罗素认识到＂自指＂对数学理论建构的伤害。
他的＂数学原理＂小心地避过任何自指。
从非常基本的逻辑定义和公理出发，仅用逻辑符号进行推理，
从中建立起可以描述自然数特性数学理论。
他和Whitehead 巨著共三卷， 在自然数理论上非常成功。
＂数学原理＂据说非常＂原始＂，到了第三百页才把＂1 ＂定义出来：）
这套系统因为原始而纯粹，它为数学逻辑描绘出了一幅美好的前景，
似乎从此以后逻辑推理就会变得纯粹而自然（和无所不能？：）
但是没高兴几年，小歌（25岁的Gödel) 出道了，
他在1931年证明了 罗子这套方法还是没逃过＂自指＂：）
这是民科版的解释，欢迎猛砸：）
小歌注意到当你用纯逻辑符号推理时，如果把这些个符号都编上数码，
那么每一条逻辑定义，公理和推出的定理，都可以表达成一个特定的自然数(prim number)。
小歌找到了一种映射方法，使得这样的数和定理（义）一定是一一对应，可以互相转换。
这样逻辑推理实际上就是在定义数列（G数列)。
这个数列和我们熟悉的数列 像Fibonacci (F n = F n-1 十 F n-2) F数列一样，
根据＂公式＂推出下一位数字。
在数列中，一个重要的问题是怎么知道 那些数是在数列中。
F数列是简单递增的，所以足够的运算一定能回答在不在问题。
这个＂在不在＂问题对G数列更重要，＂在＂ 则表示相对应的定理可证 (prim number)，
＂不在＂ 则表示相应的表达不真(non-prim)。
非常遗憾的是 G数列不像F数列， 它的数可能变小。
所以不把路径都试过，你不能知道答案：）
罗子的这套方法在完美解释自然数的同时也被眏射回自然数。
一但发现这个多重眏射，构造＂自指＂就变得简单了。
因为归根到底，这就像是用自然数去解释自然数：）
小歌说了句：”A certain integer g is not a prim number “，
这应该是人畜无害的大实话 （定理）。
但是注意，如果这个＂g ＂正好是 ＂A certain integer g is not a prim number ＂
这个定理的prim number, 就悲剧了：）
最后这个类似于 Quine paradox 表达是小歌证明的简化版，抄下来供大家体会：
(From I am a strange loop p143)
＂when fed its own Gödel number yields a non-prim number”
when fed its own Gödel number yields a non-prim number.
去掉多余的客气，小歌实际上在说：
他用＂数学原理＂发现了一个定理，但＂数学原理＂不给力，
不能证明：）
G E B 和＂I am a strange loop” 是科普读物：）
相关系列文章可以从这开始
https://en.wikipedia.org/wiki/G%C3%B6del%27s_incompleteness_theorems
https://en.wikipedia.org/wiki/G%C3%B6del_numbering
MIT lecture 3 about GEB
不足掩饰俺之不懂也
隐约觉得 这种情况和先生提过的两义有些联系：）
生产线上的商品，应该自己给自己打标签，像庄子说的，以非指喻指之非指也。
Gödel 就是把 ＂数学原理“隐藏的"两义＂给发堀出来了。
但这两义并非矛盾，而是两个不同层次的＂义＂
好像还真是。参见 Limitations
https://en.wikipedia.org/wiki/Primitive_recursive_function
罗素认识到＂自指＂对数学理论建构的伤害。
他的＂数学原理＂小心地避过任何自指。
从非常基本的逻辑定义和公理出发，仅用逻辑符号进行推理，
从中建立起可以描述自然数特性数学理论。
他和Whitehead 巨著共三卷， 在自然数理论上非常成功。
＂数学原理＂据说非常＂原始＂，到了第三百页才把＂1 ＂定义出来：）
这套系统因为原始而纯粹，它为数学逻辑描绘出了一幅美好的前景，
似乎从此以后逻辑推理就会变得纯粹而自然（和无所不能？：）
但是没高兴几年，小歌（25岁的Gödel) 出道了，
他在1931年证明了 罗子这套方法还是没逃过＂自指＂：）
这是民科版的解释，欢迎猛砸：）
小歌注意到当你用纯逻辑符号推理时，如果把这些个符号都编上数码，
那么每一条逻辑定义，公理和推出的定理，都可以表达成一个特定的自然数(prim number)。
小歌找到了一种映射方法，使得这样的数和定理（义）一定是一一对应，可以互相转换。
这样逻辑推理实际上就是在定义数列（G数列)。
这个数列和我们熟悉的数列 像Fibonacci (F n = F n-1 十 F n-2) F数列一样，
根据＂公式＂推出下一位数字。
在数列中，一个重要的问题是怎么知道 那些数是在数列中。
F数列是简单递增的，所以足够的运算一定能回答在不在问题。
这个＂在不在＂问题对G数列更重要，＂在＂ 则表示相对应的定理可证 (prim number)，
＂不在＂ 则表示相应的表达不真(non-prim)。
非常遗憾的是 G数列不像F数列， 它的数可能变小。
所以不把路径都试过，你不能知道答案：）
罗子的这套方法在完美解释自然数的同时也被眏射回自然数。
一但发现这个多重眏射，构造＂自指＂就变得简单了。
因为归根到底，这就像是用自然数去解释自然数：）
小歌说了句：”A certain integer g is not a prim number “，
这应该是人畜无害的大实话 （定理）。
但是注意，如果这个＂g ＂正好是 ＂A certain integer g is not a prim number ＂
这个定理的prim number, 就悲剧了：）
最后这个类似于 Quine paradox 表达是小歌证明的简化版，抄下来供大家体会：
(From I am a strange loop p143)
＂when fed its own Gödel number yields a non-prim number”
when fed its own Gödel number yields a non-prim number.
去掉多余的客气，小歌实际上在说：
他用＂数学原理＂发现了一个定理，但＂数学原理＂不给力，
不能证明：）
G E B 和＂I am a strange loop” 是科普读物：）
相关系列文章可以从这开始
https://en.wikipedia.org/wiki/G%C3%B6del%27s_incompleteness_theorems
https://en.wikipedia.org/wiki/G%C3%B6del_numbering
MIT lecture 3 about GEB
不足掩饰俺之不懂也
隐约觉得 这种情况和先生提过的两义有些联系：）
生产线上的商品，应该自己给自己打标签，像庄子说的，以非指喻指之非指也。
Gödel 就是把 ＂数学原理“隐藏的"两义＂给发堀出来了。
但这两义并非矛盾，而是两个不同层次的＂义＂
好像还真是。参见 Limitations
https://en.wikipedia.org/wiki/Primitive_recursive_function