这道高考数学题 30万人仅3人做对 连出题人都做错了

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Toutiao
最新回复:2020年6月16日 2点26分 PT
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把科学带回家

1982年5月1日的美国高考数学卷有这样的一道题—— 

 

咱们先审题,这道题是说,小圆的半径只有大圆的三分之一;如果小圆绕着大圆滚回原位,那么它转了多少圈?

 

备选项有5个,这个不用翻译大家也能看懂。

 

先不说答案,你会选什么?

 

相信很多人会选 B,这道车祸现场题的出题人也是这么考虑的。

 

如果把大圆圆周拉直,那么它的长度应该是小圆圆周的3倍,所以小圆绕着它会滚3圈对吗?

 

并不。

 

不信的话,我们动手实操一下。

 

大家看,小圆绕了大圆四分之一的时候,已经转了一圈了——

 

 

绕大圆一整圈的话,实际上小圆转了4圈。所以正确答案是4,并不在任何一个选项里。

根据出卷方美国大学理事会(College Board)的事后声明,这场美国高考出卷方的答案是错的,而在当时参与这场考试的30万考生里,只有3个考生给出了正确答案。

 

最后,明明是美国大学理事会做错了,除了那三人,所有人的分数都被扣回去了。

 

纽约时报1982年5月25日对这次高考数学题出错事件的报道(白框)

 

30万人里只有3人做对,其实是因为这个现象太不可思议了,因此它在数学上也得到了赐名——硬币悖论(coin paradox)。

 

如果是用两个半径一模一样的圆来玩的话,我们发现,其中一个绕另一个公转了半圈的时候,实际上它已经自转了360度了。如果绕另一个圆公转一整周,那么它自转了720度,也就是2圈。

 

这种题有没有套路解法呢?其实是有的,答案就是:公转的圆的圆心画出的圆的半径和这个圆的半径之比。在下图里,就是绿色的这个圆的半径和小圆的半径之比。

 

以1982年那道高考题为例,公转的圆心的轨迹是个圆,而且它的半径是小圆的4倍,所以是转4周。

 

如果两个圆直径一样,公转的圆心绕过的圆形轨迹的半径是它的2倍,所以是转2圈。

所以硬币悖论到底是怎么产生的呢?

 

大家来画重点了,硬币悖论的本质,在于公转的圆的每一个点画出的路径并不是圆形,而是腰子的形状——肾形线。

肾形线(红色)

如果两个圆半径相等,那么轨迹就是另外的器官——心脏线。

 

心脏线(蓝色)

其实,解硬币悖论的思路也可以用来解答亚里士多德在公元前4世纪提出的另一个绊倒了许多人的悖论。

 

在《论力学》(Mechanica)这本书中,问题很多的亚里士多德给大家出了这样一个问题:

一个半径为 R 轮子在地上滚一周,在没有发生滑动摩擦的情况下,轮子上每一个点行走的距离都是 2πR 对吧?

 

这个轮子可以看作是很多小轮子一个一个套娃套出来的。小轮子相对大轮子也没有发生滑动摩擦,大轮子滚一周,小轮子也滚一周。可是,小轮子的半径 r 明明比大轮子小啊,为什么小轮子上任意一点的行走距离也是 2πR 呢?

 

这个悖论也被称为亚里士多德圆桶悖论(Aristotle's wheel paradox)。两千年来,这道题成了众多世界驰名理科生的送命题。

 

比如,伽利略的解法是,如果把圆形轮子看作是有很多个边的多边形构成的,那么小轮子在滚的时候,跳过了一些空隙...总之伽利略的意思是这样的——

多边形在滚动的时候,中间的小多边形上的任意一点是跳着前进的,并没有走完大多边形的全程。伽利略由此推论,圆形也是相同的情况。

这道题使他深信,如此一来,轮子就是用带有无穷多孔隙的材料制成的,因此物质必然是用很小的颗粒,也就是原子构成的。

等等教练,原子论还可以这样推?

但是利用做美国高考那道题的思路,我们就能越过伽利略的无穷脑“洞”,得到这个悖论的解法了。

 

实际上,和直觉不一样,大圆上的每一个点行走的路径长度并不是2πR,而是大于2πR,画出来是这样的线条,头秃吧。

 

这个线叫做摆线。

 

同理,小圆上的每一点画出来的轨迹也不是直线,也是摆线,只不过小圆的摆线长度比大圆的摆线要短,因为圆滚一周,摆线长度是半径的8倍。

亚里士多德的这个悖论还可以得出集合论中的一个推论:不管2段线段各自有多长,它们所拥有的点的数量都是一样的;任何一个线段上的任何一点,都可以在另一个线段上找到对应物。

这个推论放到整数里也是成立的:所有偶数的数量等于所有整数的数量。

话说回来,其实在生活中心脏线还挺常见的。

 

相信你见过圆形杯子里液面的这种柯基臀部形状的反射光斑吧——

圆锥形杯子里液面的心脏线

 

它就是心脏线的形状。这是因为,当入射光和圆锥斜边,也就是杯壁平行时,圆锥的回光线(一束光射到曲面上,反射回来的线条)就是屁股线。

在液面,入射光在锥形杯壁的反射光可被看作点光源,它会形成新心脏线形状的回光线。

心脏线还有和日常生活中一个大家熟悉,但始终不明白原理的现象有关。

 

歌手们飙高音的时候,为什么要把麦拿远呢?

 

其实,这是因为大多数的麦,也就是风靡了50年的SM58麦接收声音的范围是心脏线勾勒出的形状的——

大多数麦克风是心型指向的,也就是说只有在心形区域的声音,才能得到有效接收。

 

这种麦也叫心型指向的,它可以有效屏蔽麦克风后面的声音,比如观众声浪的声音。所以歌手们要让粉丝合唱的时候,就必须把麦对准观众。

心型指向的麦克风还有一个特点,那就是拿太近时会产生近接效应(proximity effect)——低音会放大。反之,拿远的时候,低音炮就被弱化了。所以在飙高音的时候,为了突出高音部分,KTV歌手们就会把麦拿远。

我们来看一下这个大哥的实地演示——

近接效应:心型指向的麦克风靠近声源时,低音部会被放大,反之减弱。

 

全向式麦克风,也就是可以接受以麦克风为中心的球内的声音的那种就没有这种现象。

c
cadog
1 楼
Very interesting
关注者
2 楼
做对了很了不起吗
n
noknow_
3 楼
👍
n
noknow_
4 楼
不涂。
s
silentfire
5 楼
说这么复杂,其实就是因为大圆本身这一圈要算上,3+1=4
n
nh5poreo
6 楼
大圆展开成直线,小院走了3圈,加上大圆一圈,就是4 圈。这道题的问题是一答案错的。 尔,旋转的参照系要明确。如以大圆圆心为参照,只转了3圈。
j
jkl1819
7 楼
并没有什么难的阿,难怪我在5个答案中找不到数字4,
填写基本资料
8 楼
30万再蒙 也有百分20猜对吧?
r
realreal
9 楼
多些这样的新闻多好
l
liuyuanren88
10 楼
那3个人一定是手写了答案,然后向考试委员会申辩,给出正确答案的理由。考试委员会调取试卷看看,手动加分,再用机器将选择原来正确答案的都自动改成零分。。
l
lids
11 楼
太阴了这题,想了半天选了C
v
voila660
12 楼
不会蒙. 因为这是一道异于常识的问题. 比如别人问你1+1等于几.大家肯定都会答2. 可是答案却不是.
j
jolly11
13 楼
告诉你这是难题,你做出来了,没啥 这题应该是放在容易题区,你随便做做也能做出来,那才叫厉害
疯了吧
14 楼
有没有数学大神解答一下啊?本人认为自己数学够好了,大圆的周长是小圆的三倍,把大圆用剪子剪开,同时把小圆也用剪子剪开,大圆正好是放仨个小圆。大家仔细看肾型线的动图,大圆的半径是小圆的两倍,就是说大圆的直径是小圆的两倍,从动图中可数出小圆自转了两圈。心型图那张也是,大圆和小圆半径一样周长也一样,从动图数外面的园也是转了一圈回到原点。这俩都没有加一圈的问题。是我自己太傻,还是自媒体又扯淡呢?
v
voila660
15 楼
大家都犯了一个错误。原来一个圆走了多少路径,就是算圆心走的路径。学习了一个新知识。
咖啡色围巾
16 楼
1982年的试卷,应该是人力判的吧。
X
XXyourOO
17 楼
这个是真的考验人的数学能力,空间想象能力,比国内小学热衷的各种无聊的脑筋急转弯题强多了!
疯了吧
18 楼
我也明白了,其实是对于2D条件下一1D条件下转动的定义不同转动的定义不同。通过在在另一个方向的运动,使得园没有滚完一个周长,就形成了一次转动。
v
voila660
19 楼
如果换成小圆在大圆里面,要多少圈呢?2圈吗?
走马读人
20 楼
77億人仅1人做对. 都错了 解密英漢字豈止於解字,更關乎神祕學 巧繪圖文連不僅是學術,尤其能大眾化--橫空出世
一年之计
21 楼
这个题目不够清楚地定义什么叫"一圈",是(1)小圆回到与大圆的切点算一圈,还是(2)转了360度算一圈。如果是(1)答案是3圈,如果是(2)答案是4圈,因为小圆绕着大圆本身就有一圈了。所以文章解释答案不好理解。
c
cowboy1921
22 楼
: 我咋看3圈是对的答案呢? 大小圈的接触点{起始点}是小圈的正下方的那一点,以那一点为开始,确实是接触了大圈3次,而不是4次。小圈在运动的时候回到了正面是4次,但他每回到正面的时候和大圈接触的点都不一样,所以小圈在正面的时候,不是小圈转了一圈。
d
david704
23 楼
: 这是美国。1982年也是答题卡. 1972年就开始用了
曼城勇士
24 楼
差点被小编忽悠了,这题绝对是3圈,小编肯定胡编乱耍大家的,题目问的是小圆转了几圈,却扯到摆线,那是两回事,摆线是圆上的任意点走过的路径。
不明智
25 楼
正确答案:3
曼城勇士
26 楼
楼下那些回答4的就是装比失败,哈哈,认真看看那两个肾图和心脏图,分别就转了两圈和一圈
不明智
27 楼
标准答案:3 硬币那个图,小的是大的1/4, 所以转4圈。
西
西部牛仔
28 楼
靠,想了半分钟,非常确认是3圈。打死也算不出四圈来
西
西部牛仔
29 楼
小编无耻,乱忽悠,3绝对正确
春哥铁汉
30 楼
有点意思,因为公转的轨道是圆形,所以小圆算是多转了一圆。其实是个参照系的问题,从绝对的上下左右来看是4圈,但如果是以大圆圆心作参照的话,是3圈。
t
tinyL
31 楼
选择没有给出的正确选项,快告诉我怎么选……金手指在哪?
伤心小便池
32 楼
是我自己蠢看不明白吗? 看那个实物图,从C字下面开始算,回到C字下面算一圈的话,不就是三圈吗??????????
g
gamma
33 楼
按小圆心旋转是3圈。说四圈是以保持南北同一方向为一圈,这和以圆心转360度为一圈不一样。公认revolution定义是角旋转360度为一圈。正确答案是3圈。 -高考-
曼城勇士
34 楼
纠正之前错误,仔细看下确实应该是4圈,
g
gamma
35 楼
说3个学生说4圈才做对也是骗人的。根本就没四圈的选项,就没地方能“答对”。 - 电子计分-
飞翔的鱼头
36 楼
妈的 多一点这种头条不好吗 天天花边新闻 崩溃了 惊呆了之类的烦不烦
飞翔的鱼头
37 楼
曲线是有弧度的 我们用直线的长度衡量曲线 直观上犯了错误
c
cranberry
38 楼
有意思吗
a
alien
39 楼
题目很明显写的是小圆转了多少圈。这就是用小圈作为参照来决定小圈转了多少圈。所以小圈180度那点(接触点)只要再次在小圈的180度最下方的时候就算小圆一圈。所以答案是4。 这个问题如果做物理,和工程多的应该一看就是reference frame的比较。这不难。 难的是那个Aristotle's wheel paradox. 同心圆里面的小圆为什么也可以和大圆一样走大圆半径R 的2piR. 这文章没有解释为什么。看了Wikipedia 才发现原来这是red herring, 就是伪命题。因为圆的周长2piR 只适用于这个独立的圆。圆里面的同心圆根本不是一个独立的圆,是大圆里面的一部分,当然和大圆一期走同样距离,而不可能用小的同心圆半径r 来说为什么不是2pi r. 这其实就是圆周的定义是适用于独立的圆来计算圆滚动的距离,而不适用于这圆里面的的同心圆的更小的半径来看滚动距离。小半径的同心圆当然也可以用小的半径来算真正的小圆圆周,只不过不可以来计算和比较滚动距离,根本是伪命题或者说混淆视听
b
bwolf
40 楼
3并没有错,这还是道文字游戏。 还可能不自转,就绕一圈呢!
少爷可用
41 楼
有点意思,多些这种帖子还能学点东西
少爷可用
42 楼
就是一个参照系的问题,以大圆圆心为参照系,小圆走了三圈,以地面为参照系,是走了四圈
泉水
43 楼
小圆走的路径是2*pi*(3+1)r. 它的周长是2*pi*r. 一除不就是4吗?
少爷可用
44 楼
就是一个参照系的问题,以大圆圆心为参照系,小圆走了三圈,以地面为参照系,是走了四圈。 不过这个答案中,本来小圆就是围绕大圆转的,你不能还以垂直向下为判断一圈的标准啊,那得是在水平面上才行,所以说到底还是走了三圈。
f
flmask2014
45 楼
这比明星的八卦新闻和厉害国的吹牛抹黑新闻有看点多了!
l
linh
46 楼
确实没看懂。把大圆展开成一条直线。小圆在上面要滚9圈才能到头啊。
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gutian259
47 楼
这其实就是理论力学概念里的刚体运动问题。小圆上任意一点相对于地面的运动等于小圆绕自身圆心的转动和这一点相对于大圆圆心的运动的矢量合成。 此问题问的如果是小圆绕自身转动几圈,答案是3;如果问的是相对与地面转动几圈,那答案便是4了。 亚里士多德的那个谬误问题也可以这样理解。内圈任意一点的水平运动轨迹是其绕自身圆心的运动矢量和共同的圆心相对地面运动矢量的合成,其水平运动距离的大小不是内圆某点“绕场一周”的长度。
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gutian259
48 楼
应该是三圈。圆周长比等于半径比,不是面积比。半径比是3,那周长比也是3.
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linh
49 楼
对对。不发生错位的情况下、滚三圈就到头了啊。怎么会4圈。看了这么多评论、也没看明白。
w
wanggang940602
50 楼
Very interesting
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yejata
51 楼
小圆的那一点接触大圆周长确实三次,所以说三周也没错,要错是出题人没有说清参考系。
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nh5poreo
52 楼
: 其实就是天体的自转和公转。自转3圈,公转一圈。 旋转是要有旋转中心参考点的。机这是两个不同参考点。也就是这道题的旋转定义出了问题。题目没有指明那个是旋转中心参考点。 数学里面旋转是有明确定义的。
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gutian259
53 楼
应该这么说-如果按照大圆的圆周弯曲路径为静止参照系(假设观察者视角跟着接触点跑),他看到的小圆转了三周。但是如果观察者站在固定的地面上,小圆确实转了四周。
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greentee
54 楼
半径差3倍,难道周长不是6倍???