论几何原本之原本

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stonebench
楼主 (文学城)
点是一个神奇的概念。

听立大神说几何原本的第一句话是“点是没有部分的”。

后来俺搜到第二句:线只有长度而没有宽度。

又看到第三四五六七句:

一线的两端是点。
直线是它上面的点一样的平放着的线。
面只有长度和宽度。
面的边缘是线。
平面是它上面的线一样的平放着的面。  

****************

这些都是非常天才、非常了不起的发现。这个体系不但厉害,而且自足。俺对这个体系本身毫不怀疑,只有赞叹。

而在这个体系之外,或者在这个体系的边缘,或者就是基础部分,俺也不怀疑。

不怀疑的就是:这个基础决定,欧氏几何完全是基于人为设定的学问。

就从几何原本中译版的第一句,点没有部分,开始。

 

“点没有部分”,可以理解为点不可再分。这是欧氏的规定。而规定点不可再分,就是设想它是最小单位。平面几何中的所有概念都基于点的这个属性。

也就是说,几何之原本,elements, 还有原本:点是一种什么东西。

点没有部分,也就是说,不可再分。那么,

世界上有什么东西是不可再分的?

你可能说没有。

恭喜你,答对了。

是的,就是“没有”这个东西不可再分。除了它以外,只要有体量就可以再分。

“没有“不可再分,因此也不真正地存在。

它不真正地存在,却存在。那么“没有”这个东西只是作为概念存在。唯其如此,才不可再分。

点就是这样一种东西,而且一定是这样一种东西。否则它一定可分。

 

欧氏之聪明,就在于首先规定它不可分。这就是规定它不是物理上的任何东西,而只是意识中确定的一个单位。

意识中的一个单位。没有实体,但是是一个单位。

这样事情就好办了。点存在于意识,而不存在于现实,因此点没有确定的物理对应物。

意识要它连起来它就连起来。意识要它连起来有长度它就连起来有长度。意识要连起来的点有端它就有端。

否则,你将很难想象:你怎么能把多个不存在(没有部分)的东西排成一条线?一个不存在是不存在,两个放在一起还是不存在,但是多个放在一起,神奇的现象就发生了:这些不存在的东西产生了一条线!这条线还有长度!

一条不存在的东西排成的线有长度但是没有宽度,多条甚至两条放在一起,神奇的现象又发生了:这些没有宽度的线有了宽度(成了面)!

这种神奇的无中生有再面而成体时又发生了一次。

这不符合理,但是也不荒谬。因为它符合意识的工作方式。意识处理数量就是这样,明明什么也没有(只有概念,没有实体),却好象互相独立(数字)能分能合(加减等运算)一样。

而几何,不过是是把数量以形状的量与关系表达出来。

这都是因为点是只存在于意识中的一个单位。

明白这个定义,上面的问题就不是问题了。所谓点线面,不过是意识按自己的方式把单位与量投射在形状中。

如果完全按照欧氏规定,按照“点没有部分”的定义,你其实永远也找不到一个真正的几何意义上的点。再小也不行,只要有体量,就一定有部分,可再分。

因此,当你觉得你在纸上在地上在空中在任何地方画了一条线的时候,这个东西根本不是客观存在的“线”,它只是你的意识的投射,把它当成直线的化身。

但坚信西方逻辑优于中国的人却指着尺子在纸上画出来的线说,“这是一条直线”。

这不就可笑了吗?

因为你画出来的线,再细,也有宽度。完全不符合欧氏直线的定义。

这样你就只好说,我把它视为没有宽度。那么你就是在承认,你画出来的这个你叫作直线的东西并不是真的直线。

所以呢?你就是在说:“这根画出来的直线不是欧氏规定的直线”。那么,在阐明概念与实际对应物的关系上,你的话比“白马非马”高明在哪里?逻辑好在哪里?

事实上,白马非马与黑点非点,粗线非线一样,都是在讲概念与对应物的关系。概念是对所有对应物的抽象,因此任何对应物都不是这个概念。

如果你明白几何中的点与现实的点的关系,就应该明白白马与马的关系。

两者在逻辑上的原理,简直就是,一模一样。

但白马非马,没有把精力放到意识单位的量化关系中去,而是停在了名与实的边界。

几何学则在名实边界稍作停留,就一头扎进了在现实中根本找不到的“点”中,并打开了一个意识中的数量规律世界。

几何学是伟大的,而名实之辨则告诉人,真的生命,不在概念体系中。

波粒子3
古典力学的粒子就是几何学的点

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stonebench
嗯,所以古典力学的粒子具有几何学的点的特征:能排成线铺成面停在那里又可以量又没有量

成了无法超越的绝对真实

 

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dhyang_wxc
秉承死磕精神,我们可以再死磕这个直线。

比如说,我们用石墨笔,在白纸上画条直线,将白纸分成两部分。

这条线必有宽度。那我们zoom in,放大这个宽度。

放大:我们会看到纸的纤维是白的,上面粘着黑色的石墨,有两个黑白边缘;

再放大:我们会看到石墨的线实际上是点和块儿,中间有没有沾石墨的白点和块儿。直线在哪里?

再放大:我们会看到纤维间是分离的,像树枝那样摞在一起。有的树枝上面落着黑色的石墨。

再放大:我们会看到分子是分离的,中间有着间隙。

再放大:我们会看到原子间存在着虚空。原子在一刻不停地振动。

那么直线在哪里,有没有一排或两排,排成直线的原子,将两部分分开?还是虚空曲曲折折地将两部分原子分开?虚空有多大?虚空属于两部分的哪一部分?这里出现了第三个部分。

换成墨水也是一样的。

 

 

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stonebench
正是此理。我就想,啥嘲笑白马非马是诡辩的人难道不知道他们画出的直线线都非几何的直线吗?
s
stonebench
根本不存在的点能排成线产生了长度,而不是互相融为一体,真是太神奇了。

 

d
dhyang_wxc
呵呵。别人怎么想不重要。这样我们就可以将物(真)与器(线)分开了,枉则直。同样的方法用在点上,

那个点就成虚空。

中间小谢
這些抽像的問題要到集合論set theory 出現才真正說清楚的。

此前一二百年,費馬、牛顿、莱布尼兹發展微積分也是先信賴直覺(幾何圖形的性质),放手去做;否則,事事要嚴格的邏輯基礎,將寸步难行。

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freemanli01
是很有意思,确实科学那一套思维方法竟然最后能结出果实,是很神奇,很奇怪的。。。
s
stonebench
是的。点的定义其实就是思维机制的基础。在现实中不存在,但是在思维中却是一个实实在在的抽象单位。

在这个意义上,点和概念和数的概念是完全对应的。

数,在现实中也不存在对应物。但在思维中也是实实在在。

我们在现实中能够数数,算数,并不是因为现实中有数学,而是因为思维中有这样的规律, 而且在以这种规律来处理感知到的世界。

对分析思维来说,这是必然的。

对世界的存在来说,则不是必然的。

对于人来说,也不是必然的。

 

 

s
stonebench
其实在俺看来并不神奇。因为这不是思维的一套发明,而就是思维的一套工作机制。在它开始的时候,结果就已经在那里了。
s
stonebench
就象一颗鸡蛋刚开始孵育,最佳结果就已经注定了一样。数学并不存在于自然界,但存在于人的头脑中,一切规律都完整地存在在那儿。

数学的发展,不过是人的认识不断地走向终点的过程。

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stonebench
如果换一个角度,可能就不需要等它发展才能说清楚了

点没有部分,却能排在一起产生长度这件事,本身就是意识的一种工作方式(对几何学来说,这里没有“道理”可讲,它就是默认基础,出发点)。

数学,在俺看来,就是对这种工作方式的认知。

意识以数学分析的角度和方法来研究数学规律,当然自洽。

 

所以,一切能证明的,都是本来就自洽的。

本来不自洽而证明自洽的,只能是证明错了。

但不能证明的,却只是可能不自洽,

也有可能,它在这个证明体系之外自洽。

 

 

 

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dhyang_wxc
君子不器。:)
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dhyang_wxc
是,海森堡说是先有图景,然后细化逻辑。两个铁球同时到不同时落地,错误先行。逻辑与科学发展其实是满拧,

有人非要硬拉来配,也不嫌累。不过也不值得批评,专家学者也都这么讲的时代,要求不能太高。

唐宋韵
硬要说,数学与物理、与现实世界是有割裂的。数学至少部分是“人造”的,不那么客观。比如,若不用十进制,整个数论就要重写。
s
stonebench
是的。三进制,单位1就能被3整除了:)
f
freemanli01
我觉得神奇点是:那套思维的抽象模式,竟然能匹配、认识自然现象。。。。力学的质点等抽象。。
f
freemanli01
那个没有大小的点成了线,就是一大堆的无穷小变成了有限长度。。。最后又能模拟匹配物理问题,不是很神奇?
s
stonebench
这个应该不神奇:十进制的计算结果都符合十进制,反之亦然。
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freemanli01
您这个说的是数学体系自身的自洽,我说的是为什么数学能匹配解释物理现象
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stonebench
因为人就是按照数学的原理来解释物理的,当然结果就互相匹配。工具决定产品,产品反映工具。
波粒子3
点没有大小很合理的

点有大小,一条线就无法容下无穷多点了。