与三门问题等价的色球问题。

盒中有3球，1黑2白，依次取2球第1球取出颜色未知，余下二球中取第2球是白球，问盒中第3球是黑球的概率？

Chatgpt与Gemini有不同的答案。

chatgpt的解答：

在这种情况下，我们可以使用条件概率来计算盒中第三球是黑球的概率。

事件A表示第一次取出的球是黑球，事件B表示第二次取出的球是白球，事件C表示盒中第三球是黑球。

首先，计算事件A和事件B同时发生的概率，即P(A ∩ B)。由于第一球颜色未知，所以取出白球的概率为：P(白球) = P(白球|黑球) * P(黑球) + P(白球|白球) * P(白球) = (2/3) * (1/3) + (2/2) * (2/3) = 4/6 = 2/3。

然后，计算事件A和事件B同时发生的概率，即P(A ∩ B)。在第一次取出的球是黑球且第二次取出的球是白球的情况下，即事件A和事件B同时发生的概率为：P(A ∩ B) = P(黑球) * P(白球|黑球) = (1/3) * (2/3) = 2/9。

最后，根据条件概率，我们有P(C|A ∩ B) = P(A ∩ B|C) / P(B)。其中P(A ∩ B|C)表示在第三球是黑球的条件下，第一次取出的球是黑球且第二次取出的球是白球的概率，因为每次取球都是独立的，所以P(A ∩ B|C) = P(白球|黑球) = 2/3，P(B)我们在前面已经计算出来了。

将这些值代入公式中，我们得到：

P(C|A ∩ B) = (2/9) / (2/3) = 1/3。

因此，盒中第三球是黑球的概率为1/3。

公式多，慢慢体会。结论是换了只有 1/3 机率？ ：）

要培养感觉，不是套公式。第二球总是白球，不是随机选取，含有新的信息，第三球是黑的概率增大，2/3

如果第一球是白的，第三球肯定是黑的，因为第二球给定是白的。所以第三球是黑的概率等于第一球是白球的概率。2/3

如主持人随机取出第二球为白球，Chatpgt的答案如是，Gemini则为2/3。

第二次是两球中随机选择结果为白，故这两球中一黑一白的概率为1/2，如何得出第三球为黑球概率为1/2呢？

结论是随机不随机第三个是黑球的概率均为2/3么？

也就是说你的推导里还应包括如果第二次抽到黑球的事件，总机率里是不是也应有这个条件？

能否加抄一份 2/3 的推导，谢谢：）

人工智能在一本正经地胡说八道

尝试用贝叶斯定理理解色球问题

当取出第一球颜色未知时，其为黑球概率为1/3，余下两球是白球的概率是1/3，一黑一白的概率是2/3。

当剩余两球取出第二球是白球时，用贝叶斯定理，则余下两球均是白球概率是 1/2，一黑一白概率亦为1/2。然而有2/3的概率白球来自两球均为白球，只有1/3的概率来自一黑一白。似乎第一球为黑色赢面大。

余下两球均为白球等价于第一球为黑球，考虑事件A即随机抽取为余下两球之一为白球，事件B为余下两球均为白球的概率，

P(BIA)=P(AIB)•P(B)/P(A)=2/3•1/3/(2/3•1/3+2/3•1/3)=1/2

哈哈，我也觉着是呢~

应该是百分之五十，一半

三球：你把一只白球放在一边（如从口袋外面捏住它），第二次时取。这时候，第一次和第三次取白球和黑球的概率相等。

把我写的大致打进去，挑战Chat GTP，它一定马上会说：I am sorry...blabla。。。

这是ChatGPT的作业吗?有点乱啊, 不过这也许能提供主持人不知情的思路. 我来整理一下

问题: 盒中有3球，1黑2白. 取第1球颜色未知，取第2球是白球，问盒中第3球是黑球的概率？

 

事件A: 第一次取出的是黑球

事件B: 第二次取出的是白球 , 这包括第一次取的是黑球和白球2种情况

事件C: 盒中所剩第三球是黑球

 

第一步, 求第二球是白球的概率, 即P(B):

可用全概率公式分成2种情况:

第一次取的是黑球A, 其概率为P(A) 第一次取的不是黑球(~A), 其概率为P(~A)

 

P(B) = P(B|A) * P(A) + P(B|~A) * P(~A)

    = 1 * (1/3) + (1/2) * (2/3)

    = 1/3 + 1/3

    = 2/3

 

ChatGPT的计算不对, 结果碰巧也是2/3.

 

实际上, 不用算也能知道, 当你不知道第一个球时, 第二个球是白的概率就是原来的2/3.

 

第2步:  计算A, B同时发生的概率(A ∩ B), 即第一次取出黑球, 第二次取出白球.

 

如果第一次取出黑球, 那么第2次取出的只能是白球, 所以概率就是第一次取出黑球的概率1/3.

 

Chatgpt用的是乘法公式(链式法则, 其实就是把条件概率的定义挪一下), P(A ∩ B) =P(B|A)P(A), 但P(B|A)表示的是第一次黑球, 第2次取白球, 所以应该是1. Chatgpt把AB与黑球白球混为一谈了, 用的是黑球白球原来的分布.

 

而且, 这一步本身就是第1步的情况(i), 上面算的也是1*1/3=1/3.

 

第3步:

P(C|A ∩ B) = P(A ∩ B|C) / P(B)哪来的? 贝叶斯公式 还是 链式法则?

Gemini更乱。

拿来看看

你这个清楚：）只是我不明白主持人不知情，Monty Hall 游戏是怎么处理主持人开的门 正巧有奖的，请解惑：）

我看了一些计算机程序，简单粗暴的方法就是把＂主持人＂开门拿到车的情况跳过：）

比如这个

https://stackoverflow.com/questions/1247863/is-this-a-good-or-bad-simulation-for-monty-hall-how-come

 

让我想一个统计学家的笑话, 为什么统计学家都是脖子短, 前额光

一问问题就缩脖

一告诉他答案就拍脑门

如果是随机选择为白的条件下，结果是1/2没错。随机为白的概率是2/3，第三球的无条件黑的概率1/3，相除，1/2

Gemini答案

问：盒中有3球，1黑2白，依次取2球第1球取出颜色未知，余下二球中取第2球是白球，问盒中第3球是黑球的概率？

 

答案是 1/3。

解法一：

使用条件概率公式：

P(C|A ∩ B) = P(A ∩ B|C) / P(B)

其中：

C：盒中第三球是黑球 A：第一次取出的球是黑球 B：第二次取出的球是白球

我们已知：

P(B) = 2/3

因为第一次取出的球颜色未知，所以：

P(A) = 1/3

在第三球是黑球的条件下，第一次取出的球是黑球且第二次取出的球是白球的概率为：

P(A ∩ B|C) = P(白球|黑球) = 2/3

将这些值代入条件概率公式，我们得到：

P(C|A ∩ B) = (2/9) / (2/3) = 1/3

解法二：

使用抽签原理：

因为第一次取出的球颜色未知，所以我们可以将其视为一次抽签，共有 3 个球，其中 1 个是黑球，2 个是白球。

第二次取出白球的概率为：

P(白球) = 2/3

这意味着，在第一次抽出的球中，有 2/3 的概率是白球。

因此，在第二次抽取白球之后，盒中剩下的 2 个球中，有 1/2 的概率是黑球。

所以，盒中第三球是黑球的概率为：

P(C) = 1/2 * 2/3 = 1/3

结论：

盒中第三球是黑球的概率为 1/3。

模拟看的是频率, 只要重复次数多, 跳过一些没有问题.

所有这些 GAI 都是自然语言模型不是数理模型。这题和三门一样用贝叶幸公式迎刃而解，不管第二球是随机还是故意

呵呵，有意思~

讲真，如果你每次只挑选当第二个球是白色时，然后记录下第三个球是黑色或者是白色的几率，肯定是五十：五十，一半

一旦有跳过操作，结果就是知情的结果。我不明白不知情怎么操作：）

怎么处理都可以，不同的处理方式有不同的获奖率而已。

知情就不会开车门, 只有不知情才会跳过

不明白为什么从P(C ｜A ^ B）出发，A代表第一个是黑，那C就不可能是黑吧。看来A I 还没搞定Monty Hall

同意：）用我表达：知情和不知情是两个不同的游戏，不能混在一起讨论。

不对吧，利用贝叶斯公式迭代，如第一次随机取白球，每次重复放回后随机取出仍是白球趋于无穷．．

则第一个球是黑球的概率为1/2，2/3，．．趋于1。

球还要放回去啊，我理解错了。每次放回去，那么第一个球应该无关。第二个球好像也无关吧：）））

这里是贝叶斯迭代。

只考虑余下二球，两白球的概率为1/3。

第一次随机取出为白球，两球为白的概率为2/3，先验概率为1/3，故取出一球为白球时两白球概率为1/2，即

P(BIA)=P(BIA)=P(AIB)•P(B)/P(A)=2/3•1/3/(2/3•1/3+1/3•2/3)=1/2

重新放回白球第二次随机取出为白球，两球为白的概率为2/3，先验概率为1/2，故第二次取出一球为白球时两白球的概率为

P(BIA)=P(BIA)=P(AIB)•P(B)/P(A)=2/3•1/2/(2/3•1/2+1/3•1/2)=2/3

重新放回白球第三次随机取出为白球，两球为白的概率为2/3，先验概率为2/3，故第三次取出一球为白球时两白球的概率为

P(BIA)=P(BIA)=P(AIB)•P(B)/P(A)=2/3•2/3/(2/3•2/3+1/3•1/3)=4/5

如果重复取球均为白球，则两球均为白球的概率趋于1意味第一个未知球为黑球的概率趋于1。

慢慢消化中，谢谢。想起来大学时有过讨论学习，后来一直没用就忘了，包括名称。但这跟三门的关系，脑子有点懵

这种题目都是玩弄文字游戏，利用语言的不确定性瞎掰

没有任何意义。根本问题就是一个“概率”根本就没说清楚事什么“总体”之下的概率，模糊了"总体"的定义，就不存在一个概率的问题，你说A它说我其实说的B，你说B它说我其实说的是A，这种诡辩没有任何意义。正确的答案就是你没说清楚你问的是什么，没有答案。

看了几期油管Bayesian iterations，感觉它是从不同层面或方面用概率，对事情判断的信心的判断，呵呵。但不懂

它在三门或色球选择上，如何提高选择的正确性。比如说，总体上得车的概率，总体上变换选择得车的概率等。

答案应是1/2

按我的理解，chatgpt的解答是有问题的。我以为1/2才是正确的答案。下面试图用不同的方法给出答案。

不妨假设三球分别放在3个不透明的口袋中，口袋依次标号1，2，3。

方法1：打开标号为2的口袋，发现是白球。这时1号和3号口袋完全是对称的，各自含黑球的概率是相等的，都是1/2。

方法2：就用chatgpt的方法。事件A表示第一次取出的球是黑球，事件B表示第二次取出的球是白球，事件C表示盒中第三球是黑球。也就是说事件A表示口袋1中是黑球，事件B表示口袋2中的球是白球，事件C表示口袋3中是黑球。

注意P(A∩B)=P(A)P(B|A)=P(A)，因为第一个是黑球，第二个必然是白球，即P(B|A)=1，所以根据条件概率公式，

P(A|B)=P(A∩B|B)=P(A∩B)/P(B)。P(B)=2/3, P(A∩B)=1/3，故P(A|B)=(1/3)/(2/3)=1/2。
类似有P(C|B)=1/2。
 
不知道chatgpt中的P(C|A ∩ B) = (2/9) / (2/3) = 1/3从何而来。A ∩ B表示第一个是黑球，第二个是白球，那么第三个必然是白球，即P(C|A ∩ B) =0，怎么会是1/3？

按照我對問題描述的理解，顯然是取出不放回，因此答案是1/2， 才三顆球，隨便排一排不到十秒即得解。