是2n，最后一问应该是 取2n，4n，6n……次的概率。上面的讨论很多把n当作2n的…… n=1的情况不说了。 一般情况递推公式： 定义 p(a,b,k) 为 当前状态为执行了k次取球后，前n个球被取走a个，后n个球有b个拿过的状态的概率。 那么容易得知 p(a,b,k)=(n-a+1)/(2n-a+1)*p(a-1,b,k-1) + b/(2n-a)*p(a,b,k-1) + (n-b+1)/(2n-a)*p(a,b-1,k-1) 初始状态 p(0,0,0)=1，a<0或b<0的情况p(a,b,k)定义为0。 求概率 p(n,n,m)。 除了n=1应该没有简单的公式解，数值解直接用三维数组推算就行了，写起来很简单，比如4个球(n=2) 取6次，概率是0.671891。

回复 16楼 AlIen_196883 的帖子
挺好的方法。我用我前面的方法计算出来4个球取n次全都取到过的概率是 1-{2^(-n)+[3×(2/3)^n×(1-(3/4)^n)] +[2^(3-n)-8×3^(1-n)+4^(2-n)]}=1-[6×2^(-n)+4^(2-n)-8×3^(1-n)+3×(2/3)^n] 当n=6时这个概率正好是41797/62208=0.6718910751028806584362139917695473251028806584362139917695473251
和你最后的数值能对得上。

回复 17楼 pinwheel 的帖子
我再把问题扩展一下好了。 如果要计算 把所有球都取过一遍所需要的取球的次数的期望值是多少，要怎么算？ 这大概是随机过程的经典问题之一了。 同样用递推公式，用一个二维数组就行了。 前10的结果是 n=1, expectation=2.5 n=2, expectation=6.16667 n=3, expectation=10.35 n=4, expectation=14.8714 n=5, expectation=19.6448 n=6, expectation=24.6193 n=7, expectation=29.7609 n=8, expectation=35.0458 n=9, expectation=40.456 n=10, expectation=45.9774

回复 18楼 AlIen_196883 的帖子
哈，我发现一件非常有趣的事。 如果去掉所有的前n个球，只有可以反复取的n个球，那么需要多少次才能全部取一遍的期望值是一个经典的结果，n(1+1/2+1/3...+1/n)。令其=E0(n)。 那么上面的包括n个只能取1次的球的情况，其期望值 E(n) = E0(2n)/2 + n
比如 n=5，两种球都有，期望值是19.6448，而只有后一种，期望值是11.4167。 而n=10，前者期望值是45.9774，后者是29.2897。 19.6448 = 29.2896 / 2 + 5 换句话说，n个不放回的球 和 n个放回的球，其期望值恰好是 2n个不放回的球 的期望值 (也就是2n) 与 2n个放回的球 的期望值 (也就是 E0(2n) ) 的平均值。 有意思……应该有很简单的解释！

二次都是2的概率是0.5 * 0.5 = 0.25
所以，二个球都出来过的概率 = 0.75 = 3/4
但是如果第一次取出的是1，里面剩下的是确定的2，是不是还取，没说清楚
所以答案不一定是0.75
1）假定，第一次取出来1之后，就不取了，那么概率就是第一次是2，第二次是1，这个概率 = 0.25
2）假定，第一次取出来1之后，还取剩下固定的2，那么概率 = 0.75
===========下面大概率是错的 ，反正我是非常糊涂============== 两个球取两次，有下面的可能性 2,1 2,2 1,2 所以取两次能够取出过两个的概率是2/3。或者是3/4？

1/2*1 + 1/2*1/2 = 3/4

poppyjasper 发表于 2024-07-04 18:22
二次都是2的概率是0.5 * 0.5 = 0.25
所以，二个球都出来过的概率 = 0.75 = 3/4
但是如果第一次取出的是1，里面剩下的是确定的2，是不是还取，没说清楚
所以答案不一定是0.75
1）假定，第一次取出来1之后，就不取了，那么概率就是第一次是2，第二次是1，这个概率 = 0.25
2）假定，第一次取出来1之后，还取剩下固定的2，那么概率 = 0.75
===========下面大概率是错的 ，反正我是非常糊涂============== 两个球取两次，有下面的可能性 2,1 2,2 1,2 所以取两次能够取出过两个的概率是2/3。或者是3/4？

四次也是一样的，全部都是2的概率 = 0.0625，所以二个球都取到的概率 = 0.9375
六次也是一样的，全部都是2的概率 = 0.015625，所以二个球都取到的概率 = 0.984375
这是假定，第一次取到了1之后，还取剩下的2

再复杂的就要用到排列组合的公式了，需要复习一下

抽2次把两球都拿走的概率: 50% + 50% * 50% = 75% 抽3次把两球都拿走的概率: 75% + 25% * 50% = 87.5% 抽4次把两球都拿走的概率: 87.5% + 12.5% * 50% = 93.75%
抽n次的概率 = 抽n-1次概率 + (1 - 抽n-1次概率) * 50%

全排列的例子，
5人站一排，如果A必须站B的左边（可以不相邻），有几种排法？
A在B的左边和右边的概率一样，所以答案就是5元素全排列的一半
A(5,5) = 120，一半就是60种排法
计算概率很费脑子的

全排列的例子2，
5人站一排，如果A必须和B站一起，而且A必须在B的左边，有几种排法？
A和B，变成了一个人，所以答案就是4元素全排列
A(4，4) = 24，就是24种排法
如果不要求A必须在B的左边，就有2 * A（4，4）= 48种排法，因为上面24种排法各有一个变化，就是A和B左右交换

回复 19楼 AlIen_196883 的帖子
观察力很厉害！证明的话不是很难。2n个球可以涂为2色，1-n为蓝色，其他为红色。EO(2n)中蓝色球的个数和红色球的个数的期望各占一半，所以红色球的期望是EO(2n)/2。然后把蓝色球中同一标号的球只留下第一个，这样蓝色球的个数正好是n。经过这个操作之后对应的球序列的期望正好是n个不放回的球和n个放回的球全取到的长度的期望。