TJ学生微积分把我问糊涂了

今天上午辅导一个TJ男生Calc BC。

他问我：critical point是一阶导数等于0或undefined，那么inflection point应该是二阶导数等于0或undefined吧？

我说：你只说对了一半，我们确认拐点，还需要确认拐点一边的二阶导数为负，而另一边的二阶导数为正。

他皱起眉头：为什么critical point不需要确认一边的一阶导数为负，而另一边的一阶导数为正？

我说：这是因为你刚描述的方法是用来确认critical point究竟是对应局部最小值，还是局部最大值，或者什么都不是！

他不等我说完最后一句，就很不礼貌地打断我说：我们老师告诉我们critical point也可能是inflection point。

我说：你是对的，不过你要记住，一个点如果是局部极值，那它就不能同时是拐点。

他似乎懂了，点点头，然后问了一个新问题让我思维崩溃：“Xia, 在你先头描述如何
确认拐点时，你说还需要确认拐点一边的二阶导数为负，而另一边的二阶导数为正。那么，如果拐点两边的二阶导数都是0，怎么办？”

我倒吸了一口凉气说：“这似乎不大可能？当然，如果真是这样，那你也可以接着算三阶导数，如果，如果三阶导数等于0，则该点，该点不可能是拐点。”

他用疑惑的眼光看着我：“Xia，请解释这是为什么？我越听越糊涂了。”

我心里怦怦跳，因为我的微积分是用的同济大学为生物和化学专业学生编写的教材，不是数学分析，直到二阶导数为止。我慢慢说：“你问的问题不属于AP Calc BC考试范围，我们可以省略，我们来做拉格朗日中值定理MVT练习吧，那个是要考的。”

屁大点事，充分必要条件写清楚了这都不是事儿

别整这些没用的。
快去看云。

关于光滑连续函数极值的所有问题，答案都包含在泰勒展开到二阶表达式里，适用于任何有限维度的欧式空间

我当然学过泰勒级数。

我当然知道极值只涉及到1st和2nd derivatives。

学生的问题是拐点是否可能涉及3rd derivative或者更高阶。我刚才在网上查了，美国这边的微积分教科书，无论是Stewart，Anton，Finney，都不讲这个。学生钻牛角尖。

【 在 realoption (Options) 的大作中提到: 】
: 关于光滑连续函数极值的所有问题，答案都包含在泰勒展开到二阶表达式里，适用于任
: 何有限维度的欧式空间

问糊涂挖坑系列又来了。

TJHSST的AP老师和学生就是喜欢整这些没用的东西。

【 在 Amorphou (阿毛) 的大作中提到: 】
: 问糊涂挖坑系列又来了。

变量的微小扰动带来的函数值的变化量，在泰勒展开后，只有低阶都为零的时候，相对高阶分量才需要考虑，否则都是低阶分量的极小量，简单来说，只有一阶导为零时，考虑二阶导分量才有意义；只有一二阶导的分量都为零，考虑第三阶导的分量才有意义。。。

拐点暗示二阶导不为零，所以三阶导的分量完全可以忽略，这个就是结论

【 在 xiaxie7 (民科) 的大作中提到: 】
: 我当然学过泰勒级数。
: 我当然知道极值只涉及到1st和2nd derivatives。
: 学生的问题是拐点是否可能涉及3rd derivative或者更高阶。我刚才在网上查了，美国
: 这边的微积分教科书，无论是Stewart，Anton，Finney，都不讲这个。学生钻牛角尖。

您的可笑结论证明：您和我一样只学过微积分，没学过数学分析！

【 在 realoption (Options) 的大作中提到: 】
: 拐点暗示二阶导不为零，所以三阶导的分量完全可以忽略，这个就是结论

【 在 xiaxie7 (民科) 的大作中提到: 】
: 今天上午辅导一个TJ男生Calc BC。
: 他问我：critical point是一阶导数等于0或undefined，那么inflection point应该是
: 二阶导数等于0或undefined吧？
: 我说：你只说对了一半，我们确认拐点，还需要确认拐点一边的二阶导数为负，而另一
: 边的二阶导数为正。
: 他皱起眉头：为什么critical point不需要确认一边的一阶导数为负，而另一边的一阶
: 导数为正？
: 我说：这是因为你刚描述的方法是用来确认critical point究竟是对应局部最小值，还
: 是局部最大值，或者什么都不是！
: 他不等我说完最后一句，就很不礼貌地打断我说：我们老师告诉我们critical point也
: ...................

“我说：你是对的，不过你要记住，一个点如果是局部极值，那它就不能同时是拐点。”

函数
f(x)=x^2, 如果 x<1 或="" x="1;<br">f(x)=-(x-1)^2+1, 如果 x>1.

f(1) 是局部极大值吗？
(1,f(1))=(1,1) 是拐点吗？

考虑 “入”字图的一个修改：去掉交叉点上面冒头的一部分，左边一划写
成上凹的，右边一划写成下凹的。
这个交叉点的高度是局部极大值吗？
这个交叉点是拐点吗？

『
“Xia, 在你先头描述如何
确认拐点时，你说还需要确认拐点一边的二阶导数为负，而另一边的二阶导数为正。那么，如果拐点两边的二阶导数都是0，怎么办？”

我倒吸了一口凉气说：“这似乎不大可能？当然，如果真是这样，那你也可以接着算三阶导数，如果，如果三阶导数等于0，则该点，该点不可能是拐点。”
』

“点两边的二阶导数都是0”的意思似乎是
二阶导数在点左边一小段区间上为0，及二阶导数在点左边一小段区间上为0。

这种情况一阶导数在点左边一小段区间上是一常数，
一阶导数在点右边一小段区间上也是一常数，这只要将中值定理对一阶导数分别用于两区间可知。

因此积分后知道这函数在该点两边都是线性函数。图像在该点左边一小段是直线，在该点右边一小段也是直线。该点不是拐点。

除非你想和学生讲无限维的泛函分析，或者约束条件下的极值问题，否则数学分析和微积分对这个问题的讨论没啥区别，你都可以上调和分析，结论也是一样的

【 在 xiaxie7 (民科) 的大作中提到: 】
: 您的可笑结论证明：您和我一样只学过微积分，没学过数学分析！

虾将军辅导怎么收费？

【 在 kanting(kan) 的大作中提到: 】

: “我说：你是对的，不过你要记住，一个点如果是局部极值，那它就不能同时是拐点。”

: 函数

: f(x)=x^2, 如果 x
: f(x)=-(x-1)^2 1, 如果 x

你这个叫“最值”，不叫极值了

【 在 kanting (kan) 的大作中提到: 】
: “我说：你是对的，不过你要记住，一个点如果是局部极值，那它就不能同时是拐点。”
: 函数
: f(x)=x^2, 如果 x<1 或="" x="1;<br">: f(x)=-(x-1)^2+1, 如果 x>1.
: f(1) 是局部极大值吗？
: (1,f(1))=(1,1) 是拐点吗？
: 考虑 “入”字图的一个修改：去掉交叉点上面冒头的一部分，左边一划写
: 成上凹的，右边一划写成下凹的。
: 这个交叉点的高度是局部极大值吗？
: 这个交叉点是拐点吗？

不能误导学生,拐点定义不需要导数.

Inflection point就是concavity changing point，这个东西定义的很好

Critical point就是candidate of local minima or maxima，这个东西定义的不好，
聊的太细没意义

【 在 xiaxie7 (民科) 的大作中提到: 】
: 今天上午辅导一个TJ男生Calc BC。
: 他问我：critical point是一阶导数等于0或undefined，那么inflection point应该是
: 二阶导数等于0或undefined吧？
: 我说：你只说对了一半，我们确认拐点，还需要确认拐点一边的二阶导数为负，而另一
: 边的二阶导数为正。
: 他皱起眉头：为什么critical point不需要确认一边的一阶导数为负，而另一边的一阶
: 导数为正？
: 我说：这是因为你刚描述的方法是用来确认critical point究竟是对应局部最小值，还
: 是局部最大值，或者什么都不是！
: 他不等我说完最后一句，就很不礼貌地打断我说：我们老师告诉我们critical point也
: ...................

神经病

【 在 realoption (Options) 的大作中提到: 】
: 关于光滑连续函数极值的所有问题，答案都包含在泰勒展开到二阶表达式里，适用于任
: 何有限维度的欧式空间

目前因为通胀，辅导AP Calc AB/BC, Physics C E/M, 1/2, Chemistry, Biology,
Computer Science A/Principles, Statistics一律$60/小时。

而SAT/ACT math维持$30/小时。

【 在 mj1209 () 的大作中提到: 】
: 虾将军辅导怎么收费？
:
: “我说：你是对的，不过你要记住，一个点如果是局部极值，那它就不能同时是
: 拐点。”
:
: 函数
:
: f(x)=x^2, 如果 x
: f(x)=-(x-1)^2 1, 如果 x

正解！

【 在 Roshou16 (肉手儿) 的大作中提到: 】
: Inflection point就是concavity changing point，这个东西定义的很好
: Critical point就是candidate of local minima or maxima，这个东西定义的不好，
: 聊的太细没意义