第二题， 1)0.5*0.4+0.5*0.8^2 = 0.52 2)P(1)=0.5, Q(1)=0.5, P(i)=(1-P(i-1))*0.2 + P(i-1)*0.6, P(i)-0.4P(i-1)=0.2=P(i-1)-0.4P(i-2) 通解 P(i) = C1*0.4^i + C2 P(1)=0.5, P(2)=0.5*0.6 + 0.5*0.2=0.4, 解得 C1=5/12, C2=1/3 P(i)=(5/12)*(2/5)^i + 1/3 = (1/6) * (2/5)^(i-1) + 1/3 Your answer to 2(1) appears to be incorrect. The correct solutions is 0.5*0.4+0.5*0.8=0.6. You can also confirm this by using your value for P(2)=0.4 in 2(2), as 1-P(2)=1-0.4=0.6.
作为一个当年高考数学考了近乎满分的人，我不得不说，这题我都快读不懂了， 更不要说解答了。
什么叫单调性，全不知了。
单调性，都不知道是什么意思了？
说实话吗？ 真不记得了。 我们是老人家了，高考都是几十年前的事了。
哪个区域是递增，哪个区域是递减的吧。一般方法是求导，导数大于0，是递增，导数小于零，是递减，导数等于零的时候是递增或递减的临界点
哈哈，确实如此。
第三题：y=x^2+1/4, haha 😂,
还好，搬砖用不上！！！
当年高考数学满分的也不记得啥叫单调性了
我咋记得我高中没学过求导，大学才学的
求导高中确实没有学。
第一题， 1) a=0时单调递减，a<0时单调递减， a>0时 f‘(x)=a e^x - 1，x<-ln(a)时递减，x>-ln(a)时递增。 2) a>0时 f(x)最小值是 x=-ln(a) , f(x)=1+a^2+ln(a)，f(x)-2ln(a)-3/2 = 1+a^2-ln(a)-3/2 = g(a) g’(a) = 2a - 1/a，只需考虑a>0的部分，a<1/sqrt(2)时 g(a)递减， a>1/sqrt(2)时 g(a)递增，所以g(a)最小值是 1+1/2 - ln(1/sqrt(2)) -3/2 = 1/2 ln 2 >0，得证。
第二题， 1)0.5*0.4+0.5*0.8 = 0.6 (感谢@Skipper纠正错误！)
2)P(1)=0.5, Q(1)=0.5, P(i)=(1-P(i-1))*0.2 + P(i-1)*0.6, P(i)-0.4P(i-1)=0.2=P(i-1)-0.4P(i-2) 通解 P(i) = C1*0.4^i + C2 P(1)=0.5, P(2)=0.5*0.6 + 0.5*0.2=0.4, 解得 C1=5/12, C2=1/3 P(i)=(5/12)*(2/5)^i + 1/3 = (1/6) * (2/5)^(i-1) + 1/3
3) 就是上面级数求和，\sum P(i) = (1/6) * (1-(2/5)^n))/(1-2/5) + n/3 = 5/18 ( 1- (2/5)^n ) + n/3 第三题， 1) 到定点距离=到定直线距离 的曲线是抛物线，点是焦点。 y^2 = x^2 + (y-1/2)^2, y=x^2 + 1/4
第二问容我再想一下。
2) 首先 抛物线上下平移对问题没有影响，所以可以将其平移至 y=x^2。 三个点中一定有一个是直角顶点，标记其为A，设其坐标为 (a,a^2)。过A做垂直的两条线，斜率分别为 k, -1/k，由于垂直x轴的直线不可能与抛物线相交，k不等于0。不失一般性，设 a>=0, k>0。 那么两条线的方程分别是 y= kx + a^2-ak, y= -1/k x + a^2 + a/k 。 代入 y=x^2，解得另外两点 B,C 的横坐标，分别是 b=k-a, c= -1/k -a 距离和 AB + AC，也就是周长的一半，d= sqrt( (b-a)^2+(b^2 - a^2)^2 ) + sqrt( (c-a)^2 + (c^2-a^2)^2 ) = |b-a| sqrt(1+(a+b)^2) + |c-a| sqrt(1+(a+c)^2) =|k-2a| sqrt(1+k^2) + (1/k+2a) sqrt (1+1/k^2) 然后分情况考虑，
0<=a<=k/2时， d= k sqrt(1+k^2) + 1/k sqrt(1+1/k^2) + 2a ( sqrt(1+1/k^2) - sqrt(1+k^2) ) = k sqrt(1+k^2) + 1/k sqrt(1+1/k^2) + 2a sqrt(1+k^2)(1/k-1) 继续分情况讨论， k<=1时，a=0得到最小值， d=k sqrt(1+k^2) + 1/k sqrt(1+1/k^2) = (k^1.5 + k^ -1.5) sqrt(k + k^-1) >= 2*sqrt(2)，当k=1时等式成立。 (感谢@LonelyShepherd 纠正错误！) k>1时，a=k/2得到最小值， d= k sqrt(1+k^2) + 1/k sqrt(1+1/k^2) +sqrt(1+k^2)(1-k) = sqrt(1+k^2) + 1/k sqrt(1+1/k^2) = (1+k^2)^1.5 / k^2 设k^2 = t， d=(1+t)^1.5/t, d’(t) = 1/t^2 * (3/2 * (1+t)^0.5 * t - (1+t)^1.5), t=2时 d取得最小值 3 sqrt(3) / 2。k=sqrt(2)>1满足条件。
a>=k/2时， d=(2a-k) sqrt(1+k^2) + (1/k+2a) sqrt (1+1/k^2) = 2a( sqrt(1+k^2) + sqrt (1+1/k^2) ) - k sqrt(1+k^2) + 1/k sqrt (1+1/k^2) a=k/2得到最小值，d的形式和上面 0<=a<=k/2, k>1 的情形一样，最小值也是 3 sqrt(3) / 2
2 sqrt(2) > 3 sqrt(3) / 2，所以d的最小值是 3 sqrt(3) / 2 但是当 a=k/2 时， b= k-a = k/2 = a，所以b和a重合，所得到的不是矩形而是线段。 综上，矩形ABCD周长 = 2d > 3 sqrt(3)。 另外评价一下难度，第三题第二问很难找对方向，算是难度较高的。方向对了执行起来只要细心就行了。 我一开始也没找到方向，因为我觉得 从 0,0 出发两条45度边的正方形也许是最小周长的，然后试了很久几何方法。但是一件奇怪的事让我很在意，就是为什么结论是 大于 而不是 大于等于。如果是大于，那那个极限一定是达不到的。什么情况的极限是达不到的呢？ 然后盲猜：两条抛物线上的直角边，如果缩短一条，那另一条会变长，但总长度会减小，所以当它变成切线的垂线的时候就是最小值了。 然后试了一下，算了很久，发现数值确实一样。但是“切线的垂线 总长度最小”这一点并不总是成立，比如 过原点做两条垂线段与抛物线相交，最短的显然不是切线的垂线 (因为不会与抛物线相交，无限长)，所以证明也无从下手。 但是这个尝试给我一个入手点，所以得到了上面的证明。
第二题第二问稍微有点难度，不过见过这类数列求通项公式的问题的话也很简单…… 其他的都比较简单。
我们那时高三课本后半部分有，不是大纲要求，大部分学校不教。 不过我们数学老师还是教了
首先 抛物线上下平移对问题没有影响，所以可以将其平移至 y=x^2。 三个点中一定有一个是直角顶点，标记其为A，设其坐标为 (a,a^2)。过A做垂直的两条线，斜率分别为 k, -1/k，由于垂直x轴的直线不可能与抛物线相交，k不等于0。不失一般性，设 a>=0, k>0。 那么两条线的方程分别是 y= kx + a^2-ak, y= -1/k x + a^2 + a/k 。 代入 y=x^2，解得另外两点横坐标，分别是 b=k-a, c= -1/k -a 距离和，也就是周长的一半，d= sqrt( (b-a)^2+(b^2 - a^2)^2 ) + sqrt( (c-a)^2 + (c^2-a^2)^2 ) = |b-a| sqrt(1+(a+b)^2) + |c-a| sqrt(1+(a+c)^2) =|k-2a|sqrt(1+k^2) + (1/k+2a) sqrt (1+1/k^2) 然后分情况考虑，
0<=a<=k/2时， d= k sqrt(1+k^2) + 1/k sqrt(1+1/k^2) + 2a ( sqrt(1+1/k^2) - sqrt(1+k^2) ) = k sqrt(1+k^2) + 1/k sqrt(1+1/k^2) + 2a sqrt(1+k^2)(1/k-1) 继续分情况讨论， k<=1时，a=0得到最小值， d=k sqrt(1+k^2) + 1/k sqrt(1+1/k^2) = (k^1.5 + k^ -1.5) sqrt(k^0.5 + k^-0.5) >= 2*sqrt(2)，当k=1时等式成立。 k>1时，a=k/2得到最小值， d= k sqrt(1+k^2) + 1/k sqrt(1+1/k^2) +sqrt(1+k^2)(1-k) = sqrt(1+k^2) + 1/k sqrt(1+1/k^2) = (1+k^2)^1.5 / k^2 设k^2 = t， d=(1+t)^1.5/t, d'(t) = 1/t^2 * (3/2 * (1+t)^0.5 * t - (1+t)^1.5), t=2时 d取得最小值 3 sqrt(3) / 2。k=sqrt(2)>1满足条件。
a>=k/2时， d=(2a-k) sqrt(1+k^2) + (1/k+2a) sqrt (1+1/k^2) = 2a( sqrt(1+k^2) + sqrt (1+1/k^2) ) - k sqrt(1+k^2) + 1/k sqrt (1+1/k^2) a=k/2得到最小值，d的形式和上面 0<=a<=k/2, k>1 的情形一样，最小值也是 3 sqrt(3) / 2
2 sqrt(2) > 3 sqrt(3) / 2，所以d的最小值是 3 sqrt(3) / 2 但是当 a=k/2 时， b= k-a = k/2 = a，所以b和a重合，所得到的不是矩形而是线段。 综上，矩形ABCD周长 = 2d > 3 sqrt(3)。
顺带说一下，我心血来潮搜了一下有没有人提出更好的解法，却发现了一些错误。最后一题第二问，网上不少“简单一点”的解法其实都是错的。 比如https://www.zhihu.com/question/605281198/answer/3063620217 错在倒数第二段“不失一般性”那里，估计他写到这把前面写的都忘了。这里不能同时设 x1-x2>0 和 x1+x2 <0 的原因是，他一开始第一个方程就只有当 x2,y2 是直角顶点时才成立。然后他“不失一般性”地要求 x1>x2，且 x1+x2<0。单看第一条是没问题的，因为 抛物线可以做镜像对称。但加上第二条之后就会漏掉情况了。 x1>x2 说明 x1,y1 在 x2,y2 右边。x1+x2<0 说明 x1,y1 离原点比 x2,y2近。这就造成了只有这两种情形： 1.
第二题， 1)0.5*0.4+0.5*0.8^2 = 0.52
2)P(1)=0.5, Q(1)=0.5, P(i)=(1-P(i-1))*0.2 + P(i-1)*0.6, P(i)-0.4P(i-1)=0.2=P(i-1)-0.4P(i-2) 通解 P(i) = C1*0.4^i + C2 P(1)=0.5, P(2)=0.5*0.6 + 0.5*0.2=0.4, 解得 C1=5/12, C2=1/3 P(i)=(5/12)*(2/5)^i + 1/3 = (1/6) * (2/5)^(i-1) + 1/3
Your answer to 2(1) appears to be incorrect. The correct solutions is 0.5*0.4+0.5*0.8=0.6. You can also confirm this by using your value for P(2)=0.4 in 2(2), as 1-P(2)=1-0.4=0.6.
国内教学改革了好几次了。 数学改动非常大。 看看人教版的目录， 你就知道多难了。 https://www.renjiaoshe.com/gaozhongshuxue.html
我教娃时觉得是以前大学1，2年级的课
尤其B组题是实打实的难
不过这三道题不算难，至少第二道概率分布题，书上有相似例题。
k<=1时，a=0得到最小值， d=k sqrt(1+k^2) + 1/k sqrt(1+1/k^2) = (k^1.5 + k^ -1.5) sqrt(k^0.5 + k^-0.5) >= 2*sqrt(2)，当k=1时等式成立。
红色部分是typo，应该是 k+k^-1
我考了满分也不会做…
挺简单的。
读完大学，再来做这些高中数学题。 太简单了。
SAT比這容易太多了，lol. 美國絕大部分高中生應該是不會的
我们 学的
就是讨论
how boring