俄罗斯总理的几何题 - 2021年9月22日北美华人网存档

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楼主 (北美华人网)

转：看看大家能解吗？
9月1日是俄罗斯的知识节，因为这一天是各级学校的开学日，象征进入知识宝库的日子。今年的知识节，俄罗斯总理米哈伊尔·米舒斯京（Mikhail Mishustin）来到莫斯科物理技术学院（MIPT）视察。该校是俄罗斯顶级的理工科大学，出过许多诺贝尔奖得主和著名科学家。

米舒斯京总理来到新生的教室，给学生们讲话。他看到黑板上写满了数学公式，一时兴起，就上前写了一道数学题，要求大家当场解答。

根据维基百科，米舒斯京生于1966年，大学专业是系统工程，主修计算机辅助设计。工作以后，还读过一个经济学博士。在担任总理之前，他是俄罗斯联邦税务局长。

他出的是一道几何题，题目如下。给定圆上的一个点和一条直径，你能否找到一种方法，画出从该点到直径的垂直线（下图的绿线）。

这道题的难点在于，你不能使用任何测量工具，唯一可以用的就是一把不带有标记的直尺。大家可以思考一下，这道题怎么解。虽然它用不到高深的数学知识，初中的几何学课程就可以解答，但也不算容易。你必须知道两个基本的几何定理，才能想出答案。第一个是泰勒斯定理，欧几里得《几何原本》提到过： 圆上任意一点与直径组成的三角形，是直角三角形。

第二个定理是： 锐角三角形的三条高交于一点。

如果你已经忘了这两个定理，可以再去看一下初中几何课本，这里就不给出证明了。下面我根据一个数学家写给英国《卫报》的文章[1]，介绍如何解答这道题。

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如果你还想再思考一下，自己找到答案，那就暂时不要往下看了。我要讲答案了。

第一步，在相同的半圆上，任意再找一个点。将这两个点，与直径的相邻端点连起来，连线延长后可以形成一个三角形。上图中，圆周上的两个点与直径组成的，都是直角三角形。它们可以看作直径的两个端点到绿边的两条高。

第二步，上一步的两条高产生了一个交点，将这个交点与三角形的外部顶点连起来，延长后与直径相交。根据三角形的三条高交于一点，可以知道，上图的绿线是直径的一条垂直线。后面只需要找到它的平行线，穿过红点即可。

第三步，上一步的绿线与圆周有一个交点，将这个交点与红点连起来，延长后与直径相交（上图的第一个绿点）。同时，将上一步的垂直线延长，与另一侧的圆周相交，产生一个交点（上图的第二个绿点）。

第四步，将上一步的两个绿点连起来，这条线会与圆周产生一个交点（上图的绿点）。再将绿点与红点连起来（上图的黄线），这就是我们所要寻找的答案：红点到直径的垂直线。这是因为上图的两条绿边与第二步的垂直线，形成了一个等腰三角形，原始的那条直径就是等腰三角形顶点到底边的高。这意味着，红点与绿点是对称的，它们的连线平行于底边，所以垂直于高（直径）。至此，整道题解答完毕。