问个概率题

今天看到板上有人靠做数学题解压，那么求高人指点，N个球放到N个盒子里。任意放。问，恰好有一个空盒子的概率是多少？ 谢谢了，我记得答案，但是想不明白为啥

猜一个，n！C（n，2）/（n^n）

思路就是先扔掉一个盒子，剩下的n-1个盒子里每个一个球，算下其中一个盒子再放一个球的概率

这个题目等价于求 (x_1+x_2+......+x_N)^N的展开式中恰好含有N-1个变量的项的系数和。这样的项一定类似于x_1^2 x_2x_3...x_{N-1} （有N*(N-1)种这样的项，取决于哪个变量要平方，哪个变量不出现）。而对这样的一项，它的系数正好是N!/2 （x_1有N(N-1)/2种取法，x_2有N-2种取法......）。所以这个问题的答案是N!*N(N-1)/2.
最后还要除以总的项数和N^N(忘记是要求概率了)。

[(N-1)N!]/[2N^(N-1)]