盒中有3球,1黑2白,依次取2球第1球取出颜色未知,余下二球中取第2球是白球,问盒中第3球是黑球的概率?
Chatgpt与Gemini有不同的答案。
chatgpt的解答:
在这种情况下,我们可以使用条件概率来计算盒中第三球是黑球的概率。
事件A表示第一次取出的球是黑球,事件B表示第二次取出的球是白球,事件C表示盒中第三球是黑球。
首先,计算事件A和事件B同时发生的概率,即P(A ∩ B)。由于第一球颜色未知,所以取出白球的概率为:P(白球) = P(白球|黑球) * P(黑球) + P(白球|白球) * P(白球) = (2/3) * (1/3) + (2/2) * (2/3) = 4/6 = 2/3。
然后,计算事件A和事件B同时发生的概率,即P(A ∩ B)。在第一次取出的球是黑球且第二次取出的球是白球的情况下,即事件A和事件B同时发生的概率为:P(A ∩ B) = P(黑球) * P(白球|黑球) = (1/3) * (2/3) = 2/9。
最后,根据条件概率,我们有P(C|A ∩ B) = P(A ∩ B|C) / P(B)。其中P(A ∩ B|C)表示在第三球是黑球的条件下,第一次取出的球是黑球且第二次取出的球是白球的概率,因为每次取球都是独立的,所以P(A ∩ B|C) = P(白球|黑球) = 2/3,P(B)我们在前面已经计算出来了。
将这些值代入公式中,我们得到:
P(C|A ∩ B) = (2/9) / (2/3) = 1/3。
因此,盒中第三球是黑球的概率为1/3。
结论是随机不随机第三个是黑球的概率均为2/3么?
能否加抄一份 2/3 的推导,谢谢:)
当取出第一球颜色未知时,其为黑球概率为1/3,余下两球是白球的概率是1/3,一黑一白的概率是2/3。
当剩余两球取出第二球是白球时,用贝叶斯定理,则余下两球均是白球概率是 1/2,一黑一白概率亦为1/2。然而有2/3的概率白球来自两球均为白球,只有1/3的概率来自一黑一白。似乎第一球为黑色赢面大。
余下两球均为白球等价于第一球为黑球,考虑事件A即随机抽取为余下两球之一为白球,事件B为余下两球均为白球的概率,
P(BIA)=P(AIB)•P(B)/P(A)=2/3•1/3/(2/3•1/3+2/3•1/3)=1/2
三球:你把一只白球放在一边(如从口袋外面捏住它),第二次时取。这时候,第一次和第三次取白球和黑球的概率相等。
问题: 盒中有3球,1黑2白. 取第1球颜色未知,取第2球是白球,问盒中第3球是黑球的概率?
事件A: 第一次取出的是黑球
事件B: 第二次取出的是白球 , 这包括第一次取的是黑球和白球2种情况
事件C: 盒中所剩第三球是黑球
第一步, 求第二球是白球的概率, 即P(B):
可用全概率公式分成2种情况:
P(B) = P(B|A) * P(A) + P(B|~A) * P(~A)
= 1 * (1/3) + (1/2) * (2/3)
= 1/3 + 1/3
= 2/3
ChatGPT的计算不对, 结果碰巧也是2/3.
实际上, 不用算也能知道, 当你不知道第一个球时, 第二个球是白的概率就是原来的2/3.
第2步: 计算A, B同时发生的概率(A ∩ B), 即第一次取出黑球, 第二次取出白球.
如果第一次取出黑球, 那么第2次取出的只能是白球, 所以概率就是第一次取出黑球的概率1/3.
Chatgpt用的是乘法公式(链式法则, 其实就是把条件概率的定义挪一下), P(A ∩ B) =P(B|A)P(A), 但P(B|A)表示的是第一次黑球, 第2次取白球, 所以应该是1. Chatgpt把AB与黑球白球混为一谈了, 用的是黑球白球原来的分布.
而且, 这一步本身就是第1步的情况(i), 上面算的也是1*1/3=1/3.
第3步:
P(C|A ∩ B) = P(A ∩ B|C) / P(B)哪来的? 贝叶斯公式 还是 链式法则?
我看了一些计算机程序,简单粗暴的方法就是把"主持人"开门拿到车的情况跳过:)
比如这个
https://stackoverflow.com/questions/1247863/is-this-a-good-or-bad-simulation-for-monty-hall-how-come
一问问题就缩脖
一告诉他答案就拍脑门
问:盒中有3球,1黑2白,依次取2球第1球取出颜色未知,余下二球中取第2球是白球,问盒中第3球是黑球的概率?
答案是 1/3。
解法一:
使用条件概率公式:
其中:
我们已知:
因为第一次取出的球颜色未知,所以:
在第三球是黑球的条件下,第一次取出的球是黑球且第二次取出的球是白球的概率为:
将这些值代入条件概率公式,我们得到:
解法二:
使用抽签原理:
因为第一次取出的球颜色未知,所以我们可以将其视为一次抽签,共有 3 个球,其中 1 个是黑球,2 个是白球。
第二次取出白球的概率为:
这意味着,在第一次抽出的球中,有 2/3 的概率是白球。
因此,在第二次抽取白球之后,盒中剩下的 2 个球中,有 1/2 的概率是黑球。
所以,盒中第三球是黑球的概率为:
结论:
盒中第三球是黑球的概率为 1/3。
则第一个球是黑球的概率为1/2,2/3,..趋于1。
只考虑余下二球,两白球的概率为1/3。
第一次随机取出为白球,两球为白的概率为2/3,先验概率为1/3,故取出一球为白球时两白球概率为1/2,即
P(BIA)=P(BIA)=P(AIB)•P(B)/P(A)=2/3•1/3/(2/3•1/3+1/3•2/3)=1/2
重新放回白球第二次随机取出为白球,两球为白的概率为2/3,先验概率为1/2,故第二次取出一球为白球时两白球的概率为
P(BIA)=P(BIA)=P(AIB)•P(B)/P(A)=2/3•1/2/(2/3•1/2+1/3•1/2)=2/3
重新放回白球第三次随机取出为白球,两球为白的概率为2/3,先验概率为2/3,故第三次取出一球为白球时两白球的概率为
P(BIA)=P(BIA)=P(AIB)•P(B)/P(A)=2/3•2/3/(2/3•2/3+1/3•1/3)=4/5
如果重复取球均为白球,则两球均为白球的概率趋于1意味第一个未知球为黑球的概率趋于1。
没有任何意义。根本问题就是一个“概率”根本就没说清楚事什么“总体”之下的概率,模糊了"总体"的定义,就不存在一个概率的问题,你说A它说我其实说的B,你说B它说我其实说的是A,这种诡辩没有任何意义。正确的答案就是你没说清楚你问的是什么,没有答案。
它在三门或色球选择上,如何提高选择的正确性。比如说,总体上得车的概率,总体上变换选择得车的概率等。
按我的理解,chatgpt的解答是有问题的。我以为1/2才是正确的答案。下面试图用不同的方法给出答案。
不妨假设三球分别放在3个不透明的口袋中,口袋依次标号1,2,3。
方法1:打开标号为2的口袋,发现是白球。这时1号和3号口袋完全是对称的,各自含黑球的概率是相等的,都是1/2。
方法2:就用chatgpt的方法。事件A表示第一次取出的球是黑球,事件B表示第二次取出的球是白球,事件C表示盒中第三球是黑球。也就是说事件A表示口袋1中是黑球,事件B表示口袋2中的球是白球,事件C表示口袋3中是黑球。
注意P(A∩B)=P(A)P(B|A)=P(A),因为第一个是黑球,第二个必然是白球,即P(B|A)=1,所以根据条件概率公式,
P(A|B)=P(A∩B|B)=P(A∩B)/P(B)。P(B)=2/3, P(A∩B)=1/3,故P(A|B)=(1/3)/(2/3)=1/2。 类似有P(C|B)=1/2。 不知道chatgpt中的P(C|A ∩ B) = (2/9) / (2/3) = 1/3从何而来。A ∩ B表示第一个是黑球,第二个是白球,那么第三个必然是白球,即P(C|A ∩ B) =0,怎么会是1/3?
盒中有3球,1黑2白,依次取2球第1球取出颜色未知,余下二球中取第2球是白球,问盒中第3球是黑球的概率?
Chatgpt与Gemini有不同的答案。
chatgpt的解答:
在这种情况下,我们可以使用条件概率来计算盒中第三球是黑球的概率。
事件A表示第一次取出的球是黑球,事件B表示第二次取出的球是白球,事件C表示盒中第三球是黑球。
首先,计算事件A和事件B同时发生的概率,即P(A ∩ B)。由于第一球颜色未知,所以取出白球的概率为:P(白球) = P(白球|黑球) * P(黑球) + P(白球|白球) * P(白球) = (2/3) * (1/3) + (2/2) * (2/3) = 4/6 = 2/3。
然后,计算事件A和事件B同时发生的概率,即P(A ∩ B)。在第一次取出的球是黑球且第二次取出的球是白球的情况下,即事件A和事件B同时发生的概率为:P(A ∩ B) = P(黑球) * P(白球|黑球) = (1/3) * (2/3) = 2/9。
最后,根据条件概率,我们有P(C|A ∩ B) = P(A ∩ B|C) / P(B)。其中P(A ∩ B|C)表示在第三球是黑球的条件下,第一次取出的球是黑球且第二次取出的球是白球的概率,因为每次取球都是独立的,所以P(A ∩ B|C) = P(白球|黑球) = 2/3,P(B)我们在前面已经计算出来了。
将这些值代入公式中,我们得到:
P(C|A ∩ B) = (2/9) / (2/3) = 1/3。
因此,盒中第三球是黑球的概率为1/3。
结论是随机不随机第三个是黑球的概率均为2/3么?
能否加抄一份 2/3 的推导,谢谢:)
当取出第一球颜色未知时,其为黑球概率为1/3,余下两球是白球的概率是1/3,一黑一白的概率是2/3。
当剩余两球取出第二球是白球时,用贝叶斯定理,则余下两球均是白球概率是 1/2,一黑一白概率亦为1/2。然而有2/3的概率白球来自两球均为白球,只有1/3的概率来自一黑一白。似乎第一球为黑色赢面大。
余下两球均为白球等价于第一球为黑球,考虑事件A即随机抽取为余下两球之一为白球,事件B为余下两球均为白球的概率,
P(BIA)=P(AIB)•P(B)/P(A)=2/3•1/3/(2/3•1/3+2/3•1/3)=1/2
三球:你把一只白球放在一边(如从口袋外面捏住它),第二次时取。这时候,第一次和第三次取白球和黑球的概率相等。
问题: 盒中有3球,1黑2白. 取第1球颜色未知,取第2球是白球,问盒中第3球是黑球的概率?
事件A: 第一次取出的是黑球
事件B: 第二次取出的是白球 , 这包括第一次取的是黑球和白球2种情况
事件C: 盒中所剩第三球是黑球
第一步, 求第二球是白球的概率, 即P(B):
可用全概率公式分成2种情况:
第一次取的是黑球A, 其概率为P(A) 第一次取的不是黑球(~A), 其概率为P(~A)P(B) = P(B|A) * P(A) + P(B|~A) * P(~A)
= 1 * (1/3) + (1/2) * (2/3)
= 1/3 + 1/3
= 2/3
ChatGPT的计算不对, 结果碰巧也是2/3.
实际上, 不用算也能知道, 当你不知道第一个球时, 第二个球是白的概率就是原来的2/3.
第2步: 计算A, B同时发生的概率(A ∩ B), 即第一次取出黑球, 第二次取出白球.
如果第一次取出黑球, 那么第2次取出的只能是白球, 所以概率就是第一次取出黑球的概率1/3.
Chatgpt用的是乘法公式(链式法则, 其实就是把条件概率的定义挪一下), P(A ∩ B) =P(B|A)P(A), 但P(B|A)表示的是第一次黑球, 第2次取白球, 所以应该是1. Chatgpt把AB与黑球白球混为一谈了, 用的是黑球白球原来的分布.
而且, 这一步本身就是第1步的情况(i), 上面算的也是1*1/3=1/3.
第3步:
P(C|A ∩ B) = P(A ∩ B|C) / P(B)哪来的? 贝叶斯公式 还是 链式法则?
我看了一些计算机程序,简单粗暴的方法就是把"主持人"开门拿到车的情况跳过:)
比如这个
https://stackoverflow.com/questions/1247863/is-this-a-good-or-bad-simulation-for-monty-hall-how-come
一问问题就缩脖
一告诉他答案就拍脑门
问:盒中有3球,1黑2白,依次取2球第1球取出颜色未知,余下二球中取第2球是白球,问盒中第3球是黑球的概率?
答案是 1/3。
解法一:
使用条件概率公式:
P(C|A ∩ B) = P(A ∩ B|C) / P(B)其中:
C:盒中第三球是黑球 A:第一次取出的球是黑球 B:第二次取出的球是白球我们已知:
P(B) = 2/3因为第一次取出的球颜色未知,所以:
P(A) = 1/3在第三球是黑球的条件下,第一次取出的球是黑球且第二次取出的球是白球的概率为:
P(A ∩ B|C) = P(白球|黑球) = 2/3将这些值代入条件概率公式,我们得到:
P(C|A ∩ B) = (2/9) / (2/3) = 1/3解法二:
使用抽签原理:
因为第一次取出的球颜色未知,所以我们可以将其视为一次抽签,共有 3 个球,其中 1 个是黑球,2 个是白球。
第二次取出白球的概率为:
P(白球) = 2/3这意味着,在第一次抽出的球中,有 2/3 的概率是白球。
因此,在第二次抽取白球之后,盒中剩下的 2 个球中,有 1/2 的概率是黑球。
所以,盒中第三球是黑球的概率为:
P(C) = 1/2 * 2/3 = 1/3结论:
盒中第三球是黑球的概率为 1/3。
则第一个球是黑球的概率为1/2,2/3,..趋于1。
只考虑余下二球,两白球的概率为1/3。
第一次随机取出为白球,两球为白的概率为2/3,先验概率为1/3,故取出一球为白球时两白球概率为1/2,即
P(BIA)=P(BIA)=P(AIB)•P(B)/P(A)=2/3•1/3/(2/3•1/3+1/3•2/3)=1/2
重新放回白球第二次随机取出为白球,两球为白的概率为2/3,先验概率为1/2,故第二次取出一球为白球时两白球的概率为
P(BIA)=P(BIA)=P(AIB)•P(B)/P(A)=2/3•1/2/(2/3•1/2+1/3•1/2)=2/3
重新放回白球第三次随机取出为白球,两球为白的概率为2/3,先验概率为2/3,故第三次取出一球为白球时两白球的概率为
P(BIA)=P(BIA)=P(AIB)•P(B)/P(A)=2/3•2/3/(2/3•2/3+1/3•1/3)=4/5
如果重复取球均为白球,则两球均为白球的概率趋于1意味第一个未知球为黑球的概率趋于1。
没有任何意义。根本问题就是一个“概率”根本就没说清楚事什么“总体”之下的概率,模糊了"总体"的定义,就不存在一个概率的问题,你说A它说我其实说的B,你说B它说我其实说的是A,这种诡辩没有任何意义。正确的答案就是你没说清楚你问的是什么,没有答案。
它在三门或色球选择上,如何提高选择的正确性。比如说,总体上得车的概率,总体上变换选择得车的概率等。
按我的理解,chatgpt的解答是有问题的。我以为1/2才是正确的答案。下面试图用不同的方法给出答案。
不妨假设三球分别放在3个不透明的口袋中,口袋依次标号1,2,3。
方法1:打开标号为2的口袋,发现是白球。这时1号和3号口袋完全是对称的,各自含黑球的概率是相等的,都是1/2。
方法2:就用chatgpt的方法。事件A表示第一次取出的球是黑球,事件B表示第二次取出的球是白球,事件C表示盒中第三球是黑球。也就是说事件A表示口袋1中是黑球,事件B表示口袋2中的球是白球,事件C表示口袋3中是黑球。
注意P(A∩B)=P(A)P(B|A)=P(A),因为第一个是黑球,第二个必然是白球,即P(B|A)=1,所以根据条件概率公式,
P(A|B)=P(A∩B|B)=P(A∩B)/P(B)。P(B)=2/3, P(A∩B)=1/3,故P(A|B)=(1/3)/(2/3)=1/2。
类似有P(C|B)=1/2。
不知道chatgpt中的P(C|A ∩ B) = (2/9) / (2/3) = 1/3从何而来。A ∩ B表示第一个是黑球,第二个是白球,那么第三个必然是白球,即P(C|A ∩ B) =0,怎么会是1/3?