最折腾人的数学问题
蒋闻铭
这一篇我们聊三体问题。开普勒行星运动的三大定律,是他根据第谷的观测数据硬描出来的。后来有了微积分,有了牛顿力学,又有了万有引力定律,牛顿就搞了一个极端简化的宇宙模型。他写了一组微分方程式,研究两个质点在相互的引力作用下的运动轨迹。这就是牛顿的二体问题了。有了方程就求解。解出来一看,二体问题的解,和开普勒的三大定律,是一回事。数学一般是先有了方程再求解。现代天体力学,倒过来,先有解后有方程。
二体问题解决了,下面就轮到了三体问题。太阳系如果只算太阳地球,就是二体问题。但是如果把木星也算上,就成了三体问题。作为数学问题,二体问题的解,简洁完美,到了三体问题,就要了命。任牛顿怎么折腾,就是解不出来,最后搞得他害头疼。这个是他自己在书里说的。不单是他,后来的数学家,整个十八世纪十九世纪,有一个算一个,拉格朗日,拉普拉斯,柯西,欧拉,高斯,庞加莱,都被这个三体问题,折腾得不要不要的。
不过呢,不管数学家们怎么折腾,这个三体问题,却是越折腾越没指望。折腾到后来,连究竟要怎样,才算是把三体问题解决了,大家都没能弄得明白。别的数学问题,费马大定理,庞加莱猜想,黎曼猜想,哥德巴赫猜想(这个列在这里有些不伦不类,不够资格,不过知道它的中国人多,马马虎虎吧),这个定理,那个猜想,再难,解决没解决,总有个明确的说法。这个奇葩的三体问题,作为数学问题怎么才算是被解决了,到现在连个明确的说法都没有。说三体问题,是从古到今,最难的数学问题,恐怕没人会不同意。
搞不出精确解,就搞近似解。什么意思呢?算月亮的轨道,第一要考虑的,是地球的引力,其他不考虑,就是二体问题。但是因为有其他天体,所以月亮的真实轨道,和二体问题的解,就有误差。这个误差,以古人的观测手段,测不出来,所以可以忽略不计。但是后来观测精度提高得贼快,看月亮成了定海船的位置的主要手段,二体问题就不行了,要考虑太阳的吸引力。这就成了三体问题,解不了。不过太阳毕竟离得远,对地球月亮的相对运动,影响不大。所以就先把地球月亮,用二体问题的解,做为起始,把太阳的影响,当着是对二体问题的解的小扰动。月亮地球是两口子,太阳长得俊,老在人家面前晃,对这两口子的关系,还是有些小影响。
这个影响什么时候是多大,算起来可就要了命。但是航海有需要,多难多烦都得算。这样的计算,和哥白尼当年的那十几个轮子比,要麻烦成千上万倍。 这就是天体力学的摄动理论了。算轨道摄动,先要推公式,后要算具体的位置。举个例子,美国当年有个天体力学家C.W. Hill,算月亮全世界有名,先花了十年推公式,再用他推的公式算月亮的具体位置。算月亮的位置,需要雇几屋子的人一起算。
摄动理论最有名,最轰动的成就,是发现海王星。当年的天文望远镜,做起来没那么难。所以一大帮人,天天拿着望远镜看天,指望着发现点什么新鲜的,青史留名。还真有一位,发现了天王星。不过天王星的轨道,大家算来算去,总算不准。有人就说算不准,恐怕是因为还有其它大家不知道的行星,在做扰动。这么一说,就有人当了真,对自己说能不能算算看,这个未知的行星,需要有多大多远,轨道是什么样子,才能对天王星的运动,产生现在观测到的偏差。他应用摄动理论,算了几年,出了结果,说某月某日,这颗以前我们不知道的行星,应该出现在某个位置上。到了时候,拿望远镜一看,果然有一颗星在那里。这就是海王星了。
当然现在有了计算机,算行星的轨道,人造卫星的轨道,就用不着手推公式了。 人造卫星刚出来的时候,算轨道也还需要用手推公式。只是最近这三十年,计算机真正发达了,算轨道就完全不用手推了。结果就是现在,算行星轨道的,和研究三体问题的,正式分了家。算轨道的,在天文系和行星科学系。把三体问题当数学问题研究的,都在数学系。
最折腾人的数学问题
蒋闻铭
这一篇我们聊三体问题。开普勒行星运动的三大定律,是他根据第谷的观测数据硬描出来的。后来有了微积分,有了牛顿力学,又有了万有引力定律,牛顿就搞了一个极端简化的宇宙模型。他写了一组微分方程式,研究两个质点在相互的引力作用下的运动轨迹。这就是牛顿的二体问题了。有了方程就求解。解出来一看,二体问题的解,和开普勒的三大定律,是一回事。数学一般是先有了方程再求解。现代天体力学,倒过来,先有解后有方程。
二体问题解决了,下面就轮到了三体问题。太阳系如果只算太阳地球,就是二体问题。但是如果把木星也算上,就成了三体问题。作为数学问题,二体问题的解,简洁完美,到了三体问题,就要了命。任牛顿怎么折腾,就是解不出来,最后搞得他害头疼。这个是他自己在书里说的。不单是他,后来的数学家,整个十八世纪十九世纪,有一个算一个,拉格朗日,拉普拉斯,柯西,欧拉,高斯,庞加莱,都被这个三体问题,折腾得不要不要的。
不过呢,不管数学家们怎么折腾,这个三体问题,却是越折腾越没指望。折腾到后来,连究竟要怎样,才算是把三体问题解决了,大家都没能弄得明白。别的数学问题,费马大定理,庞加莱猜想,黎曼猜想,哥德巴赫猜想(这个列在这里有些不伦不类,不够资格,不过知道它的中国人多,马马虎虎吧),这个定理,那个猜想,再难,解决没解决,总有个明确的说法。这个奇葩的三体问题,作为数学问题怎么才算是被解决了,到现在连个明确的说法都没有。说三体问题,是从古到今,最难的数学问题,恐怕没人会不同意。
搞不出精确解,就搞近似解。什么意思呢?算月亮的轨道,第一要考虑的,是地球的引力,其他不考虑,就是二体问题。但是因为有其他天体,所以月亮的真实轨道,和二体问题的解,就有误差。这个误差,以古人的观测手段,测不出来,所以可以忽略不计。但是后来观测精度提高得贼快,看月亮成了定海船的位置的主要手段,二体问题就不行了,要考虑太阳的吸引力。这就成了三体问题,解不了。不过太阳毕竟离得远,对地球月亮的相对运动,影响不大。所以就先把地球月亮,用二体问题的解,做为起始,把太阳的影响,当着是对二体问题的解的小扰动。月亮地球是两口子,太阳长得俊,老在人家面前晃,对这两口子的关系,还是有些小影响。
这个影响什么时候是多大,算起来可就要了命。但是航海有需要,多难多烦都得算。这样的计算,和哥白尼当年的那十几个轮子比,要麻烦成千上万倍。 这就是天体力学的摄动理论了。算轨道摄动,先要推公式,后要算具体的位置。举个例子,美国当年有个天体力学家C.W. Hill,算月亮全世界有名,先花了十年推公式,再用他推的公式算月亮的具体位置。算月亮的位置,需要雇几屋子的人一起算。
摄动理论最有名,最轰动的成就,是发现海王星。当年的天文望远镜,做起来没那么难。所以一大帮人,天天拿着望远镜看天,指望着发现点什么新鲜的,青史留名。还真有一位,发现了天王星。不过天王星的轨道,大家算来算去,总算不准。有人就说算不准,恐怕是因为还有其它大家不知道的行星,在做扰动。这么一说,就有人当了真,对自己说能不能算算看,这个未知的行星,需要有多大多远,轨道是什么样子,才能对天王星的运动,产生现在观测到的偏差。他应用摄动理论,算了几年,出了结果,说某月某日,这颗以前我们不知道的行星,应该出现在某个位置上。到了时候,拿望远镜一看,果然有一颗星在那里。这就是海王星了。
当然现在有了计算机,算行星的轨道,人造卫星的轨道,就用不着手推公式了。 人造卫星刚出来的时候,算轨道也还需要用手推公式。只是最近这三十年,计算机真正发达了,算轨道就完全不用手推了。结果就是现在,算行星轨道的,和研究三体问题的,正式分了家。算轨道的,在天文系和行星科学系。把三体问题当数学问题研究的,都在数学系。