回复 9楼 minqidev 的帖子 P(x4, x5 all even) = 1/2, not 1/4, so it is 1/16, not 1/32 我给出的答案是我自己做的，和网上给出的答案不一样，简洁很多。但这不是关键，我的意思是不应该有这么二行就解完的题，IMO的题就会有很适当的难度阶梯，不会有这种情况，后面的题需要的逻辑步骤也越来越多 另外作为参考，我偶尔做奥数题当业余消遣，去年的IMO六道题我花了些时间但也都自己做出来了，你要是感兴趣我可以把我的答案发给你请你帮着检查一下
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回复 16楼 Moscow79 的帖子 本来以为我给出表达式已经很清楚了， 看来还真有必要解释一下 P(x1, x2+x3+x4+x5 all even) 是总数是2n情况下x1是偶数的几率 P(x2, x3, x4, x5 all even) 是总数是2n情况下x2, x3, x4, x5都是偶数的几率 这里总数是指括号里面的数的和，2n是泛指一个趋于无穷大的偶数， 而且这两个概率是完全独立的 now we have a very simple recursive function, f(k) = 1/2 * f(k-1) and f(2) = 1/2, so f(5) = 1/16
前两道题比较简单还可以理解，20分的第六题两句话就解完了，简单的有点莫名奇妙，感觉这题出的有翻车的嫌疑
6 (1) : X_n = 1/2 * [(1/3 + 2/3)^n + (1/3 - 2/3)^n] = 1/2 * (1 + 0) = 1/2 6 (2) : recursively, P(x1, x2, ..., x5 all even) = P(x1, x2+x3+x4+x5 all even) * P(x2, x3, x4, x5 all even) => P(x1, x2, ..., x5 all even) = 1/16
本来以为上面的表达式已经很清楚了， 看来还真有必要解释一下
P(x1, x2+x3+x4+x5 all even) 是总数是2n情况下x1是偶数的几率 P(x2, x3, x4, x5 all even) 是总数是2n情况下x2, x3, x4, x5都是偶数的几率 这里总数是指括号里面的数的和，2n是泛指一个趋于无穷大的偶数， 而且这两个概率是完全独立的
now we have a very simple recursive function, f(k) = 1/2 * f(k-1) and f(2) = 1/2, so f(5) = 1/16
我感觉你第二问没考虑pi。
从第一问已经得到了这个极限值1/2，只要pi是正的，这个极限和pi的具体值没关系
如果普通理科毕业生都能得个20-40分，那区分度就太小了。我觉得我们这种非数学专业或非竞赛生一道题都不会做才正常。而且卷面只有120分的话，800多入围的里面应该很多相同的分数吧。
啊，忘了第一问的结论了。你的解法很nice啊。
你要在没有公布答案之前，提交才有用， 看了答案，谁都能说自己会。
阿里的竞赛2018年就开始了。而且参加的途径网上都报道这么多年了。按照往年经验，国内的头牌奥数培训老师，可以在预赛拿第一，但是决赛只能拿到50-100。 总之，预赛前20，基本上就是，全中国，你能找到的最好奥赛教练的水平
还有楼主的证明错了， P（X1，X2，X3，X4，X5， all even) = 1/32， 而不是 1/16， 有意思吧，其实就是这样的，所以至于版书写啥，真不要太在意。我不知道那些说解法nice的人是否真的看了解答步骤？
生搬硬套答案不可取
五个数相加等于偶数，只要前四个是偶数，第五个不自动就是偶数了吗？
你看不懂楼主的解法不代表别人看不懂啊。
P(x4, x5 all even) = 1/2, not 1/4, so it is 1/16, not 1/32
我给出的答案是我自己做的，和网上给出的答案不一样，简洁很多。但这不是关键，我的意思是不应该有这么二行就解完的题，IMO的题就会有很适当的难度阶梯，不会有这种情况，后面的题需要的逻辑步骤也越来越多
另外作为参考，我偶尔做奥数题当业余消遣，去年的IMO六道题我花了些时间但也都自己做出来了，你要是感兴趣我可以把我的答案发给你请你帮着检查一下
你自己写得是, P(x1, x2, ..., x5 all even) = 1/16, 是我生搬硬套 了， 如果有 5 个和是偶数得话，那么只需要4个都是偶数，
这需要更具体地定义和解释每部分的独立性及条件概率，但单从独立事件的基本概率计算来看，五个独立变量都是偶数的概率应该是 1/32
你真有趣，继续犟吧。
看起来你并没看懂我给出的答案
另外我没有对这个竞赛的总体质量发表看法，只是单独讨论这一道题
还在嘴硬。。。
lz的思路是正确的，一共扫了2n次，前面4个是偶数那么最后一个一定是偶数
但是话又说回来，lz这么写实际上是不严谨的，因为如果n是有限数字的话，X_{2n}^{(i)}之间并不独立。你需要先证明n趋于无穷并且i = 1, 2, 3, 4的时候，X_{2n}^{(i)}是偶数的概率趋于1/2而且互相独立。
这种初等概率题目就是这样，直觉上对是一回事，写清楚是另一回事。
本来以为我给出表达式已经很清楚了， 看来还真有必要解释一下
P(x1, x2+x3+x4+x5 all even) 是总数是2n情况下x1是偶数的几率 P(x2, x3, x4, x5 all even) 是总数是2n情况下x2, x3, x4, x5都是偶数的几率 这里总数是指括号里面的数的和，2n是泛指一个趋于无穷大的偶数， 而且这两个概率是完全独立的
now we have a very simple recursive function, f(k) = 1/2 * f(k-1) and f(2) = 1/2, so f(5) = 1/16
我当然知道你想说什么。直观上是这样，但是你得证明n趋于无穷的时候他们是独立的，不信你找个有限的n看看这两个事件是不是独立
第一问的解答很清楚，二项式展开只取偶数项然后求和，lz把它拆成了((p+q)^n+(p-q)^n)/2，属于那种扫一眼就能看到的小trick
6 (1) 需要算吗？ 直接一看 就是 1/2 呀。
这就是中学数学题，有什么值得成年人 去搞的啊？
死鸭子嘴硬，x1,x2,..,x5,的奇偶性只有16种（n是偶数时），每种config都是1/16，你的答案1/32， 还有一半概率被你吃了么
不可能吧。别人都说是大学数学专业的题。 我中学数学很好的，理科高考145，这些题做不来（当然我大学高数学得很烂并且已经忘光了）。
要我就出被三除余一的概率
这两个概率为啥独立？ 感觉莫斯科79说的有道理。需要证明在n趋于∞时独立。
“别人”是数学系毕业 的，还是吃瓜文科生 ？
那我中学数学就是学了个寂寞
这个独立性能证出来。然后你是对的，当n有限时，后面有个小尾巴；然后当n趋近于无穷时，小尾巴的极限就是0了。
版上的数学大牛好多啊。这个贴的楼主还有楼里面的好几个id都非常牛。膜拜。