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【出道数学题12】平面几何，发布5种证法+最后绝招“天外飞仙”
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最新回复：2020年7月15日 8点38分 PT
共 (27) 楼
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x
xiongmaoren
接近 5 年
楼主 (未名空间)
感谢各位将军们的真知灼见，现发布5种证法，最后一种精美绝伦
https://youtu.be/tyZEGAcZeYo
全国高中数学联赛二试平面几何题，最后绝招堪称“天外飞仙”精妙绝伦
我深深认同一些将军们的观点，就是题目要“有趣”，能动动脑子；
又不能太难，男女老少都能比划几下；并且我觉得最好能有多种解法，这样人人都有机会。
此题就比较能够符合这些要求，将军们可以一战。
已知：ΔABC中点P,Q在∠A内部，且PQ在BC中垂线上，∠ABP+∠ACQ=180度
求证：∠BAP=∠CAQ
规则不限，可以使用任何方法和工具。
感谢各位积极参与，喜欢的可以点赞“亵玩”“此题可抓”，不喜欢的可以“吐了”“道烂题”等等
x
xiongmaoren
接近 5 年
2 楼
喜欢几何的将军们都来试试
M
MidStudent
接近 5 年
3 楼
有意思，这个用解析法计算应该不难吧
x
xiongmaoren
接近 5 年
4 楼
我没有用解析法算过，但是感觉可行
【 在 MidStudent (钟神秀) 的大作中提到: 】
: 有意思，这个用解析法计算应该不难吧
b
bookacar
接近 5 年
5 楼
有个不太好的做法。
做 BAC 的角平分线交那条中垂线于S.
ABCS 公圆。
根据条件不难证明 BS也平分角 PBQ
然后根据正炫定理有SinBAP/sinCAQ=sinPAS/sinQAS=AQ*BP/AP*BQ.
如果 Bap！=CAQ, 那么与 As 是角平分线矛盾。
这是硬凑的。
应该有什么好的方法，直接能证出来。
x
xiongmaoren
接近 5 年
6 楼
bookacar将军和我所见略同，我一开始的证法也是这样的
正弦定理算比例的过程有点繁琐，后来我发现这个证法可以改进一下：
如你所说，只需证 AS 平分角 PAQ
注意到“BS也平分角 PBQ”，和S是线段PQ的内分点，
所以“三角形ABC的外接圆”正是线段PQ由分点S定义的“阿波罗尼斯圆”
于是，AP/AQ = PS/QS，即“AS 平分角 PAQ”
这样一处理，这个题的几何意义已经出来了，我觉得这算是1.5种证法吧
另外，此题的另一种几何证法简直惊世骇俗，三、四行能搞定
【 在 bookacar (bookacar) 的大作中提到: 】
: 有个不太好的做法。
: 做 BAC 的角平分线交那条中垂线于S.
: ABCS 公圆。
: 根据条件不难证明 BS也平分角 PBQ
: 然后根据正炫定理有SinBAP/sinCAQ=sinPAS/sinQAS=AQ*BP/AP*BQ.
: 如果 Bap！=CAQ, 那么与 As 是角平分线矛盾。
: 这是硬凑的。
: 应该有什么好的方法，直接能证出来。
T
TheMatrix
接近 5 年
7 楼
我用三角函数把两个要证明相等的角算出来了。它们的tan都等于(dc+db)/(c-b+2bcd)
，其中b=tan B, c=tan C，d是角ABP的tan。
这个问题如果设BC的边长为1的话，有三个角度是自由变量，就是B，C和角ABP。而且用tan表示的话，用到的量没有根式。当然算起来也挺麻烦，但是知道这三个tan是自由变量，所以知道能走通。
【 在 xiongmaoren (熊猫人) 的大作中提到: 】
: 我深深认同一些将军们的观点，就是题目要“有趣”，能动动脑子；
: 又不能太难，男女老少都能比划几下；并且我觉得最好能有多种解法，这样人人都有机
: 会。
: 此题就比较能够符合这些要求，将军们可以一战。
: 已知：ΔABC中点P,Q在∠A内部，且PQ在BC中垂线上，∠ABP+∠ACQ=180度
: 求证：∠BAP=∠CAQ
: 规则不限，可以使用任何方法和工具。
: 感谢各位积极参与，喜欢的可以点赞“亵玩”“此题可抓”，不喜欢的可以“吐了”“
: 道烂题”等等
T
TheMatrix
接近 5 年
8 楼
这几天玩了一下python matplotlib，画了几个平面几何图。
第一张是本题的图。
第二张是非尔巴赫圆。
第三张是考虑三个一般位置的圆，找公共外切圆。
【 在 xiongmaoren (熊猫人) 的大作中提到: 】
: 我深深认同一些将军们的观点，就是题目要“有趣”，能动动脑子；
: 又不能太难，男女老少都能比划几下；并且我觉得最好能有多种解法，这样人人都有机
: 会。
: 此题就比较能够符合这些要求，将军们可以一战。
: 已知：ΔABC中点P,Q在∠A内部，且PQ在BC中垂线上，∠ABP+∠ACQ=180度
: 求证：∠BAP=∠CAQ
: 规则不限，可以使用任何方法和工具。
: 感谢各位积极参与，喜欢的可以点赞“亵玩”“此题可抓”，不喜欢的可以“吐了”“
: 道烂题”等等
p
printf888
接近 5 年
9 楼
哦我想到绝妙的办法了，做bac的角平分线。
T
TheMatrix
接近 5 年
10 楼
第三张图我试图找三个一般位置的圆的公共外切圆，没有找到能尺规作图的方法。那个图是用数值计算的方法得到公共外切圆的圆心和半径。
但是我觉得尺规作图的方法应该是存在的，因为方程列出来就是到三个圆心距离的二次方程，联立应该可以用平方根解出来。这应该就有尺规作图的方法吧？
【 在 TheMatrix (TheMatrix) 的大作中提到: 】
: 这几天玩了一下python matplotlib，画了几个平面几何图。
: 第一张是本题的图。
: 第二张是非尔巴赫圆。
: 第三张是考虑三个一般位置的圆，找公共外切圆。
T
TheMatrix
接近 5 年
11 楼
另外有一个“猜想”，就是平面几何的问题，可以用数值计算的方法证明。找出自由变量，随机设定一组数值，然后计算要证明相等的量，它们应该是相等的，或者误差在
tolerance之内。再对自由变量随机设定另一组数值，再计算要证明相等的量。如是几
次，就应该能证明要证明相等的量的确相等。这里面涉及到尺规作图，以及代数多项式表达，甚至real analytic函数，只要不涉及求极限，应该是成立的。
【 在 TheMatrix (TheMatrix) 的大作中提到: 】
: 第三张图我试图找三个一般位置的圆的公共外切圆，没有找到能尺规作图的方法。那个
: 图是用数值计算的方法得到公共外切圆的圆心和半径。
: 但是我觉得尺规作图的方法应该是存在的，因为方程列出来就是到三个圆心距离的二次
: 方程，联立应该可以用平方根解出来。这应该就有尺规作图的方法吧？
p
printf888
接近 5 年
12 楼
哦我眼瞎了，没看见上面的... 原来角平分线还不够绝妙？那我再想想
k
kde23
接近 5 年
13 楼
只找到颇无趣的三角函数法。
在AB上找到点E使得PBE为等腰三角形(即BP=EP), 连接QP并与BC交于D
再令∠ABP=θ 则∠ACQ=∠AEP=180-θ
则
BP = BD/cos∠CBP = BD/cos(θ-B) //B表示三角形ABC中的角，即∠ABC，下同
BE = 2BP*cosθ = 2BD*cosθ/cos(θ-B) = BC*cosθ/cos(θ-B)
于是
AE/AC = (AB-BE)/AC = (AB - BC*cosθ/cos(θ-B))/AC
= AB/AC - BC/AC*cosθ/cos(θ-B)
= sinC/sinB - sinA/sinB*cosθ/cos(θ-B)
= sinC/sinB - (sinB*cosC+cosB*sinC)/sinB * cosθ/cos(θ-B)
= 1/(sinB*cos(θ-B)) * [sinC*cos(θ-B) - sinB*cosC*cosθ - cosB*sinC*
cosθ]
= 1/(sinB*cos(θ-B)) * [sinC*cosθ*cosB + sinC*sinθ*sinB - sinB*cosC*cosθ - cosB*sinC*cosθ ]
= 1/(sinB*cos(θ-B)) * [ sinC*sinθ*sinB - sinB*cosC*cosθ]
= 1/cos(θ-B)*(sinC*sinθ - cosC*cosθ)
= -cos(θ+C)/cos(θ-B)
= cos(180-θ-C)/cos(θ-B)
= (BD/cos∠DBP)/(CD/cos∠CDQ)
= BP/CQ
= EP/CQ
又∠AEP = ∠ACQ = 180-θ
故三角形AEP与ACQ相似， 因此∠EAP=∠CAQ，即∠BAP=∠CAQ
x
xiongmaoren
接近 5 年
14 楼
好图，你上面的算法也很好，我记下了
【 在 TheMatrix (TheMatrix) 的大作中提到: 】
: 这几天玩了一下python matplotlib，画了几个平面几何图。
: 第一张是本题的图。
: 第二张是非尔巴赫圆。
: 第三张是考虑三个一般位置的圆，找公共外切圆。
x
xiongmaoren
接近 5 年
15 楼
你这个想法很好，独辟蹊径，比解题高了一个层次
属于是方法论的问题了
【 在 TheMatrix (TheMatrix) 的大作中提到: 】
: 另外有一个“猜想”，就是平面几何的问题，可以用数值计算的方法证明。找出自由变
: 量，随机设定一组数值，然后计算要证明相等的量，它们应该是相等的，或者误差在: tolerance之内。再对自由变量随机设定另一组数值，再计算要证明相等的量。如是几
: 次，就应该能证明要证明相等的量的确相等。这里面涉及到尺规作图，以及代数多项式
: 表达，甚至real analytic函数，只要不涉及求极限，应该是成立的。
x
xiongmaoren
接近 5 年
16 楼
角平分线已经挺绝妙的，而且揭示了几何意义，很有可能就是出题人的想法，我觉得很好
换成小刘的语言相当于“亵玩大小XX和XX”
但是还有更爽的“抓奶背草”，你再想想？
【 在 printf888 (foobar888) 的大作中提到: 】
: 哦我眼瞎了，没看见上面的... 原来角平分线还不够绝妙？那我再想想
x
xiongmaoren
接近 5 年
17 楼
这解法很好，我想过类似的路，最后还没走到底
【 在 kde23 (kdetest) 的大作中提到: 】
: 只找到颇无趣的三角函数法。
: 在AB上找到点E使得PBE为等腰三角形(即BP=EP), 连接QP并与BC交于D
: 再令∠ABP=θ 则∠ACQ=∠AEP=180-θ
: 则
: BP = BD/cos∠CBP = BD/cos(θ-B) //B表示三角形ABC中的角，即∠ABC，下同
: BE = 2BP*cosθ = 2BD*cosθ/cos(θ-B) = BC*cosθ/cos(θ-B)
: 于是
: AE/AC = (AB-BE)/AC = (AB - BC*cosθ/cos(θ-B))/AC
: = AB/AC - BC/AC*cosθ/cos(θ-B)
: = sinC/sinB - sinA/sinB*cosθ/cos(θ-B)
: ...................
x
xiongmaoren
接近 5 年
18 楼
你的这个问题，我觉得不是很简单
我现在没有十分确定的结论，但是感觉“尺规作图法”可能是不存在的
给我一些时间思考一下，给你个答案
【 在 TheMatrix (TheMatrix) 的大作中提到: 】
: 第三张图我试图找三个一般位置的圆的公共外切圆，没有找到能尺规作图的方法。那个
: 图是用数值计算的方法得到公共外切圆的圆心和半径。
: 但是我觉得尺规作图的方法应该是存在的，因为方程列出来就是到三个圆心距离的二次
: 方程，联立应该可以用平方根解出来。这应该就有尺规作图的方法吧？
x
xiongmaoren
接近 5 年
19 楼
各位将军还没想到最妙的解法吗？
今晚梦里可能就有了
z
zbghj
接近 5 年
20 楼
(=0
(=0
=>
(
=>
换种说法：
如果 角BAP > 角CAQ
则 BP/AP > QC/AQ，
即 PC/AP > BQ/AQ，
则 角BAQ < 角CAP，
则 角BAP < 角CAQ，
自相矛盾！
如果 角BAP < 角CAQ
也会自相矛盾!
故 角BAP = 角CAQ
x
xiongmaoren
接近 5 年
21 楼
不错，这个方法本质上等同于bookacar将军提出的正弦定理算比例，是个好的解法
【 在 zbghj (zbghj) 的大作中提到: 】
: (=0
: (=0
: =>
: (: =>
:
x
xiongmaoren
接近 5 年
22 楼
感谢各位将军们的真知灼见，现发布5种证法，最后一种精美绝伦
https://youtu.be/tyZEGAcZeYo
全国高中数学联赛二试平面几何题，最后绝招堪称“天外飞仙”精妙绝伦
a
acool
接近 5 年
23 楼
连接BQ、PC, 因为∠ABP和∠ACQ互补，据对称性知∠ABQ和∠ACP也互补
设∠BAP=x, ∠CAQ=y, ∠PAQ=z
在三角形ABP和ACQ分别用正弦定理可得
sinx/BP=sin∠BAP/AP, siny/QC=sin∠ACQ/AQ,
两式相除可得 sinx/siny=(BP/AP)(AQ/QC) (1)
在三角形ABQ和ACP中用类似操作可得
sin(x+z)/sin(y+z)=(BQ/AQ)(AP/PC) (2)
因BP=PC, BQ=QC, (1)x(2)得
(sinx/siny)(sin(x+z)/sin(y+z))= 1
化简可得 cos(2x-z)=cos(2y-z)
注意到x+y+z=A，又因P、Q在中垂线的限制，
那么上式在x,y,z的取值范围内唯一解为 2x-z = 2y-z --> x=y
【 在 xiongmaoren (熊猫人) 的大作中提到: 】
: 我深深认同一些将军们的观点，就是题目要“有趣”，能动动脑子；
: 又不能太难，男女老少都能比划几下；并且我觉得最好能有多种解法，这样人人都有机
: 会。
: 此题就比较能够符合这些要求，将军们可以一战。
: 已知：ΔABC中点P,Q在∠A内部，且PQ在BC中垂线上，∠ABP+∠ACQ=180度
: 求证：∠BAP=∠CAQ
: 规则不限，可以使用任何方法和工具。
: 感谢各位积极参与，喜欢的可以点赞“亵玩”“此题可抓”，不喜欢的可以“吐了”“
: 道烂题”等等
z
zbghj
接近 5 年
24 楼
原来是个年龄暴露贴...
这是哪年的高中联赛题？
【 在 xiongmaoren (熊猫人) 的大作中提到: 】
: 感谢各位将军们的真知灼见，现发布5种证法，最后一种精美绝伦
: https://youtu.be/tyZEGAcZeYo
: 全国高中数学联赛二试平面几何题，最后绝招堪称“天外飞仙”精妙绝伦
x
xiongmaoren
接近 5 年
25 楼
这是个好解法，参见我和bookacar将军在6楼的讨论
【 在 acool (cool) 的大作中提到: 】
: 连接BQ、PC, 因为∠ABP和∠ACQ互补，据对称性知∠ABQ和∠ACP也互补
: 设∠BAP=x, ∠CAQ=y, ∠PAQ=z
: 在三角形ABP和ACQ分别用正弦定理可得
: sinx/BP=sin∠BAP/AP, siny/QC=sin∠ACQ/AQ,
: 两式相除可得 sinx/siny=(BP/AP)(AQ/QC) (1)
: 在三角形ABQ和ACP中用类似操作可得
: sin(x+z)/sin(y+z)=(BQ/AQ)(AP/PC) (2)
: 因BP=PC, BQ=QC, (1)x(2)得
: (sinx/siny)(sin(x+z)/sin(y+z))= 1
: 化简可得 cos(2x-z)=cos(2y-z)
: ...................
x
xiongmaoren
接近 5 年
26 楼
我还发过1964年第6届IMO的题，那年龄早暴露了吧
【 在 zbghj (zbghj) 的大作中提到: 】
: 原来是个年龄暴露贴...
: 这是哪年的高中联赛题？
M
MidStudent
接近 5 年
27 楼
这两种几何方法确实精妙
我觉得阿氏圆的思路也不遑多让
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感谢各位将军们的真知灼见，现发布5种证法，最后一种精美绝伦
全国高中数学联赛二试平面几何题，最后绝招堪称“天外飞仙”精妙绝伦
我深深认同一些将军们的观点，就是题目要“有趣”，能动动脑子；
又不能太难，男女老少都能比划几下；并且我觉得最好能有多种解法，这样人人都有机会。
此题就比较能够符合这些要求，将军们可以一战。
已知：ΔABC中点P,Q在∠A内部，且PQ在BC中垂线上，∠ABP+∠ACQ=180度
求证：∠BAP=∠CAQ
规则不限，可以使用任何方法和工具。
感谢各位积极参与，喜欢的可以点赞“亵玩”“此题可抓”，不喜欢的可以“吐了”“道烂题”等等
喜欢几何的将军们都来试试
有意思，这个用解析法计算应该不难吧
我没有用解析法算过，但是感觉可行
【 在 MidStudent (钟神秀) 的大作中提到: 】
: 有意思，这个用解析法计算应该不难吧
有个不太好的做法。
做 BAC 的角平分线交那条中垂线于S.
ABCS 公圆。
根据条件不难证明 BS也平分角 PBQ
然后根据正炫定理有SinBAP/sinCAQ=sinPAS/sinQAS=AQ*BP/AP*BQ.
如果 Bap！=CAQ, 那么与 As 是角平分线矛盾。
这是硬凑的。
应该有什么好的方法，直接能证出来。
bookacar将军和我所见略同，我一开始的证法也是这样的
正弦定理算比例的过程有点繁琐，后来我发现这个证法可以改进一下：
如你所说，只需证 AS 平分角 PAQ
注意到“BS也平分角 PBQ”，和S是线段PQ的内分点，
所以“三角形ABC的外接圆”正是线段PQ由分点S定义的“阿波罗尼斯圆”
于是，AP/AQ = PS/QS，即“AS 平分角 PAQ”
这样一处理，这个题的几何意义已经出来了，我觉得这算是1.5种证法吧
另外，此题的另一种几何证法简直惊世骇俗，三、四行能搞定
【 在 bookacar (bookacar) 的大作中提到: 】
: 有个不太好的做法。
: 做 BAC 的角平分线交那条中垂线于S.
: ABCS 公圆。
: 根据条件不难证明 BS也平分角 PBQ
: 然后根据正炫定理有SinBAP/sinCAQ=sinPAS/sinQAS=AQ*BP/AP*BQ.
: 如果 Bap！=CAQ, 那么与 As 是角平分线矛盾。
: 这是硬凑的。
: 应该有什么好的方法，直接能证出来。
我用三角函数把两个要证明相等的角算出来了。它们的tan都等于(dc+db)/(c-b+2bcd)
，其中b=tan B, c=tan C，d是角ABP的tan。
这个问题如果设BC的边长为1的话，有三个角度是自由变量，就是B，C和角ABP。而且用tan表示的话，用到的量没有根式。当然算起来也挺麻烦，但是知道这三个tan是自由变量，所以知道能走通。
【 在 xiongmaoren (熊猫人) 的大作中提到: 】
: 我深深认同一些将军们的观点，就是题目要“有趣”，能动动脑子；
: 又不能太难，男女老少都能比划几下；并且我觉得最好能有多种解法，这样人人都有机
: 会。
: 此题就比较能够符合这些要求，将军们可以一战。
: 已知：ΔABC中点P,Q在∠A内部，且PQ在BC中垂线上，∠ABP+∠ACQ=180度
: 求证：∠BAP=∠CAQ
: 规则不限，可以使用任何方法和工具。
: 感谢各位积极参与，喜欢的可以点赞“亵玩”“此题可抓”，不喜欢的可以“吐了”“
: 道烂题”等等
这几天玩了一下python matplotlib，画了几个平面几何图。
第一张是本题的图。
第二张是非尔巴赫圆。
第三张是考虑三个一般位置的圆，找公共外切圆。
【 在 xiongmaoren (熊猫人) 的大作中提到: 】
: 我深深认同一些将军们的观点，就是题目要“有趣”，能动动脑子；
: 又不能太难，男女老少都能比划几下；并且我觉得最好能有多种解法，这样人人都有机
: 会。
: 此题就比较能够符合这些要求，将军们可以一战。
: 已知：ΔABC中点P,Q在∠A内部，且PQ在BC中垂线上，∠ABP+∠ACQ=180度
: 求证：∠BAP=∠CAQ
: 规则不限，可以使用任何方法和工具。
: 感谢各位积极参与，喜欢的可以点赞“亵玩”“此题可抓”，不喜欢的可以“吐了”“
: 道烂题”等等
哦我想到绝妙的办法了，做bac的角平分线。
第三张图我试图找三个一般位置的圆的公共外切圆，没有找到能尺规作图的方法。那个图是用数值计算的方法得到公共外切圆的圆心和半径。
但是我觉得尺规作图的方法应该是存在的，因为方程列出来就是到三个圆心距离的二次方程，联立应该可以用平方根解出来。这应该就有尺规作图的方法吧？
【 在 TheMatrix (TheMatrix) 的大作中提到: 】
: 这几天玩了一下python matplotlib，画了几个平面几何图。
: 第一张是本题的图。
: 第二张是非尔巴赫圆。
: 第三张是考虑三个一般位置的圆，找公共外切圆。
另外有一个“猜想”，就是平面几何的问题，可以用数值计算的方法证明。找出自由变量，随机设定一组数值，然后计算要证明相等的量，它们应该是相等的，或者误差在
tolerance之内。再对自由变量随机设定另一组数值，再计算要证明相等的量。如是几
次，就应该能证明要证明相等的量的确相等。这里面涉及到尺规作图，以及代数多项式表达，甚至real analytic函数，只要不涉及求极限，应该是成立的。
【 在 TheMatrix (TheMatrix) 的大作中提到: 】
: 第三张图我试图找三个一般位置的圆的公共外切圆，没有找到能尺规作图的方法。那个
: 图是用数值计算的方法得到公共外切圆的圆心和半径。
: 但是我觉得尺规作图的方法应该是存在的，因为方程列出来就是到三个圆心距离的二次
: 方程，联立应该可以用平方根解出来。这应该就有尺规作图的方法吧？
哦我眼瞎了，没看见上面的... 原来角平分线还不够绝妙？那我再想想
只找到颇无趣的三角函数法。
在AB上找到点E使得PBE为等腰三角形(即BP=EP), 连接QP并与BC交于D
再令∠ABP=θ 则∠ACQ=∠AEP=180-θ
则
BP = BD/cos∠CBP = BD/cos(θ-B) //B表示三角形ABC中的角，即∠ABC，下同
BE = 2BP*cosθ = 2BD*cosθ/cos(θ-B) = BC*cosθ/cos(θ-B)
于是
AE/AC = (AB-BE)/AC = (AB - BC*cosθ/cos(θ-B))/AC
= AB/AC - BC/AC*cosθ/cos(θ-B)
= sinC/sinB - sinA/sinB*cosθ/cos(θ-B)
= sinC/sinB - (sinB*cosC+cosB*sinC)/sinB * cosθ/cos(θ-B)
= 1/(sinB*cos(θ-B)) * [sinC*cos(θ-B) - sinB*cosC*cosθ - cosB*sinC*
cosθ]
= 1/(sinB*cos(θ-B)) * [sinC*cosθ*cosB + sinC*sinθ*sinB - sinB*cosC*cosθ - cosB*sinC*cosθ ]
= 1/(sinB*cos(θ-B)) * [ sinC*sinθ*sinB - sinB*cosC*cosθ]
= 1/cos(θ-B)*(sinC*sinθ - cosC*cosθ)
= -cos(θ+C)/cos(θ-B)
= cos(180-θ-C)/cos(θ-B)
= (BD/cos∠DBP)/(CD/cos∠CDQ)
= BP/CQ
= EP/CQ
又∠AEP = ∠ACQ = 180-θ
故三角形AEP与ACQ相似， 因此∠EAP=∠CAQ，即∠BAP=∠CAQ
好图，你上面的算法也很好，我记下了
【 在 TheMatrix (TheMatrix) 的大作中提到: 】
: 这几天玩了一下python matplotlib，画了几个平面几何图。
: 第一张是本题的图。
: 第二张是非尔巴赫圆。
: 第三张是考虑三个一般位置的圆，找公共外切圆。
你这个想法很好，独辟蹊径，比解题高了一个层次
属于是方法论的问题了
【 在 TheMatrix (TheMatrix) 的大作中提到: 】
: 另外有一个“猜想”，就是平面几何的问题，可以用数值计算的方法证明。找出自由变
: 量，随机设定一组数值，然后计算要证明相等的量，它们应该是相等的，或者误差在: tolerance之内。再对自由变量随机设定另一组数值，再计算要证明相等的量。如是几
: 次，就应该能证明要证明相等的量的确相等。这里面涉及到尺规作图，以及代数多项式
: 表达，甚至real analytic函数，只要不涉及求极限，应该是成立的。
角平分线已经挺绝妙的，而且揭示了几何意义，很有可能就是出题人的想法，我觉得很好
换成小刘的语言相当于“亵玩大小XX和XX”
但是还有更爽的“抓奶背草”，你再想想？
【 在 printf888 (foobar888) 的大作中提到: 】
: 哦我眼瞎了，没看见上面的... 原来角平分线还不够绝妙？那我再想想
这解法很好，我想过类似的路，最后还没走到底
【 在 kde23 (kdetest) 的大作中提到: 】
: 只找到颇无趣的三角函数法。
: 在AB上找到点E使得PBE为等腰三角形(即BP=EP), 连接QP并与BC交于D
: 再令∠ABP=θ 则∠ACQ=∠AEP=180-θ
: 则
: BP = BD/cos∠CBP = BD/cos(θ-B) //B表示三角形ABC中的角，即∠ABC，下同
: BE = 2BP*cosθ = 2BD*cosθ/cos(θ-B) = BC*cosθ/cos(θ-B)
: 于是
: AE/AC = (AB-BE)/AC = (AB - BC*cosθ/cos(θ-B))/AC
: = AB/AC - BC/AC*cosθ/cos(θ-B)
: = sinC/sinB - sinA/sinB*cosθ/cos(θ-B)
: ...................
你的这个问题，我觉得不是很简单
我现在没有十分确定的结论，但是感觉“尺规作图法”可能是不存在的
给我一些时间思考一下，给你个答案
【 在 TheMatrix (TheMatrix) 的大作中提到: 】
: 第三张图我试图找三个一般位置的圆的公共外切圆，没有找到能尺规作图的方法。那个
: 图是用数值计算的方法得到公共外切圆的圆心和半径。
: 但是我觉得尺规作图的方法应该是存在的，因为方程列出来就是到三个圆心距离的二次
: 方程，联立应该可以用平方根解出来。这应该就有尺规作图的方法吧？
各位将军还没想到最妙的解法吗？
今晚梦里可能就有了
(=0
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换种说法：
如果 角BAP > 角CAQ
则 BP/AP > QC/AQ，
即 PC/AP > BQ/AQ，
则 角BAQ < 角CAP，
则 角BAP < 角CAQ，
自相矛盾！
如果 角BAP < 角CAQ
也会自相矛盾!
故 角BAP = 角CAQ
不错，这个方法本质上等同于bookacar将军提出的正弦定理算比例，是个好的解法
【 在 zbghj (zbghj) 的大作中提到: 】
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感谢各位将军们的真知灼见，现发布5种证法，最后一种精美绝伦
全国高中数学联赛二试平面几何题，最后绝招堪称“天外飞仙”精妙绝伦
连接BQ、PC, 因为∠ABP和∠ACQ互补，据对称性知∠ABQ和∠ACP也互补
设∠BAP=x, ∠CAQ=y, ∠PAQ=z
在三角形ABP和ACQ分别用正弦定理可得
sinx/BP=sin∠BAP/AP, siny/QC=sin∠ACQ/AQ,
两式相除可得 sinx/siny=(BP/AP)(AQ/QC) (1)
在三角形ABQ和ACP中用类似操作可得
sin(x+z)/sin(y+z)=(BQ/AQ)(AP/PC) (2)
因BP=PC, BQ=QC, (1)x(2)得
(sinx/siny)(sin(x+z)/sin(y+z))= 1
化简可得 cos(2x-z)=cos(2y-z)
注意到x+y+z=A，又因P、Q在中垂线的限制，
那么上式在x,y,z的取值范围内唯一解为 2x-z = 2y-z --> x=y
【 在 xiongmaoren (熊猫人) 的大作中提到: 】
: 我深深认同一些将军们的观点，就是题目要“有趣”，能动动脑子；
: 又不能太难，男女老少都能比划几下；并且我觉得最好能有多种解法，这样人人都有机
: 会。
: 此题就比较能够符合这些要求，将军们可以一战。
: 已知：ΔABC中点P,Q在∠A内部，且PQ在BC中垂线上，∠ABP+∠ACQ=180度
: 求证：∠BAP=∠CAQ
: 规则不限，可以使用任何方法和工具。
: 感谢各位积极参与，喜欢的可以点赞“亵玩”“此题可抓”，不喜欢的可以“吐了”“
: 道烂题”等等
原来是个年龄暴露贴...
这是哪年的高中联赛题？
【 在 xiongmaoren (熊猫人) 的大作中提到: 】
: 感谢各位将军们的真知灼见，现发布5种证法，最后一种精美绝伦
: https://youtu.be/tyZEGAcZeYo
: 全国高中数学联赛二试平面几何题，最后绝招堪称“天外飞仙”精妙绝伦
这是个好解法，参见我和bookacar将军在6楼的讨论
【 在 acool (cool) 的大作中提到: 】
: 连接BQ、PC, 因为∠ABP和∠ACQ互补，据对称性知∠ABQ和∠ACP也互补
: 设∠BAP=x, ∠CAQ=y, ∠PAQ=z
: 在三角形ABP和ACQ分别用正弦定理可得
: sinx/BP=sin∠BAP/AP, siny/QC=sin∠ACQ/AQ,
: 两式相除可得 sinx/siny=(BP/AP)(AQ/QC) (1)
: 在三角形ABQ和ACP中用类似操作可得
: sin(x+z)/sin(y+z)=(BQ/AQ)(AP/PC) (2)
: 因BP=PC, BQ=QC, (1)x(2)得
: (sinx/siny)(sin(x+z)/sin(y+z))= 1
: 化简可得 cos(2x-z)=cos(2y-z)
: ...................
我还发过1964年第6届IMO的题，那年龄早暴露了吧
【 在 zbghj (zbghj) 的大作中提到: 】
: 原来是个年龄暴露贴...
: 这是哪年的高中联赛题？
这两种几何方法确实精妙
我觉得阿氏圆的思路也不遑多让