这书其实算不上实分析，但高中念这本书有点鸡娃。AP Calculus 作为第一次综合性的微积分概述还是不错的，进大学后再去数学系念一下introduction of real analysis。对于普通工科学生分析类的数学就足够了，强于国内工科类高等数学。如果是数学专业，进大学后直接去念数学分析就好。美国大学数学系的真正的数学课一般都在3字头以上，4字头有干货。
这书其实算不上实分析，但高中念这本书有点鸡娃。AP Calculus 作为第一次综合性的微积分概述还是不错的，进大学后再去数学系念一下introduction of real analysis。对于普通工科学生分析类的数学就足够了，强于国内工科类高等数学。如果是数学专业，进大学后直接去念数学分析就好。美国大学数学系的真正的数学课一般都在3字头以上，4字头有实货。 nj_guy 发表于 2023-06-20 06:38
一点儿证明都没学过直接上introduction of real analysis是不是太难了啊？实分析是要讲勒贝格积分和测度论的。
一点儿证明都没学过直接上introduction of real analysis是不是太难了啊？实分析是要讲勒贝格积分和测度论的。 caram 发表于 2023-06-20 06:41
一般美国大学的3字头 introduction of real analysis 只是 introduction，就是严格一些的数学分析。
Courses 01:640:311 - Introduction to Real Analysis I Course Description (Catalog Copy) 01:640:311 Introduction to Real Analysis I (4) Introduction to language and fundamental concepts of analysis. The real numbers, sequences, limits, continuity, differentiation in one variable.
一般美国大学的3字头 introduction of real analysis 只是 introduction，就是严格一些的数学分析。
Courses 01:640:311 - Introduction to Real Analysis I Course Description (Catalog Copy) 01:640:311 Introduction to Real Analysis I (4) Introduction to language and fundamental concepts of analysis. The real numbers, sequences, limits, continuity, differentiation in one variable.
我记得intro of real analysis是要教实数理论的呀。Spivak的Calculus书还是要简单很多的吧，只比普通AP微积分多个极限概念而已。 https://catalog.lib.uchicago.edu/vufind/Record/480937/TOC caram 发表于 2023-06-20 06:55
上面 Rutgers 数学系网站上有关于他们 intro to real analysis 的具体信息.
一般美国大学的3字头 introduction of real analysis 只是 introduction，就是严格一些的数学分析。
Courses 01:640:311 - Introduction to Real Analysis I Course Description (Catalog Copy) 01:640:311 Introduction to Real Analysis I (4) Introduction to language and fundamental concepts of analysis. The real numbers, sequences, limits, continuity, differentiation in one variable.
我记得intro of real analysis是要教实数理论的呀。Spivak的Calculus书还是要简单很多的吧，只比普通AP微积分多个极限概念而已。 https://catalog.lib.uchicago.edu/vufind/Record/480937/TOC caram 发表于 2023-06-20 06:55
我记得intro of real analysis是要教实数理论的呀。Spivak的Calculus书还是要简单很多的吧，只比普通AP微积分多个极限概念而已。 https://catalog.lib.uchicago.edu/vufind/Record/480937/TOC caram 发表于 2023-06-20 06:55
data science要学的东西里，实分析排在很靠后很靠后。要我说还不如学点C++有用。 实分析这种本身是类似数学基础的东西。很多工程上用的好的东西，数学上原来说不太清的，比如冲击函数的傅立叶变换之类的。然后就是上面提到的概率论的东西，同样的现象离散的连续的需要说两次。有了实分析泛函分析后，这些东西就都有了严格和漂亮的表述。如果做研究写论文，结果做出来以后当然需要用数学语言把事情讲清楚，就得用实分析的语言。像我以前搞图像搜索，也经常要用集合论和测度空间的语言，但是编程实现其实和这些基本上没关系。类似孔乙己的长袍，有些正是场合需要穿一穿。 如果要学物理，这些东西不会基本上没法活。学得越早越好--因为要学的东西太多了。
我有本 James Stewart 的书，但不怎么看。我的想法很简单，所有结论，不要光拿来用，要知道为什么。比如最开始的，为啥积分就能得到原函数，可以证明的。所有的微分公式，所有的 rules, 也都证明一遍。Taylor Series, 也能证明。我想让他深刻体会到看似很难的东西，其实来自最基本的概念，证明也只需要最最基本的 first principle method
我有本 James Stewart 的书，但不怎么看。我的想法很简单，所有结论，不要光拿来用，要知道为什么。比如最开始的，为啥积分就能得到原函数，可以证明的。所有的微分公式，所有的 rules, 也都证明一遍。Taylor Series, 也能证明。我想让他深刻体会到看似很难的东西，其实来自最基本的概念，证明也只需要最最基本的 first principle method Slou9900 发表于 2023-06-21 12:29
这本书对极限的定义讲得比较透彻，注重培养intuition，不像一般的AP Calculus靠死记硬背。
1. 人家是小学生。 2. 微积分娘胎已经学过了。
不是实分析，就是有证明题的微积分。听说国内搞奥数的孩子高中都会学。
一点儿证明都没学过直接上introduction of real analysis是不是太难了啊？实分析是要讲勒贝格积分和测度论的。
一般美国大学的3字头 introduction of real analysis 只是 introduction，就是严格一些的数学分析。
Courses 01:640:311 - Introduction to Real Analysis I Course Description (Catalog Copy) 01:640:311 Introduction to Real Analysis I (4) Introduction to language and fundamental concepts of analysis. The real numbers, sequences, limits, continuity, differentiation in one variable.
https://www.math.rutgers.edu/academics/undergraduate/courses/955-01-640-311-introduction-to-real-analysis-i
我记得intro of real analysis是要教实数理论的呀。Spivak的Calculus书还是要简单很多的吧，只比普通AP微积分多个极限概念而已。
https://catalog.lib.uchicago.edu/vufind/Record/480937/TOC
上面 Rutgers 数学系网站上有关于他们 intro to real analysis 的具体信息.
你说的这门课用的是这本书：
https://www.amazon.com/Introduction-Analysis-Applied-Undergraduate-Texts/dp/0821847872?asin=0821847872&revisionId=&format=4&depth=1
跟Spivak讲得内容很不一样啊。好一些学校的课都跟Rutgers差不多吗？
这是他们教科书的目录，就是数学分析，进大学念一个学期就好。我觉得没必要在高中太 push，好好念完AP就行了。当然你家孩子你做主。
http://www.ams.org/bookstore/pspdf/amstext-1-toc.pdf
Spivak第一节课练习题就要proof by induction 了呀。怎么可能只是多一个概念。
失敬失敬
Induction好像在AoPS的习题里已经有了。中国高中也学了。
那你什么时候学的Spivak？
。。
是的，随机微分方程娘胎也学过了。
楼主想法很好，非常支持，印象中你自己教小孩数学，希望分享你的教学经验，开数学课，可以介绍一下你的背景和你家小孩的数学成绩吗？
不学极限 怎么能学微积分？
孩子小学，还不太懂事，总听别人说起微积分，所以哭着喊着也要学，还没到竞赛的年纪。我只是做个survey。
不是我家娃要学
微分公式积分公式，怎么教都得背吧。
我因为不太懂又有些感兴趣，您（或着哪个懂的大牛)能不能帮着解释一下“普通微积分”和“实分析”的区别？
高中生学微积分就是学学怎么求导，记一下各种方法。aka 做题家。 实分析就是在这个基础上介绍论证过程等等。aka 哲学家。 研一再把这本书挖出来，结合别的知识点深耕。aka 孤独求败。
昨晚刚看了Young Sheldon第一季, 今日有幸遇到同款华人神童。 楼主按The Big Bang Theory的走势，你家小孩有可能得诺贝尔奖。
讲了实数六大定理， 而且证明了这六个是等价的， 算是 实分析了。
您讲得挺形象的。我大概知道了一点👍👍👍 一般理工科学生需要掌握“实分析”吗？
结合上面几个大牛的解释，我大概了解了一点眉目 谢谢啦👍👍
Engineering 没必要，很多Engineer 大三能学完partial differential 就行了。 物理数学的需要学。
你了解啥了？有些人讲的根本就不对。
data science要学的东西里，实分析排在很靠后很靠后。要我说还不如学点C++有用。 实分析这种本身是类似数学基础的东西。很多工程上用的好的东西，数学上原来说不太清的，比如冲击函数的傅立叶变换之类的。然后就是上面提到的概率论的东西，同样的现象离散的连续的需要说两次。有了实分析泛函分析后，这些东西就都有了严格和漂亮的表述。如果做研究写论文，结果做出来以后当然需要用数学语言把事情讲清楚，就得用实分析的语言。像我以前搞图像搜索，也经常要用集合论和测度空间的语言，但是编程实现其实和这些基本上没关系。类似孔乙己的长袍，有些正是场合需要穿一穿。
如果要学物理，这些东西不会基本上没法活。学得越早越好--因为要学的东西太多了。
诺贝尔没有数学奖。楼主的娃是要拿Fields的，智商起码300, 赶超Terrance Tao
MathCounts好像是给搞工程的人设置的吧？数学牛娃一般走AMC路线吧？线性代数的基本思想在AoPS Intro书里已经有了，要了解若当标准型之类的得专门去学。
没有没有。他天天打电子游戏好几个小时。
连群论都上了 看来是我过时了 盾了
我是这样觉得的。出竞赛题的老师搞纯数的多，夹带私货，把research里的技巧提炼出来放到了竞赛题里，这样慢慢地竞赛教材也得跟进。应数的老师平时项目博后学生一大堆，哪有空管中学生啊，所以数竞里应数的比重比较小。
所以说数学竞赛不是对每个孩子都合适。我对娃的期望是学以致用，有自己的想法，不随波逐流。
测度论还是很有用的，不然概率统计根本就讲不清楚。
你用哪本教材？
你的娃,不会才读完K吧。嗯，肯定能beat掉那个女娃，期待你家小学🎓时已经拿到数学/物理双博士学位了。
这就有点儿抬杠了…
我朋友的孩子四年级毕业AoPS四大名著已经学完了，里边有线代的启蒙知识。线代不需要特殊函数，三角函数和微积分，所以你说的那个女娃的进度不是没有可能。
我有本 James Stewart 的书，但不怎么看。我的想法很简单，所有结论，不要光拿来用，要知道为什么。比如最开始的，为啥积分就能得到原函数，可以证明的。所有的微分公式，所有的 rules, 也都证明一遍。Taylor Series, 也能证明。我想让他深刻体会到看似很难的东西，其实来自最基本的概念，证明也只需要最最基本的 first principle method
非常同意。我也不怎么看Stewart的书。Spivak讲得比较透彻，比AoPS更透彻。我自己的体会是讲得越简单越不容易学好，把知识点讲透了反而省时间。
我记得AoPS只有Precalculus，没有Calculus。
也许我年过半百，记忆缺失了。
学习群论之前肯定要学完线性代数作为基础。
高中生学习AP Calc BC + multivariable，我个人认为James Stewart最好。我十几年前在Amazon买了一本旧书，大概不到5美元。现在我辅导的多元微积分学生，其学校课本还是这个老版本。
有的。https://artofproblemsolving.com/store
Stewart是给普通学生学的。gifted and talented 推荐AoPS或者Spivak。
多谢推荐！
好完备啊！
但是连美国第一高中TJHSST都只用Stewart的。
Steward 是大学教材啊。要想学好够够的了。
Stewart也不怎么讲证明的，看来只适合大学工科学生。比如Epsilon-Delta极限证明，我那个老版本没有放在正文，只是放在附录。我辅导的一个非常好学的高中生问我洛必达法则7个情况如何证明，我翻老版本，里面只有一段话谈到这7个情况，根本就没有证明！
而数学系和物理系学生还是得学分析。
物理也不太需要 学实分析
以前听个故事， 北大物理系主任 郝伯林 讲课 证了个什么定理。 然后发现课堂最后有个系里的老师在听。 这两人还不对付。 郝就说， 证完了， 大家有问题就问呀。 然后就盯着那老师。 那位也不含糊， 站起来说 我没问题， 只有一个 comment: 你这个定理证的不严谨。 你在积分前， 没有证明那个分是可积的。 郝大怒， 一拍桌子， 宣布到： 所有物理定理的证明都是不严谨的！
所以PRL的文章才那么难懂。。。比如说物理学家常常觉得一个量的1/3很小，可以忽略不计。数学家看了说这是伪科学。。。
所以Harvard不给高中的AP课算学分呀。。。
楼主可以开个X-men 学校，高中学Spivak，线性代数，群论，数论，课后bonus习题就是证明费马大定理。让TJH去吃翔 😁
又抬杠了。
不过我觉得你的要求真的挺高的，孩子还是小学生呢。
是你们误解了，不是教我娃calculus，是别人的娃。我在之前的一个帖子里已经澄清过了。