原题：a regular dodecahedron is inscribed a sphere with radius 10. What is the maximum volume of the dodecahedron? SAT 发表于 2021-02-20 11:58
其实首先这句话语法有问题。“is inscribed a sphere” 语法错误。如果是inscribing a sphere就是内切球。 然后，内切球是Inscribed sphere，外接球是Circumscribed sphere。这句意思到底是内切球还是外接球从这句话没法理解。按理说既然用“inscribed”了，应该是内切球。但是维基百科上有一句“When a regular dodecahedron is inscribed in a sphere, it occupies more of the sphere''s volume (66.49%) than an icosahedron inscribed in the same sphere (60.55%).”显然应该是指外接球，虽然这里按理说应该是要用Circumscribed的，不知有没有反过来说的说法(个人认为这是用词错误 好吧搜了下，这么说的还挺多……可能是一种约定俗成的说法吧。那应该是 inscribed in a sphere 了)。如果这么说也能成立，那有可能是指外接球。 当然，语法问题不论，内切球的话计算其实大同小异，稍改一点就行了。 另外，maximum volume是个很奇怪的说法，因为只可能有一个volume……虽然不影响结果吧。
其实首先这句话语法有问题。“is inscribed a sphere” 语法错误。如果是inscribing a sphere就是内切球。 然后，内切球是Inscribed sphere，外接球是Circumscribed sphere。这句意思到底是内切球还是外接球从这句话没法理解。按理说既然用“inscribed”了，应该是内切球。但是维基百科上有一句“When a regular dodecahedron is inscribed in a sphere, it occupies more of the sphere''s volume (66.49%) than an icosahedron inscribed in the same sphere (60.55%).”显然应该是指外接球，虽然这里按理说应该是要用Circumscribed的，不知有没有反过来说的说法(个人认为这是用词错误 好吧搜了下，这么说的还挺多……可能是一种约定俗成的说法吧。那应该是 inscribed in a sphere 了)。如果这么说也能成立，那有可能是指外接球。 当然，语法问题不论，内切球的话计算其实大同小异，稍改一点就行了。 另外，maximum volume是个很奇怪的说法，因为只可能有一个volume……虽然不影响结果吧。 AlIen_196883 发表于 2021-02-20 12:25
孩子说5道题的数学作业，有一题不会。我说啥题啊，看了一下简单说就是已知球半径R, 求：内截12面体的体积。 回复提问：就是9年级的平时作业，孩子不问我的，是我总听说美国数学不难，加上自觉得自己数学不差，主动要求看看，结果被打击了。另外孩子从小没上过任何课外班，6年级下学期SAT 数学满分，目前9年级 数学320。 原题：a regular dodecahedron is inscribed a sphere with radius 10. What is the maximum volume of the dodecahedron? 没有图 确实是9年级日常作业中的题目，不是竞赛的。这才是我认为美国数学不像很多国内家长说的简单
SAT 发表于 2021-02-19 10:59
这道题可以理解为很容易，也可以理解为比较难。看要求是什么。 套公式没有难度。 要求推导正五边形面积的解析公式，那就有难度了；但如只要数字计算，用计算器计算三角函数值，就很容易。求五边形边长与球半径关系，虽然不难，也需要学过立体几何。 但出题的老师的数学显然很滥!!! "What is the maximum volume of the inscribed dodecahedron?" 内切正十二面体的体积是固定的，只有唯一值。
到现在还没人给出答案哦，虽然有贴出答案的但是不对题目哦，答案要求是以球的半径R给出，不是十二面体边长a。 另外上面链接的解法太麻烦了。很久没做几何题了，我的几何魂又燃烧起来了。随手算了一下。 首先，任取正十二面体一个顶点X，那它应该有3个相邻的顶点，3条边互相形成108度的角；而对于连结顶点和球心的半径 R，等同于旋转120度，所以形成的是120度的二面角。注意这里就可以确定边长了，因为如果随便任意取一个边长然后绕着半径旋转120度，边之间形成的不一定是正五边形的内角108度。 这里就用到了第一个式子，二面角公式 。通过这个可以确定 正十二面体每条边和球半径的夹角。这个夹角确定了 a 和 R 的比例。 然后就可以算体积 V 了。体积=12个五棱锥体积，五棱锥体积=1/3 *底面积*高。 底面积 S 就是五边形面积，很好算。高 h， 用 R 和 a 也不难算。 然后带进体积，把 a 代换成 R 和 cos(theta)，最后把 cos^2(theta)代入，化简，就得到以 R 表示的体积了。括号里的是以 a 表示的体积。 至于化简，可以用 Mathematica 直接给出来，省事 完事～ 9年级等于什么，高三么？其实高中的几何知识绝对足够了，只是细节比较多容易出错，概念上其实很简单…… Edit: 哦哦，是初三啊，那立体几何是超纲了。 AlIen_196883 发表于 2021-02-20 05:29
这道题可以理解为很容易，也可以理解为比较难。看要求是什么。 套公式没有难度。 要求推导正五边形面积的解析公式，那就有难度了；但如只要数字计算，用计算器计算三角函数值，就很容易。求五边形边长与球半径关系，虽然不难，也需要学过立体几何。 但出题的老师的数学显然很滥!!! "What is the maximum volume of the inscribed dodecahedron?" 内切正十二面体的体积是固定的，只有唯一值。
是这样的，而且做题不够多，什么都是泛泛讲讲，知识学的也是不扎实，后来就跟不上了。
这个很简单吗？你给个算法和答案吧。
正十二边形的公式啊，不知道公式就自己推算每面是正五边形的边长
其实首先这句话语法有问题。“is inscribed a sphere” 语法错误。如果是inscribing a sphere就是内切球。 然后，内切球是Inscribed sphere，外接球是Circumscribed sphere。这句意思到底是内切球还是外接球从这句话没法理解。按理说既然用“inscribed”了，应该是内切球。但是维基百科上有一句“When a regular dodecahedron is inscribed in a sphere, it occupies more of the sphere''s volume (66.49%) than an icosahedron inscribed in the same sphere (60.55%).”显然应该是指外接球，虽然这里按理说应该是要用Circumscribed的，不知有没有反过来说的说法(个人认为这是用词错误 好吧搜了下，这么说的还挺多……可能是一种约定俗成的说法吧。那应该是 inscribed in a sphere 了)。如果这么说也能成立，那有可能是指外接球。
当然，语法问题不论，内切球的话计算其实大同小异，稍改一点就行了。 另外，maximum volume是个很奇怪的说法，因为只可能有一个volume……虽然不影响结果吧。
max的说法不奇怪，就是一个优化问题
我的理解是，让找球面内切的一个十二面体，让求出最大体积的十二面体
首先得确定哪种十二面体的体积最大，那就是正十二面体，我不确定这一步是否要求证明正十二面体的体积最大
接着求出这个正十二面体的体积
美国的这种题目本来就不是叫你儿子从头推导的。简单查看wiki就可以发现半径和边长的关系，然后套一下体积公式即可。 https://en.wikipedia.org/wiki/Regular_dodecahedron
什么事情都从头来的话，那就是phd的要求了。 正12面体有4个常见形状，只有类似球形的也就是我们最常见的那种是最饱满体积最大的。
其它三个不是12面呀，明显多好多面
正12面体只有一个，不知道为什么已经说了regular还要求maximum
其他的也是12个面，只不过是交错的，面之间的交线产生了很多面的错觉
这道题可以理解为很容易，也可以理解为比较难。看要求是什么。 套公式没有难度。 要求推导正五边形面积的解析公式，那就有难度了；但如只要数字计算，用计算器计算三角函数值，就很容易。求五边形边长与球半径关系，虽然不难，也需要学过立体几何。
但出题的老师的数学显然很滥!!! "What is the maximum volume of the inscribed dodecahedron?" 内切正十二面体的体积是固定的，只有唯一值。
哦哦 只要一个平面上其实算一个面（这么一说好有道理），学到了 😂
max说法非常奇怪，因为对应的正十二面体有且只有一个。另外题目也有语法错误，不知道是球内切十二面体还是十二面体内接在球上。
lz应当给真正的原题
题目说了是regular dodecahedron. 然后，证明“正十二面体的体积最大”这个恐怕比你想象的要困难得多。我觉得可能是博士级别的问题。 事实上，除了四面体，我没有找到任何关于 “圆内接的n面多面体里，正多面体是体积最大的” 的证明。在此之上，除了对正四面体一定是成立的、以及对正方体我猜测是成立的之外，我猜测对其他三个这很可能是不成立的。我好像找到了一个反例，有空发SE问问有什么这方面的研究。
对，正十二面体只有一个，但是十二面体有好多个
数学简单的原因就是小孩蠢，程度差，老师教的就简单，所以数学简单。
数学难的原因就是小孩聪明，程度高，老师往高了教，再不行，拉出去县里开小灶，所以数学难。
那些嘲笑自家小孩在美国读中学还在学四则运算说白了就是不但小孩蠢，而且爹娘更蠢。
有点脑子的家长打死不说美国数学简单，也不会说美国读书容易。。
就按照下面这四个12面体看，可能考虑如下证明，但可能不对哈。 按照对称性，他们的端点数相同，所以每两个12面体肯定可以重合所有端点。 如果重合了的话，显然图一正四面体是体积最大的，因为它总是包含了其他三个形状。
问的不是这个问题。如果只比这四个，显然凸十二面体要比另外几个凹的体积大…… 他提到的一步是证明所有的 十二面体 里，正十二面体体积是最大的。所以可以有各种稀奇古怪的形状……比如上面四个三角形，中间一圈四个长方形，下面再四个三角形这种也要拿来比。
正多面体体积最大，用数学归纳法就行了
如果原题已经写了正十二面体，那确实不能永max，正十二面体是唯一的
同意，我娃读公校，我觉得各科都好难啊
按照脑残网上的说法，绝对读了一个假公立
regular的话只有这四种吧，wiki似乎这么说的。
数学归纳法没法用在这里…… 除了四面体 (四面体特殊是因为 它一定有4个顶点，而且是4个三角形组成，所以证明很简单)，对于更多面的情况这是个极其复杂的问题。 我没找到关于这方面的研究，但是把“面”改成“点”的研究 (单位圆内接的体积最大的 n顶点多面体是什么形状？) 有不少，都是非常复杂的，而且已经证明的最高顶点数是8。多面体的话有可能更复杂。
不用“如果”。题目已经说了regular。
这就是一个套公式题，楼主自己没搞懂还拿出来以为可以炫耀
赞钻研精神，我以为是常识呢，原来这么难证呀
如果让我证明，我就从多元函数求导入手找最大体积
写个优化程序应该可以解决吧
对，套公式，所以我说简单么
你可以参考 http://www.matrix67.com/blog/archives/5503 https://math.stackexchange.com/questions/979660/largest-n-vertex-polyhedron-that-fits-into-a-unit-sphere 程序已经有人做了，给出了顶点数最高130的计算结果。(http://neilsloane.com/maxvolumes/index.html) 但是，只有顶点数等于 4 5 6 7 8 是已经获得证明是最大的，也就是说，剩下的全都不确定，有可能过两天就算出来一个体积更大的。程序当然可以算，但是不可能替代证明……
什么是数学320， 相当precalculus.? 公校还是私校?
正十二面体公式是基于边长的。这题要通过用半径算出边长，要多不少计算。
正方体对角线 = 球体直径 = 2R （1+Sqrt(5))/2 * 正五边形边长 = 正五边形对角线 = 正方体边长 = 2R / Sqrt(3) 正五边形边长 = 4R / 【Sqrt(3) *（1+Sqrt(5)）】
题目没问题 内切不一定所有顶点都内切 所有顶点都内切的是体积最大的
9年纪是高一。 准确来说也介于 初三和高一之间。 因为美国的高中是4年的。 9 - 12.
https://en.wikipedia.org/wiki/Circumscribed_sphere
In geometry, a circumscribed sphere of a polyhedron is a sphere that contains the polyhedron and touches each of the polyhedron''s vertices.
真的，who cares她和德国
加1，出题老师的表达有问题
已屏蔽她，结果一页帖子就剩两三个，水的太厉害了 😂
我觉得就是一个很滥的数学老师，网上抄来的题，自己都不懂。 不觉得任何美国9年级高中教立体几何。
额，你这书上的问题也就是数几个面几条边这种小学生都可以做的题，没有求体积啊
翻了2本geometry的教科书，都是fun project系列的，简单的介绍了一下概念，其他的没有了。书里没有体积公式。