Timefell哥请进，请教一个数学证明题

给定任意一个分布，每次从里面随机独立的取两个数，然后取它们俩的商，独立取N次。
证明：当N足够大时，这N个商的算术平均数大于一并且调和平均数小于一。

我拿这个问题问过一个学航天的屁挨着地，他说要用很牛逼的数学理论才能证明。

这个命题有很大的生态学意义，是我在研究变化环境里生物竞争的动态过程时，提炼抽象出来的数学问题。

我用模拟验证了结论，但是不知道如何数学证明。

顶一个

尼玛是不是寻我开心。。。我得声明一下不是 AIME 我不做。

关于几何平均值和算术平均值的基本关系，中学欧几里德有张图。。。再专业高深莫测的我不懂。。。

小弟向来佩服你数学牛逼而且平易近人，所以向你虚心求教。

为什么是寻你开心？难道这道题很low吗？航天屁挨着地琢磨半天也没琢磨出来的。

【 在 timefall (时光崩塌) 的大作中提到: 】
: 尼玛是不是寻我开心。。。我得声明一下不是 AIME 我不做。
: 关于几何平均值和算术平均值的基本关系，中学欧几里德有张图。。。再专业高深莫测
: 的我不懂。。。

这个用Jensen's inequality 就可以容易的证明，但这个不等式本身的证明要查书或者Google才行。

【在xiao86（xiao86）的大作中提到：】
：给定任意一个分布，每次从里面随机独立的取两个数，然后取它们俩的商，独立取N
次。
：证明：当N足够大时，这N个商的算术平均数大于一并且调和平均数小于一。
：我拿这个问题问过一个学航天的屁挨着地，他说要用很牛逼的数学理论才能证明。
：这个命题有很大的生态学意义，是我在研究变化环境里生物竞争的动态过程时，提炼抽象出来的数学问题。
：我用模拟验证了结论，但是不知道如何数学证明。

这个问题等价于
在一个ratio distribution里独立取N个数；当N足够大，它们的算术平均数大于一并且调和平均数小于一。

这里的问题在于，随便拿一个常规的分布（正态，Uniform,exponetial等等），它对应的ratio ditstribution是pathological的，也就是没有mean和variance。比如正态分
布的ratio distribution是cauchy distribution，它就是典型的pathological。

pathological distribution让后续证明那两个不等式成为麻烦。

【 在 ycj (ycj) 的大作中提到: 】
: 这个用Jensen's inequality 就可以容易的证明，但这个不等式本身的证明要查书或者
: Google才行。
: ：给定任意一个分布，每次从里面随机独立的取两个数，然后取它们俩的商，独立取
N
: 次。
: ：证明：当N足够大时，这N个商的算术平均数大于一并且调和平均数小于一。
: ：我拿这个问题问过一个学航天的屁挨着地，他说要用很牛逼的数学理论才能证明。: ：这个命题有很大的生态学意义，是我在研究变化环境里生物竞争的动态过程时，提炼
: 抽象出来的数学问题。
: ：我用模拟验证了结论，但是不知道如何数学证明。

你数值模拟过吗？结论对吗？

假设第i次随机取的第一个数为ai，第二个为bi，商qi=ai/bi，又设qi'=bi/ai=1/qi。

如果该结论成立，即sigma(qi)/n>1，易证sigma(qi')/n<1。但qi和qi 其实是等价的，qi满足的性质qi="" 应该也满足。="" br="">

这个是妈妈桑 bootcamp 数学系小姐的问题。。。现代社会隔行如隔山，如果不是高中数理化大伙儿读一样的玩意儿有共同语言。。。否则的话，总得先找个妈妈桑
bootcamp 一下，要不然连题目都看不懂的说。

这不要说隔行了，马工换条产品线，都得找个妈妈桑 bootcamp 好久，这还连
internal transfer 都算不上，就是临时拉个壮丁小姐，那还得标配一个妈妈桑负责
bootcamp 不是？

【 在 xiao86(xiao86) 的大作中提到: 】

: 小弟向来佩服你数学牛逼而且平易近人，所以向你虚心求教。

: 为什么是寻你开心？难道这道题很low吗？航天屁挨着地琢磨半天也没琢磨出来
的。

对

楼主智商不行

简单举例

任意个随机阻值的线性电阻并联，其阻值等于你的harmonic mean

但是如果电阻阻值为均匀分布，则并联电阻（harmonic mean）等于算术平均（即R/N)

看不明白的话以2电阻并联为例

R=R1R2/(R1+R2), if R1=R2, then R=R1/2=R2/2

【 在 hardpack (hardpack) 的大作中提到: 】
: 你数值模拟过吗？结论对吗？
: 假设第i次随机取的第一个数为ai，第二个为bi，商qi=ai/bi，又设qi'=bi/ai=1/qi。
: 如果该结论成立，即sigma(qi)/n>1，易证sigma(qi')/n<1。但qi和qi 其实是等价的，="" br="">: qi满足的性质qi'应该也满足。

我用数值模拟过正态、uniform, log normal, exponential, 甚至beta distribution, 当N趋于1000，基本上那两个不等式是guaranteed.

【 在 hardpack (hardpack) 的大作中提到: 】
: 你数值模拟过吗？结论对吗？
: 假设第i次随机取的第一个数为ai，第二个为bi，商qi=ai/bi，又设qi'=bi/ai=1/qi。
: 如果该结论成立，即sigma(qi)/n>1，易证sigma(qi')/n<1。但qi和qi 其实是等价的，="" br="">: qi满足的性质qi'应该也满足。

你这个题就是：
1/(1/R1+1/R2+,,,,,)<=(R1+R2+.....)/N
算术意义上都是成立的，不需要随机数， ok？
等号当恰仅当均匀分布的时候成立

【 在 xiao86 (xiao86) 的大作中提到: 】
我用数值模拟过正态、uniform, log normal, exponential, 甚至beta
distribution,
当N趋于1000，基本上那两个不等式是guaranteed.

计算机只能生成伪随机数楼主知道不？

杀老鼠的智商是不行
这个不等式算术意义上都成立

【 在 fwdo (长老) 的大作中提到: 】
计算机只能生成伪随机数楼主知道不？

或者你能证伪我的命题也行。

【 在 fwdo (长老) 的大作中提到: 】
计算机只能生成伪随机数楼主知道不？

请弃哥证明：

【 在 mifepristone (弃婴) 的大作中提到: 】
你这个题就是：
1/(1/R1+1/R2+,,,,,)<=(R1+R2+.....)/N
算术意义上都是成立的，不需要随机数， ok？
distribution,

高中就会做了啊，妈的，二项式展开，肏

【 在 xiao86 (xiao86) 的大作中提到: 】
请弃哥证明：

这是高中常识好不好
调和平均数 ≤ 几何平均数 ≤ 算术平均数 ≤ 平方平均数

【 在 xiao86(xiao86) 的大作中提到: 】
请弃哥证明：

杀老鼠的，妈的数学还没高中层次
还随机数，这是严格算术不等式

【 在 fwdo (长老) 的大作中提到: 】
这是高中常识好不好
调和平均数 ≤ 几何平均数 ≤ 算术平均数 ≤ 平方平均数

不等式文科数学也有啊

【 在 mifepristone(弃婴) 的大作中提到: 】
杀老鼠的，妈的数学还没高中层次
还随机数，这是严格算术不等式

这个我先给两个数的证明，再给猜测思路：
(a-b)^2 >= 0
a^2 - 2*a*b + b^2 >= 0
a^2 + b^2 >= 2*a*b
因为都是正数，所以：
(a^2 + b^2)/(a*b) >= 2
a/b + b/a >= 2
a/b + b/a + a/a + b/b >= 4
(a + b)(1/a + 1/b) >= 4
后面是不是体力活了？我先发出来省得丢了。

【 在 xiao86 (xiao86) 的大作中提到: 】
请弃哥证明：
【 在 mifepristone (弃婴) 的大作中提到: 】
你这个题就是：
1/(1/R1+1/R2+,,,,,)<=(R1+R2+.....)/N
算术意义上都是成立的，不需要随机数， ok？
distribution,

尼玛我是不是又有计算错误，我怎么导出来的是
(a + b) / 2 >= 2 / (1/a + 1/b)
？？

【 在 timefall (时光崩塌) 的大作中提到: 】
这个我先给两个数的证明，再给猜测思路：
(a-b)^2 >= 0
a^2 - 2*a*b + b^2 >= 0
a^2 + b^2 >= 2*a*b
因为都是正数，所以：
(a^2 + b^2)/(a*b) >= 2
a/b + b/a >= 2
a/b + b/a + a/a + b/b >= 4
(a + b)(1/a + 1/b) >= 4
后面是不是体力活了？我先发出来省得丢了。

hold on,你把我的命题过于简化了。但是我不能确定从我的命题H<1 A="">1 到你的H间的转换是不是travial的。因为也存在H

【 在 mifepristone (弃婴) 的大作中提到: 】
杀老鼠的，妈的数学还没高中层次
还随机数，这是严格算术不等式

不然，就算我千少是数学白痴，人家航天屁挨着地也是数学白痴？！

【 在 xiao86 (xiao86) 的大作中提到: 】
hold on,你把我的命题过于简化了。但是我不能确定从我的命题H<1 A="">1 到你的H: 间的转换是不是travial的。因为也存在H

不过 anyway 我 weaken 一下总是可以 QED 的，就这样：
(a + b) / 2 >= 2 / (1/a + 1/b) >= 1 / (1/a + 1/b)
好了，齐活收工。。。这个证明的 hint 是欧几里德解析几何猜出来的。。。不过一般人对思路不感兴趣，对 “先看答案后作弊” 的思考方式情有独钟。。。我懒得贴思路了，不浪费带宽。

【 在 timefall (时光崩塌) 的大作中提到: 】
尼玛我是不是又有计算错误，我怎么导出来的是
(a + b) / 2 >= 2 / (1/a + 1/b)
？？

E(x/y) = E(x 1/y) = E(x) * E(1/y) >= E(x) * 1/E(y) = E(x) / E(y)
中间一步用到了Jensen's inequality.

【 在 xiao86(xiao86) 的大作中提到: 】
hold on,你把我的命题过于简化了。但是我不能确定从我的命题H1 到你的H
间的转换是不是travial的。因为也存在H

哥你搞错了，楼歪了。我的命题根本就和平均数不等式是两回事，虽然看上去很像！麻痹的弃婴忽悠我数学不好。差一点被他装的逼震慑住了：
H<1 A="">1 并不等价于 H
尼玛，这个公式我老发了一片PNAS，难道PNAS的审稿人还不如买买提一装逼犯有水平？！

【 在 timefall (时光崩塌) 的大作中提到: 】
不过 anyway 我 weaken 一下总是可以 QED 的，就这样：
(a + b) / 2 >= 2 / (1/a + 1/b) >= 1 / (1/a + 1/b)
好了，齐活收工。。。这个证明的 hint 是欧几里德解析几何猜出来的。。。不过一般
人对思路不感兴趣，对 “先看答案后作弊” 的思考方式情有独钟。。。我懒得贴思路
了，不浪费带宽。

牛逼啊 这都懂 幸亏俺脸皮厚 否则都不好意思出门

你的专业问题我不懂，这个得标配个妈妈桑先做一遍你们专业的数学系小姐
javascript bootcamp，否则我连个题目都读不懂。。。

【 在 xiao86 (xiao86) 的大作中提到: 】
哥你搞错了，楼歪了。我的命题根本就和平均数不等式是两回事，虽然看上去很像！麻
痹的弃婴忽悠我数学不好。差一点被他装的逼震慑住了：
H<1 A="">1 并不等价于 H: 尼玛，这个公式我老发了一片PNAS，难道PNAS的审稿人还不如买买提一装逼犯有水平？！

你们这些搞数学的好像也不过如此，我一个搞计算机都知道怎么回事。

【在xiao86（xiao86）的大作中提到：】
：哥你搞错了，楼歪了。我的命题根本就和平均数不等式是两回事，虽然看上去很像！麻痹的弃婴忽悠我数学不好。差一点被他装的逼震慑住了：
：H<1&A>1 并不等价于 H<A, 因为存在H<A<1的可能。
：尼玛，这个公式我老发了一片PNAS，难道PNAS的审稿人还不如买买提一装逼犯有水平？！

(a/b + b/a) >= 2
(a/b + b/a) /2 >= 1

2/(a/b + b/a) =< 1

你的第一行还是要证明的，否则中学数学老师看不过去。。。当然如果是理论数学系博后就无所谓，你可以说 trivial 就完事了。。。

【 在 greenspring (红唇吹彻梅花曲，我愿身为碧玉箫!) 的大作中提到: 】
(a/b + b/a) >= 2
(a/b + b/a) /2 >= 1
2/(a/b + b/a) =< 1

上面一帮狗仗人势的，看弃婴装逼气场足欺负我一不是数学出身的人。麻痹的偷换概念，把我的H<1 A="">1 当作H
哥，你说是不是！

【 在 ycj (ycj) 的大作中提到: 】
你们这些搞数学的好像也不过如此，我一个搞计算机都知道怎么回事。
：哥你搞错了，楼歪了。我的命题根本就和平均数不等式是两回事，虽然看上去很像！
麻痹的弃婴忽悠我数学不好。差一点被他装的逼震慑住了：
：H<1 A="">1 并不等价于 H: ：尼玛，这个公式我老发了一片PNAS，难道PNAS的审稿人还不如买买提一装逼犯有水平
？！

哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈
同情你一下下。。。虽然我没有被数学系妈妈桑 bootcamp 过，我不懂。。。

【 在 xiao86 (xiao86) 的大作中提到: 】
上面一帮狗仗人势的，看弃婴装逼气场足欺负我一不是数学出身的人。麻痹的偷换概念
，把我的H<1 A="">1 当作H: 哥，你说是不是！

哥你搞错了，楼歪了。请仔细读我的原帖的命题。我的命题根本就和平均数不等式是两回事，虽然看上去很像！麻痹的弃婴忽悠我数学不好。差一点被他装的逼震慑住了：
H<1 A="">1 并不等价于 H
尼玛，这个公式我老发了一片PNAS，难道PNAS的审稿人还不如买买提一装逼犯有水平？！

【 在 greenspring (红唇吹彻梅花曲，我愿身为碧玉箫!) 的大作中提到: 】
(a/b + b/a) >= 2
(a/b + b/a) /2 >= 1
2/(a/b + b/a) =< 1

我觉得你可以把题目的英文翻译写一下，这至少术语看得懂的人多一点。

【 在 xiao86(xiao86) 的大作中提到: 】
哥你搞错了，楼歪了。请仔细读我的原帖的命题。我的命题根本就和平均数不等式是两
回事，虽然看上去很像！麻痹的弃婴忽悠我数学不好。差一点被他装的逼震慑住了：
H1 并不等价于 H
尼玛，这个公式我老发了一片PNAS，难道PNAS的审稿人
还不如买买提一装逼犯有水平？！

感觉学数学和物理的忽悠偏多。

【在xiao86（xiao86）的大作中提到：】
：上面一帮狗仗人势的，看弃婴装逼气场足欺负我一不是数学出身的人。麻痹的偷换概念，把我的H<1&A>1 当作H<A来处理，把千少我批判一番。
：哥，你说是不是！

看到25楼的证明没有？

【在xiao86（xiao86）的大作中提到：】
：哥你搞错了，楼歪了。我的命题根本就和平均数不等式是两回事，虽然看上去很像！麻痹的弃婴忽悠我数学不好。差一点被他装的逼震慑住了：
：H<1&A>1 并不等价于 H<A, 因为存在H<A<1的可能。
：尼玛，这个公式我老发了一片PNAS，难道PNAS的审稿人还不如买买提一装逼犯有水平？！

谢谢哥！我看到了，我先琢磨一下！

【 在 ycj (ycj) 的大作中提到: 】
看到25楼的证明没有？
：哥你搞错了，楼歪了。我的命题根本就和平均数不等式是两回事，虽然看上去很像！
麻痹的弃婴忽悠我数学不好。差一点被他装的逼震慑住了：
：H<1 A="">1 并不等价于 H: ：尼玛，这个公式我老发了一片PNAS，难道PNAS的审稿人还不如买买提一装逼犯有水平
？！

属实。。。。。像俺这种马工不懂就直说，反正没被妈妈桑 bootcamp 过确实连
notation 黑话都听不懂。

【 在 ycj(ycj) 的大作中提到: 】
感觉学数学和物理的忽悠偏多。
：上面一帮狗仗人势的，看弃婴装逼气场足欺负我一不是数学出身的人。麻痹的偷换概
念，把我的H

正解。同时解决了LZ两个问题。

【 在 ycj (ycj) 的大作中提到: 】
E(x/y) = E(x 1/y) = E(x) * E(1/y) >= E(x) * 1/E(y) = E(x) / E(y)
中间一步用到了Jensen's inequality.

hold on,你把我的命题过于简化了。但是我不能确定从我的命题H1 到你的H<
br>
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尼玛楼上一群伪装学数学和物理的好不好。伪装学数学和学物理的比较多因为一般
人觉得酷。

【 在 ycj (ycj) 的大作中提到: 】
感觉学数学和物理的忽悠偏多。
：上面一帮狗仗人势的，看弃婴装逼气场足欺负我一不是数学出身的人。麻痹的偷换概
念，把我的H<1&A>1 当作H<A来处理，把千少我批判一番。
：哥，你说是不是！
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★ 发自iPhone App: ChineseWeb 16

尼玛你这个应该是一个大于等于1
一个小于等于1

【 在 xiao86 (xiao86) 的大作中提到: 】
哥你搞错了，楼歪了。请仔细读我的原帖的命题。我的命题根本就和平均数不等式是两
回事，虽然看上去很像！麻痹的弃婴忽悠我数学不好。差一点被他装的逼震慑住了：: H<1 A="">1 并不等价于 H: 尼玛，这个公式我老发了一片PNAS，难道PNAS的审稿人还不如买买提一装逼犯有水平？！
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对

【 在 antee (蚂蚁) 的大作中提到: 】
尼玛你这个应该是一个大于等于1
一个小于等于1
？！
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厉害，抓住了楼主那个问题的内核

【 在 greenspring (红唇吹彻梅花曲，我愿身为碧玉箫!) 的大作中提到: 】
(a/b + b/a) >= 2
(a/b + b/a) /2 >= 1
2/(a/b + b/a) =< 1

楼里面大家在帮你呀
无论什么集合，随机任意取数，再取商，取的次数N足够大的时候，将a/b和b/a这两个
商值都取出来的概率就会无限逼近1
所以你的问题，本质就是初等不等式

【 在 xiao86 (xiao86) 的大作中提到: 】
给定任意一个分布，每次从里面随机独立的取两个数，然后取它们俩的商，独立取N
次。
证明：当N足够大时，这N个商的算术平均数大于一并且调和平均数小于一。
我拿这个问题问过一个学航天的屁挨着地，他说要用很牛逼的数学理论才能证明。
这个命题有很大的生态学意义，是我在研究变化环境里生物竞争的动态过程时，提炼抽
象出来的数学问题。
我用模拟验证了结论，但是不知道如何数学证明。

请你证明为什么一个H<1 A="">1, 你看上去显而易见的数学结论，要严格证明还真不一点
travial,请大牛明示：

【 在 shot (野水横木) 的大作中提到: 】
楼里面大家在帮你呀
无论什么集合，随机任意取数，再取商，取的次数N足够大的时候，将a/b和b/a这两个
商值都取出来的概率就会无限逼近1
所以你的问题，本质就是初等不等式
次。

过于严格的统计学，跟过于讲究测度论一样，本质上是理论数学希尔伯特查经班的玄学。。。对广大实际数学应用屁用没有。。。原因就在于违背香浓信息学的有限信息量要求，导致信息学上的不可计算 undecidable。

【 在 xiao86(xiao86) 的大作中提到: 】
请你证明为什么一个H1, 你看上去显而易见的数学结论，要严格证明还真不一点
travial,请大牛明示：

或者说，equal probability 完全可以作为公理直接引用。。。因为理论数学上真正的随机过程，是信息学上面不可能的，因为该随机序列的无限信息量，导致信息学上的不可计算 undecidable。
所以 beyond equal probability 假设的证明，跟高端测度论一样，本质上就是玄学，希尔伯特查经班 for its own sake，没有任何哪怕是潜在的工程实用价值。

【 在 timefall(时光崩塌) 的大作中提到: 】
过于严格的统计学，跟过于讲究测度论一样，本质上是理论数学希尔伯特查经班的玄学
。。。对广大实际数学应用屁用没有。。。原因就在于违背香浓信息学的有限信息量要
求，导致信息学上的不可计算 undecidable。

哥，那么发表学术文章要如何证明呢？
不能直接说“众所周知”、“显而易见”吧？

【 在 timefall (时光崩塌) 的大作中提到: 】
过于严格的统计学，跟过于讲究测度论一样，本质上是理论数学希尔伯特查经班的玄学
。。。对广大实际数学应用屁用没有。。。原因就在于违背香浓信息学的有限信息量要
求，导致信息学上的不可计算 undecidable。

这个有一百万种证明办法，我随便给一种如下：
根据测度论，从正实数集里面随机取个数，精确的 100% 的概率取到的是不可计算数（undecidable），精确的 0% 的概率取到的是可计算数（decidable），但还是会取到可计算数（decidable）。
由此可得，首贴问题的最终得到平均数，精确的 100% 的概率是个不可计算数（
undecidable），精确的 0% 的概率得到的是一个可计算数（decidable）。但是你必然会得到可计算数（decidable），而且那个数就是 1。
北岛对着天空大喊了一声，“告诉尼玛，我--Q--E--D 了！！”

【 在 xiao86 (xiao86) 的大作中提到: 】
哥，那么发表学术文章要如何证明呢？
不能直接说“众所周知”、“显而易见”吧？

2pi/pi了？超越数除以超越数结果不一定是超越数啊。

【 在 timefall (时光崩塌) 的大作中提到: 】
这个有一百万种证明办法，我随便给一种如下：
根据测度论，从正实数集里面随机取个数，精确的 100% 的概率取到的是不可计算数（
undecidable），精确的 0% 的概率取到的是可计算数（decidable），但还是会取到可
计算数（decidable）。
由此可得，首贴问题的最终得到平均数，精确的 100% 的概率是个不可计算数（
undecidable），精确的 0% 的概率得到的是一个可计算数（decidable）。但是你必然
会得到可计算数（decidable），而且那个数就是 1。
北岛对着天空大喊了一声，“告诉尼玛，我 Q--E--D 了！！”

圆周数 pi 是可计算数（decidable）。。。当你说 pi 的时候，你是在说一个圆周数
，尽管它隶属于超越数集。

【 在 hardpack(hardpack) 的大作中提到: 】
2pi/pi了？超越数除以超越数结果不一定是超越数啊。

另外理论纯数学和中文数学用词极其混乱（好比中医）。。。为了避免二义性，我这里用的是马工信息学的 decidable 的概念，这并没有限制一定要 decidable by decimal digits。

【 在 timefall(时光崩塌) 的大作中提到: 】
圆周数 pi 是可计算数（decidable）。。。当你说 pi 的时候，你是在说一个圆周数
，尽管它隶属于超越数集。

谢谢哥深入讨论，我回去好好消化一下！

【 在 timefall (时光崩塌) 的大作中提到: 】
另外理论纯数学和中文数学用词极其混乱（好比中医）。。。为了避免二义性，我这里
用的是马工信息学的 decidable 的概念，这并没有限制一定要 decidable by
decimal
digits。

E(X/Y)=1/2[E(X/Y)+E(Y/X)]=E(1/2(X/Y+Y/X))>=E(1)=1

【 在 xiao86 (xiao86) 的大作中提到: 】
哥，那么发表学术文章要如何证明呢？
不能直接说“众所周知”、“显而易见”吧？

分特，你这个不对。倒数第二个不等式不能成立。

【 在 xiazheteng (Zheteng Xia) 的大作中提到: 】
标 题: Re: Timefell哥请进，请教一个数学证明题
发信站: BBS 未名空间站 (Sat Jun 10 18:24:56 2017, 美东)

E(X/Y)=1/2[E(X/Y)+E(Y/X)]=E(1/2(X/Y+Y/X))>=E(1)=1

【 在 xiao86 (xiao86) 的大作中提到: 】
: 哥，那么发表学术文章要如何证明呢？
: 不能直接说“众所周知”、“显而易见”吧？



--

我默认了X和Y都是正实数。不然的话，X和Y可正可负的话，原命题就不成立了，

【 在 bushel (失乐园) 的大作中提到: 】
分特，你这个不对。倒数第二个不等式不能成立。

这没关系，但是不等式还是不能成立

【 在 xiazheteng (Zheteng Xia) 的大作中提到: 】
标 题: Re: Timefell哥请进，请教一个数学证明题
发信站: BBS 未名空间站 (Sat Jun 10 18:38:14 2017, 美东)

我默认了X和Y都是正实数。不然的话，X和Y可正可负的话，原命题就不成立了，


【 在 bushel (失乐园) 的大作中提到: 】
: 分特，你这个不对。倒数第二个不等式不能成立。



--

1/2(X/Y+Y/X)=1/2(sqrt(X/Y)-sqrt(Y/X))^2+1>=1

【 在 bushel (失乐园) 的大作中提到: 】
这没关系，但是不等式还是不能成立

很可能错的哦，随便思考一下，没有计算
由于你两个值都是独立的，因此商和商的倒数具有相同分布
因此mean = 1/hmean
只要证明在某些分布下mean>1那么你的结论在这些分布下一定成立的。
任意分布肯定不成立

【 在 xiao86 (xiao86) 的大作中提到: 】
给定任意一个分布，每次从里面随机独立的取两个数，然后取它们俩的商，独立取N
次。
证明：当N足够大时，这N个商的算术平均数大于一并且调和平均数小于一。
我拿这个问题问过一个学航天的屁挨着地，他说要用很牛逼的数学理论才能证明。
这个命题有很大的生态学意义，是我在研究变化环境里生物竞争的动态过程时，提炼抽
象出来的数学问题。
我用模拟验证了结论，但是不知道如何数学证明。

"因此mean = 1/hmean"
ration distribution has no defined mean
https://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy_distribution

【 在 mitbbs2715 (好吃不懒做) 的大作中提到: 】
很可能错的哦，随便思考一下，没有计算
由于你两个值都是独立的，因此商和商的倒数具有相同分布
因此mean = 1/hmean
只要证明在某些分布下mean>1那么你的结论在这些分布下一定成立的。
任意分布肯定不成立
次。

样本分布和原始分布可不一样
【 在 xiao86 (xiao86) 的大作中提到: 】
: "因此mean = 1/hmean"
: ration distribution has no defined mean
: https://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy_distribution

那肯定是不一样的呀。
【 在 mitbbs2715 (好吃不懒做) 的大作中提到: 】
: 样本分布和原始分布可不一样

样本分布有mean不就结了
那还有啥疑问呢
反正正太分布你的结论肯定不正确
按照bushel说的，取值>0的分布是成立的

【 在 xiao86 (xiao86) 的大作中提到: 】
: 那肯定是不一样的呀。

您搞反了，原始分布正常，有mean, 取ratio变化以后就没有mean了
【 在 mitbbs2715 (好吃不懒做) 的大作中提到: 】
: 样本分布有mean不就结了
: 那还有啥疑问呢
: 反正正太分布你的结论肯定不正确
: 按照bushel说的，取值>0的分布是成立的

你彻底没搞懂
我之前就说了商是柯西分布，你对柯西分布取样，这个样本的均值也符合柯西分布，中值应该是零

对于柯西分布的mean有无定义和你的问题一点关系都没有，anyway以上都是文字游戏，重点是：

“或者这么说你的样本算数均值应该在0附近...”

别纠结这个了，正太分布下，你的结论肯定不成立的。

【 在 xiao86 (xiao86) 的大作中提到: 】
: 您搞反了，原始分布正常，有mean, 取ratio变化以后就没有mean了