恳请大家看看，这道证明题怎么做？能否写步骤？

Prove that the given inequality holds for the specified integer values of n. n3>(n+1)2, n>=3
第一个3 和 2 都在右上角，立方 平方。老师要求用induction.

你用Mathematical induction 就可以了

既然n>=3, then n*n*n > =3*n*n. 从这个思路展开区证明。

你用Mathematical induction 就可以了



slm 发表于 2023-11-26 20:53

是的，能不能写步骤？

只要证((n+1)/n)^2<n 。左边关于n递减，所以小于等于(4/3)^2<2，右边至少是3。

这不是很容易吗，两边都除以n^2 得 n>1+2/n+(1/n)^2 当n>3上式成立吧

只要证((n+1)/n)^2<n 。左边关于n递减，所以小于等于(4/3)^2<2，右边至少是3。
pinwheel 发表于 2023-11-26 21:03

必需得用induction

>=3

当n>1时 n>1+2/n+(1/n)^2>1+3/n

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还有限制证法的？好吧。假设n时成立，n+1时， ((n+2)/(n+1))^2<((n+1)/n)^2<n<n+1 所以((n+2)/(n+1))^2<n+1。

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需证明n^3-n^2-2n>1，即需证n(n-2)(n+1)>1, 因为n>=3, n-2, n+1, n 皆>=1, 所以得证。

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需证明n^3-n^2-2n>1，即需证n(n-2)(n+1)>1, 因为n>=3, n-2, n+1, n 皆>=1, 所以得证。
shirleywxg 发表于 2023-11-26 21:08

这是induction吗？

不懂啥是induction, 😂

你们看看做的对吗？

Prove sqrt(n)> 1+1/n. 1) sqrt(3)>4/3; 2) sqrt(n) >=2>1+1/n when n>=4
therefore n sqrt(n) > n+1 i.e. n^3 > (n+1)^2

Prove sqrt(n)> 1+1/n. 1) sqrt(3)>4/3; 2) sqrt(n) >=2>1+1/n when n>=4
therefore n sqrt(n) > n+1 i.e. n^3 > (n+1)^2
金银岛 发表于 2023-11-26 21:14

你看上面做得哪里有问题？

你假设n= k时成立，（k+1）^ 3展开，k ^ 3 + 3K ^ 2 + 3k +1， K ^ 3用assumption, 中间两项factor out 3k, since n is greater or equal to 3, 3k is greater than 2, make right hand side a perfect square, done.

喔induction 因为3,4,5,6都满足不等式 那就再假设有个数N>6的也已经满足了 即N>1+2/N+(1/N)^2那么显然右边也大于1+2/（N+1)+(1/(N+1))^2 也就是 N+1>n>[1+1/n]^2>[1+1/(n+1)]^2
其实左边n序列是单调递增而右边是单调递减 所以随着n的增加，当前一个n成立了，那么后面的n更是成立

人家都说了：要用归纳法证去证这种小学生的菜题。
n=3: 27 > 16
Assume that n >=3 and n is true. (n+1)^3 = n^3 + 3*n^2 + 3n + 1 > (n+1)^2 + 3 * n^2 + 3n + 1 = (n+1)^2 + 3n(n+1) + 1 >= (n+1)^2 + 9(n+1) + 1 > (n+1)^2 + 2(n+1) + 1= ((n+1)+1)^2